Intersecția a două conice

Două antene de radar acoperă fiecare câte un disc, iar zona în care semnalele lor se suprapun este mărginită de arcele celor două cercuri: ca să o descrii, ai nevoie de punctele în care cercurile se taie. Aceeași întrebare apare la orbitele a două sonde, la conturul a două oglinzi suprapuse sau la orice desen tehnic în care două curbe se întâlnesc. Lecția aceasta de clasa a 12-a răspunde în cazul general: cum afli punctele comune a două conice și câte pot fi ele. Intersecția a două conice se determină rezolvând sistemul format din cele două ecuații de gradul al doilea: punctele comune sunt exact soluțiile acestui sistem, iar două conice pot avea cel mult patru astfel de puncte.

Metoda este cea pe care programa o cere explicit — „în studiul pozițiilor relative a două conice se va pune accentul pe folosirea sistemelor de ecuații". Nu există aici o formulă nouă de învățat: totul se reduce la un sistem de două ecuații cu două necunoscute, exact ca sistemele cu ecuații de gradul al doilea din clasa a IX-a. Ce se adaugă este o strategie: pentru fiecare pereche de conice există o mișcare care simplifică sistemul mai repede decât oricare alta, iar recunoașterea ei face diferența dintre trei rânduri de calcul și o pagină întreagă.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii sistemul format din ecuațiile a două conice și să înțelegi de ce soluțiile lui sunt exact punctele comune.
• Vei ști că două conice au cel mult patru puncte comune și de ce, la două cercuri, numărul scade la cel mult două.
• Vei ști să intersectezi două cercuri prin scăderea ecuațiilor, care elimină termenii de gradul al doilea și lasă o dreaptă.
• Vei ști să intersectezi un cerc cu o parabolă, substituind $y^2$, și să discuți toate cazurile, de la zero la patru puncte comune.
• Vei ști să intersectezi o elipsă cu o hiperbolă prin notațiile $u=x^2$, $v=y^2$, care transformă sistemul într-unul liniar.
• Vei ști să respingi soluțiile care nu dau puncte reale și să verifici fiecare punct găsit în ambele ecuații.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă intersecția a două conice?

Intersecția a două conice este mulțimea punctelor care aparțin ambelor curbe, adică mulțimea soluțiilor reale ale sistemului format din cele două ecuații. Fiecare soluție $(x,y)$ a sistemului este un punct comun, iar fiecare punct comun este o soluție: cele două afirmații sunt echivalente, pentru că a fi „pe o conică" înseamnă exact a verifica ecuația ei.

De aici rezultă și disciplina de lucru a întregii lecții: la final, fiecare pereche găsită se substituie în ambele ecuații. O soluție care verifică o singură ecuație este o rădăcină străină, apărută prin ridicare la pătrat sau prin eliminarea neatentă a unei variabile, și trebuie respinsă.

Recunoașterea tipului fiecărei curbe se face înainte de orice calcul, cu tabelul-sinteză de la lecția despre recunoașterea unei conice din ecuație sau din grafic; de tipul lor depinde metoda pe care o alegi.

2. Câte puncte comune pot avea două conice?

Răspunsul scurt: cel mult patru.

Motivul se vede pe cazul cel mai simplu. Dacă una dintre conice permite exprimarea unei variabile în funcție de cealaltă — de pildă parabola $x^2=2py$ dă $y=\frac{x^2}{2p}$ —, atunci înlocuind în a doua ecuație, în care $y$ apare la puterea a doua, obții o ecuație în care $x$ ajunge la puterea a patra. O ecuație de gradul al patrulea are cel mult patru rădăcini reale, deci cel mult patru puncte comune.

La perechile în care apar doar pătratele variabilelor, același număr se obține altfel: sistemul are cel mult o soluție în $\left(x^2,y^2\right)$, iar din ea ies cel mult patru puncte, prin cele două alegeri de semn ale fiecărei coordonate. Vom vedea acest mecanism la punctul $5$.

⚠️ Cele patru sunt un maxim, nu o regulă. Numărul efectiv poate fi $0$, $1$, $2$, $3$ sau $4$, iar la două cercuri el nu trece niciodată de $2$ — și acesta este subiectul secțiunii următoare.

3. Cum intersectezi două cercuri?

Aici există o scurtătură pe care nicio altă pereche de conice nu o are. Scrise în forma generală a ecuației cercului, cele două cercuri au aceiași coeficienți la $x^2$ și la $y^2$, anume $1$. Scăzând ecuațiile, termenii de gradul al doilea se anulează și rămâne o ecuație de gradul întâi, adică o dreaptă (ea poartă numele de dreaptă radicală a celor două cercuri, pe care nu-l vom mai folosi).

