Integrale ale funcțiilor pare, impare și periodice

Există integrale definite pe care le poți scrie corect în trei rânduri, dacă te uiți întâi la simetria integrandului, și pe care le poți rata în trei pagini, dacă te apuci direct de calcul. La clasa a 12-a, în subiectele de tip Bacalaureat M1, aceste integrale apar exact în forma care recompensează privirea: un integrand impar pe un interval de forma $[-a,a]$, o funcție periodică integrată pe o perioadă mutată, o fracție trigonometrică pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ care pare imposibilă și se rezolvă dintr-o schimbare de variabilă. Integrala unei funcții impare pe un interval simetric $[-a,a]$ este nulă, iar integrala unei funcții pare pe același interval este dublul integralei pe $[0,a]$ — două formule care se demonstrează cu schimbarea de variabilă $x=-t$.

Lecția de față nu aduce o metodă nouă de integrare. Tot ce urmează este o aplicație a schimbării de variabilă pentru integrala definită, cu trei substituții alese anume: $x=-t$, $x=t+T$ și $x=a-t$. Fiecare dintre ele dă o formulă pe care o vei folosi de zeci de ori până la examen — și pe care aici o demonstrezi, nu o memorezi ca rețetă.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi că ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$ pentru orice funcție impară și integrabilă pe $[-a,a]$.
• Vei ști să demonstrezi că ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$ pentru funcțiile pare.
• Vei ști să recunoști rapid paritatea unui integrand, inclusiv la produsele de funcții.
• Vei ști să arăți că integrala unei funcții periodice pe o perioadă întreagă nu depinde de punctul de pornire.
• Vei ști să aplici trucul simetriei, ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$, și forma lui trigonometrică.
• Vei ști când scurtăturile nu au voie să fie folosite și ce trebuie verificat înainte.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune simetria despre o integrală definită?

Integrala pe un interval simetric este integrala definită a unei funcții pe un interval de forma $[-a,a]$, cu $a>0$. Când integrandul este o funcție impară, valoarea ei este $0$; când integrandul este o funcție pară, valoarea ei este dublul integralei pe jumătatea din dreapta. Simetria integrandului decide, așadar, singură, jumătate din calcul.

Reamintim numele, fixate pe traseul tău încă din clasa a IX-a, la funcțiile pare și impare și simetriile graficului. O funcție $f:D\to \mathbb{R}$, cu $D$ simetric față de origine, este pară dacă $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x\in D$, și este impară dacă $f(-x)=-f(x)$ pentru orice $x\in D$. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa $Oy$; al unei funcții impare, simetric față de origine.

Interpretarea geometrică e cea care face formulele memorabile. Pentru o funcție pară, „bucata" din stânga axei $Oy$ este oglinda celei din dreapta, deci contribuie la fel: se adună. Pentru o funcție impară, bucata din stânga este oglinda răsturnată a celei din dreapta: cât se adună deasupra axei într-o parte, atât se scade dedesubtul ei în cealaltă, iar cele două contribuții se șterg reciproc.

2. Lema oglinzii: ce se întâmplă când răsturnăm intervalul?

Toate formulele lecției ies dintr-o singură propoziție, pe care o numim lema oglinzii.

Lema oglinzii. Fie $a>0$ și $f$ o funcție continuă pe $[-a,a]$. Atunci ${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_0^{a}f(-t)dt$.

Demonstrație. Folosim formula de schimbare de variabilă pentru integrala definită, în forma ei exactă: dacă $u$ este derivabilă cu derivata continuă pe $[\alpha ,\beta ]$ și $f$ este continuă pe imaginea lui $u$, atunci

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(u(t))u^{\prime }(t)dt={\int }_{u(\alpha )}^{u(\beta )}f(x)dx.$$

Luăm $\alpha =0$, $\beta =a$ și $u(t)=-t$, funcție derivabilă cu $u^{\prime }(t)=-1$, continuă. Atunci $u(0)=0$ și $u(a)=-a$, iar formula devine

$${\int }_0^{a}f(-t)\cdot (-1)dt={\int }_0^{-a}f(x)dx.$$

Membrul din dreapta se scrie, prin convenția de orientare ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ fixată odată cu definiția integralei definite, ca $-{\int }_{-a}^{0}f(x)dx$. Simplificăm semnul minus din ambii membri și obținem exact enunțul. $■$

Observă că am aplicat formula înainte, nu invers: am pornit de la integrala pe $[0,a]$ și am ajuns la cea pe $[-a,0]$. Aceasta e deosebirea de redactare care se punctează la examen — schimbarea de variabilă la integrala definită se scrie cu limitele transformate, $u(\alpha )$ și $u(\beta )$, fără revenire la variabila veche.

