Cum calculez integrala din radical din x² + a²?

Aplici formula cu factorul 1, adică derivezi radicalul și integrezi pe 1; apoi, în integrala rămasă, scrii x² = (x² + a²) - a² și rupi fracția în două. Reapare integrala inițială, iar ecuația obținută dă (x √(x² + a²))/2 + a²/2ln(x + √(x² + a²)) + C.

Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Integrarea prin părți: alegerea părților și aplicarea repetată

Integrarea prin părți: alegerea părților și aplicarea repetată

Q: De câte ori se aplică formula de integrare prin părți?

De atâtea ori cât e gradul polinomului din integrand: la ∫ x²e^(x) dx de două ori, la ∫ x³sin x dx de trei ori. La fiecare aplicare gradul scade cu o unitate, până când polinomul dispare și rămâne o integrală din tabel. Excepție fac tipul circular și radicalii, unde două aplicări duc la o ecuație.

Q: Cât este integrala din e^(x)sin x?

Rezultatul este ∫ e^(x)sin x dx = (e^(x)(sin x - cos x))/2 + C. Se obține notând cu I o primitivă, aplicând formula de două ori cu aceeași repartiție a rolurilor și rezolvând ecuația I = e^(x)sin x - e^(x)cos x - I. La forma generală ∫ e^(ax)sin bx dx, la numitor apare întotdeauna a² + b².

Formula de integrare prin părți nu greșește niciodată, dar te poate lăsa pe loc. Ea e adevărată pentru orice împărțire a integrandului în doi factori, iar dintre cele două împărțiri posibile una duce la o integrală mai simplă, cealaltă la una mai grea — la clasa a 12-a, diferența dintre o rezolvare de trei rânduri și un calcul care nu se mai termină ține exact de această alegere. Lecția de față îi dă un criteriu, un nume și un tabel.

Al doilea lucru pe care îl învață lecția este că metoda se poate aplica de mai multe ori. La $\int x^{2} e^{x} d x$ o singură aplicare nu ajunge: puterea coboară de la $2$ la $1$ , deci mai e nevoie de un pas. Iar la $\int e^{x} sin x d x$ se întâmplă ceva neașteptat — după două aplicări reapare integrala de la care ai pornit, iar egalitatea obținută se rezolvă ca o ecuație. Aceste trei situații (alegerea, repetarea, cazul circular) acoperă aproape tot ce ți se cere din integrarea prin părți la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

Vei ști să aplici regula descreșterii pentru a decide, în orice integrală, cine se derivează și cine se integrează.
Vei ști să folosești tabelul „cine se derivează / cine se integrează" și ordinea de prioritate dintre logaritmi, polinoame și exponențiale.
Vei ști să aplici formula de două sau de mai multe ori, la integrale de tipul $\int x^{2} e^{x} d x$ și $\int x^{2} sin x d x$ .
Vei ști să rezolvi tipul circular, $\int e^{a x} sin b x d x$ , tratând egalitatea obținută ca pe o ecuație cu necunoscuta $I$ .
Vei ști să calculezi $\int x^{2} + a^{2} d x$ prin părți, cu trucul $x^{2} = (x^{2} + a^{2}) - a^{2}$ .
Vei ști să recunoști integralele care depind de un număr natural $n$ și să scrii relația de recurență dintre ele.

Hai să descoperim împreună

1. Cine se derivează și cine se integrează?

Regula descreșterii este criteriul de alegere a părților: se derivează factorul care se simplifică prin derivare — polinomul, logaritmul, arctangenta —, iar celălalt factor, cel care nu se complică prin integrare — $e^{a x}$ , $sin a x$ , $cos a x$ , o putere —, se integrează. Numele vine de la ce se întâmplă cu integrala rămasă: ea trebuie să descrească în dificultate față de cea de la care ai pornit.

Tabelul de mai jos strânge tot ce ai de reținut. Coloana din stânga adună funcțiile care, derivate, devin mai simple; coloana din dreapta, pe cele care, integrate, rămân de aceeași formă.

Se derivează (devine mai simplu)	Se integrează (rămâne de aceeași formă)
$ln x$ , $ln^{2} x$ (adică $(ln x)^{2}$ ) — logaritmul dispare sau își coboară puterea	$e^{a x}$ — rămâne exponențială
$arctg x$ , $arcsin x$ — devin funcții raționale sau cu radical	$sin a x$ , $cos a x$ — rămân trigonometrice
$x^{n}$ — gradul scade cu $1$ la fiecare pas	$x^{n}$ — gradul crește cu $1$ , dar rămâne polinom

Funcția $x^{n}$ apare în ambele coloane, și asta nu e o scăpare: puterea se derivează când e înmulțită cu o exponențială sau cu o funcție trigonometrică, dar se integrează când e înmulțită cu un logaritm sau cu o funcție trigonometrică inversă. Ca să nu ai de ales de fiecare dată, reține ordinea de prioritate la derivare, așezată pe trei trepte: pe prima stau $ln x$ și funcțiile trigonometrice inverse $arctg x$ , $arcsin x$ ; pe a doua, puterile $x^{n}$ ; pe a treia, $e^{a x}$ , $sin a x$ și $cos a x$ . Dintre cei doi factori ai integrandului se derivează cel aflat pe treapta mai de sus, iar celălalt se integrează. Astfel, la $x^{2} ln x$ se derivează logaritmul, iar la $x^{2} e^{x}$ se derivează puterea — două alegeri opuse pentru același $x^{2}$ , ambele date de aceeași regulă.

