Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți

Lecția anterioară, despre noțiunea de primitivă, s-a încheiat cu o constatare incomodă: o funcție nu are o primitivă, ci o infinitate de primitive, care pe un interval diferă între ele printr-o constantă. A scrie de fiecare dată „mulțimea funcțiilor de forma $x^3+c$, cu $c$ număr real" este corect, dar de nesuportat într-un calcul de zece rânduri. Matematica are, pentru astfel de situații, o soluție veche de trei secole: îi dă mulțimii un nume și un simbol. Numele este integrală nedefinită, iar simbolul, semnul integral, este probabil cel mai recunoscut semn din toată matematica de clasa a 12-a.

Lecția de față face trei lucruri, în această ordine. Îi dă noțiunii definiția exactă — și vei vedea că integrala nedefinită nu este o funcție, ci o mulțime de funcții, ceea ce schimbă felul în care se citesc egalitățile din capitol. Apoi demonstrează cele două proprietăți de calcul pe care se sprijină tot ce urmează, adunate sub numele de liniaritate. Și, în sfârșit, lămurește de ce constanta care li se pare elevilor un moft de profesor este, de fapt, jumătate din răspuns.

Ce vei învăța

• Vei ști definiția integralei nedefinite ca mulțime a tuturor primitivelor unei funcții pe un interval.
• Vei ști să citești corect notația $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ și să spui ce înseamnă fiecare simbol din ea.
• Vei ști cele două relații care leagă derivarea de integrare: $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathcal{C}$ și $(\int f(x)dx{)}^{\prime }=f(x)$.
• Vei ști să demonstrezi liniaritatea integralei nedefinite și să o folosești în calcule.
• Vei ști de ce constanta nu poate fi omisă și ce se schimbă în răspuns dacă o uiți.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este integrala nedefinită a unei funcții?

Integrala nedefinită a funcției $f$ pe intervalul $I$ este mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe $I$, adică familia tuturor funcțiilor derivabile $F:I\to \mathbb{R}$ a căror derivată este egală cu $f$ în fiecare punct al intervalului. Ea se notează cu semnul integral și se scrie

$$\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C},$$

unde $F$ este oricare primitivă a lui $f$ pe $I$, iar $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$. Membrul drept trebuie citit ca o mulțime:

$$F(x)+\mathcal{C}=\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}.$$

Această citire este singura corectă și explică toate ciudățeniile de scriere ale capitolului. Simbolul $\mathcal{C}$ nu este „o constantă oarecare"; el este familia tuturor constantelor deodată, iar semnul plus dintre $F$ și $\mathcal{C}$ nu este o adunare de numere, ci o notație pentru mulțimea obținută adunând lui $F$ fiecare constantă în parte.

Teorema demonstrată în lecția anterioară este exact ceea ce face definiția coerentă: pe un interval, oricare două primitive diferă printr-o constantă, deci mulțimea $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$ nu depinde de primitiva $F$ pe care am ales-o ca reprezentant. Dacă am fi pornit de la $G=F+5$, am fi obținut aceeași mulțime, scrisă altfel.

Exemplu imediat: pe $\mathbb{R}$,

$$\int 3x^{2}dx=x^3+\mathcal{C},$$

pentru că $x^3$ este o primitivă a lui $3x^2$, iar toate celelalte se obțin adunând o constantă.

2. De ce în dreapta stă o mulțime, și nu o funcție?

Pentru că în stânga stă o mulțime. Iar egalitatea dintre ele este o egalitate de mulțimi, nu una de funcții: cele două scrieri desemnează exact aceeași familie.

Din acest fapt decurg trei reguli de citire pe care merită să le fixezi de la început:

• Ordinea nu contează. Scrierile $x^3+\mathcal{C}$ și $x^3-4+\mathcal{C}$ desemnează aceeași mulțime, pentru că mulțimea constantelor conține și pe $-4$, și pe $+4$. La un examen, ambele răspunsuri sunt corecte, deși al doilea e scris neinspirat.
• Egalitatea se verifică prin derivare. Ca să arăți că $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$, e destul să arăți că $F^{\prime }=f$ pe intervalul de lucru. Restul e teorema din lecția anterioară.
• Nu se poate „simplifica" $\mathcal{C}$. Din $F+\mathcal{C}=G+\mathcal{C}$ nu rezultă $F=G$, ci doar că $F-G$ este constantă. E aceeași situație ca la egalitatea a două mulțimi scrise cu reprezentanți diferiți.

