Intersecția a două conice: pe scurt

Punctele comune a două conice sunt exact soluțiile reale ale sistemului format din ecuațiile lor, iar fiecare punct găsit se verifică obligatoriu în ambele ecuații — este singurul control care prinde o eroare de semn. Două conice au cel mult patru puncte comune, pentru că eliminarea unei variabile duce la o ecuație de gradul al patrulea cel mult; două cercuri au însă cel mult două.

La două cercuri scrise în formă generală, scăderea ecuațiilor elimină termenii de gradul al doilea și lasă o dreaptă care conține toate punctele comune, reducând problema la intersecția unei drepte cu un cerc. La un cerc și o parabolă se substituie $y^2$ din ecuația parabolei și se rețin numai rădăcinile cu abscisă nenegativă: o rădăcină negativă verifică ecuația obținută, dar nu corespunde niciunui punct al parabolei. La două conice care conțin doar pătratele variabilelor, notațiile $u=x^2$ și $v=y^2$ transformă sistemul într-unul liniar; soluțiile se acceptă numai dacă ambele valori sunt nenegative.

Numărul soluțiilor sistemului liniar nu este numărul punctelor: o singură pereche $(u,v)$ cu ambele valori strict pozitive dă patru puncte, prin cele două alegeri de semn ale fiecărei coordonate; dacă una dintre valori este nulă, punctele sunt doar două. Iar după ce ai găsit rădăcinile evidente ale unei ecuații de gradul al patrulea, trebuie arătat că factorul de gradul al doilea rămas nu are rădăcini reale.

Exerciții din această mini-lecție

1. Punctele comune a două cercuri distincte, scrise în formă generală, se află:

   • a) pe dreapta care unește centrele
   • b) pe axa $Ox$
   • c) pe cercul cu centrul în mijlocul segmentului centrelor
   • d) pe dreapta obținută scăzând cele două ecuații
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) pe dreapta obținută scăzând cele două ecuații

   Cele două ecuații au aceiași termeni $x^2+y^2$, deci scăderea lor îi elimină și lasă o ecuație de gradul întâi. Orice punct comun verifică ambele ecuații, deci și diferența lor: se află pe acea dreaptă. Problema se reduce astfel la intersecția unei drepte cu un cerc, iar dreapta obținută este perpendiculară pe linia centrelor.

2. Două conice pot avea cel mult:

   • a) trei puncte comune
   • b) patru puncte comune
   • c) o infinitate de puncte comune, dacă sunt de același tip
   • d) două puncte comune
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) patru puncte comune

   Eliminând o variabilă între cele două ecuații de gradul al doilea se ajunge la o ecuație de gradul al patrulea cel mult, care are cel mult patru rădăcini reale. Cazul cercurilor este mai strâns: scăderea coboară gradul la unu, deci cel mult două puncte. Afirmația despre o infinitate ar cere curbe identice, nu conice distincte.

3. Într-un sistem rezolvat cu notațiile $u=x^2$ și $v=y^2$, o soluție cu $u>0$ și $v>0$ dă:

   • a) patru puncte comune
   • b) niciun punct comun
   • c) un punct comun
   • d) două puncte comune
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) patru puncte comune

   Din $x^2=u>0$ rezultă $x=\pm \sqrt{u}$, iar din $y^2=v>0$ rezultă $y=\pm \sqrt{v}$: cele două alegeri de semn, independente, dau $2\cdot 2=4$ puncte, simetrice față de ambele axe. Dacă una dintre valori este nulă, punctele se reduc la două, iar dacă vreuna e negativă, nu există niciun punct real.