Ordinea are o explicație, nu e o listă de memorat pe dinafară: logaritmul și funcțiile inverse nu au primitive în tabel (le-ai calculat, în Integrarea prin părți: formula și primele aplicații, tocmai prin părți), deci nu pot sta pe locul lui $g^{'}$ ; exponențialele și funcțiile trigonometrice se integrează fără efort, deci e păcat să le derivezi; polinoamele rămân la mijloc, pentru că se comportă bine în ambele sensuri, dar derivate dispar după un număr finit de pași.

2. Ce integrale se rezolvă prin părți — și care nu?

Cu regula descreșterii în mână, tipurile care apar la Bacalaureat M1 se recunosc dintr-o privire:

polinom $\times$ exponențială, $\int P (x) e^{a x} d x$ — se derivează polinomul, de atâtea ori cât e gradul lui;
polinom $\times$ funcție trigonometrică, $\int P (x) sin a x d x$ și $\int P (x) cos a x d x$ — la fel;
polinom $\times$ logaritm sau funcție inversă, $\int P (x) ln x d x$ , $\int P (x) arctg x d x$ — se derivează logaritmul, respectiv arctangenta, o singură dată;
exponențială $\times$ funcție trigonometrică, $\int e^{a x} sin b x d x$ — tipul circular, rezolvat ca ecuație (subsecțiunea 5);
radicali de forma $x^{2} \pm a^{2}$ și $a^{2} - x^{2}$ — cu factorul $1$ și cu trucul din subsecțiunea 7.

La fel de important e să știi când metoda nu e cea potrivită. Integrala $\int x e^{x^{2}} d x$ arată ca un produs polinom–exponențială, dar niciuna dintre cele două alegeri nu duce nicăieri. Dacă vrei să derivezi $x$ , la pasul 2 îți trebuie o primitivă a lui $e^{x^{2}}$ — iar ea nu se poate scrie cu funcțiile pe care le cunoști, deci rezolvarea se oprește înainte de a începe. Dacă alegi invers, derivând exponențiala și integrând puterea, obții $\int x^{3} e^{x^{2}} d x$ , adică o integrală mai grea decât cea inițială. Și totuși funcția de la care am plecat, $x e^{x^{2}}$ , are o primitivă simplă: $\frac{e ^{x^{2}}}{2}$ , cum se verifică imediat prin derivare cu regula compunerii din Derivarea funcțiilor compuse — numai că drumul spre ea trece prin cealaltă metodă de integrare, cea din Schimbarea de variabilă: formula și justificarea ei. Semnul care le deosebește: la integrarea prin părți cei doi factori sunt independenți, la cealaltă metodă unul dintre ei este derivata a ceea ce apare în interiorul celuilalt.

3. Cum coboară puterea la aplicarea repetată?

La $\int x^{2} e^{x} d x$ regula descreșterii spune să derivăm $x^{2}$ : alegem $f (x) = x^{2}$ , $g^{'} (x) = e^{x}$ , deci $f^{'} (x) = 2 x$ și $g (x) = e^{x}$ : $\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x .$ Integrala rămasă e mai simplă — gradul a scăzut de la $2$ la $1$ —, dar nu e încă în tabel. Aplicăm formula a doua oară, cu aceeași alegere ca în lecția precedentă: $\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C$ . Înlocuim: $\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 (x - 1) e^{x} + C = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C .$ Verificare prin derivare: $((x^{2} - 2 x + 2) e^{x})^{'} = (2 x - 2) e^{x} + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} = x^{2} e^{x}$ . ✓

Regula practică se citește pe grad: la $\int P (x) e^{a x} d x$ formula se aplică de exact atâtea ori cât e gradul lui $P$ . Un polinom de gradul al treilea cere trei aplicări, unul de gradul întâi doar una. La fiecare pas se păstrează aceeași alegere — se derivează mereu polinomul, se integrează mereu exponențiala. Dacă la al doilea pas schimbi rolurile, te întorci de unde ai plecat; e fix greșeala „am schimbat rolurile", de care ai fost avertizat, și pe care o vei vedea la lucru în subsecțiunea 6.

4. Aceeași repetare, cu funcții trigonometrice

La $\int x^{2} sin x d x$ pornim identic: $f (x) = x^{2}$ se derivează, $g^{'} (x) = sin x$ se integrează, deci $g (x) = - cos x$ : $\int x^{2} sin x d x = - x^{2} cos x + 2 \int x cos x d x .$ Din lecția precedentă, $\int x cos x d x = x sin x + cos x + C$ , deci $\int x^{2} sin x d x = - x^{2} cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C .$ Rezultatul are trei termeni, ca orice integrală de acest tip: câte unul pentru fiecare treaptă a coborârii, plus cel final. Analog, cu aceeași metodă, $\int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C,$ rezultat pe care îl vei obține singur în exerciții și îl poți controla oricând prin derivare.