3. Cum se citește notația: semnul integral, funcția și $dx$

Notația se citește de la stânga la dreapta ca o propoziție cu trei părți.

Semnul $\int$ este un „s" alungit, de la latinescul summa; el a fost ales de Leibniz și are de-a face cu însumarea, legătură pe care o vei înțelege pe deplin abia la integrala definită. Deocamdată reține-l ca pe simbolul care spune „mulțimea primitivelor lui…".

Expresia $f(x)$ dintre semnul integral și $dx$ se numește funcția de integrat (sau integrandul). Este funcția a cărei mulțime de primitive o căutăm.

Simbolul $dx$ arată în raport cu ce variabilă se caută primitiva. Pare de prisos când în expresie apare o singură literă, dar devine esențial de îndată ce apar parametri. Comparați:

$$\int axdx=\frac{a{x}^2}{2}+\mathcal{C},\int axda=\frac{a^{2}x}{2}+\mathcal{C}.$$

În primul caz $a$ e constantă și $x$ e variabilă; în al doilea, invers. Din același motiv, scrierea unei integrale fără $dx$ este considerată incompletă și se depunctează.

O ultimă observație de notație: variabila de integrare este mută, adică nu contează cum o numim. Egalitățile $\int 3x^{2}dx=x^3+\mathcal{C}$ și $\int 3t^{2}dt=t^3+\mathcal{C}$ spun exact același lucru.

4. Derivarea și integrarea, una în oglinda celeilalte

Cele două operații se anulează reciproc, dar nu chiar simetric — și tocmai asimetria merită reținută.

Prima relație. Dacă $f$ este derivabilă pe intervalul $I$, atunci

$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathcal{C}.$$

Justificarea e imediată: $f$ însăși este o primitivă a lui $f^{\prime }$, prin chiar definiția primitivei. Deci integrarea „desface" derivarea, dar nu recuperează funcția exactă, ci numai până la o constantă — informația despre constantă s-a pierdut la derivare și nu mai poate fi recuperată.

A doua relație. Dacă $f$ admite primitive pe $I$, atunci

$${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x).$$

Aici membrul stâng înseamnă: se ia orice element al mulțimii $\int f(x)dx$ și se derivează. Rezultatul e același pentru toate elementele — anume $f$ —, pentru că ele diferă prin constante. În sensul acesta, derivarea „desface" integrarea exact, fără pierdere.

Rezumat util: integrezi și apoi derivezi $\Rightarrow$ obții funcția de la care ai plecat; derivezi și apoi integrezi $\Rightarrow$ obții funcția de la care ai plecat, plus $\mathcal{C}$. Diferența dintre cele două propoziții este chiar constanta pierdută.

5. Liniaritatea integralei nedefinite

Aceasta este singura proprietate de calcul a lecției, dar ea se folosește în fiecare exercițiu al capitolului.

Teoremă (liniaritatea). Fie $I$ un interval, $f,g:I\to \mathbb{R}$ două funcții care admit primitive pe $I$ și $\alpha \in \mathbb{R}^{}$.Atunci$f + g$și$\alpha f$admitprimitivepe$I$ și*

$$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx,\int \alpha f(x)dx=\alpha \int f(x)dx.$$

Demonstrație. Fie $F$ o primitivă a lui $f$ și $G$ o primitivă a lui $g$ pe $I$.

Aditivitatea. Funcția $F+G$ este derivabilă pe $I$, fiind sumă de funcții derivabile, și $(F+G{)}^{\prime }=F^{\prime }+G^{\prime }=f+g$. Deci $F+G$ este o primitivă a lui $f+g$, ceea ce arată că $f+g$ admite primitive, iar membrul stâng este mulțimea $F+G+\mathcal{C}$. Membrul drept este mulțimea funcțiilor de forma $(F+c_1)+(G+c_2)$ cu $c_1,c_2\in \mathbb{R}$, adică $F+G+(c_1+c_2)$. Cum suma $c_1+c_2$ parcurge toate numerele reale, cele două mulțimi coincid.

