Integrarea prin părți: formula și primele aplicații

Tabelul primitivelor rezolvă, la clasa a 12-a, exact atâtea integrale câte formule are: știi primitiva lui $e^x$, știi primitiva lui $\sin x$, știi primitiva lui $x$. Dar prima funcție care nu e în tabel, $x{e}^x$, apare deja în a doua problemă din orice culegere — și nu se lasă rezolvată prin ghicire. Motivul e simplu de spus: derivarea are o regulă pentru produs, integrarea nu are niciuna. Nu există nicio formulă care să dea primitiva unui produs din primitivele factorilor, așa cum nu există nicio formulă pentru derivata unui produs ca produs al derivatelor.

Ce există, în schimb, este o reciclare a regulii produsului. Dacă în $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ muți un termen dintr-o parte în alta și citești egalitatea invers, obții o formulă care nu calculează integrala direct, ci o schimbă cu alta, sperăm mai ușoară. Se numește integrarea prin părți și este, alături de metoda care vine în lecția următoare, una dintre cele două metode generale de integrare din programa de matematică-informatică. Cu ea vei calcula, în această lecție, primitivele lui $x{e}^x$, $x\sin x$, $x\cos x$, $\ln x$, $x\ln x$ și $\mathrm{arctg}x$ — șase funcții care apar, împreună, în majoritatea subiectelor de analiză de la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci formula de integrare prin părți din regula de derivare a produsului, cu ipotezele ei complete.
• Vei ști să aplici formula $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$ în cei trei pași ai ei.
• Vei ști să calculezi primitivele produselor de tipul „polinom de gradul întâi înmulțit cu $e^x$, $\sin x$ sau $\cos x$".
• Vei ști să integrezi funcții care nu par produse, cum sunt $\ln x$ și $\mathrm{arctg}x$, folosind factorul $1$.
• Vei ști să recunoști greșeala „am schimbat rolurile", în care integrala rămasă e mai grea decât cea de la care ai pornit.
• Vei ști de ce funcția $g$ se alege fără constantă și ce înseamnă, riguros, egalitatea a două integrale nedefinite.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu există o formulă pentru primitiva unui produs?

Integrarea prin părți este metoda prin care primitiva unui produs de forma $f{g}^{\prime }$ se înlocuiește cu primitiva altui produs, $f^{\prime }g$, folosind egalitatea $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$; ea nu dă rezultatul dintr-o dată, ci mută dificultatea de la un factor la celălalt, până când integrala rămasă este una din tabel.

Ca să vezi de ce e nevoie de un asemenea ocol, încearcă întâi ce nu merge. Din Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale știi că $\int xdx=\frac{x^2}{2}+\mathcal{C}$ și $\int e^{x}dx=e^x+\mathcal{C}$. Ar fi comod ca primitiva produsului să fie produsul primitivelor, adică $\frac{x^2}{2}{e}^x$. Verifică prin derivare, cu regula produsului din Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât: $${\left(\frac{x^2}{2}{e}^x\right)}^{\prime }=x{e}^x+\frac{x^2}{2}{e}^x\ne x{e}^x.$$ Rezultatul e „aproape" bun: primul termen e chiar funcția dorită, dar rămâne un termen în plus, $\frac{x^2}{2}{e}^x$, care strică totul. Concluzia e definitivă și merită scrisă cu litere mari: integrala unui produs nu este produsul integralelor, la fel cum derivata unui produs nu este produsul derivatelor.

Observă însă ce ne spune eșecul: termenul care strică este el însuși o integrală, iar dacă am ști să-l calculăm, l-am putea scădea. Exact aceasta e ideea metodei. Regula produsului produce, la derivare, doi termeni; dacă unul dintre ei e cel căutat, celălalt se mută în partea cealaltă a egalității. Nimic nu dispare — dar poate deveni mai simplu.

2. Cum se demonstrează formula de integrare prin părți?

Teoremă (formula de integrare prin părți). Fie $I$ un interval și $f,g:I\to \mathbb{R}$ două funcții derivabile, cu derivatele $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ continue pe $I$. Atunci funcțiile $f{g}^{\prime }$ și $f^{\prime }g$ admit primitive pe $I$ și $$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx.$$