Merită observat cum se comportă semnele: la sinus alternanța începe cu minus, la cosinus cu plus, iar coeficienții $1, 2, 2$ sunt exact numerele care apar când derivezi succesiv $x^{2}$ ( $2 x$ , apoi $2$ ). Nu învăța rezultatele pe de rost — învață mecanismul; el funcționează la fel pentru $x^{3}$ , unde vor apărea patru termeni.

5. Cum rezolvi tipul circular, $\int e^{x} sin x d x$ ?

Aici niciun factor nu se simplifică prin derivare: exponențiala rămâne exponențială, sinusul devine cosinus. Regula descreșterii nu are ce alege, deci alegerea nu contează — important e să o păstrezi la al doilea pas. Notăm cu $I$ o primitivă a funcției $e^{x} sin x$ pe $R$ (o singură funcție, nu mulțimea; constanta se adaugă la sfârșit) și, la fel, cu $J$ o primitivă a lui $e^{x} cos x$ .

Prima aplicare, cu $f (x) = sin x$ (se derivează) și $g^{'} (x) = e^{x}$ (se integrează): $I = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x = e^{x} sin x - J .$ A doua aplicare, la $J$ , cu aceeași repartiție a rolurilor — se derivează tot funcția trigonometrică, se integrează tot exponențiala: $J = e^{x} cos x - \int e^{x} (- sin x) d x = e^{x} cos x + I .$ Înlocuim $J$ în prima egalitate și obținem o ecuație cu necunoscuta $I$ : $I = e^{x} sin x - e^{x} cos x - I ⟹ 2 I = e^{x} (sin x - cos x) .$ De aici $I = \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2}$ , deci mulțimea primitivelor este $\int e^{x} sin x d x = \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2} + C .$ Verificare: derivata lui $\frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2}$ este $\frac{e ^{x} ( sin x - cos x ) + e ^{x} ( cos x + sin x )}{2} = e^{x} sin x$ . ✓ Cu același calcul, pornit de la $J$ , se obține $\int e^{x} cos x d x = \frac{e ^{x} ( sin x + cos x )}{2} + C$ .

De ce e legitim să „trecem $I$ în stânga", când în lecția precedentă am văzut că nu ai voie să reduci integralele din cei doi membri? Pentru că aici nu reducem nimic: $I$ este o funcție fixată, nu o mulțime, iar $2 I = \dots$ se împarte la $2$ ca orice egalitate de funcții. Constanta apare o singură dată, la trecerea înapoi de la funcție la mulțimea primitivelor. Redactarea aceasta — „fie $I$ o primitivă", ecuația, apoi $+ C$ — este cea așteptată în barem.

6. Ce se întâmplă dacă schimbi rolurile la a doua aplicare?

Reia calculul de mai sus, dar la pasul al doilea derivează exponențiala și integrează cosinusul: $f (x) = e^{x}$ , $g^{'} (x) = cos x$ , deci $g (x) = sin x$ . Atunci $J = e^{x} sin x - \int e^{x} sin x d x = e^{x} sin x - I,$ iar înlocuirea în $I = e^{x} sin x - J$ dă $I = e^{x} sin x - e^{x} sin x + I = I .$ Ai obținut o identitate adevărată, dar complet nefolositoare: calculul s-a întors exact de unde a plecat. Aceasta e forma cea mai curată a greșelii „am schimbat rolurile" — nu apare niciun rezultat fals, doar unul vid. Morala, valabilă la toate aplicările repetate: rolurile se stabilesc o dată și se păstrează până la capăt.

7. Radicalul $x^{2} + a^{2}$ și trucul $x^{2} = (x^{2} + a^{2}) - a^{2}$

Fie $a > 0$ și $I$ o primitivă a funcției $x^{2} + a^{2}$ pe $R$ . Aplicăm formula cu factorul $1$ , ca la $ln x$ : $f (x) = x^{2} + a^{2}$ , cu $f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}$ (regula de derivare a funcțiilor compuse), și $g^{'} (x) = 1$ , cu $g (x) = x$ : $I = x x^{2} + a^{2} - \int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + a ^{2}} d x .$ Integrala rămasă pare mai grea, dar aici intervine trucul, foarte des întâlnit în subiectele de Bacalaureat M1: la numărător scriem $x^{2} = (x^{2} + a^{2}) - a^{2}$ și rupem fracția în două: $\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + a ^{2}} d x = \int \frac{x ^{2} + a ^{2}}{x ^{2} + a ^{2}} d x - a^{2} \int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x = I - a^{2} ln (x + x^{2} + a^{2}),$ unde am folosit $\frac{x ^{2} + a ^{2}}{x ^{2} + a ^{2}} = x^{2} + a^{2}$ și rândul 13 al tabelului, $\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$ , din Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm. Am ajuns din nou la o ecuație în $I$ : $I = x x^{2} + a^{2} - I + a^{2} ln (x + x^{2} + a^{2}),$ de unde $2 I = x x^{2} + a^{2} + a^{2} ln (x + x^{2} + a^{2})$ și $\int x^{2} + a^{2} d x = \frac{x x ^{2} + a ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln (x + x^{2} + a^{2}) + C .$ Pentru $a = 2$ formula dă $\frac{x x ^{2} + 4}{2} + 2 ln (x + x^{2} + 4) + C$ , rezultat verificat prin derivare.