Omogenitatea. Funcția $\alpha F$ este derivabilă și $(\alpha F{)}^{\prime }=\alpha F^{\prime }=\alpha f$, deci $\alpha f$ admite primitive și membrul stâng este $\alpha F+\mathcal{C}$. Membrul drept este mulțimea funcțiilor $\alpha (F+c)=\alpha F+\alpha c$ cu $c\in \mathbb{R}$. Aici intervine ipoteza $\alpha \ne 0$: numai atunci produsul $\alpha c$ parcurge toate numerele reale, deci cele două mulțimi coincid. $■$

⚠️ Unde se rupe pentru $\alpha =0$. Membrul stâng devine $\int 0dx=\mathcal{C}$, adică mulțimea tuturor constantelor. Membrul drept devine $0\cdot \int f(x)dx$, adică mulțimea formată dintr-o singură funcție, cea identic nulă. O mulțime infinită nu poate fi egală cu una cu un singur element, deci egalitatea e falsă — de aceea enunțul cere $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Este singurul loc din capitol în care condiția aceasta contează, dar la o cerință de tip „justificați" ea se scrie.

Consecința pe care o vei folosi cel mai des se obține combinând cele două afirmații: pentru $\alpha ,\beta \in {\mathbb{R}}^{\ast }$,

$$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx.$$

Prin inducție, formula se extinde la orice număr finit de termeni — exact ce trebuie pentru a integra un polinom termen cu termen.

6. Cum se folosește liniaritatea într-un calcul?

Rețeta are trei etape și se respectă în această ordine.

Etapa 1 — prelucrarea algebrică. Expresia se aduce la o sumă de termeni pe care știi să-i integrezi: se desfac parantezele, se împart fracțiile termen cu termen, se simplifică. Nicio metodă din capitol nu se aplică înainte de această etapă.

Etapa 2 — liniaritatea. Se sparge integrala în sumă de integrale și se scot constantele în față.

Etapa 3 — o singură constantă la final. Fiecare integrală parțială ar avea propriul $\mathcal{C}$, dar suma unor mulțimi de constante este tot mulțimea constantelor. Prin urmare se scrie un singur $\mathcal{C}$, la sfârșit.

Iată rețeta la lucru, pe un calcul de trei rânduri. Vrem $\int \frac{x^3+4x}{x}dx$ pe $(0,+\infty )$.

Etapa 1: împărțim termen cu termen, $\frac{x^3+4x}{x}=x^2+4$.

Etapa 2: $\int \left(x^2+4\right)dx=\int x^{2}dx+4\int 1dx$.

Etapa 3: recunoaștem primitivele și scriem o singură constantă, $\frac{x^3}{3}+4x+\mathcal{C}$.

Observă că Etapa 1 a fost cea decisivă: fracția inițială nu semăna cu nicio formulă de derivare, iar după simplificare a devenit o sumă de doi termeni banali. În toate exercițiile capitolului, timpul se pierde la Etapa 1, nu la celelalte două.

Deocamdată dispui de puține primitive: cele pe care le recunoști direct din formulele de derivare ale clasei a XI-a, adunate în tabelul de la derivatele funcțiilor uzuale. Sistematizarea lor, citită invers, este obiectul lecției următoare, despre tabelul primitivelor funcțiilor uzuale; până atunci lucrăm cu ce se vede cu ochiul liber: puterile, exponențiala, sinusul, cosinusul și $\frac{1}{x}$.

Un avertisment care ține tot de Etapa 1: liniaritatea funcționează numai pentru sume și pentru factori constanți. Nu există nicio regulă care să spargă integrala unui produs de două funcții neconstante sau a unui cât; scrierile de tipul „$\int fg=\int f\cdot \int g$" sunt false, iar produsele se tratează abia de la lecția despre integrarea prin părți.

7. O observație de algebră: funcțiile care admit primitive

Programa cere explicit o legătură între capitolul de analiză și structurile algebrice studiate la începutul clasei a XII-a, iar liniaritatea tocmai demonstrată o furnizează gata făcută.

Fixăm intervalul $I$ și notăm cu $\mathcal{H}(I)$ mulțimea funcțiilor $f:I\to \mathbb{R}$ care admit primitive pe $I$. ⚠️ Litera caligrafică $\mathcal{H}$ denumește aici o mulțime de funcții; litera obișnuită $H$ rămâne, ca peste tot în capitol, numele unei primitive oarecare. Pe mulțimea $\mathcal{H}(I)$ considerăm adunarea obișnuită a funcțiilor. Atunci:

• adunarea este lege de compoziție pe $\mathcal{H}(I)$, adică $\mathcal{H}(I)$ e parte stabilă: aceasta e chiar prima jumătate a teoremei de mai sus, care spune că suma a două funcții cu primitive are primitive;
• adunarea este asociativă și comutativă, proprietăți moștenite din adunarea numerelor reale, pentru că funcțiile se adună punct cu punct;
• funcția nulă este element neutru și aparține lui $\mathcal{H}(I)$, primitivele ei fiind funcțiile constante.

