Integrale ale funcțiilor pare, impare și periodice: pe scurt

Pe un interval simetric $[-a,a]$, integrala unei funcții impare și integrabile este $0$, iar integrala unei funcții pare este $2{\int }_0^{a}f(x)dx$. Ambele rezultate sunt aplicații ale schimbării de variabilă $x=-t$ — „lema oglinzii” —, nu formule de memorat: la Bacalaureat M1 se cere demonstrația sau măcar invocarea corectă a substituției. Simetria intervalului este o ipoteză: pe $[-1,2]$ nicio funcție impară nu are integrala automat nulă. La fel de importantă este integrabilitatea: $f(x)=\frac{1}{x^3}$ este impară pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar nemărginită, deci ${\int }_{-1}^{1}f$ nici nu există. Paritatea se verifică prin definiție, calculând $f(-x)$: produsul a două funcții impare este par, deci $x\sin x$, $x^3\sin x$, $x\mathrm{tg}x$ sunt pare. Formula unificată ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^a(f(x)+f(-x))dx$ rezolvă și cazurile fără paritate. Pentru o funcție continuă și periodică de perioadă $T$, integrala pe orice interval de lungime $T$ are aceeași valoare, iar pe $n$ perioade se înmulțește cu $n$. Trucul simetriei, ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$, rezolvă integralele fără primitivă vizibilă: se arată egalitatea, apoi se adună cele două scrieri.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele funcții, definite pe $\mathbb{R}$, este pară?

   • a) $f(x)=x^3\cos x$
   • b) $f(x)=x^2\sin x$
   • c) $f(x)=x\sin x$
   • d) $f(x)=x^5+x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $f(x)=x\sin x$

   Verificăm prin definiție: $f(-x)=(-x)\sin (-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$, deci $x\sin x$ este pară — produsul a două funcții impare este par. Celelalte trei sunt impare: $x^3\cos x$ este impară $\cdot$ pară, $x^2\sin x$ este pară $\cdot$ impară, iar $x^5+x$ este sumă de funcții impare. Greșeala tipică este să se declare impar produsul a două funcții impare.

2. Calculați ${\int }_{-3}^3\left(x^3+5x^2+7\right)dx$.

   • a) $174$
   • b) $66$
   • c) $90$
   • d) $132$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $132$

   Intervalul este simetric, iar $x^3$ este impară, deci partea ei se anulează. Rămâne $2{\int }_0^3\left(5x^2+7\right)dx=2\left(\frac{5x^3}{3}+7x\right){|}_0^3=2(45+21)=132$. Varianta $66$ este rezultatul de pe $[0,3]$, adică jumătatea răspunsului — greșeala cea mai des întâlnită la funcțiile pare —, iar $90$ pierde termenul liber.

3. Ce se poate spune despre ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^3}$?

   • a) integrala nu există, pentru că funcția nu este integrabilă pe $[-1,1]$
   • b) este $0$, prin trucul simetriei
   • c) este $0$, pentru că integrandul este o funcție impară
   • d) este $-\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) integrala nu există, pentru că funcția nu este integrabilă pe $[-1,1]$

   Funcția $\frac{1}{x^3}$ este într-adevăr impară pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar nu este definită în $0$ și este nemărginită în vecinătatea lui; o funcție integrabilă este obligatoriu mărginită, deci integrala nu există. Scurtătura „impară pe interval simetric” se aplică numai după ce integrabilitatea a fost verificată — aici verificarea o oprește.