Demonstrație. Punctul de plecare este regula de derivare a produsului, valabilă în fiecare punct al intervalului $I$: $$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).$$ Scădem $f^{\prime }(x)g(x)$ din ambii membri și obținem $$f(x)g^{\prime }(x)=(f(x)g(x){)}^{\prime }-f^{\prime }(x)g(x).$$ Funcțiile $f$ și $g$ sunt derivabile, deci continue; cum și $f^{\prime }$, $g^{\prime }$ sunt continue prin ipoteză, produsele $f{g}^{\prime }$ și $f^{\prime }g$ sunt continue pe $I$, deci admit primitive. Fie $G$ o primitivă a lui $f^{\prime }g$ pe $I$. Derivăm funcția $fg-G$: $$(f(x)g(x)-G(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)g(x)=f(x)g^{\prime }(x).$$ Așadar $fg-G$ este o primitivă a lui $f{g}^{\prime }$ pe intervalul $I$, ceea ce înseamnă exact egalitatea din enunț, citită între mulțimi de primitive. $■$

Trei observații despre ce spune și ce nu spune formula. Prima: ea nu calculează nicio integrală, ci schimbă o integrală cu alta; metoda e utilă numai dacă schimbul e în favoarea ta. A doua: în stânga apare derivata lui $g$, în dreapta apare $g$ însuși — deci al doilea factor trebuie să fie o funcție pe care știi să o integrezi, iar primul o funcție pe care știi să o derivezi. A treia: constanta $\mathcal{C}$ se scrie o singură dată, la sfârșit, când integrala din dreapta a fost calculată; până atunci semnul $\int$ o poartă cu el.

Notația e cea cu $f$ și $g$, ca în enunțul de mai sus. Vei mai vedea, în unele culegeri, scrierea prescurtată cu $u$ și $dv$; în acest curs nu o folosim, pentru că ascunde tocmai lucrul care trebuie învățat — care funcție se derivează și care se integrează.

3. Cum se aplică formula, pas cu pas?

Rezolvarea are, de fiecare dată, aceeași structură. Îi spunem cei trei pași ai integrării prin părți și o vei scrie așa în orice exercițiu. (Nu îi confunda cu Etapa 1–3 din Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți: prelucrarea algebrică și liniaritatea rămân primele lucruri de încercat, iar părțile intră în joc abia când integrandul e un produs care nu se desface altfel.)

1. Împarți integrandul în doi factori și decizi cine este $f$ (funcția care se va deriva) și cine este $g^{\prime }$ (funcția care se va integra).
2. Cobori un rând cu fiecare factor: calculezi $f^{\prime }$ prin derivare și alegi un $g$ prin integrare — o singură primitivă, cea mai simplă, fără constantă.
3. Scrii formula și calculezi integrala rămasă, $\int f^{\prime }g$, care trebuie să fie mai simplă decât cea de la care ai pornit; adaugi $\mathcal{C}$ la final.

Model. Calculăm $\int x{e}^{x}dx$ pe $\mathbb{R}$. La pasul 1 alegem $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=e^x$: puterea lui $x$ scade prin derivare, iar exponențiala nu se complică prin integrare. La pasul 2 obținem $f^{\prime }(x)=1$ și $g(x)=e^x$. La pasul 3 scriem formula: $$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int 1\cdot e^{x}dx=x{e}^x-e^x+\mathcal{C}=(x-1)e^x+\mathcal{C}.$$ Verificarea se face prin derivare, cum se cuvine la orice primitivă: $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. ✓

Pasul 2 ascunde o întrebare legitimă: de ce am voie să iau $g(x)=e^x$, și nu $e^x+7$? Pentru că adunarea unei constante $k$ la $g$ adaugă în dreapta termenul $kf(x)$ și, în același timp, scade $\int k{f}^{\prime }(x)dx=kf(x)$; cele două se anulează, iar familia de primitive obținută e aceeași. Alegerea cea mai simplă e deci întotdeauna permisă — și e singura pe care merită să o scrii.

4. Primul tip: polinom de gradul întâi înmulțit cu $e^x$, $\sin x$ sau $\cos x$

Este tipul cel mai frecvent și se rezolvă mereu la fel: polinomul se derivează (gradul lui scade cu $1$ și, după un pas, dispare), iar exponențiala sau funcția trigonometrică se integrează (rămâne de aceeași formă). Pe lângă $\int x{e}^{x}dx$, calculat mai sus, reține următoarele două rezolvări-model.

Pentru $\int x\sin xdx$ luăm $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=\sin x$, deci $f^{\prime }(x)=1$ și $g(x)=-\cos x$: $$\int x\sin xdx=-x\cos x-\int 1\cdot (-\cos x)dx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+\mathcal{C}.$$ Atenție la semnul minus din $g(x)=-\cos x$: el se propagă în ambii termeni, iar minus cu minus dă plus în integrala rămasă. Aici se pierd cele mai multe puncte la examen.