Prin urmare $(\mathcal{H}(I),+)$ este un monoid comutativ, în sensul fixat la lecția despre semigrupuri și monoizi. Mai mult: dacă $f$ are primitiva $F$, atunci $-f$ are primitiva $-F$, deci orice element este simetrizabil, iar structura este de fapt un grup comutativ, ca în lecția despre grup, definiție și exemple. Aceeași observație se va repeta, cuvânt cu cuvânt, pentru funcțiile integrabile pe un interval, în unitatea următoare.

Ce câștigi din această privire? O verificare rapidă de coerență: dacă într-un exercițiu ai „demonstrat" că suma a două funcții cu primitive nu are primitive, ai greșit undeva, pentru că afirmația contrazice stabilitatea.

8. Ce se strică dacă uiți constanta?

Foarte multe, și tocmai de aceea greșeala e sancționată sever în bareme.

Prima pierdere este de conținut: fără $\mathcal{C}$ ai scris o singură funcție, deci ai răspuns la altă întrebare decât cea pusă. Enunțul cere mulțimea primitivelor; tu ai dat un element al ei.

A doua pierdere apare la problemele cu condiție. Dacă scrii $\int 3x^{2}dx=x^3$ și apoi ți se cere primitiva cu $F(1)=5$, nu mai ai ce ajusta: singura funcție pe care ai scris-o dă $F(1)=1$, iar problema pare fără soluție. Constanta era exact instrumentul cu care se rezolva.

A treia pierdere e de rigoare: egalitatea $\int 3x^{2}dx=x^3$ este pur și simplu falsă, pentru că în stânga e o mulțime infinită și în dreapta o singură funcție. Nu e o scăpare de scriere, ci o afirmație greșită.

Regula practică, de aplicat mecanic: după ce ai terminat calculul, mai citește o dată răspunsul și verifică dacă se termină cu $+\mathcal{C}$. La integrala definită, în schimb, constanta chiar dispare — dar acolo, cum vom vedea în unitatea următoare, se scade $F(a)$ din $F(b)$, iar constantele se anulează între ele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Integrarea unui polinom, termen cu termen

Calculați $\int \left(4x^3-6x+5\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Aplicăm liniaritatea și recunoaștem fiecare termen dintr-o formulă de derivare:

$$\int \left(4x^3-6x+5\right)dx=4\int x^{3}dx-6\int xdx+5\int 1dx=4\cdot \frac{x^4}{4}-6\cdot \frac{x^2}{2}+5x+\mathcal{C},$$

adică $x^4-3x^2+5x+\mathcal{C}$.

Verificare, care e obligatorie și durează cinci secunde: ${\left(x^4-3x^2+5x\right)}^{\prime }=4x^3-6x+5$. (Verificat numeric în trei puncte.)

Exemplul 2. Exponențială și funcții trigonometrice

Calculați $\int \left(2e^x-3\sin x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Din formulele de derivare știm că ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ și $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, deci o primitivă a lui $\sin x$ este $-\cos x$. Cu liniaritatea:

$$\int \left(2e^x-3\sin x\right)dx=2\int e^{x}dx-3\int \sin xdx=2e^x-3(-\cos x)+\mathcal{C}=2e^x+3\cos x+\mathcal{C}.$$

Atenție la semne: minusul din enunț și minusul din primitiva sinusului se înmulțesc și dau plus. Este greșeala numărul unu la acest tip de calcul. (Verificat numeric.)

Exemplul 3. Prelucrarea algebrică înaintea liniarității

Calculați $\int \frac{x^2+1}{x^2}dx$ pe $(0,+\infty )$.

Fracția nu se integrează ca atare; o desfacem termen cu termen, ceea ce e Etapa 1 din rețetă:

$$\frac{x^2+1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}=1+x^{-2}.$$

Acum fiecare termen se recunoaște: o primitivă a lui $1$ este $x$, iar o primitivă a lui $x^{-2}$ este $-x^{-1}$, pentru că ${\left(-x^{-1}\right)}^{\prime }=x^{-2}$. Deci

$$\int \frac{x^2+1}{x^2}dx=x-\frac{1}{x}+\mathcal{C}.$$

Rezultatul este valabil pe orice interval din ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar se scrie separat pe fiecare, cu constanta lui. (Verificat numeric pe ambele ramuri.)