3. De ce integrala unei funcții impare pe un interval simetric este nulă?

Teorema 1 (funcții impare). Dacă $f$ este continuă și impară pe $[-a,a]$, $a>0$, atunci ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$.

Demonstrație. Prin aditivitatea în raport cu intervalul, una dintre proprietățile integralei definite, scriem

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_{-a}^{0}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx.$$

Pentru prima integrală aplicăm lema oglinzii: ${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_0^{a}f(-t)dt$. Cum $f$ este impară, $f(-t)=-f(t)$, deci ${\int }_0^{a}f(-t)dt=-{\int }_0^{a}f(t)dt$. Variabila de integrare este mută, adică ${\int }_0^{a}f(t)dt={\int }_0^{a}f(x)dx$, așa că suma de mai sus devine

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=-{\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^{a}f(x)dx=0.■$$

4. De ce integrala unei funcții pare se dublează?

Teorema 2 (funcții pare). Dacă $f$ este continuă și pară pe $[-a,a]$, $a>0$, atunci ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$.

Demonstrație. Aceeași descompunere și aceeași lemă, cu singura schimbare că acum $f(-t)=f(t)$:

$${\int }_{-a}^{0}f(x)dx={\int }_0^{a}f(-t)dt={\int }_0^{a}f(t)dt={\int }_0^{a}f(x)dx,$$

deci ${\int }_{-a}^{a}f={\int }_0^{a}f+{\int }_0^{a}f=2{\int }_0^{a}f$. $■$

Cele două teoreme rămân valabile, cu aceeași demonstrație, dacă în loc de „continuă" ceri doar „integrabilă pe $[-a,a]$" — ipoteza de continuitate a fost folosită numai ca să ai dreptul la formula schimbării de variabilă. La examen scrie ipoteza pe care o verifici efectiv.

Formula unificată. Dacă în demonstrațiile de mai sus nu presupui nimic despre paritate, lema oglinzii dă, pentru orice funcție continuă pe $[-a,a]$:

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^a(f(x)+f(-x))dx.$$

Ea le conține pe amândouă: la funcțiile impare paranteza este nulă, la cele pare paranteza este $2f(x)$. Dar merge și acolo unde funcția nu are nicio paritate, iar primitiva nu se vede. Exemplul-etalon, care apare des în subiectele de tip Bacalaureat M1, este $f(x)=\frac{1}{1+e^x}$: aici

$$f(x)+f(-x)=\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=\frac{1}{1+e^x}+\frac{e^x}{e^x+1}=1,$$

deci ${\int }_{-a}^a\frac{dx}{1+e^x}={\int }_0^{a}1dx=a$, pentru orice $a>0$, fără să calculăm vreo primitivă. (Verificat numeric pentru $a=1$ și $a=2$.)

Descompunerea practică. Orice integrand se poate rupe în părți după paritate. De exemplu, ${\int }_{-2}^2\left(x^3+x^2-5x+1\right)dx$: termenii $x^3$ și $-5x$ formează partea impară, care dă $0$, iar $x^2+1$ formează partea pară, care dă $2{\int }_0^2\left(x^2+1\right)dx=2\left(\frac{8}{3}+2\right)=\frac{28}{3}$. Nu se calculează nimic în plus.

5. Cum recunoști rapid paritatea unui integrand?

Aproape toate greșelile de la acest tip de exercițiu vin din citirea grăbită a parității unui produs. Regulile sunt cele ale semnelor și merită ținute minte ca tablă:

Ultimul rând este cel care surprinde. Funcția $x\mapsto x\sin x$ este produsul a două funcții impare, deci este pară: $(-x)\sin (-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x$. Prin urmare ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx$ nu este $0$, ci $2{\int }_0^{\pi }x\sin xdx$. În schimb $x\mapsto x\cos x$ este impară (impar $\times$ par), deci integrala ei pe $[-\pi ,\pi ]$ chiar este $0$.

Reperele de care ai nevoie: pare sunt $x^{2n}$, $|x|$, $\cos x$, $x\mapsto \frac{1}{x^2+1}$ și, în general, orice expresie în care $x$ apare doar prin $x^2$ sau prin $|x|$; impare sunt $x^{2n+1}$, $\sin x$, $\mathrm{tg}x$. Suma a două funcții pare e pară, suma a două funcții impare e impară, dar suma dintre o funcție pară și una impară nu are, de regulă, nicio paritate — și atunci se rupe pe bucăți, ca mai sus.

6. Ce se întâmplă cu integrala unei funcții periodice?

Reamintim definiția, fixată pe traseul tău la periodicitatea funcțiilor trigonometrice: funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este periodică de perioadă $T>0$ dacă $f(x+T)=f(x)$ pentru orice $x$ real.