Ce câștigi este esențial: orice punct comun al cercurilor verifică ambele ecuații, deci și diferența lor, deci se află pe această dreaptă. Problema „două cercuri" se transformă instantaneu în problema „cerc și dreaptă", pe care ai rezolvat-o la lecția despre intersecția unei conice cu o dreaptă. Și, pentru că o dreaptă taie un cerc în cel mult două puncte, două cercuri au cel mult două puncte comune — mult sub maximul de patru.

Exemplul de lucru. Fie ${\mathcal{C}}_1:x^2+y^2=50$ și ${\mathcal{C}}_2:(x-6{)}^2+(y-2{)}^2=10$. Desfacem al doilea: $x^2+y^2-12x-4y+30=0$. Scădem primul din al doilea și obținem $$-12x-4y+30+50=0⟺3x+y-20=0.$$ Substituim $y=20-3x$ în prima ecuație: $$x^2+(20-3x{)}^2=50⟺10x^2-120x+350=0⟺x^2-12x+35=0,$$ cu rădăcinile $x_1=5$ și $x_2=7$. Punctele comune sunt $(5,5)$ și $(7,-1)$. Verificare în ambele ecuații: $25+25=50$ ✓ și $1+9=10$ ✓ pentru primul; $49+1=50$ ✓ și $1+9=10$ ✓ pentru al doilea.

Celelalte două situații se citesc pe aceeași dreaptă. Pentru $x^2+y^2=9$ și $(x-8{)}^2+y^2=25$, scăderea dă $16x-48=0$, adică $x=3$; substituind, $y^2=0$, deci există un singur punct comun, $(3,0)$ — cercurile sunt tangente, iar distanța dintre centre, $8$, este chiar $3+5$. Pentru $x^2+y^2=4$ și $(x-10{)}^2+y^2=9$, scăderea dă $x=\frac{19}{4}$, iar substituția duce la $y^2=4-\frac{361}{16}<0$: cercurile nu au niciun punct comun, deși dreapta obținută prin scădere există și acolo.

4. Cum intersectezi un cerc cu o parabolă?

Mișcarea potrivită este substituirea lui $y^2$: ecuația parabolei $y^2=2px$ îl dă direct, iar cercul îl conține. Rezultatul este o ecuație de gradul al doilea în $x$, ale cărei rădăcini trebuie apoi filtrate: numai valorile cu $x\ge 0$ dau puncte, pentru că parabola nu are puncte cu abscisă negativă.

Lucrăm pe parabola $y^2=2x$ (deci $2p=2$, $p=1$, focarul $\left(\frac{1}{2},0\right)$) și pe cercuri cu centrul pe axa $Ox$, de forma $(x-h{)}^2+y^2=r^2$. Substituind, obținem de fiecare dată $$(x-h{)}^2+2x-r^2=0⟺x^2+(2-2h)x+h^2-r^2=0.$$ Fiecare rădăcină $x>0$ dă două puncte, $\left(x,\pm \sqrt{2x}\right)$; rădăcina $x=0$ dă unul singur, vârful; rădăcinile negative nu dau niciunul. De aici ies toate cele cinci situații posibile:

Merită citite două rânduri pe îndelete. La primul, rădăcinile sunt $-3\pm \sqrt{6}$; nu e nevoie să le calculezi, pentru că suma lor este $-6<0$ și produsul $3>0$, deci amândouă sunt negative — cercul stă în întregime la stânga axei $Oy$, unde parabola nu are puncte. La al patrulea, rădăcina $x=0$ aduce un singur punct, vârful $(0,0)$, iar $x=2$ aduce două, $(2,\pm 2)$: de aceea totalul este trei, un număr impar, posibil numai când una dintre curbe trece prin vârful celeilalte.

5. Cum intersectezi o elipsă cu o hiperbolă?

Când ambele ecuații conțin numai pătratele variabilelor, sistemul se liniarizează printr-o notație: punem $u=x^2$ și $v=y^2$. Cele două ecuații devin un sistem liniar în $u$ și $v$, pe care îl rezolvi prin metoda reducerii, în două rânduri.

Fie elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ și hiperbola $x^2-\frac{y^2}{3}=1$. Înmulțind prima cu $48$ și a doua cu $3$, obținem $$3u+4v=48,3u-v=3.$$ Scăzând a doua din prima rezultă $5v=45$, deci $v=9$, iar apoi $3u=12$, deci $u=4$.

⚠️ Filtrul obligatoriu: acceptăm doar soluțiile cu $u\ge 0$ și $v\ge 0$, pentru că $u$ și $v$ sunt pătrate. Aici ambele sunt pozitive, deci $x=\pm 2$ și $y=\pm 3$: patru puncte comune, $(2,3)$, $(2,-3)$, $(-2,3)$, $(-2,-3)$. Fiecare verifică ambele ecuații: $\frac{4}{16}+\frac{9}{12}=1$ ✓ și $4-\frac{9}{3}=1$ ✓.

