Intersecția unei conice cu o dreaptă: pe scurt

Punctele comune ale unei drepte cu o conică sunt soluțiile sistemului format din cele două ecuații; substituția duce la o ecuație de gradul al doilea cel mult, deci punctele comune sunt cel mult două. Cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică: alegi forma dreptei, substitui, verifici coeficientul lui $x^2$ și abia apoi discuți după semnul discriminantului.

Al treilea pas este cel sărit cel mai des. Dacă acel coeficient se anulează, formula discriminantului nu se aplică: ecuația este de gradul întâi și are exact o soluție. Se întâmplă numai la hiperbolă, pentru dreptele paralele cu o asimptotă ($m=\pm \frac{b}{a}$), și la parabolă, pentru dreptele paralele cu axa ($m=0$); în ambele cazuri există un singur punct comun, fără ca dreapta să fie tangentă. Tangența înseamnă rădăcină dublă a unei ecuații de gradul al doilea, nu „un singur punct comun”.

Când coeficientul e nenul, $\Delta >0$ înseamnă secantă, $\Delta =0$ tangentă, $\Delta <0$ exterioară. Tabelul condițiilor de tangență pentru $y=mx+n$: cerc $n^2=r^2(1+m^2)$, elipsă $n^2=a^2{m}^2+b^2$, hiperbolă $n^2=a^2{m}^2-b^2$, parabolă $2mn=p$. Dreapta fără pantă nu se scrie sub forma $y=mx+n$: se substituie $x=x_0$ direct și se discută ecuația în $y$, iar decizia se ia raportând dreapta la axa conicei, nu la axele reperului. Fiecare punct găsit se substituie în ambele ecuații.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dreapta $y=mx+n$ este tangentă elipsei $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ dacă și numai dacă:

   • a) $n^2=a^2{m}^2-b^2$
   • b) $n^2=a^2{m}^2+b^2$
   • c) $n^2=b^2{m}^2+a^2$
   • d) $2mn=b$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $n^2=a^2{m}^2+b^2$

   Substituind dreapta în ecuația elipsei și punând $\Delta =0$ se obține $n^2=a^2{m}^2+b^2$. Varianta cu minus este condiția de la hiperbolă, iar $2mn=p$ este cea de la parabolă. Reține și controlul: pentru $m=0$ condiția dă $n=\pm b$, adică tangentele orizontale în vârfurile de pe axa mică.

2. Dreapta $y=4$ și parabola $y^2=8x$:

   • a) au două puncte comune
   • b) nu au niciun punct comun
   • c) sunt tangente în punctul $(2,4)$
   • d) au exact un punct comun, $(2,4)$, dar dreapta nu este tangentă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) au exact un punct comun, $(2,4)$, dar dreapta nu este tangentă

   Substituind $y=4$ obținem $16=8x$, o ecuație de gradul întâi, cu soluția unică $x=2$. Dreapta este paralelă cu axa parabolei, deci coeficientul lui $x^2$ s-a anulat și criteriul $\Delta$ nu se aplică. Un singur punct comun nu înseamnă tangență: tangenta în $(2,4)$ are altă ecuație, obținută prin dedublare.

3. Poziția dreptei $y=\frac{3}{4}x+2$ față de hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ este:

   • a) secantă, cu două puncte comune
   • b) tangentă
   • c) are exact un punct comun, fără a fi tangentă, fiind paralelă cu o asimptotă
   • d) exterioară
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) are exact un punct comun, fără a fi tangentă, fiind paralelă cu o asimptotă

   Asimptotele au pantele $\pm \frac{b}{a}=\pm \frac{3}{4}$, iar dreapta are exact panta $\frac{3}{4}$. La substituție, coeficientul lui $x^2$ devine $\frac{1}{16}-\frac{9/16}{9}=0$, deci rămâne o ecuație de gradul întâi, cu soluția unică $x=-\frac{13}{3}$. Un singur punct comun, dar fără tangență.