Același drum, cu același truc, rezolvă și celelalte două radicale din tabelul primitivelor. Pe $(a, + \infty)$ , folosind rândul 14, $\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$ , și descompunerea $x^{2} = (x^{2} - a^{2}) + a^{2}$ : $\int x^{2} - a^{2} d x = \frac{x x ^{2} - a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{2} ln x + x^{2} - a^{2} + C,$ iar pe $(- a, a)$ , cu rândul 15, $\frac{1}{a ^{2} - x ^{2}}$ , și cu $x^{2} = a^{2} - (a^{2} - x^{2})$ : $\int a^{2} - x^{2} d x = \frac{x a ^{2} - x ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2} arcsin \frac{x}{a} + C .$ Ultima o vei obține singur în ultimul exercițiu. Reține tiparul comun al celor trei: jumătate din produsul $x$ cu radicalul, plus jumătate din $a^{2}$ înmulțită cu primitiva lui $\frac{1}{radical}$ — cu semnul minus în cazul din mijloc, singurul în care descompunerea adaugă, în loc să scadă, termenul $a^{2}$ .

8. Ce faci când integrala depinde de un număr natural $n$ ?

Uneori nu ai de calculat o integrală, ci un șir de integrale. Fie, pentru $n \in N$ , $I_{n}$ o primitivă a funcției $x^{n} e^{x}$ pe $R$ . O singură aplicare a formulei, cu $f (x) = x^{n}$ și $g^{'} (x) = e^{x}$ , leagă termenul de rang $n$ de cel de dinaintea lui: $I_{n} = x^{n} e^{x} - n I_{n - 1}, n \geq 1, I_{0} = e^{x} .$ O astfel de egalitate se numește relație de recurență, iar din ea se coboară până la $I_{0}$ : $I_{1} = x e^{x} - I_{0} = (x - 1) e^{x}$ , apoi $I_{2} = x^{2} e^{x} - 2 I_{1} = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$ , apoi $I_{3} = x^{3} e^{x} - 3 I_{2} = (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6) e^{x} .$ Toți acești termeni se verifică prin derivare, iar $I_{2}$ coincide, cum trebuie, cu rezultatul obținut direct în subsecțiunea 3.

Aici ne oprim: relațiile de recurență au o lecție a lor, Relații de recurență pentru integrale nedefinite, unde vei întâlni și celelalte șiruri clasice. Reține deocamdată doar ideea: când în integrand apare un exponent natural $n$ , nu încerca să calculezi termenul general dintr-o dată — leagă-l prin părți de termenul anterior.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două aplicări, cu exponențială descrescătoare

Calculați $\int x^{2} e^{- x} d x$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Se derivează $x^{2}$ , se integrează $e^{- x}$ , cu $g (x) = - e^{- x}$ : $\int x^{2} e^{- x} d x = - x^{2} e^{- x} + 2 \int x e^{- x} d x .$ A doua aplicare, cu aceeași repartiție: $\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} + \int e^{- x} d x = - (x + 1) e^{- x} + C$ . Înlocuim: $\int x^{2} e^{- x} d x = - x^{2} e^{- x} - 2 (x + 1) e^{- x} + C = - (x^{2} + 2 x + 2) e^{- x} + C .$ (Verificat prin derivare și numeric, în trei puncte.) ✓

Exemplul 2 — Polinom de gradul al doilea cu sinus

Calculați $\int (x^{2} + 1) sin x d x$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Derivăm polinomul, integrăm sinusul, $g (x) = - cos x$ : $\int (x^{2} + 1) sin x d x = - (x^{2} + 1) cos x + \int 2 x cos x d x .$ Din subsecțiunea 4 a lecției precedente, $\int x cos x d x = x sin x + cos x + C$ , deci integrala rămasă este $2 x sin x + 2 cos x$ . Prin urmare $\int (x^{2} + 1) sin x d x = - (x^{2} + 1) cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C = - (x^{2} - 1) cos x + 2 x sin x + C .$ La ultimul pas s-au adunat termenii cu $cos x$ : $- (x^{2} + 1) + 2 = - x^{2} + 1$ . (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 3 — Tip circular cu coeficient