Pentru $\int x\cos xdx$ luăm $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=\cos x$, deci $g(x)=\sin x$: $$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+\mathcal{C}.$$ Ambele rezultate se verifică imediat prin derivare, cu regula produsului. Reține deosebirea: la sinus rezultatul începe cu minus, la cosinus începe cu plus — o inversare pe care memoria vizuală o încurcă des, dar pe care derivarea o lămurește în zece secunde.

Un amănunt tehnic, de care vei avea nevoie în exerciții: ce se întâmplă când în locul lui $x$ apare $ax$, ca la $e^{2x}$, $\cos 3x$ sau $\sin \frac{x}{2}$? La pasul 2 ai nevoie de o primitivă a lui $g^{\prime }$, iar aceasta nu mai e chiar funcția din tabel, ci ea împărțită la $a$. Nu e nevoie de nicio metodă nouă — e destul să recunoști derivata și să confirmi prin derivare, așa cum ai făcut la fiecare rând al tabelului: $${\left(\frac{e^{2x}}{2}\right)}^{\prime }=e^{2x},{\left(\frac{\sin 3x}{3}\right)}^{\prime }=\cos 3x,{\left(-2\cos \frac{x}{2}\right)}^{\prime }=\sin \frac{x}{2}.$$ Regula practică: la interior de forma $ax$, primitiva se împarte la $a$. Verifică întotdeauna prin derivare, pentru că factorul $\frac{1}{a}$ e ușor de uitat, iar la $a$ subunitar, cum e $\frac{1}{2}$, împărțirea înseamnă de fapt înmulțire cu $2$ — vezi al treilea exemplu de mai sus, unde apare $-2\cos \frac{x}{2}$.

5. Cum integrezi o funcție care nu pare să fie un produs?

Aici metoda arată de ce e mai mult decât o formulă pentru produse. Funcția $\ln x$ nu e un produs — dar poate fi scrisă ca unul, înmulțind-o cu $1$: $\ln x=1\cdot \ln x$. Alegem $f(x)=\ln x$ (se derivează, și scapi de logaritm) și $g^{\prime }(x)=1$ (se integrează, și dă $g(x)=x$). Pe intervalul $(0,+\infty )$: $$\int \ln xdx=x\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot xdx=x\ln x-\int 1dx=x\ln x-x+\mathcal{C}.$$ Verificare: $(x\ln x-x{)}^{\prime }=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x$. ✓ Pe această funcție ai făcut deja exercițiul invers, în Problema inversă derivării: noțiunea de primitivă, unde ți s-a cerut să verifici că $x\ln x-x$ e o primitivă a logaritmului; acum știi și de unde vine. Rezultatul merită memorat ca atare, pentru că apare des: primitiva lui $\ln x$ este $x\ln x-x$.

Aceeași idee, cu funcția $\mathrm{arctg}$, ale cărei derivate le-ai obținut în Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm. Cu $f(x)=\mathrm{arctg}x$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$, și $g^{\prime }(x)=1$, $g(x)=x$, obținem pe $\mathbb{R}$: $$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\int \frac{x}{1+x^2}dx.$$ Integrala rămasă nu cere o metodă nouă: la numărător recunoaștem, până la un factor $2$, derivata numitorului, iar derivarea confirmă imediat că ${\left(\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{1+x^2}=\frac{x}{1+x^2}$. Prin urmare $$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)+\mathcal{C}.$$ Modulul nu apare, pentru că $1+x^2>0$ pentru orice $x$ real. Aceeași rețetă cu factorul $1$ dă primitiva lui $\arcsin x$ (o vei calcula în Exemplul 5) și, în general, primitivele funcțiilor „inverse" — cele pe care le știi deriva, dar nu integra.

6. Cum calculezi primitiva lui $x\ln x$?

Funcția $x\ln x$ este un produs adevărat, iar acum ai de ales între doi factori care par la fel de buni. Decizia se ia după ce se simplifică: logaritmul se derivează, pentru că $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ îl transformă într-o funcție rațională, în timp ce integrarea l-ar complica. Deci $f(x)=\ln x$, $g^{\prime }(x)=x$, de unde $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ și $g(x)=\frac{x^2}{2}$. Pe $(0,+\infty )$: $$\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+\mathcal{C}.$$ Momentul-cheie e simplificarea $\frac{1}{x}\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{x}{2}$: logaritmul a dispărut, iar ce a rămas e o integrală din tabel. Regula pe care o vei formula complet în lecția următoare se vede deja aici — se derivează factorul care se simplifică prin derivare.

