Părți: alegerea și aplicarea repetată: pe scurt

Regula descreșterii decide, în orice integrală, cine se derivează: factorul care se simplifică prin derivare (logaritm, arctangentă, polinom) și se integrează cel care nu se complică prin integrare ($e^{ax}$, $\sin ax$, $\cos ax$, puteri). Ordinea de prioritate la derivare este $\ln x$, $\mathrm{arctg}x$, $\arcsin x$, apoi $x^n$, apoi $e^{ax}$, $\sin ax$, $\cos ax$: cel care stă mai la stânga se derivează.

La $\int P(x)e^{ax}dx$ și la $\int P(x)\sin axdx$ formula se aplică de exact atâtea ori cât este gradul lui $P$, păstrând aceeași repartiție a rolurilor; dacă la a doua aplicare schimbi rolurile, te întorci de unde ai plecat.

Tipul circular $\int e^{ax}\sin bxdx$ se rezolvă altfel: se scrie „fie $I$ o primitivă a funcției”, se aplică formula de două ori, iar egalitatea obținută se tratează ca ecuație cu necunoscuta $I$; la numitor apare $a^2+b^2$, iar $\mathcal{C}$ se adaugă abia la final. Același truc rezolvă $\int \sqrt{x^2+a^2}dx$, prin părți cu factorul $1$ și rescrierea $x^2=\left(x^2+a^2\right)-a^2$.

Când integrala depinde de un număr natural $n$, aceeași aplicare repetată dă o relație de recurență între termeni.

Exerciții din această mini-lecție

1. În $\int x^2{e}^{5x}dx$, conform ordinii de prioritate la derivare, se derivează:

   • a) niciunul: integrala nu se rezolvă prin părți
   • b) $e^{5x}$
   • c) $x^2$
   • d) ambii factori, pe rând
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x^2$

   Puterea $x^2$ stă la stânga exponențialei în ordinea de prioritate, deci ea se derivează și coboară la $2x$, apoi la $2$; exponențiala $e^{5x}$ se integrează fără să se complice. Alegerea inversă urcă gradul la $x^3$, apoi la $x^4$: integrala rămasă devine mai grea, semn sigur de repartiție greșită.

2. Pe $\mathbb{R}$, $\int e^{3x}\sin xdx$ este egală cu:

   • a) $\frac{e^{3x}(3\sin x+\cos x)}{10}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{e^{3x}(3\sin x-\cos x)}{10}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{e^{3x}(\sin x-3\cos x)}{10}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{e^{3x}(3\sin x-\cos x)}{4}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{e^{3x}(3\sin x-\cos x)}{10}+\mathcal{C}$

   Fie $I$ o primitivă; două aplicări cu aceeași repartiție dau $I=\frac{e^{3x}(3\sin x-\cos x)}{10}$, cu numitorul $a^2+b^2=9+1=10$. Verificare prin derivare: $\frac{3e^{3x}(3\sin x-\cos x)+e^{3x}(3\cos x+\sin x)}{10}=\frac{10e^{3x}\sin x}{10}=e^{3x}\sin x$.

3. Pentru a calcula $\int x^4\cos xdx$, formula de integrare prin părți se aplică de:

   • a) o dată
   • b) două ori
   • c) trei ori
   • d) patru ori
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) patru ori

   Fiecare aplicare coboară gradul polinomului cu o unitate: $x^4\to x^3\to x^2\to x\to 1$, deci sunt necesare patru aplicări, toate cu aceeași repartiție (se derivează puterea, se integrează funcția trigonometrică). Numărul de aplicări este egal cu gradul polinomului.