Calculați $\int e^{2 x} sin x d x$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Fie $I$ o primitivă a lui $e^{2 x} sin x$ și $J$ una a lui $e^{2 x} cos x$ . Derivăm funcția trigonometrică, integrăm exponențiala, cu $g (x) = \frac{e ^{2 x}}{2}$ : $I = \frac{e ^{2 x}}{2} sin x - \frac{1}{2} \int e^{2 x} cos x d x = \frac{e ^{2 x} sin x}{2} - \frac{J}{2}, J = \frac{e ^{2 x} cos x}{2} + \frac{I}{2} .$ Înlocuim a doua egalitate în prima: $I = \frac{e ^{2 x} sin x}{2} - \frac{e ^{2 x} cos x}{4} - \frac{I}{4} ⟹ \frac{5 I}{4} = \frac{e ^{2 x} ( 2 sin x - cos x )}{4} .$ De aici $I = \frac{e ^{2 x} ( 2 sin x - cos x )}{5}$ , deci $\int e^{2 x} sin x d x = \frac{e ^{2 x} ( 2 sin x - cos x )}{5} + C .$ Numitorul $5 = 2^{2} + 1^{2}$ nu e o coincidență: la $\int e^{a x} sin b x d x$ apare mereu $a^{2} + b^{2}$ . (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 4 — Radical, cu trucul din subsecțiunea 7

Calculați $\int x^{2} + 9 d x$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Aplicăm formula cu $a = 3$ . Cu $f (x) = x^{2} + 9$ , $f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 9}$ , și $g^{'} (x) = 1$ , $g (x) = x$ , notând cu $I$ o primitivă: $I = x x^{2} + 9 - \int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 9} d x = x x^{2} + 9 - I + 9 ln (x + x^{2} + 9),$ unde am folosit $x^{2} = (x^{2} + 9) - 9$ . Rezultă $2 I = x x^{2} + 9 + 9 ln (x + x^{2} + 9)$ , deci $\int x^{2} + 9 d x = \frac{x x ^{2} + 9}{2} + \frac{9}{2} ln (x + x^{2} + 9) + C .$ (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 5 — Putere înmulțită cu arctangentă

Calculați $\int x^{2} arctg x d x$ , $x \in R$ .

Rezolvare. Ordinea de prioritate cere să derivăm arctangenta: $f (x) = arctg x$ , $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , iar $g^{'} (x) = x^{2}$ , $g (x) = \frac{x ^{3}}{3}$ : $\int x^{2} arctg x d x = \frac{x ^{3}}{3} arctg x - \frac{1}{3} \int \frac{x ^{3}}{1 + x ^{2}} d x .$ Fracția rămasă se împarte, ca la orice funcție rațională cu numărătorul de grad mai mare: $\frac{x ^{3}}{1 + x ^{2}} = x - \frac{x}{1 + x ^{2}}$ , iar primitivele ambilor termeni se recunosc prin derivare, deci integrala rămasă este $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2})$ . Rezultatul final: $\int x^{2} arctg x d x = \frac{x ^{3}}{3} arctg x - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{1}{6} ln (1 + x^{2}) + C .$ (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 3 x + 1) e^{x}$ . a) Arătați că funcția $G : R \to R$ , $G (x) = (x^{2} - 5 x + 6) e^{x}$ , este o primitivă a lui $f$ . b) Determinați $\int (x^{2} - 3 x + 1) e^{x} d x$ , aplicând de două ori formula de integrare prin părți. c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F (0) = 0$ .

Rezolvare.

a) $G$ este derivabilă pe $R$ , fiind produs de funcții derivabile, și $G^{'} (x) = (2 x - 5) e^{x} + (x^{2} - 5 x + 6) e^{x} = (x^{2} - 3 x + 1) e^{x} = f (x),$ pentru orice $x \in R$ , pentru că $2 x - 5 + x^{2} - 5 x + 6 = x^{2} - 3 x + 1$ .

b) Derivăm polinomul, integrăm exponențiala: $\int (x^{2} - 3 x + 1) e^{x} d x = (x^{2} - 3 x + 1) e^{x} - \int (2 x - 3) e^{x} d x .$ A doua aplicare, cu aceeași repartiție a rolurilor: $\int (2 x - 3) e^{x} d x = (2 x - 3) e^{x} - 2 e^{x} + C = (2 x - 5) e^{x} + C$ . Prin urmare $\int (x^{2} - 3 x + 1) e^{x} d x = (x^{2} - 3 x + 1 - 2 x + 5) e^{x} + C = (x^{2} - 5 x + 6) e^{x} + C,$ adică exact funcția de la punctul a).

c) Primitivele lui $f$ pe $R$ sunt $F (x) = (x^{2} - 5 x + 6) e^{x} + c$ . Din $F (0) = 0$ obținem $6 + c = 0$ , deci $c = - 6$ și $F (x) = (x^{2} - 5 x + 6) e^{x} - 6.$ (Verificat numeric: $F^{'} = f$ în trei puncte, iar $F (0) = 0$ exact.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Înainte de primul rând, scrie ce derivezi și ce integrezi, după regula descreșterii; la aplicările repetate păstrează aceeași repartiție a rolurilor la fiecare pas.