Același tipar funcționează pentru orice putere: la $\int x^n\ln xdx$ se derivează tot logaritmul, iar $g(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$; vei face cazul $n=2$ în Exemplul 3. Chiar și cu puteri negative merge: la $\int \frac{\ln x}{x^2}dx$ alegem $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$, adică $g(x)=-\frac{1}{x}$ (Exemplul 4).

7. Greșeala „am schimbat rolurile"

Formula e adevărată pentru orice împărțire a integrandului în doi factori — dar nu orice împărțire ajută. Reia $\int x{e}^{x}dx$ cu rolurile inversate: $f(x)=e^x$ (se derivează) și $g^{\prime }(x)=x$ (se integrează), deci $f^{\prime }(x)=e^x$ și $g(x)=\frac{x^2}{2}$: $$\int x{e}^{x}dx=\frac{x^2}{2}{e}^x-\int \frac{x^2}{2}{e}^{x}dx.$$ Egalitatea e perfect corectă; problema e că integrala rămasă e mai grea decât cea inițială — puterea a crescut de la $1$ la $2$. Dacă insiști, la pasul următor vei obține $x^3$, apoi $x^4$, la nesfârșit. Aceasta e greșeala pe care o numim „am schimbat rolurile": nu o eroare de calcul, ci o alegere care merge în direcția greșită.

Semnul că ai greșit alegerea e imediat și trebuie căutat înainte de a continua: compară integrala rămasă cu cea de la care ai pornit. Dacă e mai simplă, mergi înainte; dacă e mai complicată, oprește-te și inversează rolurile. Există și o a treia situație, în care integrala rămasă e exact cea de la început, iar egalitatea devine $I=I$; ea nu e un eșec, ci un tip aparte, pe care îl vei rezolva ca pe o ecuație în Integrarea prin părți: alegerea părților și aplicarea repetată.

8. Ce înseamnă, riguros, egalitatea a două integrale nedefinite?

Iată un „paradox" care apare în fiecare an la clasă. Pe intervalul $(0,+\infty )$, integrăm prin părți funcția $\frac{1}{x}$, luând $f(x)=\frac{1}{x}$ și $g^{\prime }(x)=1$, deci $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ și $g(x)=x$: $$\int \frac{1}{x}dx=\frac{1}{x}\cdot x-\int \left(-\frac{1}{x^2}\right)xdx=1+\int \frac{1}{x}dx.$$ „Simplificând" integrala din ambii membri, ar rezulta $0=1$. Unde e greșeala? Nicăieri în calcul — greșeala e în simplificare. Așa cum s-a spus în Integrala nedefinită: definiție, notație și proprietăți, simbolul $\int f(x)dx$ nu desemnează o funcție, ci mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ pe interval, iar $\mathcal{C}$ e mulțimea funcțiilor constante. În stânga avem mulțimea $\{\ln x+c\}$, în dreapta mulțimea $\{1+\ln x+c\}$ — și acestea sunt una și aceeași mulțime, pentru că $1+c$ parcurge toate constantele când $c$ le parcurge.

Morala e practică: o egalitate între integrale nedefinite se citește între mulțimi, nu între funcții, deci nu ai voie să „reduci" un $\int$ care apare în ambii membri. Ce ai voie, și vei face în lecția următoare la tipul circular, e să treci integrala din dreapta în stânga cu semn schimbat, când ea apare înmulțită cu un coeficient diferit de $1$ — atunci coeficientul rămas nu mai e zero și împărțirea la el are sens.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Polinom de gradul întâi cu exponențială

Calculați $\int (x+2)e^{x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Pasul 1: $f(x)=x+2$ se derivează, $g^{\prime }(x)=e^x$ se integrează. Pasul 2: $f^{\prime }(x)=1$, $g(x)=e^x$. Pasul 3: $$\int (x+2)e^{x}dx=(x+2)e^x-\int e^{x}dx=(x+2)e^x-e^x+\mathcal{C}=(x+1)e^x+\mathcal{C}.$$ Verificare prin derivare: $((x+1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$. ✓

Exemplul 2 — Polinom de gradul întâi cu cosinus

Calculați $\int (2x-1)\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Luăm $f(x)=2x-1$, cu $f^{\prime }(x)=2$, și $g^{\prime }(x)=\cos x$, cu $g(x)=\sin x$: $$\int (2x-1)\cos xdx=(2x-1)\sin x-\int 2\sin xdx=(2x-1)\sin x+2\cos x+\mathcal{C}.$$ Din nou, minusul din $\int \sin xdx=-\cos x+\mathcal{C}$ se combină cu minusul formulei și dă $+2\cos x$. Verificare: $((2x-1)\sin x+2\cos x{)}^{\prime }=2\sin x+(2x-1)\cos x-2\sin x=(2x-1)\cos x$. ✓

Exemplul 3 — Putere înmulțită cu logaritm

Calculați $\int x^2\ln xdx$, $x\in (0,+\infty )$.