Cele patru puncte sunt vârfurile unui dreptunghi cu centrul în origine — situație tipică, pentru că amândouă curbele sunt simetrice față de ambele axe: dacă un punct e comun, sunt comune și cele trei simetrice ale lui.

Când sistemul liniar dă o soluție inacceptabilă. Pentru aceeași elipsă și hiperbola $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$, sistemul devine $3u+4v=48$ și $u-4v=36$; adunându-le obținem $4u=84$, deci $u=21$ și $v=\frac{48-63}{4}=-\frac{15}{4}<0$. Cum $v=y^2$ nu poate fi negativ, nu există niciun punct comun. Geometric era previzibil: hiperbola are $|x|\ge 6$, elipsa are $|x|\le 4$, deci curbele nici nu se apropie.

6. Ce se întâmplă la două parabole?

Aici apare, în forma cea mai curată, ecuația de gradul al patrulea anunțată la punctul $2$. Fie parabolele $y^2=2x$ și $x^2=2y$, cu axele perpendiculare. Din a doua scoatem $y=\frac{x^2}{2}$ și înlocuim în prima: $$\frac{x^4}{4}=2x⟺x^4-8x=0⟺x\left(x^3-8\right)=0⟺x(x-2)\left(x^2+2x+4\right)=0.$$ Factorul de gradul al doilea are $\Delta =4-16=-12<0$, deci nu are rădăcini reale. Rămân $x=0$ și $x=2$, cărora le corespund $y=0$ și $y=2$: punctele comune sunt $(0,0)$ și $(2,2)$. Verificare: $0=0$ ✓ și $4=2\cdot 2$ ✓.

Fără discuția factorului $x^2+2x+4$ răspunsul ar fi incomplet: „am găsit două puncte" nu înseamnă nimic până nu arăți că celelalte două rădăcini ale ecuației de gradul al patrulea nu sunt reale.

Cele două curbe sunt simetrice una alteia față de prima bisectoare, iar punctele lor comune stau, firesc, chiar pe această bisectoare.

7. Cum se strecoară o soluție falsă?

Toate metodele de mai sus elimină o variabilă, iar eliminarea poate adăuga soluții care nu corespund niciunui punct real. Sunt trei filtre, fiecare legat de o metodă.

• La substituția lui $y^2$ dintr-o parabolă $y^2=2px$: se resping rădăcinile cu $x<0$. Așa a căzut $x=-4$ la cercul $x^2+y^2=8$ de la punctul $4$: ea verifică ecuația de gradul al doilea obținută, dar nu dă niciun punct al parabolei.
• La notațiile $u=x^2$, $v=y^2$: se resping soluțiile cu $u<0$ sau $v<0$, ca la a doua pereche de la punctul $5$.
• La orice ridicare la pătrat: se verifică soluția în ecuația inițială.

Regula unică, valabilă peste tot: substituie fiecare punct găsit în ambele ecuații. Este ultima linie a oricărei rezolvări corecte și singura care garantează răspunsul.

8. Cum alegi metoda și la ce folosesc punctele găsite

Punctele comune nu sunt un scop în sine. Ele delimitează porțiunile pe care o curbă rămâne deasupra celeilalte, deci sunt exact capetele intervalelor între care se măsoară suprafața cuprinsă între cele două curbe — calcul pe care îl vei face la finalul anului, la lecția despre ariile delimitate de două conice. Tot ele intervin și când o conică se determină din condiții, la lecția despre determinarea unei conice din condiții date, unde „trece prin punctele de intersecție ale curbelor…" este o condiție ca oricare alta.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două cercuri secante

Determinăm punctele comune ale cercurilor $x^2+y^2=50$ și $(x-6{)}^2+(y-2{)}^2=10$.

Desfacem al doilea: $x^2-12x+36+y^2-4y+4=10$, adică $x^2+y^2-12x-4y+30=0$. Scădem prima ecuație, scrisă $x^2+y^2-50=0$: $$-12x-4y+80=0⟺3x+y-20=0.$$ Substituim $y=20-3x$ în $x^2+y^2=50$ și obținem $10x^2-120x+350=0$, adică $x^2-12x+35=0$, cu $\Delta =4>0$ și rădăcinile $5$ și $7$.

Punctele sunt $(5,5)$ și $(7,-1)$, iar verificarea în ambele ecuații le confirmă. Observă că am rezolvat un sistem de două ecuații de gradul al doilea fără să calculăm vreodată intersecția a două curbe de gradul al doilea: scăderea a coborât una dintre ele la gradul întâi.

Exemplul 2 — Cercuri tangente și cercuri fără puncte comune

Stabilim numărul punctelor comune ale perechilor: (i) $x^2+y^2=9$ și $(x-8{)}^2+y^2=25$; (ii) $x^2+y^2=4$ și $(x-10{)}^2+y^2=9$.