1. Calculează $\int (x^{2} + x) e^{x} d x$ , $x \in R$ .

2. Calculează $\int x^{2} e^{2 x} d x$ , $x \in R$ .

3. Calculează $\int x^{2} cos 2 x d x$ , $x \in R$ .

4. Calculează $\int x^{2} sin 3 x d x$ , $x \in R$ .

5. Calculează $\int (x + 1)^{2} e^{x} d x$ , $x \in R$ .

6. Calculează $\int e^{- x} sin x d x$ , $x \in R$ .

7. Calculează $\int e^{x} sin 2 x d x$ , $x \in R$ .

8. Calculează $\int e^{3 x} cos x d x$ , $x \in R$ .

9. Calculează $\int x^{2} + 1 d x$ , $x \in R$ .

10. Calculează $\int x^{2} + 16 d x$ , $x \in R$ .

11. Calculează $\int x ln^{2} x d x$ , $x \in (0, + \infty)$ .

12. Folosind relația de recurență $I_{n} = x^{n} e^{x} - n I_{n - 1}$ , calculează $\int x^{3} e^{x} d x$ , $x \in R$ .

13. Continuând recurența de mai sus, calculează $\int x^{4} e^{x} d x$ , $x \in R$ .

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La $\int x^{2} e^{x} d x$ , regula descreșterii cere să derivezi $e^{x}$ și să integrezi $x^{2}$ ."

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La $\int e^{x} sin x d x$ , dacă la a doua aplicare schimbi rolurile factorilor, obții identitatea $I = I$ , din care nu se poate afla $I$ ."

16. (Problemă aplicată.) Un mobil pornește din origine și are, la momentul $t \geq 0$ , viteza $v (t) = t^{2} e^{- 2 t}$ (metri pe secundă). Determină legea de mișcare $s (t)$ , știind că $s (0) = 0$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} sin x$ . Determină primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F (0) = 0$ .

18. (Provocare.) Calculează $\int 4 - x^{2} d x$ , $x \in (- 2, 2)$ , urmând drumul din subsecțiunea 7, cu trucul $x^{2} = 4 - (4 - x^{2})$ .

Răspunsuri și explicații

1. Se derivează $x^{2} + x$ : $(x^{2} + x) e^{x} - \int (2 x + 1) e^{x} d x = (x^{2} + x) e^{x} - (2 x - 1) e^{x} + C = (x^{2} - x + 1) e^{x} + C$ .

2. Cu $g (x) = \frac{e ^{2 x}}{2}$ la fiecare pas: $\frac{x ^{2} e ^{2 x}}{2} - \int x e^{2 x} d x = \frac{x ^{2} e ^{2 x}}{2} - \frac{( 2 x - 1 ) e ^{2 x}}{4} + C = \frac{( 2 x ^{2} - 2 x + 1 ) e ^{2 x}}{4} + C$ .

3. $g (x) = \frac{sin 2 x}{2}$ , apoi a doua aplicare: $\frac{x ^{2} sin 2 x}{2} + \frac{x cos 2 x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} + C$ .

4. $g (x) = - \frac{cos 3 x}{3}$ , apoi a doua aplicare: $- \frac{x ^{2} cos 3 x}{3} + \frac{2 x sin 3 x}{9} + \frac{2 cos 3 x}{27} + C$ .

5. Dezvoltând sau derivând direct $(x + 1)^{2}$ : $(x + 1)^{2} e^{x} - \int 2 (x + 1) e^{x} d x = (x + 1)^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + C = (x^{2} + 1) e^{x} + C$ .

6. Tip circular, cu $g (x) = - e^{- x}$ : din $I = - e^{- x} sin x + J$ și $J = - e^{- x} cos x - I$ rezultă $2 I = - e^{- x} (sin x + cos x)$ , deci $- \frac{e ^{- x} ( sin x + cos x )}{2} + C$ .

7. Tip circular; numitorul este $1^{2} + 2^{2} = 5$ : $\frac{e ^{x} ( sin 2 x - 2 cos 2 x )}{5} + C$ .

8. Tip circular; numitorul este $3^{2} + 1^{2} = 10$ : $\frac{e ^{3 x} ( 3 cos x + sin x )}{10} + C$ .

9. Formula din subsecțiunea 7 cu $a = 1$ : $\frac{x x ^{2} + 1}{2} + \frac{1}{2} ln (x + x^{2} + 1) + C$ .

10. Aceeași formulă cu $a = 4$ : $\frac{x x ^{2} + 16}{2} + 8 ln (x + x^{2} + 16) + C$ .

11. Se derivează $ln^{2} x$ , cu $(ln^{2} x)^{'} = \frac{2 ln x}{x}$ , și se integrează $x$ : $\frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \int x ln x d x = \frac{x ^{2}}{2} ln^{2} x - \frac{x ^{2}}{2} ln x + \frac{x ^{2}}{4} + C$ .

12. $I_{3} = x^{3} e^{x} - 3 I_{2} = x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} = (x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6) e^{x} + C$ .

13. $I_{4} = x^{4} e^{x} - 4 I_{3} = (x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 24) e^{x} + C$ .

14. Fals. Regula descreșterii cere exact invers: se derivează $x^{2}$ , care se simplifică (devine $2 x$ , apoi $2$ , apoi dispare), și se integrează $e^{x}$ , care rămâne de aceeași formă. Cu alegerea din enunț puterea ar crește la $x^{3}$ , apoi la $x^{4}$ .