Teorema 3 (funcții periodice). Dacă $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și periodică de perioadă $T>0$, atunci pentru orice $a$ real avem ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$.

Înainte de demonstrație, o precizare de rigoare care se cere scrisă. Aditivitatea în raport cu intervalul a fost enunțată pentru $a<c<b$. Odată adoptate convențiile ${\int }_a^{a}f=0$ și ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$, egalitatea ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$ rămâne adevărată oricum ar fi așezate cele trei puncte pe axă: fiecare dintre cele șase ordonări se reduce la cazul crescător mutând un termen dintr-un membru în celălalt și schimbându-i semnul. Vom folosi această formă extinsă.

Demonstrație. Fie $a>0$ (cazul $a<0$ e identic). Aplicăm schimbarea de variabilă cu $u(t)=t+T$ pe $[0,a]$, funcție derivabilă cu $u^{\prime }(t)=1$:

$${\int }_0^{a}f(t+T)dt={\int }_{u(0)}^{u(a)}f(x)dx={\int }_T^{a+T}f(x)dx.$$

Cum $f(t+T)=f(t)$, membrul stâng este ${\int }_0^{a}f(t)dt$, deci am obținut egalitatea auxiliară ${\int }_T^{a+T}f={\int }_0^{a}f$. Acum spargem integrala cerută în punctul $T$ și o folosim:

$${\int }_a^{a+T}f={\int }_a^{T}f+{\int }_T^{a+T}f={\int }_a^{T}f+{\int }_0^{a}f={\int }_0^{T}f.■$$

Consecința pe care o vei folosi cel mai des: pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,

$${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{T}f(x)dx,$$

pentru că intervalul $[0,nT]$ se taie în $n$ intervale de lungime $T$, fiecare aducând aceeași valoare.

7. Trucul simetriei: cum răstorni intervalul $[0,a]$ în el însuși?

Ultima substituție a lecției este $x=a-t$, care duce intervalul $[0,a]$ în el însuși, cu capetele schimbate între ele. Rezultatul poartă, de acum, numele fixat aici: trucul simetriei.

Trucul simetriei. Dacă $f$ este continuă pe $[0,a]$, atunci ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$.

Demonstrație. Cu $u(t)=a-t$ pe $[0,a]$, avem $u^{\prime }(t)=-1$, $u(0)=a$, $u(a)=0$, deci

$${\int }_0^{a}f(a-t)\cdot (-1)dt={\int }_a^{0}f(x)dx=-{\int }_0^{a}f(x)dx,$$

de unde, simplificând semnul, ${\int }_0^{a}f(a-t)dt={\int }_0^{a}f(x)dx$. $■$

Forma trigonometrică, cea care apare cel mai des în subiectele de tip Bacalaureat M1: pentru $a=\frac{\pi }{2}$ avem $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, deci

$${\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_0^{\pi /2}f(\cos x)dx.$$

De ce ajută asta? Pentru că nu calculezi nicio integrală: le adaugi. Dacă notezi $I$ prima integrală și $J$ pe a doua și știi că $I=J$, atunci fiecare valorează $\frac{I+J}{2}$, iar suma $I+J$ este de multe ori o integrală banală. Exemplul 5 arată mecanismul complet.

8. Când NU ai voie să folosești scurtăturile?

Toate cele patru formule au aceeași ipoteză ascunsă: funcția trebuie să fie integrabilă pe tot intervalul din enunț. Fără ea, formulele nu se aplică, oricât de simetric ar arăta integrandul.

Contraexemplul canonic: $f(x)=\frac{1}{x^3}$ este impară pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, dar scrierea ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^3}=0$ este greșită — funcția nici nu este definită în $0$, iar orice prelungire a ei pe $[-1,1]$ este nemărginită, deci nu e integrabilă, pentru că orice funcție integrabilă este mărginită. Nu există niciun număr de scris în stânga egalului.

Al doilea control, mai simplu de uitat: intervalul trebuie să fie simetric. Pe $[-1,2]$ nicio funcție impară nu are integrala automat nulă; acolo se calculează efectiv, eventual rupând intervalul ca $[-1,1]\cup [1,2]$ și folosind teorema pe prima bucată.

Al treilea control privește periodicitatea: Teorema 3 cere un interval de lungime exact $T$, adică perioada. Pe $\left[0,\frac{3\pi }{2}\right]$, funcția ${\sin }^2$ nu parcurge un număr întreg de perioade, deci integrala ei nu este $\frac{3}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$ decât din întâmplare; regula corectă este să tai intervalul în perioade întregi plus un rest, pe care îl calculezi separat. Și, la fel de important: perioada folosită trebuie să fie una reală pentru funcția ta. Funcția $|\sin x|$ are perioada $\pi$, nu $2\pi$, iar cine folosește $2\pi$ pierde jumătate din simplificare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. O integrală care se anulează din paritate

Calculați ${\int }_{-1}^1\frac{x^3}{x^2+1}dx$.