(i) Al doilea cerc se scrie $x^2+y^2-16x+39=0$, iar scăderea dă $16x-48=0$, adică $x=3$. Substituind în primul, $9+y^2=9$, deci $y=0$: un singur punct comun, $(3,0)$. Cercurile sunt tangente, iar controlul geometric confirmă: distanța dintre centre este $8=3+5$, adică suma razelor.

(ii) Al doilea cerc este $x^2+y^2-20x+91=0$, iar scăderea dă $20x-95=0$, deci $x=\frac{19}{4}$. Substituind în primul, $y^2=4-\frac{361}{16}=-\frac{297}{16}<0$: niciun punct comun. Geometric, distanța dintre centre este $10$, mai mare decât suma razelor, $2+3=5$.

Reține din (ii) că dreapta obținută prin scădere există întotdeauna, chiar și când cercurile nu se ating; ea devine mulțimea punctelor comune doar atunci când există puncte comune.

Exemplul 3 — Un cerc și o parabolă, cu patru puncte comune

Determinăm punctele comune ale parabolei $y^2=2x$ cu cercul $(x-6{)}^2+y^2=20$.

Substituim $y^2=2x$ în ecuația cercului: $$(x-6{)}^2+2x=20⟺x^2-12x+36+2x-20=0⟺x^2-10x+16=0,$$ cu $\Delta =100-64=36>0$ și rădăcinile $x_1=2$, $x_2=8$. Amândouă sunt pozitive, deci fiecare dă câte două puncte: $$x=2⟹y^2=4⟹y=\pm 2,x=8⟹y^2=16⟹y=\pm 4.$$ Punctele comune sunt $(2,2)$, $(2,-2)$, $(8,4)$ și $(8,-4)$ — numărul maxim posibil. Verificăm două dintre ele: pentru $(2,2)$, $4=2\cdot 2$ ✓ și $16+4=20$ ✓; pentru $(8,4)$, $16=2\cdot 8$ ✓ și $4+16=20$ ✓.

Exemplul 4 — O elipsă și o hiperbolă

Determinăm punctele comune ale elipsei $3x^2+4y^2=48$ cu hiperbola $3x^2-y^2=3$.

Aduse la forma canonică, ele sunt $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ — elipsă cu $a=4$ și $b=2\sqrt{3}$ — și $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ — hiperbolă cu $a=1$ și $b=\sqrt{3}$, cu asimptotele $y=\pm \sqrt{3}x$.

Notăm $u=x^2$ și $v=y^2$; sistemul devine $3u+4v=48$ și $3u-v=3$. Scăzând, $5v=45$, deci $v=9$ și $u=4$. Ambele sunt pozitive, deci $x=\pm 2$ și $y=\pm 3$: patru puncte comune, $(\pm 2,\pm 3)$, cu semnele independente.

Verificare pe $(-2,3)$: $3\cdot 4+4\cdot 9=48$ ✓ și $3\cdot 4-9=3$ ✓.

Exemplul 5 — Două parabole

Determinăm punctele comune ale parabolelor $y^2=2x$ și $x^2=2y$ și precizăm unde se află ele.

A doua parabolă are axa $Oy$ și este graficul funcției $y=\frac{x^2}{2}$, cum s-a arătat la lecția despre cele patru orientări ale parabolei. Substituim în prima: $${\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=2x⟺x^4=8x⟺x\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)=0.$$ Ultimul factor are discriminantul $-12<0$, deci nu aduce rădăcini reale. Rămân $x=0$, cu $y=0$, și $x=2$, cu $y=2$.

Punctele comune sunt $(0,0)$ și $(2,2)$, ambele pe dreapta $y=x$ — ceea ce era de așteptat: cele două parabole se obțin una din alta schimbând rolurile lui $x$ și $y$, deci sunt simetrice față de prima bisectoare, iar punctele lor comune trebuie să fie fixe la această simetrie.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră curbele de ecuații $3x^2+4y^2=48$ și $3x^2-y^2=3$.

a) Precizați tipul fiecărei conice și determinați focarele elipsei. Prima are ambele pătrate cu semnul plus și numitori diferiți după normalizare, deci este elipsă: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$, cu $a=4$, $b=2\sqrt{3}$ și $c=\sqrt{16-12}=2$; focarele sunt $F(2,0)$ și $F^{\prime }(-2,0)$. A doua are semnul minus, deci este hiperbolă: $x^2-\frac{y^2}{3}=1$, cu $a=1$ și $b=\sqrt{3}$.

b) Determinați punctele comune ale celor două curbe. Cu $u=x^2$ și $v=y^2$ obținem sistemul $3u+4v=48$, $3u-v=3$, cu soluția $u=4$, $v=9$. Cum ambele valori sunt pozitive, punctele comune sunt $(2,3)$, $(2,-3)$, $(-2,3)$ și $(-2,-3)$.

c) Arătați că cele patru puncte sunt vârfurile unui dreptunghi și calculați aria acestuia. Punctele au abscisele $\pm 2$ și ordonatele $\pm 3$, deci laturile sunt paralele cu axele: două verticale, de lungime $6$, și două orizontale, de lungime $4$. Patrulaterul este deci dreptunghi, cu centrul în origine, iar aria lui este $\mathcal{S}=4\cdot 6=24$.