Exemplul 4. Verificarea unui rezultat prin derivare

Arătați că $\int (2x+3{)}^{2}dx=\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

Metoda de rezolvare directă este Etapa 1: dezvoltăm pătratul și integrăm termen cu termen,

$$(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9⟹\int (2x+3{)}^{2}dx=\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x+\mathcal{C}.$$

Verificarea cerută de enunț folosește a doua relație din subsecțiunea 4: derivăm membrul drept și trebuie să obținem integrandul.

$${\left(\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x\right)}^{\prime }=4x^2+12x+9=(2x+3{)}^2.$$

Egalitatea de mulțimi e astfel dovedită. (Verificat numeric.)

Exemplul 5. Cele două ramuri și o greșeală corectată

Un elev a scris „$\int \frac{5}{x}dx=5\ln x$". Corectați răspunsul și precizați intervalele pe care el este valabil.

Sunt două greșeli, nu una.

Prima: lipsește constanta. Membrul stâng e o mulțime infinită, membrul drept o singură funcție, deci egalitatea, așa scrisă, e falsă.

A doua: lipsește modulul. Pe un interval de numere negative, $\ln x$ nu are sens, în timp ce funcția $\frac{5}{x}$ este perfect definită acolo. Scrierea corectă, valabilă pe orice interval din ${\mathbb{R}}^{\ast }$, este

$$\int \frac{5}{x}dx=5\ln |x|+\mathcal{C}.$$

Pe $(0,+\infty )$ aceasta înseamnă $5\ln x+\mathcal{C}$, iar pe $(-\infty ,0)$ înseamnă $5\ln (-x)+\mathcal{C}$. (Verificat numeric pe ambele ramuri.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-2\sin x$.

a) Calculați $\int f(x)dx$.

b) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(0)=3$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)+2\sin x$, este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

a) Cu liniaritatea și cu primitivele recunoscute direct:

$$\int \left(6x^2-2\sin x\right)dx=6\int x^{2}dx-2\int \sin xdx=6\cdot \frac{x^3}{3}+2\cos x+\mathcal{C}=2x^3+2\cos x+\mathcal{C}.$$

b) Orice primitivă are forma $F(x)=2x^3+2\cos x+c$. Din condiția $F(0)=3$:

$$2\cdot 0+2\cos 0+c=2+c=3⟹c=1,$$

deci $F(x)=2x^3+2\cos x+1$. Control: $F^{\prime }(x)=6x^2-2\sin x=f(x)$ și $F(0)=3$. (Verificat numeric.)

c) Avem $g(x)=6x^2-2\sin x+2\sin x=6x^2$. Fie $H$ o primitivă oarecare a lui $g$. Atunci $H^{\prime }(x)=g(x)=6x^2\ge 0$ pentru orice $x$ real, iar $\mathbb{R}$ este interval, deci $H$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$. Observație: derivata se anulează doar în $x=0$, deci $H$ este chiar strict crescătoare — se vede și direct, pentru că $\int 6x^{2}dx=2x^3+\mathcal{C}$, iar funcția $2x^3$ este strict crescătoare.

Să exersăm

1. Calculați $\int \left(3x^2-4x+1\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

2. Calculați $\int \left(x^3-2x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

3. Calculați $\int \left(2\cos x+5\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

4. Calculați $\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx$ pe $(0,+\infty )$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Integrala nedefinită a unei funcții este o funcție."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcție $f$ care admite primitive pe un interval, ${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este derivabilă pe intervalul $I$, atunci $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)$."

8. Calculați $\int (2x+3{)}^{2}dx$ pe $\mathbb{R}$, dezvoltând mai întâi pătratul.

9. Calculați $\int \frac{x^2-5}{x^2}dx$ pe $(0,+\infty )$.

10. (Problemă aplicată.) Puterea consumată de un aparat variază după legea $P(t)=4t+3$ wați, iar energia $E$ satisface $E^{\prime }(t)=P(t)$, cu $E(0)=0$. Determinați energia consumată până la momentul $t$ și valoarea ei la $t=5$ secunde.

11. Calculați $\int \left(\frac{3}{x}-2\right)dx$ pe $(-\infty ,0)$.

12. Arătați, prin derivare, că $\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcție $f$ care admite primitive, $\int 2f(x)dx=2\int f(x)dx$."