Rezolvare. Fie $f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$. Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric față de origine, iar $f$ este continuă pe $[-1,1]$, deci integrabilă. Verificăm paritatea:

$$f(-x)=\frac{(-x{)}^3}{(-x{)}^2+1}=\frac{-x^3}{x^2+1}=-f(x),$$

deci $f$ este impară. Prin Teorema 1, ${\int }_{-1}^1\frac{x^3}{x^2+1}dx=0$.

Ce ai fi avut de calculat altfel. Împărțind, $\frac{x^3}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}$, deci o primitivă este $\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)$, iar ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{2}-\frac{\ln 2}{2}$. Jumătatea din stânga dă exact opusul, $-\frac{1}{2}+\frac{\ln 2}{2}$, și suma lor este $0$ — dar drumul acesta costă cinci minute. (Ambele jumătăți au fost verificate numeric, separat.)

Exemplul 2. Capcana „impar $\times$ impar"

Calculați ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx$.

Rezolvare. Integrandul este produsul a două funcții impare, deci este par; nu se anulează. Prin Teorema 2,

$${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=2{\int }_0^{\pi }x\sin xdx.$$

Integrala rămasă se face prin părți, ca la lecția despre integrarea prin părți pentru integrala definită, cu $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=\sin x$, deci $g(x)=-\cos x$:

$${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=-x\cos x{|}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos xdx=\pi +\sin x{|}_0^{\pi }=\pi +0=\pi .$$

Prin urmare ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=2\pi$. (Verificat numeric: ambele jumătăți dau $\pi$.)

Exemplul 3. Ruperea integrandului după paritate

Calculați ${\int }_{-2}^2\left(x^3+x^2-5x+1\right)dx$.

Rezolvare. Scriem integrandul ca sumă între partea impară și cea pară:

$$x^3+x^2-5x+1=\underset{\text{impara˘}}{\underbrace{\left(x^3-5x\right)}}+\underset{\text{para˘}}{\underbrace{\left(x^2+1\right)}}.$$

Prin liniaritate, integrala se rupe în două. Prima parte dă $0$ (Teorema 1). A doua se dublează (Teorema 2):

$${\int }_{-2}^2\left(x^2+1\right)dx=2{\int }_0^2\left(x^2+1\right)dx=2\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_0^2=2\left(\frac{8}{3}+2\right)=\frac{28}{3}.$$

Așadar ${\int }_{-2}^2\left(x^3+x^2-5x+1\right)dx=\frac{28}{3}$.

Exemplul 4. Integrale ale unei funcții periodice

a) Calculați ${\int }_{100\pi }^{101\pi }{\sin }^{2}xdx$. b) Calculați ${\int }_0^{3\pi }|\sin x|dx$.

Rezolvare. a) Funcția $x\mapsto {\sin }^{2}x$ este periodică de perioadă $\pi$, pentru că ${\sin }^2(x+\pi )=(-\sin x{)}^2={\sin }^{2}x$. Intervalul $[100\pi ,101\pi ]$ are lungimea $\pi$, exact o perioadă, deci prin Teorema 3 integrala este egală cu cea pe $[0,\pi ]$. Cu formula ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$,

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\sin 2x}{2}\right){|}_0^{\pi }=\frac{\pi }{2}.$$

Deci ${\int }_{100\pi }^{101\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$ — fără să calculăm nimic la $100\pi$.

b) Funcția $x\mapsto |\sin x|$ este periodică de perioadă $\pi$ — nu $2\pi$, ca sinusul. Ruperea modulului se face ca la integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul: pe $[0,\pi ]$ avem $\sin x\ge 0$, deci $|\sin x|=\sin x$ acolo și ${\int }_0^{\pi }|\sin x|dx=-\cos x{|}_0^{\pi }=2$. Cum $[0,3\pi ]$ conține exact trei perioade,

$${\int }_0^{3\pi }|\sin x|dx=3{\int }_0^{\pi }|\sin x|dx=6.$$

Reține contrastul: ${\int }_0^{3\pi }\sin xdx=2$, pentru că acolo semnele se anulează parțial, pe când cu modul contribuțiile se adună. Rezultatele diferă tocmai pentru că modulul schimbă funcția, nu doar scrierea ei.

Exemplul 5. Trucul simetriei la lucru

Calculați ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$.