Rezolvare. Logaritmul se derivează: $f(x)=\ln x$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$; puterea se integrează: $g^{\prime }(x)=x^2$, $g(x)=\frac{x^3}{3}$. Atunci $$\int x^2\ln xdx=\frac{x^3}{3}\ln x-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^3}{3}dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{3}\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+\mathcal{C}.$$ (Verificat prin derivare și numeric, în trei puncte din $(0,+\infty )$.) ✓

Exemplul 4 — Logaritm împărțit la o putere

Calculați $\int \frac{\ln x}{x^2}dx$, $x\in (0,+\infty )$.

Rezolvare. Scriem integrandul ca produs: $\frac{\ln x}{x^2}=\ln x\cdot \frac{1}{x^2}$. Derivăm logaritmul, $f(x)=\ln x$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, și integrăm puterea, $g^{\prime }(x)=x^{-2}$, $g(x)=-\frac{1}{x}$: $$\int \frac{\ln x}{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}-\int \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{x}\right)dx=-\frac{\ln x}{x}+\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}+\mathcal{C}.$$ Rezultatul se poate scrie compact: $-\frac{\ln x+1}{x}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 5 — Funcția $\arcsin$, integrată cu factorul $1$

Calculați $\int \arcsin xdx$, $x\in (-1,1)$.

Rezolvare. Ca la $\ln x$ și la $\mathrm{arctg}x$, scriem $\arcsin x=1\cdot \arcsin x$ și derivăm funcția inversă: $f(x)=\arcsin x$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, iar $g^{\prime }(x)=1$, $g(x)=x$. Atunci $$\int \arcsin xdx=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$ Integrala rămasă se recunoaște prin derivare: ${\left(-\sqrt{1-x^2}\right)}^{\prime }=-\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, deci ea este $-\sqrt{1-x^2}+\mathcal{C}$. Prin urmare $$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+\mathcal{C}.$$ (Verificat numeric în trei puncte din $(-1,1)$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)e^x$. a) Arătați că funcția $G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $G(x)=(x-3)e^x$, este o primitivă a lui $f$. b) Determinați $\int (x-2)e^{x}dx$, folosind integrarea prin părți. c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(0)=1$.

Rezolvare.

a) Funcția $G$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, ca produs de funcții derivabile, și $$G^{\prime }(x)=e^x+(x-3)e^x=(1+x-3)e^x=(x-2)e^x=f(x),$$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Deci $G$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

b) Luăm $f_1(x)=x-2$, cu $f_1^{\prime }(x)=1$, și $g^{\prime }(x)=e^x$, cu $g(x)=e^x$ (am notat cu $f_1$ primul factor, ca să nu îl confundăm cu funcția $f$ din enunț): $$\int (x-2)e^{x}dx=(x-2)e^x-\int e^{x}dx=(x-2)e^x-e^x+\mathcal{C}=(x-3)e^x+\mathcal{C},$$ ceea ce confirmă punctul a).

c) Orice primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$ are forma $F(x)=(x-3)e^x+c$, cu $c$ constantă reală. Din $F(0)=1$ obținem $(0-3)\cdot 1+c=1$, adică $-3+c=1$, deci $c=4$ și $$F(x)=(x-3)e^x+4.$$ (Verificat numeric: $F^{\prime }=f$ în trei puncte, iar $F(0)=1$ exact.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie explicit, înainte de a aplica formula, cine este $f$ și cine este $g^{\prime }$, apoi $f^{\prime }$ și $g$; la funcțiile cu logaritm precizează intervalul pe care lucrezi.

1. Calculează $\int x{e}^{2x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Calculează $\int x{e}^{-x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Calculează $\int (x+3)\sin xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

4. Calculează $\int (x-1)\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

5. Calculează $\int (2x+1)e^{x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

6. Calculează $\int \ln (3x)dx$, $x\in (0,+\infty )$.

7. Calculează $\int x^3\ln xdx$, $x\in (0,+\infty )$.

8. Calculează $\int \frac{\ln x}{x^3}dx$, $x\in (0,+\infty )$.

9. Calculează $\int x\cos 3xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

10. Calculează $\int x\sin \frac{x}{2}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $\mathbb{R}$ are loc egalitatea $\int x\sin xdx=-x\cos x+\mathcal{C}$."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La $\int x{e}^{x}dx$, alegerea $f(x)=e^x$ și $g^{\prime }(x)=x$ duce la o integrală mai simplă decât cea inițială."