15. Adevărat. Schimbând rolurile la al doilea pas obții $J = e^{x} sin x - I$ , iar înlocuirea în $I = e^{x} sin x - J$ dă $I = I$ — o egalitate adevărată, dar fără informație. Rolurile se păstrează la toate aplicările.

16. Legea de mișcare e o primitivă a vitezei. Cu două aplicări, $\int t^{2} e^{- 2 t} d t = - \frac{( 2 t ^{2} + 2 t + 1 ) e ^{- 2 t}}{4} + c$ . Din $s (0) = 0$ rezultă $- \frac{1}{4} + c = 0$ , deci $c = \frac{1}{4}$ și $s (t) = \frac{1 - ( 2 t ^{2} + 2 t + 1 ) e ^{- 2 t}}{4}$ (metri).

17. Din subsecțiunea 4, $F (x) = - x^{2} cos x + 2 x sin x + 2 cos x + c$ . Din $F (0) = 0$ rezultă $2 + c = 0$ , deci $c = - 2$ și $F (x) = - x^{2} cos x + 2 x sin x + 2 cos x - 2$ .

18. Cu $f (x) = 4 - x^{2}$ , $f^{'} (x) = \frac{- x}{4 - x ^{2}}$ , și $g (x) = x$ , obții $I = x 4 - x^{2} + \int \frac{x ^{2}}{4 - x ^{2}} d x$ . Cu $x^{2} = 4 - (4 - x^{2})$ , integrala rămasă este $4 arcsin \frac{x}{2} - I$ , deci $2 I = x 4 - x^{2} + 4 arcsin \frac{x}{2}$ și $\int 4 - x^{2} d x = \frac{x 4 - x ^{2}}{2} + 2 arcsin \frac{x}{2} + C$ .

De reținut

Regula descreșterii spune că se derivează factorul care se simplifică prin derivare (logaritm, arctangentă, polinom) și se integrează cel care nu se complică prin integrare (exponențială, sinus, cosinus, putere).
Ordinea de prioritate la derivare este $ln x$ , $arctg x$ , $arcsin x$ , apoi $x^{n}$ , apoi $e^{a x}$ , $sin a x$ , $cos a x$ ; cel care stă mai la stânga se derivează.
La $\int P (x) e^{a x} d x$ și la $\int P (x) sin a x d x$ formula se aplică de exact atâtea ori cât este gradul polinomului $P$ , păstrând mereu aceeași repartiție a rolurilor.
La tipul circular $\int e^{a x} sin b x d x$ se notează cu $I$ o primitivă, se aplică formula de două ori și se rezolvă ecuația obținută în $I$ ; constanta $C$ se adaugă abia la final.
Integrala $\int x^{2} + a^{2} d x$ se calculează prin părți cu factorul $1$ și cu trucul $x^{2} = (x^{2} + a^{2}) - a^{2}$ , care readuce integrala inițială în membrul drept.

Greșeli frecvente

Schimbi rolurile la a doua aplicare. La $\int e^{x} sin x d x$ obții atunci $I = I$ , iar la $\int x^{2} e^{x} d x$ te întorci la integrala inițială. Repartiția se stabilește la primul pas și se păstrează până la sfârșit.
Derivezi exponențiala în loc de polinom. La $\int x^{2} e^{x} d x$ , alegerea greșită urcă gradul la $x^{3}$ , apoi la $x^{4}$ : integrala rămasă trebuie să fie mai simplă, nu mai grea.
Reduci $I$ din cei doi membri fără să-l fi definit ca funcție. Scrii „fie $I$ o primitivă a funcției", nu „fie $I$ integrala nedefinită"; abia atunci $2 I = \dots$ se împarte la $2$ , iar $C$ se adaugă o singură dată, la final.
Uiți factorul $\frac{1}{a}$ la $g$ . Când integrezi $e^{2 x}$ , $cos 2 x$ sau $sin 3 x$ , primitiva se împarte la $a$ ; la două aplicări factorul apare de două ori, deci la numitor ajunge $a^{2}$ .
Aplici părțile la o integrală care nu e de acest tip. La $\int x e^{x^{2}} d x$ unul dintre factori este, până la o constantă, derivata exponentului; acolo metoda potrivită e cealaltă, din lecția următoare, nu integrarea prin părți.