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcție $f$ care admite primitive, $\int 0\cdot f(x)dx=0\cdot \int f(x)dx$."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+\frac{1}{x}$. a) Calculați $\int f(x)dx$. b) Determinați primitiva $F$ cu $F(1)=2$. c) Arătați că $F$ este strict crescătoare.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați numărul real $a$ pentru care $\int \left(a{x}^2+2x\right)dx=x^3+x^2+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

17. Demonstrați că, dacă $f$ și $g$ admit primitive pe intervalul $I$, atunci $f-g$ admite primitive și $\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$.

18. (Provocare.) Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, admite primitive pe $\mathbb{R}$ și că $\int |x|dx=\frac{x|x|}{2}+\mathcal{C}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\int \left(3x^2-4x+1\right)dx=x^3-2x^2+x+\mathcal{C}$. Verificare: ${\left(x^3-2x^2+x\right)}^{\prime }=3x^2-4x+1$.

2. $\int \left(x^3-2x\right)dx=\frac{x^4}{4}-x^2+\mathcal{C}$, pentru că ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }=x^3$ și ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$.

3. $\int \left(2\cos x+5\right)dx=2\sin x+5x+\mathcal{C}$, folosind $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ și liniaritatea.

4. $\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln |x|+\mathcal{C}$. Pe $(0,+\infty )$ modulul se poate scoate, dar formula cu modul e cea generală. (Verificat numeric.)

5. Fals. Este o mulțime de funcții — mulțimea tuturor primitivelor. Confuzia vine din faptul că se scrie cu un reprezentant, $F(x)+\mathcal{C}$, dar semnul plus de acolo desemnează translația cu toate constantele deodată.

6. Adevărat. Orice element al mulțimii $\int f(x)dx$ este o primitivă a lui $f$, deci derivata lui este $f$. Rezultatul nu depinde de elementul ales, pentru că două primitive diferă printr-o constantă, iar constanta dispare la derivare.

7. Fals. Corect este $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathcal{C}$. Egalitatea din enunț ar spune că o mulțime infinită coincide cu o singură funcție. Derivarea pierde constanta, iar integrarea nu o poate recupera.

8. $(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$, deci integrala este $\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

9. $\frac{x^2-5}{x^2}=1-5x^{-2}$, iar o primitivă a lui $x^{-2}$ este $-x^{-1}$. Deci integrala este $x+\frac{5}{x}+\mathcal{C}$. Verificare: ${\left(x+\frac{5}{x}\right)}^{\prime }=1-\frac{5}{x^2}$.

10. $E$ este o primitivă a lui $P$, deci $E(t)=2t^2+3t+c$. Din $E(0)=0$ rezultă $c=0$, deci $E(t)=2t^2+3t$ jouli. La $t=5$: $E(5)=50+15=65$ jouli.

11. $\int \left(\frac{3}{x}-2\right)dx=3\ln |x|-2x+\mathcal{C}$. Pe $(-\infty ,0)$ aceasta se scrie și $3\ln (-x)-2x+\mathcal{C}$; modulul e obligatoriu, pentru că acolo $x<0$.

12. Derivăm membrul drept cu regula produsului: ${\left(x\sin x+\cos x\right)}^{\prime }=\sin x+x\cos x-\sin x=x\cos x$. Egalitatea de mulțimi e dovedită. (Verificat numeric.)

13. Adevărat. Este cazul $\alpha =2$ al omogenității, iar $2\ne 0$, deci ipoteza teoremei e îndeplinită. Mulțimea din stânga este $2F+\mathcal{C}$, iar cea din dreapta $\{2F+2c\}$, adică tot $2F+\mathcal{C}$.

14. Fals. În stânga avem $\int 0dx=\mathcal{C}$, mulțimea tuturor funcțiilor constante. În dreapta avem mulțimea formată din funcția identic nulă și atât. Acesta e exact motivul pentru care teorema cere $\alpha \in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

15. a) $\int \left(3x^2+\frac{1}{x}\right)dx=x^3+\ln |x|+\mathcal{C}$. b) Pe $(0,+\infty )$, $F(x)=x^3+\ln |x|+c$; din $F(1)=1+0+c=2$ rezultă $c=1$, deci $F(x)=x^3+\ln |x|+1$. c) $F^{\prime }(x)=f(x)=3x^2+\frac{1}{x}>0$ pe $(0,+\infty )$, care e interval, deci $F$ e strict crescătoare. (Verificat numeric.)

16. $\int \left(a{x}^2+2x\right)dx=\frac{a{x}^3}{3}+x^2+\mathcal{C}$. Egalitatea cu $x^3+x^2+\mathcal{C}$ cere $\frac{a}{3}=1$, deci $\mathbf{a}=3$. Termenul $x^2$ coincide deja, iar mulțimile constantelor sunt aceleași.