13. Calculează $\int (3x+2)e^{x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

14. Calculează $\int \sqrt{x}\ln xdx$, $x\in (0,+\infty )$.

15. (Problemă aplicată.) Un mobil pornește din origine și are, la momentul $t\ge 0$, viteza $v(t)=t{e}^t$ (metri pe secundă). Determină legea de mișcare $s(t)$, știind că $s(0)=0$.

16. Calculează $\int (x+1)\ln xdx$, $x\in (0,+\infty )$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\cos x$. Determină primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(0)=2$.

18. (Provocare.) Calculează $\int x\mathrm{arctg}xdx$, $x\in \mathbb{R}$. (Indicație: după aplicarea formulei, împarte $x^2$ la $1+x^2$.)

Răspunsuri și explicații

1. $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=e^{2x}$, deci $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$ (se verifică prin derivare). Obținem $\frac{x{e}^{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int e^{2x}dx=\frac{x{e}^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}+\mathcal{C}=\frac{(2x-1)e^{2x}}{4}+\mathcal{C}$.

2. $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=e^{-x}$, $g(x)=-e^{-x}$: $\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}+\mathcal{C}=-(x+1)e^{-x}+\mathcal{C}$.

3. $f(x)=x+3$, $g^{\prime }(x)=\sin x$, $g(x)=-\cos x$: rezultatul este $-(x+3)\cos x+\sin x+\mathcal{C}$.

4. $f(x)=x-1$, $g^{\prime }(x)=\cos x$, $g(x)=\sin x$: rezultatul este $(x-1)\sin x+\cos x+\mathcal{C}$.

5. $f(x)=2x+1$, $f^{\prime }(x)=2$, $g(x)=e^x$: $(2x+1)e^x-2e^x+\mathcal{C}=(2x-1)e^x+\mathcal{C}$.

6. Cu factorul $1$: $f(x)=\ln (3x)$, $f^{\prime }(x)=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$, $g(x)=x$. Rezultatul este $x\ln (3x)-x+\mathcal{C}$. (Se putea și mai scurt: $\ln (3x)=\ln 3+\ln x$.)

7. $f(x)=\ln x$, $g^{\prime }(x)=x^3$, $g(x)=\frac{x^4}{4}$: $\frac{x^4}{4}\ln x-\frac{1}{4}\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}\ln x-\frac{x^4}{16}+\mathcal{C}$.

8. $f(x)=\ln x$, $g^{\prime }(x)=x^{-3}$, $g(x)=-\frac{1}{2x^2}$: $-\frac{\ln x}{2x^2}+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^3}dx=-\frac{\ln x}{2x^2}-\frac{1}{4x^2}+\mathcal{C}$.

9. $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=\cos 3x$, $g(x)=\frac{\sin 3x}{3}$: $\frac{x\sin 3x}{3}-\frac{1}{3}\int \sin 3xdx=\frac{x\sin 3x}{3}+\frac{\cos 3x}{9}+\mathcal{C}$.

10. $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=\sin \frac{x}{2}$, $g(x)=-2\cos \frac{x}{2}$: $-2x\cos \frac{x}{2}+2\int \cos \frac{x}{2}dx=-2x\cos \frac{x}{2}+4\sin \frac{x}{2}+\mathcal{C}$.

11. Fals. Lipsește al doilea termen: derivând $-x\cos x$ obții $-\cos x+x\sin x$, deci mai trebuie adunat $\sin x$. Rezultatul corect este $-x\cos x+\sin x+\mathcal{C}$.

12. Fals. Cu această alegere se obține $\frac{x^2}{2}{e}^x-\int \frac{x^2}{2}{e}^{x}dx$: puterea lui $x$ a crescut de la $1$ la $2$, deci integrala rămasă e mai grea. E greșeala „am schimbat rolurile"; alegerea corectă e $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=e^x$.

13. $f(x)=3x+2$, $f^{\prime }(x)=3$, $g(x)=e^x$: $(3x+2)e^x-3e^x+\mathcal{C}=(3x-1)e^x+\mathcal{C}$.

14. $f(x)=\ln x$, $g^{\prime }(x)=x^{1/2}$, $g(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}$: $\frac{2}{3}x\sqrt{x}\ln x-\frac{2}{3}\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}\ln x-\frac{4}{9}x\sqrt{x}+\mathcal{C}$.

