Integrarea prin părți: pe scurt

Nu există o formulă pentru primitiva unui produs, dar există una care mută dificultatea: $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$. Se obține din regula de derivare a produsului, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, integrând și mutând un termen în celălalt membru. Ipotezele: $f$ și $g$ derivabile pe un interval $I$, cu $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ continue acolo.

Cei trei pași: alegi cine se derivează și cine se integrează; cobori un rând cu fiecare factor ($f\to f^{\prime }$, $g^{\prime }\to g$); scrii formula și rezolvi integrala rămasă. Controlul obligatoriu este ca integrala rămasă să fie mai simplă decât cea de la care ai pornit; dacă e mai grea, ai schimbat rolurile.

Tipul de bază este „polinom de gradul întâi înmulțit cu $e^x$, $\sin x$ sau $\cos x$”: se derivează polinomul, care coboară la o constantă. Funcțiile care nu par produse — $\ln x$, $\mathrm{arctg}x$, $\arcsin x$ — se scriu ca produs cu factorul $1$, care se integrează și dă $g(x)=x$.

Două precizări de redactare: funcția $g$ se ia fără constantă aditivă, pentru că orice constantă adăugată se anulează singură între cei doi termeni; iar egalitatea a două integrale nedefinite este o egalitate între mulțimi de funcții, deci nu se „reduc” termeni din cei doi membri ca la numere.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$, $\int (x-4)\sin xdx$ este egală cu:

   • a) $-(x-4)\cos x+\sin x+\mathcal{C}$
   • b) $(x-4)\cos x-\sin x+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{(x-4{)}^2}{2}\cdot (-\cos x)+\mathcal{C}$
   • d) $-(x-4)\cos x-\sin x+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-(x-4)\cos x+\sin x+\mathcal{C}$

   Cu $f(x)=x-4$ și $g^{\prime }(x)=\sin x$ avem $g(x)=-\cos x$, deci $\int (x-4)\sin xdx=-(x-4)\cos x+\int \cos xdx=-(x-4)\cos x+\sin x+\mathcal{C}$. Cele două minusuri — cel din formulă și cel din $g$ — se înmulțesc și dau plus; varianta cu $-\sin x$ este exact greșeala de semn.

2. Pe intervalul $(-1,1)$, $\int \arccos xdx$ este egală cu:

   • a) $x\arccos x-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\mathcal{C}$
   • b) $x\arccos x+\sqrt{1-x^2}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\mathcal{C}$
   • d) $x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+\mathcal{C}$

   Se scrie $\arccos x=1\cdot \arccos x$, cu $f(x)=\arccos x$ și $g(x)=x$: $\int \arccos xdx=x\arccos x+\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+\mathcal{C}$. Verificare: ${\left(-\sqrt{1-x^2}\right)}^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, care se simplifică exact cu termenul din formulă.

3. De ce se ia funcția $g$ fără constantă aditivă în formula integrării prin părți?

   • a) pentru că se pierde constanta finală $\mathcal{C}$
   • b) pentru că orice constantă adăugată la $g$ se anulează singură între cei doi termeni ai formulei
   • c) pentru că altfel formula ar fi falsă
   • d) pentru că $g$ nu are primitive
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) pentru că orice constantă adăugată la $g$ se anulează singură între cei doi termeni ai formulei

   Înlocuind $g$ cu $g+k$, primul termen crește cu $kf$, iar integrala scăzută crește cu $\int k{f}^{\prime }=kf$; diferența rămâne aceeași. Formula este deci corectă pentru orice primitivă a lui $g^{\prime }$, iar cea mai simplă este întotdeauna suficientă. Constanta $\mathcal{C}$ se scrie o singură dată, la final.