Să exersăm

1. Determinați punctele comune ale cercurilor $x^2+y^2=10$ și $(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=10$.

2. Arătați că cercurile $x^2+y^2=16$ și $(x-2{)}^2+y^2=4$ au un singur punct comun și determinați-l.

3. Determinați punctele comune ale parabolei $y^2=2x$ cu cercul $x^2+y^2=8$ și precizați care rădăcină a ecuației obținute se respinge.

4. Determinați punctele comune ale parabolei $y^2=2x$ cu cercul $(x-2{)}^2+y^2=4$ și explicați de ce numărul lor este impar.

5. Arătați că parabola $y^2=2x$ și cercul $(x+2{)}^2+y^2=1$ nu au niciun punct comun, fără a calcula rădăcinile ecuației obținute.

6. Determinați punctele comune ale elipsei $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ cu cercul $x^2+y^2=13$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două conice au cel mult două puncte comune."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice soluție a sistemului obținut prin notațiile $u=x^2$, $v=y^2$ dă puncte de intersecție ale celor două conice."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă scăderea ecuațiilor a două cercuri dă o dreaptă, atunci cercurile au cel puțin un punct comun."

10. Determinați punctele comune ale parabolelor $y^2=2x$ și $x^2=2y$, arătând că ecuația de gradul al patrulea obținută are exact două rădăcini reale.

11. Arătați că elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ și hiperbola $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$ nu au niciun punct comun.

12. Calculați aria dreptunghiului determinat de punctele comune ale elipsei $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ cu hiperbola $x^2-\frac{y^2}{3}=1$.

13. Determinați valorile reale ale lui $r>0$ pentru care cercul $x^2+y^2=r^2$ și parabola $y^2=2x$ au exact două puncte comune.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră parabola $y^2=2x$ și cercul $(x-6{)}^2+y^2=20$. a) Determinați focarul și directoarea parabolei. b) Determinați punctele comune ale celor două curbe. c) Arătați că cele patru puncte sunt vârfurile unui trapez și calculați lungimile bazelor lui.

15. (Problemă aplicată.) Două antene acoperă discurile mărginite de cercurile $x^2+y^2=50$ și $(x-6{)}^2+(y-2{)}^2=10$, cu unitatea în kilometri. Determinați capetele arcului comun celor două margini și distanța dintre ele.

16. Determinați punctele comune ale cercului $x^2+y^2=13$ cu hiperbola $x^2-\frac{y^2}{3}=1$.

17. Arătați că, dacă un punct $(x_0,y_0)$ este comun elipsei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ și hiperbolei $\frac{x^2}{A^2}-\frac{y^2}{B^2}=1$, atunci și punctele $(\pm x_0,\pm y_0)$ sunt comune celor două curbe.

18. (Provocare.) Fie două cercuri distincte, scrise în forma generală $x^2+y^2+2m_{1}x+2n_{1}y+p_1=0$ și $x^2+y^2+2m_{2}x+2n_{2}y+p_2=0$, cu centre distincte. Arătați că dreapta obținută prin scăderea ecuațiilor este perpendiculară pe dreapta care unește centrele.

Răspunsuri și explicații

1. Al doilea cerc se scrie $x^2+y^2-8x-4y+10=0$; scăzând $x^2+y^2-10=0$ obținem $-8x-4y+20=0$, adică $2x+y-5=0$. Substituind $y=5-2x$: $x^2+(5-2x{)}^2=10$, deci $5x^2-20x+15=0$ și $x^2-4x+3=0$, cu $x\in \{1,3\}$. Punctele sunt $(1,3)$ și $(3,-1)$; ambele verifică ambele ecuații ✓.

2. Al doilea cerc este $x^2+y^2-4x=0$; scăderea dă $4x-16=0$, adică $x=4$, iar apoi $y^2=0$: singurul punct comun este $(4,0)$. Cercurile sunt tangente interior — distanța dintre centre este $2$, egală cu diferența razelor, $4-2$.

3. Substituind $y^2=2x$: $x^2+2x-8=0$, cu rădăcinile $2$ și $-4$. Se respinge $x=-4$, pentru că parabola nu are puncte cu abscisă negativă. Rămâne $x=2$, cu $y^2=4$: punctele sunt $(2,2)$ și $(2,-2)$.