Rezolvare. Nicio primitivă nu se vede, deci nu o căutăm. Notăm

$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx,J={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx.$$

Aplicăm trucul simetriei lui $I$, cu $a=\frac{\pi }{2}$. Înlocuind $x$ cu $\frac{\pi }{2}-x$, numărătorul $\sin x$ devine $\cos x$, iar numitorul rămâne același, pentru că se schimbă doar ordinea termenilor:

$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx=J.$$

Pe de altă parte, suma celor două este imediată, pentru că numărătorii se adună la numitor:

$$I+J={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}.$$

Din $I=J$ și $I+J=\frac{\pi }{2}$ rezultă $I=\frac{\pi }{4}$. (Verificat numeric: $I\approx 0,785398$.)

Mecanismul e general și merită numit: se arată egalitatea prin trucul simetriei, apoi se calculează suma. Merge identic pentru $\frac{{\sin }^{3}x}{{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}$ sau pentru orice pereche de forma $\frac{p(\sin x)}{p(\sin x)+p(\cos x)}$.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\cos x+{\sin }^{2}x$. Problema are formatul obișnuit al problemei 2 din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Arătați că funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x\cos x$, este impară și calculați ${\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)dx$. (5 puncte)

b) Calculați ${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$. (5 puncte)

c) Arătați că ${\int }_0^{n\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{n\pi }{2}$, pentru orice $n \in \mathbb{N}^{}$. (5 puncte)*

Rezolvare. a) Avem $g(-x)=(-x)\cos (-x)=-x\cos x=-g(x)$ pentru orice $x$ real, deci $g$ este impară (produs între o funcție impară și una pară). Funcția este continuă pe $[-\pi ,\pi ]$, iar intervalul este simetric față de origine, deci Teorema 1 se aplică și ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\cos xdx=0$.

b) Prin liniaritate, ${\int }_{-\pi }^{\pi }f={\int }_{-\pi }^{\pi }x\cos xdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}xdx$. Primul termen este $0$, de la subpunctul a). Al doilea integrand este par, pentru că ${\sin }^2(-x)=(-\sin x{)}^2={\sin }^{2}x$, deci prin Teorema 2 și prin calculul din Exemplul 4,

$${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}xdx=2{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi .$$

Prin urmare ${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx=\pi$.

c) Funcția $x\mapsto {\sin }^{2}x$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și periodică de perioadă $\pi$. Tăiem intervalul $[0,n\pi ]$ în cele $n$ intervale $[0,\pi ]$, $[\pi ,2\pi ]$, …, $[(n-1)\pi ,n\pi ]$, fiecare de lungime $\pi$, și aplicăm aditivitatea, apoi Teorema 3 pe fiecare bucată:

$${\int }_0^{n\pi }{\sin }^{2}xdx=\sum _{k=1}^n{\int }_{(k-1)\pi }^{k\pi }{\sin }^{2}xdx=\sum _{k=1}^n{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=n\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{n\pi }{2}.$$

(Verificat numeric pentru $n\in \{1,2,3,5\}$.)

Să exersăm

1. Arătați că funcția $f(x)=\frac{x^5}{x^4+1}$ este impară și calculați ${\int }_{-3}^{3}f(x)dx$.

2. Calculați ${\int }_{-1}^{1}x{e}^{x^2}dx$.

3. Calculați ${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{x}^3\cos xdx$.

4. Calculați ${\int }_{-1}^1\left(x^4+1\right)dx$, folosind paritatea integrandului.

5. Calculați ${\int }_{-1}^1\left(x^3-3x+2\right)dx$, rupând integrandul după paritate.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $x\mapsto x\sin x$ este impară, deci ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=0$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este impară pe $[-1,2]$, atunci ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=0$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f(x)=\frac{1}{x^3}$ este impară, deci ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=0$."

9. Calculați ${\int }_{-1}^1\frac{x^2}{x^2+1}dx$.

10. Calculați ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}xdx$.

11. Calculați ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$ și comparați rezultatul cu ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx$.

12. Arătați că ${\int }_{\pi /3}^{\pi /3+\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$, fără să calculați primitiva în capetele date.

13. (Problemă aplicată.) Intensitatea unui curent alternativ este $i(t)=I_0\sin t$, iar puterea instantanee disipată pe o rezistență $R$ este $P(t)=R{i}^2(t)$. Arătați că energia disipată pe un interval de lungime $\pi$ nu depinde de momentul în care începe măsurarea și calculați-o.

14. Folosind trucul simetriei, arătați că ${\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{3}x}{{\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}dx=\frac{\pi }{4}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Folosind formula unificată, calculați ${\int }_{-3}^3\frac{dx}{1+e^x}$ și ${\int }_{-1}^1\frac{e^x}{1+e^x}dx$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^3+x}{x^4+x^2+1}+\frac{x^2}{x^2+1}$. Calculați ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$.