15. Legea de mișcare este o primitivă a vitezei, deci $s(t)=\int t{e}^{t}dt=(t-1)e^t+c$. Din $s(0)=0$ rezultă $-1+c=0$, adică $c=1$, deci $s(t)=(t-1)e^t+1$ (metri).

16. $f(x)=\ln x$, $g^{\prime }(x)=x+1$, $g(x)=\frac{x^2}{2}+x$. Integrala rămasă este $\int \left(\frac{x}{2}+1\right)dx=\frac{x^2}{4}+x$, deci rezultatul este $\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln x-\frac{x^2}{4}-x+\mathcal{C}$.

17. Din subsecțiunea 4, $\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+\mathcal{C}$, deci $F(x)=x\sin x+\cos x+c$. Din $F(0)=2$: $0+1+c=2$, deci $c=1$ și $F(x)=x\sin x+\cos x+1$.

18. $f(x)=\mathrm{arctg}x$, $g^{\prime }(x)=x$, $g(x)=\frac{x^2}{2}$, deci $\int x\mathrm{arctg}xdx=\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$. Cum $\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}$, integrala rămasă este $x-\mathrm{arctg}x$, iar rezultatul final este $\frac{x^2}{2}\mathrm{arctg}x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$.

De reținut

• Formula de integrare prin părți este $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$ și se obține din regula de derivare a produsului, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, mutând un termen în celălalt membru.
• Ipotezele formulei sunt $f$ și $g$ derivabile pe un interval $I$, cu derivatele $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ continue acolo; ele garantează că ambele integrale au sens.
• Cei trei pași ai integrării prin părți sunt: alegi cine se derivează și cine se integrează, cobori un rând cu fiecare factor, scrii formula și rezolvi integrala rămasă.
• Funcția $g$ se ia fără constantă aditivă, pentru că orice constantă adăugată la $g$ se anulează singură între cei doi termeni ai formulei.
• Funcțiile care nu par produse — $\ln x$, $\mathrm{arctg}x$, $\arcsin x$ — se integrează prin părți scriindu-le ca produs cu factorul $1$, care se integrează și dă $g(x)=x$.

Greșeli frecvente

• Scrii $\int f{g}^{\prime }=\int f\cdot \int g^{\prime }$. Integrala unui produs nu este produsul integralelor: derivând $\frac{x^2}{2}{e}^x$ obții $x{e}^x+\frac{x^2}{2}{e}^x$, deci un termen în plus. Singura cale corectă e formula de integrare prin părți.
• Pierzi semnul minus la $g(x)=-\cos x$. La $\int x\sin xdx$, cele două minusuri (cel din formulă și cel din $g$) se înmulțesc și dau plus: rezultatul este $-x\cos x+\sin x+\mathcal{C}$, nu $-x\cos x-\sin x+\mathcal{C}$.
• Alegi drept $f$ factorul care se complică prin derivare. La $\int x{e}^{x}dx$, dacă derivezi exponențiala și integrezi puterea, ajungi la $x^2$, apoi la $x^3$; controlul obligatoriu e compararea integralei rămase cu cea inițială.
• Adaugi constantă la $g$ și te încurci în calcul. $g$ este o primitivă a lui $g^{\prime }$, iar cea mai simplă e întotdeauna suficientă; constanta se scrie o singură dată, la finalul rezolvării.
• Reduci integralele care apar în ambii membri. Egalitatea dintre două integrale nedefinite e o egalitate între mulțimi de funcții; din $\int \frac{1}{x}dx=1+\int \frac{1}{x}dx$ nu rezultă $0=1$, ci faptul că cele două mulțimi de primitive coincid.

Aplică acasă

1. Cele șase primitive de bază, pe o singură pagină. Scrie pe o foaie, unele sub altele, rezolvările complete pentru $x{e}^x$, $x\sin x$, $x\cos x$, $\ln x$, $x\ln x$ și $\mathrm{arctg}x$, marcând cu două culori ce ai derivat și ce ai integrat. Foaia devine fișa ta de recapitulare pentru tot capitolul.

2. Verificarea prin derivare, de fiecare dată. Ia cele optsprezece rezultate din secțiunea „Să exersăm" și derivează-le pe rând, fără să te uiți la enunț; compară ce obții cu integrandul de la care s-a pornit. Notează câte dintre ele ți-au ieșit din prima — e cel mai bun test că metoda a intrat în reflex.

3. Colecția de alegeri greșite. Reia cinci dintre exercițiile de mai sus și rezolvă-le intenționat invers, derivând factorul care ar fi trebuit integrat. Scrie de fiecare dată integrala care rămâne și explică într-un rând de ce e mai grea. Vei recunoaște alegerea greșită după două rânduri, nu după zece minute pierdute.