4. Substituind, $(x-2{)}^2+2x=4$, adică $x^2-2x=0$, cu rădăcinile $0$ și $2$. Rădăcina $x=2$ dă două puncte, $(2,\pm 2)$, iar $x=0$ dă unul singur, vârful $(0,0)$, pentru că acolo $y^2=0$. Numărul este impar exact pentru că cercul trece prin vârful parabolei.

5. Substituind, $(x+2{)}^2+2x=1$, adică $x^2+6x+3=0$. Suma rădăcinilor este $-6<0$, iar produsul este $3>0$, deci ambele rădăcini sunt strict negative; cum parabola cere $x\ge 0$, nu există puncte comune. (Geometric: cercul are centrul în $(-2,0)$ și raza $1$, deci stă în întregime la stânga axei $Oy$.)

6. Din cerc, $y^2=13-x^2$; substituind în $3x^2+4y^2=48$ obținem $3x^2+52-4x^2=48$, adică $x^2=4$ și $x=\pm 2$, apoi $y^2=9$ și $y=\pm 3$. Cele patru puncte comune sunt $(\pm 2,\pm 3)$ — aceleași ca la Exemplul $4$: cercul $x^2+y^2=13$ trece prin toate cele patru.

7. Fals. Maximul este patru, atins de pildă de parabola $y^2=2x$ și cercul $(x-6{)}^2+y^2=20$. Numai la două cercuri maximul coboară la doi, pentru că scăderea ecuațiilor lor produce o dreaptă.

8. Fals. Se acceptă numai soluțiile cu $u\ge 0$ și $v\ge 0$, pentru că $u$ și $v$ sunt pătrate. Contraexemplu: elipsa $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$ și hiperbola $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{9}=1$ dau $u=21$ și $v=-\frac{15}{4}<0$, deci niciun punct comun.

9. Fals. Dreapta se obține prin scădere ori de câte ori cercurile sunt distincte, indiferent de poziția lor. Pentru $x^2+y^2=4$ și $(x-10{)}^2+y^2=9$ ea este $x=\frac{19}{4}$, dar cercurile nu au niciun punct comun, pentru că substituția duce la $y^2<0$.

10. Din $x^2=2y$ rezultă $y=\frac{x^2}{2}$; înlocuind în $y^2=2x$ obținem $x^4=8x$, adică $x(x-2)(x^2+2x+4)=0$. Ultimul factor are $\Delta =4-16=-12<0$, deci rămân doar $x=0$ și $x=2$: punctele sunt $(0,0)$ și $(2,2)$.

11. Cu $u=x^2$, $v=y^2$: $3u+4v=48$ și $u-4v=36$. Adunându-le, $4u=84$, deci $u=21$ și $v=\frac{48-63}{4}=-\frac{15}{4}<0$, imposibil. Geometric: hiperbola are $|x|\ge 6$, iar elipsa $|x|\le 4$.

12. Punctele sunt $(\pm 2,\pm 3)$, deci laturile dreptunghiului măsoară $4$ și $6$, iar aria este $\mathcal{S}=24$.

13. Substituind, $x^2+2x-r^2=0$, cu $\Delta =4+4r^2>0$ mereu; rădăcinile sunt $x=-1\pm \sqrt{1+r^2}$. Cea cu minus este strict negativă și se respinge; cea cu plus este strict pozitivă pentru orice $r>0$, deci dă exact două puncte. Prin urmare orice $r>0$ convine: un cerc cu centrul în origine taie parabola $y^2=2x$ întotdeauna în două puncte.

14. a) Din $2p=2$ rezultă $p=1$, focarul este $\left(\frac{1}{2},0\right)$, iar directoarea $x=-\frac{1}{2}$. b) Substituind, $x^2-10x+16=0$, cu $x\in \{2,8\}$, deci punctele sunt $(2,\pm 2)$ și $(8,\pm 4)$. c) Punctele $(2,2)$ și $(2,-2)$ determină o verticală de lungime $4$; punctele $(8,4)$ și $(8,-4)$ determină o verticală de lungime $8$. Cele două laturi sunt paralele între ele, deci patrulaterul este trapez, cu bazele $4$ și $8$.

15. Punctele comune sunt cele din Exemplul $1$: $(5,5)$ și $(7,-1)$. Distanța dintre ele este $$\sqrt{(7-5{)}^2+(-1-5{)}^2}=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}\approx 6,32\text{ km}.$$

16. Cu $u=x^2$, $v=y^2$: $u+v=13$ și $3u-v=3$. Adunându-le, $4u=16$, deci $u=4$ și $v=9$: punctele sunt $(\pm 2,\pm 3)$. Sunt aceleași patru puncte ca la elipsa din Exemplul $4$, ceea ce arată că prin ele trec mai multe conice.