17. Aplicând trucul simetriei pe $[0,\pi ]$, arătați că ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\sin xdx$ și regăsiți valoarea $\pi$.

18. (Provocare.) Arătați că ${\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx=\frac{{\pi }^2}{4}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f(-x)=\frac{(-x{)}^5}{(-x{)}^4+1}=\frac{-x^5}{x^4+1}=-f(x)$, deci $f$ este impară; fiind continuă pe intervalul simetric $[-3,3]$, Teorema 1 dă ${\int }_{-3}^{3}f(x)dx=0$. (Verificat numeric: cele două jumătăți sunt $\pm 3,769930$.)

2. Integrandul este produs între funcția impară $x$ și funcția pară $e^{x^2}$, deci este impar, iar intervalul e simetric: integrala este $0$. (Jumătatea din dreapta valorează $\frac{e-1}{2}\approx 0,859141$.)

3. $x^3$ e impară, $\cos x$ e pară, deci produsul e impar; pe intervalul simetric $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ integrala este $0$.

4. Integrandul e par, deci ${\int }_{-1}^1\left(x^4+1\right)dx=2{\int }_0^1\left(x^4+1\right)dx=2\left(\frac{1}{5}+1\right)=\frac{12}{5}$.

5. Partea impară $x^3-3x$ dă $0$; partea pară este constanta $2$, deci ${\int }_{-1}^{1}2dx=2\cdot 2=4$. Rezultatul este $4$.

6. Fals. Produsul a două funcții impare este par, nu impar. Valoarea corectă este $2\pi$ (Exemplul 2). Este cea mai frecventă greșeală de la acest tip de exercițiu.

7. Fals. Teorema cere un interval simetric față de origine, iar $[-1,2]$ nu este. Contraexemplu: ${\int }_{-1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\ne 0$.

8. Fals. Funcția nu este definită în $0$, iar orice prelungire a ei pe $[-1,1]$ este nemărginită; o funcție integrabilă este însă mărginită, deci integrala nici nu există. Nu se poate scrie nicio valoare.

9. Integrandul e par: ${\int }_{-1}^1\frac{x^2}{x^2+1}dx=2{\int }_0^1\left(1-\frac{1}{x^2+1}\right)dx=2\left(1-\frac{\pi }{4}\right)=2-\frac{\pi }{2}$.

10. ${\cos }^2$ e pară, deci integrala este $2{\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}xdx=2\cdot \frac{\pi }{2}=\pi$ (același calcul ca la ${\sin }^2$, cu ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$).

11. ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx=2{\int }_0^{\pi }\sin xdx=4$, pe două perioade; în schimb ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=-\cos x{|}_0^{2\pi }=0$, pentru că a doua jumătate este negativă și o anulează pe prima.

12. Intervalul $\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}+\pi \right]$ are lungimea $\pi$, adică exact perioada funcției ${\sin }^2$. Prin Teorema 3, integrala este egală cu ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$.

13. $P(t)=R{I}_0^2{\sin }^{2}t$ este periodică de perioadă $\pi$, deci prin Teorema 3 integrala ei pe orice interval de lungime $\pi$ este aceeași: ${\int }_a^{a+\pi }P(t)dt=R{I}_0^2{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}tdt=\frac{\pi R{I}_0^2}{2}$ (unități de energie). Aici se vede de ce valoarea eficace a curentului este $\frac{I_0}{\sqrt{2}}$.

14. Cu $x\to \frac{\pi }{2}-x$, integrala $I$ devine ${\int }_0^{\pi /2}\frac{{\cos }^{3}x}{{\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x}dx=J$, iar $I+J={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$; deci $I=\frac{\pi }{4}$.

15. Cu $f(x)=\frac{1}{1+e^x}$ avem $f(x)+f(-x)=1$, deci formula unificată dă ${\int }_{-3}^{3}f(x)dx={\int }_0^{3}1dx=3$. Pentru a doua, $g(x)=\frac{e^x}{1+e^x}=1-f(x)$, deci $g(x)+g(-x)=2-1=1$ și ${\int }_{-1}^{1}g(x)dx=1$. (Verificat numeric: ${\int }_{-1}^{1}f=1$, iar $f+g=1$ pe tot intervalul.)

16. Primul termen este impar (numărătorul impar, numitorul par), deci dă $0$; al doilea este par și, de la exercițiul 9, dă $2-\frac{\pi }{2}$. Rezultatul este $2-\frac{\pi }{2}$.