Aplică acasă

Fișa celor cinci tipuri. Scrie pe o singură pagină, unul sub altul, câte un reprezentant din fiecare tip: $x^{2} e^{x}$ , $x^{2} sin x$ , $x^{2} ln x$ , $e^{x} sin x$ și $x^{2} + 4$ . Pentru fiecare notează, în două coloane, ce ai derivat și ce ai integrat, plus numărul de aplicări. Fișa aceasta se învață mai repede decât cinci rezultate memorate.
Turnul recurenței. Pornind de la $I_{0} = e^{x}$ , calculează pe rând $I_{1}$ , $I_{2}$ , $I_{3}$ și $I_{4}$ cu relația $I_{n} = x^{n} e^{x} - n I_{n - 1}$ și observă tiparul coeficienților: $1$ ; $1, - 1$ ; $1, - 2, 2$ ; $1, - 3, 6, - 6$ . Verifică apoi $I_{4}$ derivând rezultatul.
Numitorul $a^{2} + b^{2}$ . Calculează prin metoda circulară $\int e^{x} cos 3 x d x$ și $\int e^{2 x} cos 2 x d x$ , apoi compară numitorii obținuți cu $a^{2} + b^{2}$ . Formulează în scris regula pe care ai descoperit-o și testeaz-o pe încă un exemplu ales de tine.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide metoda începută în ora precedentă și răspunde la singura întrebare care mai rămăsese deschisă: cum se alege împărțirea integrandului în două părți. Programa cere ca metodele de integrare să fie prezentate „prin exemple progresive, motivându-se alegerea uneia sau alteia dintre metode", iar structura lecției urmează exact această cerință — criteriu, tabel, tipuri, apoi cele două situații speciale (aplicarea repetată și cazul circular).

Ce verifică lecția: (1) alegerea corectă a părților, justificată prin regula descreșterii; (2) aplicarea formulei de mai multe ori, cu păstrarea rolurilor; (3) rezolvarea tipului circular ca ecuație, cu redactarea „fie $I$ o primitivă"; (4) calculul lui $\int x^{2} + a^{2} d x$ cu trucul de rupere a numărătorului; (5) scrierea unei relații de recurență pentru integrale care depind de un exponent natural.

Întrebări bune de control: „De ce derivezi polinomul aici și logaritmul dincolo?", „De câte ori trebuie aplicată formula și de unde știi?", „De ce ai voie să treci $I$ în stânga?". Semn că elevul a înțeles: la o integrală nouă spune, înainte de orice calcul, din ce tip face parte și câte aplicări va face. La BAC, aceste integrale apar cel mai des cu limite de integrare — forma tratată în integrarea prin părți pe un interval cu capete precizate —, dar calculul propriu-zis este identic cu cel exersat aici.

Întrebări frecvente

Cum aleg părțile la integrarea prin părți? După regula descreșterii: derivezi factorul care se simplifică prin derivare și integrezi factorul care nu se complică prin integrare. Ordinea de prioritate la derivare este $ln x$ și funcțiile trigonometrice inverse, apoi polinoamele, apoi exponențialele și funcțiile trigonometrice. Dacă integrala rămasă iese mai grea decât cea inițială, alegerea a fost greșită și se inversează.

De câte ori se aplică formula de integrare prin părți? De atâtea ori cât e gradul polinomului din integrand: la $\int x^{2} e^{x} d x$ de două ori, la $\int x^{3} sin x d x$ de trei ori. La fiecare aplicare gradul scade cu o unitate, până când polinomul dispare și rămâne o integrală din tabel. Excepție fac tipul circular și radicalii, unde două aplicări duc la o ecuație.

Cât este integrala din $e^{x} sin x$ ? Rezultatul este $\int e^{x} sin x d x = \frac{e ^{x} ( s i n x - c o s x )}{2} + C$ . Se obține notând cu $I$ o primitivă, aplicând formula de două ori cu aceeași repartiție a rolurilor și rezolvând ecuația $I = e^{x} sin x - e^{x} cos x - I$ . La forma generală $\int e^{a x} sin b x d x$ , la numitor apare întotdeauna $a^{2} + b^{2}$ .

Ce este un tip circular de integrală? Este integrala în care, după două aplicări ale formulei, reapare exact integrala de la care ai pornit — cazul produsului dintre o exponențială și o funcție trigonometrică. Nu e un eșec al metodei: egalitatea obținută devine o ecuație de gradul întâi cu necunoscuta $I$ , iar rezolvarea ei dă primitiva căutată.

De ce nu am voie să schimb rolurile la a doua aplicare? Pentru că anulezi tot ce ai câștigat la primul pas. La tipul circular obții identitatea $I = I$ , adevărată dar fără informație; la $\int x^{2} e^{x} d x$ te întorci la integrala inițială. Repartiția rolurilor este o decizie luată o singură dată, la începutul rezolvării, și respectată la fiecare aplicare.

Cum calculez integrala din radical din $x^{2} + a^{2}$ ? Aplici formula cu factorul $1$ , adică derivezi radicalul și integrezi pe $1$ ; apoi, în integrala rămasă, scrii $x^{2} = (x^{2} + a^{2}) - a^{2}$ și rupi fracția în două. Reapare integrala inițială, iar ecuația obținută dă $\frac{x x ^{2} + a ^{2}}{2} + \frac{a ^{2}}{2} ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$ .

Ce fac dacă în integrală apare un exponent natural $n$ ? Nu încerca să calculezi termenul general direct: aplică formula o singură dată și leagă integrala de rang $n$ de cea de rang $n - 1$ . Pentru $I_{n} = \int x^{n} e^{x} d x$ obții $I_{n} = x^{n} e^{x} - n I_{n - 1}$ , cu $I_{0} = e^{x}$ , iar de aici coborî până la un termen cunoscut.