17. Ambele ecuații conțin variabilele numai la puterea a doua, deci schimbarea semnului lui $x_0$ sau al lui $y_0$ nu modifică valorile $x_0^2$ și $y_0^2$. Prin urmare, dacă $(x_0,y_0)$ verifică ambele ecuații, atunci și $(-x_0,y_0)$, $(x_0,-y_0)$ și $(-x_0,-y_0)$ le verifică: mulțimea punctelor comune este simetrică față de ambele axe și față de origine.

18. Scăderea dă $2\left(m_1-m_2\right)x+2\left(n_1-n_2\right)y+p_1-p_2=0$, adică o dreaptă cu coeficienții $A=2\left(m_1-m_2\right)$ și $B=2\left(n_1-n_2\right)$, nu amândoi nuli, pentru că centrele sunt distincte. Centrele fiind $\left(-m_1,-n_1\right)$ și $\left(-m_2,-n_2\right)$, dreapta care le unește are panta $\frac{n_1-n_2}{m_1-m_2}=\frac{B}{A}$, iar dreapta obținută prin scădere are panta $-\frac{A}{B}$. Produsul pantelor este $-1$, deci dreptele sunt perpendiculare. (Dacă $A=0$, prima este orizontală și a doua verticală; dacă $B=0$, invers.)

De reținut

• Punctele comune a două conice sunt exact soluțiile reale ale sistemului format din ecuațiile lor, iar fiecare punct găsit se verifică obligatoriu în ambele ecuații.
• Două conice au cel mult patru puncte comune, pentru că eliminarea unei variabile duce la o ecuație de gradul al patrulea cel mult; două cercuri au însă cel mult două, pentru că scăderea ecuațiilor lor coboară gradul la unu.
• La două cercuri, scăderea ecuațiilor scrise în forma generală elimină termenii de gradul al doilea și lasă o dreaptă care conține toate punctele comune, reducând problema la intersecția unei drepte cu un cerc.
• La un cerc și o parabolă se substituie $y^2$ din ecuația parabolei și se rețin numai rădăcinile cu abscisă nenegativă, iar numărul punctelor comune poate fi orice număr de la zero la patru.
• La două conice care conțin doar pătratele variabilelor, notațiile $u=x^2$ și $v=y^2$ transformă sistemul într-unul liniar, ale cărui soluții se acceptă numai dacă ambele valori sunt nenegative.

Greșeli frecvente

• Rezolvi sistemul fără să elimini întâi termenii de gradul al doilea. La două cercuri, scăderea ecuațiilor este mișcarea care scurtează totul; fără ea ajungi la calcule de câteva ori mai lungi, cu același rezultat.
• Accepți soluții cu $u<0$ sau $v<0$. Notațiile $u=x^2$, $v=y^2$ sunt comode, dar impun condiții: o valoare negativă înseamnă că sistemul nu are soluții reale, deci că cele două conice nu au puncte comune.
• Uiți să respingi abscisele negative la parabolă. Substituind $y^2=2px$ într-un cerc, ecuația obținută în $x$ poate avea o rădăcină negativă, care nu corespunde niciunui punct al parabolei. Rădăcina verifică ecuația, dar nu și curba.
• Nu discuți factorii rămași la ecuația de gradul al patrulea. După ce ai găsit două rădăcini evidente, trebuie să arăți că factorul de gradul al doilea rămas nu are rădăcini reale; altfel răspunsul „două puncte comune" nu este justificat.
• Confunzi numărul soluțiilor sistemului liniar cu numărul punctelor. O singură pereche $(u,v)$ cu ambele valori strict pozitive dă patru puncte, prin cele două alegeri de semn ale fiecărei coordonate; dacă una dintre valori este zero, punctele sunt doar două.

Aplică acasă

1. Familia de cercuri. Desenează pe hârtie milimetrică parabola $y^2=2x$ și, peste ea, cele cinci cercuri din tabelul de la punctul $4$. Numără de fiecare dată punctele comune și compară cu rezultatul calculului; caută apoi, prin încercări, un cerc care să dea exact trei puncte, altul decât cel din tabel.

2. Dreapta din scădere. Alege trei perechi de cercuri, cu centre și raze la alegerea ta, și scrie pentru fiecare dreapta obținută prin scăderea ecuațiilor. Trasează-le pe desen și verifică cu echerul că fiecare este perpendiculară pe dreapta care unește centrele, chiar și atunci când cercurile nu se ating.