Pentru părinți și profesori

Integrarea prin părți este prima metodă generală de calcul al primitivelor din programa de matematică-informatică și, ca frecvență la examen, cea mai productivă: apare aproape în fiecare variantă, fie direct, fie ca pas intermediar. Programa cere explicit ca metoda să fie dedusă din regula de derivare a produsului și aplicată „pe exemple progresive, motivându-se alegerea", ceea ce lecția face în această ordine: eșecul formulei naive, deducerea teoremei, cei trei pași, apoi șase tipuri.

Ce verifică lecția: (1) enunțul corect al formulei, cu ipotezele ei; (2) deducerea din $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$; (3) aplicarea pe produsele de tip polinom–exponențială și polinom–trigonometrică; (4) trucul factorului $1$ pentru $\ln x$, $\mathrm{arctg}x$ și $\arcsin x$; (5) determinarea primitivei care trece printr-un punct dat, adică fixarea constantei.

Întrebări bune de control: „Cine se derivează și de ce?", „Cât este $g$ și de ce n-ai pus constantă la el?", „Compară integrala rămasă cu cea de la început — e mai simplă?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a scrie un rând, spune cu voce tare ce alege ca $f$ și ce alege ca $g^{\prime }$, și justifică alegerea. La BAC, cerința apare cel mai des cu limite de integrare, formă tratată în integrarea prin părți pe un interval cu capete precizate; metoda de calcul rămâne însă exact cea de aici, motiv pentru care merită automatizată acum.

Întrebări frecvente

Care este formula de integrare prin părți? Formula este $\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$, valabilă pe un interval pe care $f$ și $g$ sunt derivabile, cu derivate continue. Ea nu calculează integrala direct, ci o înlocuiește cu alta: în locul lui $f{g}^{\prime }$ vei avea de integrat $f^{\prime }g$, adică produsul în care primul factor a fost derivat, iar al doilea integrat.

De unde vine formula de integrare prin părți? Din regula de derivare a produsului. Din $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ scoatem $f{g}^{\prime }=(fg{)}^{\prime }-f^{\prime }g$; dacă $G$ este o primitivă a lui $f^{\prime }g$, atunci funcția $fg-G$ are derivata $f{g}^{\prime }$, deci este o primitivă a lui $f{g}^{\prime }$. Aceasta este exact egalitatea dintre cele două mulțimi de primitive scrisă cu semnul integralei.

Cum aleg cine este $f$ și cine este $g^{\prime }$? Derivezi factorul care se simplifică prin derivare — polinomul, logaritmul, arctangenta — și integrezi factorul care nu se complică prin integrare, adică $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ sau o putere. Controlul care nu dă greș: dacă integrala rămasă e mai grea decât cea inițială, ai inversat rolurile și trebuie să reiei alegerea.

Cât este integrala din $\ln x$? Pe intervalul $(0,+\infty )$, $\int \ln xdx=x\ln x-x+\mathcal{C}$. Se obține scriind $\ln x=1\cdot \ln x$, derivând logaritmul și integrând factorul $1$, care dă $g(x)=x$; integrala rămasă este $\int \frac{1}{x}\cdot xdx=\int 1dx=x$. Verificarea se face imediat prin derivare.

De ce nu adaug o constantă la funcția $g$? Pentru că se anulează singură. Dacă în locul lui $g$ iei $g+k$, în partea dreaptă apare în plus termenul $kf(x)$, dar și integrala $\int k{f}^{\prime }(x)dx=kf(x)$, care se scade; rezultatul final este aceeași familie de primitive. Prin urmare alegi de fiecare dată primitiva cea mai simplă a lui $g^{\prime }$.

Cum integrez arctangenta? Tot cu factorul $1$: din $f(x)=\mathrm{arctg}x$ și $g^{\prime }(x)=1$ obții $\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\int \frac{x}{1+x^2}dx$. Integrala rămasă nu cere nimic nou, pentru că derivata funcției $\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)$ este exact $\frac{x}{1+x^2}$. Rezultatul final este $x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln \left(1+x^2\right)+\mathcal{C}$.

Ce fac dacă integrala rămasă este mai grea decât cea de la început? Oprești calculul și inversezi rolurile: cel pe care l-ai derivat îl integrezi și invers. Formula rămâne adevărată pentru orice alegere, dar numai una dintre ele duce spre o integrală din tabel. Dacă și după inversare ajungi la aceeași integrală de la care ai pornit, ești în cazul „circular", care se rezolvă ca o ecuație în lecția următoare.