17. Trucul simetriei cu $a=\pi$: ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx={\int }_0^{\pi }(\pi -x)\sin (\pi -x)dx={\int }_0^{\pi }(\pi -x)\sin xdx$. Notând $A$ integrala cerută, obținem $A=\pi {\int }_0^{\pi }\sin xdx-A$, deci $2A=\pi \cdot 2$ și $A=\pi$ — aceeași valoare ca prin părți, în Exemplul 2.

18. Fie $A$ integrala cerută. Trucul simetriei cu $a=\pi$ dă $A={\int }_0^{\pi }\frac{(\pi -x)\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$, pentru că $\sin (\pi -x)=\sin x$ și ${\cos }^2(\pi -x)={\cos }^{2}x$. Adunând cele două scrieri, $2A=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$. Ultima integrală se face cu schimbarea de variabilă $u(x)=\cos x$: ea devine $-{\int }_1^{-1}\frac{dt}{1+t^2}=\mathrm{arctg}t{|}_{-1}^1=\frac{\pi }{2}$. Deci $2A=\frac{{\pi }^2}{2}$ și $A=\frac{{\pi }^2}{4}$. (Verificat numeric: $2,467401$.)

De reținut

• Integrala unei funcții impare și integrabile pe un interval simetric $[-a,a]$ este nulă, iar integrala unei funcții pare pe același interval este dublul integralei pe $[0,a]$.
• Ambele formule sunt aplicații ale schimbării de variabilă cu $x=-t$, nu rețete de memorat: la examen se cere demonstrația sau măcar invocarea corectă a substituției.
• Produsul a două funcții impare este o funcție pară, deci ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=2\pi$, nu $0$.
• Integrala unei funcții continue și periodice pe un interval de lungime egală cu perioada nu depinde de capătul din care pornești, iar pe $n$ perioade valoarea se înmulțește cu $n$.
• Trucul simetriei, ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$, rezolvă integralele care nu au primitivă vizibilă: se arată o egalitate, apoi se calculează suma.

Greșeli frecvente

• Declari impar un produs de două funcții impare. $x\sin x$, $x^3\sin x$, $x\mathrm{tg}x$ sunt pare. Verifică întotdeauna cu definiția, calculând efectiv $f(-x)$, nu din obișnuință.
• Aplici scurtătura fără să verifici integrabilitatea. Pentru $f(x)=\frac{1}{x^3}$, impară pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, scrierea ${\int }_{-1}^{1}f=0$ este falsă: funcția e nemărginită, deci nu e integrabilă pe $[-1,1]$, iar integrala nu există.
• Folosești teorema pe un interval nesimetric. Pe $[-1,2]$ nicio funcție impară nu are integrala automat nulă; simetria intervalului este o ipoteză, nu un detaliu.
• Uiți factorul $2$ la funcțiile pare. Rezultatul ${\int }_0^{a}f$ este doar jumătatea răspunsului; jumătate din punctele subpunctului se pierd exact aici.
• Confunzi ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx$ cu ${\int }_0^{2\pi }\sin xdx$. Prima valorează $4$, a doua $0$: modulul schimbă funcția, iar periodicitatea se aplică funcției cu modul, care are perioada $\pi$.

Aplică acasă

1. Fișa celor patru formule. Scrie pe o singură foaie cele patru enunțuri ale lecției — impară, pară, periodică, trucul simetriei — și, sub fiecare, substituția din care iese și ipoteza care trebuie verificată. Ține foaia lângă tine la următoarele zece integrale definite pe care le rezolvi și bifează, de fiecare dată, formula pe care ai folosit-o.

2. Vânătoarea de simetrii. Ia douăzeci de integrale definite dintr-o culegere, fără să le rezolvi, și clasifică-le în trei grămezi: „se anulează din paritate", „se înjumătățește munca", „nu ajută simetria". Verifică apoi doar primele două grămezi, calculând efectiv. Vei descoperi că prima grămadă e mai mare decât credeai.

3. Perioada mutată. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției ${\sin }^2$ pe intervalul $[0,3\pi ]$ și decupează, cu foarfeca, banda de sub grafic dintre $x=\frac{\pi }{3}$ și $x=\frac{\pi }{3}+\pi$. Suprapune-o peste banda dintre $0$ și $\pi$: bucata care iese în dreapta acoperă exact golul din stânga. Este demonstrația Teoremei 3, făcută cu mâna.

