Integrala nedefinită: pe scurt

Integrala nedefinită a lui $f$ pe un interval $I$ este mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ acolo, notată $\int f(x)dx$. Scrierea $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ înseamnă $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$, unde $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$ — nu o literă oarecare, ci un obiect cu nume.

Notația se citește pe bucăți: semnul integral adună, $f$ este funcția de integrat, iar $dx$ spune care literă este variabila. Derivarea și integrarea stau una în oglinda celeilalte: ${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$, adică derivarea desface exact integrarea, în timp ce $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathcal{C}$, adică integrarea desface derivarea numai până la o constantă.

Liniaritatea se demonstrează prin derivare: $\int (f+g)(x)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$ și $\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx$ pentru $\alpha \ne 0$; la $\alpha =0$ membrul stâng este $\mathcal{C}$, iar cel drept o singură funcție. În calcul, rețeta are trei etape: prelucrare algebrică, liniaritate, tabel — iar $\mathcal{C}$ se scrie o singură dată, la final. Mulțimea $\mathcal{H}(I)$ a funcțiilor care admit primitive pe $I$, cu adunarea, este monoid comutativ în care orice element este simetrizabil.

Exerciții din această mini-lecție

1. Egalitatea $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ pe intervalul $I$ înseamnă că:

   • a) $F$ este singura primitivă a lui $f$ pe $I$
   • b) mulțimea primitivelor lui $f$ pe $I$ este $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$
   • c) $F(x)+\mathcal{C}$ este o funcție, pentru un $\mathcal{C}$ fixat
   • d) $F^{\prime }=f$ numai în câteva puncte ale lui $I$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) mulțimea primitivelor lui $f$ pe $I$ este $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$

   În membrul stâng stă o mulțime de funcții, nu o funcție: $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$, iar $F+\mathcal{C}$ înseamnă $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$. Egalitatea are loc pentru că, pe un interval, orice două primitive diferă printr-o constantă.

2. Pe intervalul $I$, integrala $\int 0dx$ este egală cu:

   • a) $\mathcal{C}$
   • b) $x+\mathcal{C}$
   • c) nu există
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\mathcal{C}$

   Primitivele funcției nule sunt exact funcțiile constante, deci $\int 0dx=\mathcal{C}$. Tocmai de aceea regula $\int \alpha f=\alpha \int f$ se enunță cu $\alpha \ne 0$: pentru $\alpha =0$ membrul stâng este mulțimea $\mathcal{C}$, iar membrul drept ar fi funcția nulă, singură.

3. Pe intervalul $(0,+\infty )$, $\int \left(4x^3-\frac{6}{x}+2\right)dx$ este egală cu:

   • a) $x^4-\frac{6}{x^2}+2x+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{x^4}{4}-6\ln |x|+2x+\mathcal{C}$
   • c) $x^4-6\ln |x|+2+\mathcal{C}$
   • d) $x^4-6\ln |x|+2x+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $x^4-6\ln |x|+2x+\mathcal{C}$

   Prin liniaritate, $\int 4x^{3}dx=x^4$, $\int \frac{6}{x}dx=6\ln |x|$ și $\int 2dx=2x$, cu un singur $\mathcal{C}$ la final. Varianta cu $\frac{x^4}{4}$ pierde factorul $4$, iar cea cu $-\frac{6}{x^2}$ derivează în loc să integreze.