17. Fie $F$ o primitivă a lui $f$ și $G$ una a lui $g$ pe $I$. Atunci $(F-G{)}^{\prime }=f-g$, deci $f-g$ admite primitive. Scrierea $f-g=f+(-1)g$ permite aplicarea celor două părți ale teoremei, cu $\alpha =-1\ne 0$; se obține exact egalitatea cerută, ambele mulțimi fiind $F-G+\mathcal{C}$.

18. Fie $F(x)=\frac{x|x|}{2}$, adică $\frac{x^2}{2}$ pentru $x\ge 0$ și $-\frac{x^2}{2}$ pentru $x<0$. Pe $(0,+\infty )$, $F^{\prime }(x)=x=|x|$; pe $(-\infty ,0)$, $F^{\prime }(x)=-x=|x|$. În $0$ ambele derivate laterale sunt nule, deci $F$ e derivabilă acolo și $F^{\prime }(0)=0=|0|$. Prin urmare $F^{\prime }=f$ pe $\mathbb{R}$ și $\int |x|dx=\frac{x|x|}{2}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric pe ambele ramuri.)

De reținut

• Integrala nedefinită $\int f(x)dx$ este mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe intervalul de lucru, nu o funcție.
• Scrierea $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ înseamnă $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$, unde $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe interval.
• Derivarea desface exact integrarea, ${\left(\int f(x)dx\right)}^{\prime }=f(x)$, în timp ce integrarea desface derivarea numai până la o constantă, $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+\mathcal{C}$.
• Liniaritatea permite spargerea integralei în sumă și scoaterea constantelor nenule în față, iar la final se scrie un singur $\mathcal{C}$.
• Mulțimea funcțiilor care admit primitive pe un interval, împreună cu adunarea funcțiilor, formează un monoid comutativ în care orice element este simetrizabil.

Greșeli frecvente

• Omiți $\mathcal{C}$. Egalitatea devine falsă, iar la cerințele cu condiție de tipul $F(x_0)=y_0$ rămâi fără instrumentul cu care se rezolva problema.
• Scoți în față o constantă nulă. Regula $\int \alpha f=\alpha \int f$ cere $\alpha \ne 0$; pentru $\alpha =0$ membrul stâng este $\mathcal{C}$, iar membrul drept conține o singură funcție.
• Scrii $\ln x$ în loc de $\ln |x|$. Pe intervale de numere negative prima expresie nu are sens, deși funcția $\frac{1}{x}$ este definită și continuă acolo.
• Uiți $dx$. Fără el nu se știe care literă e variabilă și care e parametru; la o integrală cu parametru, $\int axdx$ și $\int axda$ dau rezultate diferite.
• Aduni o constantă după fiecare termen. Mulțimile de constante se adună între ele și dau tot mulțimea constantelor, deci $\mathcal{C}$ se scrie o singură dată, la sfârșitul calculului.

Aplică acasă

1. Trei traduceri. Ia trei egalități de tipul $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ din exemplele rezolvate și rescrie fiecare, în cuvinte, ca afirmație despre o mulțime: „mulțimea primitivelor lui … este mulțimea funcțiilor de forma …". Exercițiul pare pedant, dar taie din rădăcină confuzia mulțime–funcție.

2. Vânătoarea de constante uitate. Rezolvă zece integrale simple, apoi dă-i foaia unui coleg și cere-i să găsească locurile unde ai scris rezultatul fără $\mathcal{C}$. Schimbați rolurile. Vei descoperi că greșeala apare aproape întotdeauna la ultimul rând al calculelor lungi.

3. Experimentul cu parametrul. Calculează, pe caiet, $\int (ax+b)dx$ o dată în raport cu $x$ și o dată în raport cu $a$, apoi verifică ambele rezultate prin derivare în raport cu variabila potrivită. Este cel mai scurt mod de a înțelege la ce servește simbolul $dx$.

Pentru părinți și profesori

Lecția este a doua din unitatea „Primitive" și acoperă competențele XII.CS.1.5, XII.CS.3.5 și XII.CS.6.1 din programa de matematică-informatică. Ea nu adaugă tehnici de calcul, ci notația și limbajul capitolului: semnul integral, funcția de integrat, variabila de integrare și constanta. Este lecția în care se decide dacă elevul va scrie corect răspunsurile timp de un an întreg.