Pentru părinți și profesori

Lecția aplică schimbarea de variabilă la trei substituții-cheie și obține patru rezultate care apar constant în subiectele de examen. Nu introduce nicio noțiune nouă: totul se sprijină pe formula schimbării de variabilă, pe aditivitatea în raport cu intervalul și pe definițiile parității și periodicității, învățate în clasa a IX-a. Competențele acoperite sunt XII.CS.3.6 și XII.CS.4.6.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea corectă a parității, mai ales la produse; (2) capacitatea de a demonstra formulele, nu doar de a le aplica; (3) verificarea ipotezei de integrabilitate înainte de a folosi o scurtătură; (4) folosirea periodicității pentru a muta un interval de integrare; (5) mecanismul „egalitate, apoi sumă" al trucului simetriei.

Întrebări bune de control: „De ce nu e $x\sin x$ o funcție impară?", „Ce substituție ai folosit și cum s-au transformat limitele?", „Ce ipoteză trebuie verificată înainte de a scrie că integrala e zero?", „De ce integrala pe o perioadă nu depinde de capăt?". Semn că elevul a înțeles: înainte de orice integrală pe $[-a,a]$ se uită întâi la paritate și abia apoi caută primitiva. La BAC, o astfel de cerință apare de regulă ca subpunct a) sau b) al problemei de analiză, valorând $5$ puncte care se pot lua în două rânduri.

Recomandare practică: exercițiile 15 și 16 sunt formulate exact în stilul examenului și merită rezolvate cu cronometrul, în cel mult cinci minute fiecare. Lecția următoare adună toată unitatea într-o sinteză cu probleme rezolvate în formatul subiectelor de examen.

Întrebări frecvente

Cât este integrala unei funcții impare pe un interval simetric?

Este $0$, cu condiția ca funcția să fie integrabilă pe tot intervalul $[-a,a]$. Motivul: prin substituția $x=-t$, integrala pe $[-a,0]$ devine opusa integralei pe $[0,a]$, iar cele două se anulează la adunare. Ipoteza de integrabilitate nu e formală — fără ea, ca la $\frac{1}{x^3}$ pe $[-1,1]$, integrala pur și simplu nu există.

Cum se calculează integrala unei funcții pare?

Se calculează integrala pe jumătatea din dreapta și se înmulțește cu $2$: ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$. Este util pentru că jumătatea din dreapta are, de multe ori, o expresie mai simplă — de exemplu $|x|$ devine $x$, iar radicalii își pierd modulul. Factorul $2$ se uită des; scrie-l înainte de a începe calculul.

De ce este $x\sin x$ o funcție pară?

Pentru că este produsul a două funcții impare, iar produsul a două funcții impare este par: $(-x)\sin (-x)=(-x)\cdot (-\sin x)=x\sin x$. Este exact regula semnelor. Consecința practică: ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=2{\int }_0^{\pi }x\sin xdx=2\pi$, nu $0$, cum se scrie din grabă.

Ce este trucul simetriei la integrale?

Este egalitatea ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$, obținută din schimbarea de variabilă $x=a-t$, care duce intervalul $[0,a]$ în el însuși cu capetele schimbate. Se folosește atunci când primitiva nu se vede: se arată că două integrale sunt egale, apoi se calculează suma lor, care de obicei este banală.

Cum se calculează integrala unei funcții periodice?

Pe un interval de lungime egală cu perioada $T$, integrala are aceeași valoare oriunde ai începe: ${\int }_a^{a+T}f={\int }_0^{T}f$. Pe $n$ perioade, valoarea se înmulțește cu $n$. Practic, o integrală de la $100\pi$ la $101\pi$ se mută la $[0,\pi ]$ și se calculează acolo, fără niciun calcul urât în capete.

Când nu se aplică formula pentru funcții impare?

Când intervalul nu este simetric față de origine, sau când funcția nu este integrabilă pe el. Primul caz: pe $[-1,2]$ integrala lui $x$ este $\frac{3}{2}$, nu $0$. Al doilea caz: $\frac{1}{x^3}$ este impară, dar nemărginită în jurul lui $0$, iar orice funcție integrabilă este mărginită.

Cum arăt că ${\int }_0^{\pi /2}f(\sin x)dx={\int }_0^{\pi /2}f(\cos x)dx$?

Se aplică trucul simetriei cu $a=\frac{\pi }{2}$ și se folosesc formulele $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$ și $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Egalitatea rezultă imediat, iar ea stă la baza celor mai cunoscute exerciții de tip Bacalaureat M1 cu fracții trigonometrice, ca $\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$.

Ce se punctează la examen la acest tip de exercițiu?

Justificarea parității sau a periodicității, scrisă explicit prin calculul lui $f(-x)$ sau $f(x+T)$, apoi invocarea formulei potrivite și, la final, calculul integralei rămase. Baremele acordă puncte separate pentru justificare și pentru calcul, deci un rezultat corect fără justificarea simetriei pierde jumătate din subpunct.