3. Patru curbe prin aceleași patru puncte. Pornind de la punctele $(\pm 2,\pm 3)$, caută o elipsă, o hiperbolă și un cerc care trec prin toate patru, scriind de fiecare dată ecuația și verificând un punct. Vei observa că prin patru puncte așezate simetric trec o infinitate de conice.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă a doua cerință a competenței specifice despre configurații geometrice din programa de matematică-informatică: stabilirea pozițiilor relative a două conice. Sugestiile metodologice cer explicit accentul pe sistemele de ecuații, iar lecția este construită exact pe această idee — nu apar formule noi, ci o strategie de rezolvare, diferită pentru fiecare pereche de curbe.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a sistemului și înțelegerea faptului că soluțiile lui sunt punctele comune; (2) alegerea mișcării potrivite — scădere, substituția lui $y^2$ sau notațiile $u$, $v$; (3) filtrarea soluțiilor care nu dau puncte reale; (4) discutarea completă a factorilor la ecuațiile de grad superior; (5) verificarea finală a fiecărui punct în ambele ecuații; (6) interpretarea geometrică a rezultatului, inclusiv a cazurilor cu zero sau trei puncte comune.

Întrebări bune de control: „De ce două cercuri nu pot avea patru puncte comune?"; „Ce condiție impun notațiile $u=x^2$ și $v=y^2$?"; „Când poate fi impar numărul punctelor comune?"; „Ce faci cu o rădăcină negativă când ai substituit $y^2=2px$?". Un semn sigur că elevul a înțeles: înainte de a calcula, spune ce metodă folosește și de ce.

La BAC, profilul matematică-informatică va conține acest tip de cerință odată cu intrarea în examen a programei noi. Formatul previzibil este cel din Exemplul 6, cu trei subpuncte în stilul Subiectului al II-lea: recunoașterea celor două conice și elementele lor, punctele comune, apoi o proprietate a figurii formate de ele. Ultimul subpunct este și puntea către capitolul de arii de la finalul anului, unde aceleași puncte devin capetele intervalelor de calcul.

Întrebări frecvente

Cum se determină punctele comune a două conice?

Se scrie sistemul format din cele două ecuații și se rezolvă. Mișcarea potrivită depinde de perechea de curbe: la două cercuri se scad ecuațiile, la un cerc și o parabolă se substituie $y^2$, iar la două conice care conțin doar pătratele variabilelor se folosesc notațiile $u=x^2$ și $v=y^2$. La final, fiecare punct se verifică în ambele ecuații.

Câte puncte comune pot avea două conice?

Cel mult patru. Eliminând o variabilă din sistem se ajunge la o ecuație de gradul al patrulea cel mult, care are cel mult patru rădăcini reale. Numărul efectiv poate fi zero, unu, doi, trei sau patru, iar la două cercuri nu trece niciodată de doi, pentru că scăderea ecuațiilor lor lasă o dreaptă.

De ce se scad ecuațiile a două cercuri?

Pentru că, scrise în forma generală, ambele au coeficientul $1$ la $x^2$ și la $y^2$, deci scăderea îi anulează și lasă o ecuație de gradul întâi, adică o dreaptă. Orice punct comun verifică ambele ecuații, deci și diferența lor, deci se află pe acea dreaptă: problema se reduce la intersecția unei drepte cu un cerc.

Ce condiție impun notațiile $u=x^2$ și $v=y^2$?

Amândouă valorile trebuie să fie nenegative, fiind pătrate de numere reale. Dacă sistemul liniar dă o valoare negativă, conicele nu au puncte comune. Dacă amândouă sunt strict pozitive, punctele sunt patru, prin cele două alegeri de semn ale fiecărei coordonate; dacă una este zero, punctele sunt doar două.

Cum poate fi impar numărul punctelor comune?

Când una dintre curbe trece prin vârful celeilalte, situat pe axa de simetrie comună. De exemplu, cercul $(x-2{)}^2+y^2=4$ și parabola $y^2=2x$ au trei puncte comune: vârful $(0,0)$, care este singur pe axă, și perechea simetrică $(2,\pm 2)$.

De ce trebuie respinse unele soluții?

Pentru că eliminarea unei variabile poate introduce valori care nu corespund niciunui punct real. Substituind $y^2=2px$ într-un cerc, o rădăcină negativă a ecuației obținute verifică acea ecuație, dar nu și parabola, care cere $x\ge 0$. La fel, o valoare negativă a lui $u$ sau a lui $v$ nu poate fi pătratul unui număr real.

La ce folosesc punctele de intersecție a două conice?

Ele delimitează porțiunile pe care o curbă rămâne deasupra celeilalte, deci sunt capetele intervalelor pe care se măsoară suprafața cuprinsă între cele două curbe — calcul care se face la finalul clasei a 12-a. Tot ele apar în problemele în care o conică se determină din condiții care includ trecerea prin punctele comune ale altor două curbe.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut, pentru că ele intră în examen odată cu programa nouă. Intersecția a două conice rămâne materie de clasa a 12-a și este cerința care leagă cel mai direct geometria analitică de aplicațiile de la finalul anului, unde aceleași puncte devin limitele de calcul ale ariilor.