Ce verifică lecția: (1) definiția integralei nedefinite ca mulțime de primitive; (2) citirea corectă a scrierii $F(x)+\mathcal{C}$; (3) cele două relații dintre derivare și integrare, cu asimetria dintre ele; (4) demonstrația liniarității, inclusiv rolul ipotezei $\alpha \ne 0$; (5) prelucrarea algebrică înaintea aplicării liniarității; (6) legătura cu structurile algebrice studiate în primul semestru.

Întrebări bune de control: „Ce fel de obiect e membrul stâng al egalității?", „De ce nu putem simplifica $\mathcal{C}$?", „Unde s-a folosit, în demonstrație, faptul că $\alpha$ nu e zero?", „De ce se scrie o singură constantă la final?", „Ce se schimbă dacă în loc de $dx$ scriem $dt$?". Semn că elevul a înțeles: verifică singur, prin derivare, fiecare rezultat, fără să i se ceară.

La BAC, aproape fiecare subpunct de analiză din clasa a XII-a începe cu un calcul de integrală nedefinită, iar constanta lipsă costă puncte la subpunctul următor, nu la cel curent. Exercițiile 15 și 16 sunt formulate în tiparul examenului; exercițiul 14 verifică exact detaliul pe care îl sar majoritatea manualelor.

Întrebări frecvente

Ce este integrala nedefinită a unei funcții?

Integrala nedefinită a lui $f$ pe un interval este mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe acel interval. Se notează $\int f(x)dx$ și se scrie sub forma $F(x)+\mathcal{C}$, unde $F$ este o primitivă oarecare, iar $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante. Este o mulțime de funcții, nu o funcție.

Ce înseamnă constanta de la sfârșitul unei integrale?

Înseamnă că răspunsul nu este o singură funcție, ci o familie infinită: toate translațiile pe verticală ale graficului lui $F$. Simbolul $\mathcal{C}$ desemnează mulțimea funcțiilor constante pe intervalul de lucru, iar scrierea $F(x)+\mathcal{C}$ este prescurtarea pentru mulțimea funcțiilor $F+c$, cu $c$ număr real.

De ce se scrie $dx$ la sfârșitul integralei?

Pentru că el arată în raport cu ce variabilă se caută primitiva. Când în expresie apar mai multe litere, rezultatul depinde de această alegere: $\int axdx$ dă $\frac{a{x}^2}{2}+\mathcal{C}$, iar $\int axda$ dă $\frac{a^{2}x}{2}+\mathcal{C}$. O integrală scrisă fără $dx$ este considerată incompletă.

Care sunt proprietățile de liniaritate ale integralei nedefinite?

Sunt două: integrala sumei este suma integralelor, iar o constantă nenulă se poate scoate în fața integralei. Ele se demonstrează arătând că suma a două primitive este primitivă a sumei, respectiv că multiplul unei primitive este primitivă a multiplului. Condiția ca factorul scos să fie nenul este esențială.

De ce se scrie o singură constantă la sfârșit, și nu una după fiecare termen?

Pentru că suma mai multor mulțimi de constante este tot mulțimea constantelor: adunând un număr real oarecare cu alt număr real oarecare obții tot un număr real oarecare. Scrierea cu mai multe constante nu e greșită matematic, dar e redundantă, iar baremele cer forma comprimată, cu un singur simbol.

Cum verific dacă am calculat corect o integrală nedefinită?

Derivezi rezultatul și trebuie să obții funcția de integrat, pe tot intervalul de lucru. Această verificare este completă: dacă derivata coincide, răspunsul este corect, iar dacă diferă, ai greșit undeva. Ea folosește a doua relație dintre derivare și integrare și durează câteva secunde.

Ce se întâmplă dacă uit constanta la un examen?

Pierzi punctele alocate finalizării, iar dacă subpunctul următor cere primitiva care trece printr-un punct dat, rămâi fără metoda de rezolvare. Egalitatea scrisă fără constantă este, în plus, falsă din punct de vedere logic, pentru că pune semnul egal între o mulțime infinită și o singură funcție.

Ce legătură are integrala nedefinită cu structurile algebrice?

Mulțimea funcțiilor care admit primitive pe un interval este parte stabilă față de adunarea funcțiilor, are ca element neutru funcția nulă și conține opusul fiecărui element al ei. Prin urmare formează un monoid comutativ în care orice element e simetrizabil, adică un grup comutativ — o aplicație directă a algebrei studiate în primul semestru.