Intersecția unei conice cu o dreaptă

Traiectoria unei sonde care trece pe lângă o planetă este o conică, iar linia de vizare a unei antene de la sol este o dreaptă: întrebarea inginerului — „intră sonda în conul de vizibilitate, îl atinge razant sau trece pe lângă el?" — este exact întrebarea acestei lecții de clasa a 12-a. Ea are o formă matematică simplă: câte puncte comune are o dreaptă cu o conică și cum le afli fără să te uiți la desen. Poziția unei drepte față de o conică se află rezolvând sistemul format din ecuația conicei și ecuația dreptei: dacă ecuația de gradul al doilea obținută are discriminantul pozitiv, dreapta este secantă; dacă e nul, este tangentă; dacă e negativ, dreapta este exterioară.

Ai rezolvat deja cazul cel mai comod, cercul, unde exista o scurtătură geometrică: distanța de la centru la dreaptă, comparată cu raza. Elipsa, hiperbola și parabola nu au „rază", deci scurtătura dispare și rămâne singura metodă care merge peste tot: rezolvi sistemul format din ecuația conicei și ecuația dreptei. Programa cere explicit „stabilirea pozițiilor relative ale unei conice față de o dreaptă" și insistă, în sugestiile metodologice, pe folosirea sistemelor de ecuații. Vei vedea că metoda are patru pași, dintre care unul — al treilea — este cel pe care îl sar aproape toți și care ascunde cele două situații cu adevărat interesante ale capitolului.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii și să rezolvi sistemul format din ecuația unei conice și ecuația unei drepte, prin substituție.
• Vei ști să decizi poziția dreptei — secantă, tangentă sau exterioară — după semnul discriminantului ecuației de gradul al doilea obținute.
• Vei ști să verifici coeficientul termenului de gradul al doilea înainte de a calcula discriminantul și să recunoști cele două conice la care el se poate anula.
• Vei ști de ce o dreaptă paralelă cu axa unei parabole, sau cu o asimptotă a unei hiperbole, taie curba într-un singur punct fără să fie tangentă.
• Vei ști să tratezi separat dreapta fără pantă, substituind direct și discutând ecuația obținută în cealaltă variabilă.
• Vei ști să scrii condiția de tangență a dreptei $y=mx+n$ la fiecare dintre cele patru conice și să o folosești în discuții după parametru.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă poziția unei drepte față de o conică?

Poziția relativă a unei drepte față de o conică este descrierea mulțimii punctelor lor comune: dreapta se numește secantă dacă are două puncte comune cu conica, tangentă dacă are un singur punct comun în care ecuația sistemului dă o rădăcină dublă, și exterioară dacă nu are niciun punct comun cu ea. Mulțimea punctelor comune este exact mulțimea soluțiilor sistemului format din cele două ecuații.

De ce nu pot fi trei puncte comune? Pentru că ecuațiile conicelor din acest capitol conțin variabilele cel mult la puterea a doua. Înlocuind în ecuația conicei expresia lui $y$ scoasă din ecuația dreptei, obții o ecuație de gradul al doilea cel mult, iar o astfel de ecuație are cel mult două soluții reale. Numărul punctelor comune este deci $0$, $1$ sau $2$ — niciodată mai mult.

Cazul cercului l-ai lucrat pe larg la lecția despre pozițiile relative ale unei drepte față de cerc, unde cele două criterii — distanța până la centru și semnul discriminantului — s-au dovedit echivalente. De acum înainte păstrăm doar al doilea criteriu, singurul care funcționează la toate cele patru conice.

Exemplu de încălzire, pe cerc. Pentru $x^2+y^2=20$ și dreapta $2x-y-10=0$ scoatem $y=2x-10$ și substituim: $$x^2+(2x-10{)}^2=20⟺5x^2-40x+80=0⟺x^2-8x+16=0⟺(x-4{)}^2=0.$$ Rădăcina dublă $x=4$ dă $y=-2$: dreapta este tangentă în $(4,-2)$, punct care verifică ambele ecuații ✓.

2. Care sunt cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică?

Metoda este întotdeauna aceeași, iar ordinea pașilor contează. Îi vom numi cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică și îi vom cita ca atare până la sfârșitul unității. Nu sunt cei trei pași ai tangentei la cerc, fixați la lecția anterioară de cerc: aceia scriau o tangentă, aceștia decid o poziție.

1. Alege forma dreptei. Dacă dreapta are pantă, o scrii $y=mx+n$. Dacă nu are — este verticală —, o scrii $x=x_0$ și treci la punctul $5$ al lecției.
2. Substituie expresia lui $y$ în ecuația conicei și adu totul într-un singur membru, ordonat după puterile lui $x$.
3. Privește coeficientul lui $x^2$. Dacă este nenul, ecuația este de gradul al doilea și treci la pasul $4$. Dacă este zero, ecuația a coborât la gradul întâi: dreapta are exact un punct comun cu conica, fără să fie tangentă.
4. Calculează discriminantul și citește poziția: $\Delta >0$ înseamnă secantă, $\Delta =0$ înseamnă tangentă, $\Delta <0$ înseamnă exterioară. Când se cer și punctele, rezolvi ecuația și revii cu fiecare $x$ în ecuația dreptei.

Pasul al treilea pare o formalitate. Nu este: el separă „un punct comun" de „tangentă", două lucruri pe care limbajul curent le confundă și pe care corectorul nu le confundă niciodată.

3. Ce spune discriminantul despre poziția dreptei?

După substituție și reducere, sistemul se strânge într-o singură ecuație, iar numărul rădăcinilor ei reale este numărul punctelor comune. Discriminantul, cunoscut de la deducerea formulelor ecuației de gradul al doilea, decide totul:

Rădăcina dublă este semnătura algebrică a tangenței: cele două puncte de intersecție s-au suprapus. Aceeași idee ai întâlnit-o la clasa a IX-a, când ai studiat dreapta și parabola ca interpretare geometrică a sistemelor; acum ea se aplică tuturor conicelor.

Punând $\Delta =0$ înainte de a ști dacă dreapta e tangentă, obții condiția de tangență a dreptei $y=mx+n$ la fiecare conică — o relație între $m$ și $n$, foarte utilă în discuțiile după parametru. Iat-o dedusă pentru elipsă și scrisă pentru celelalte trei.

Pentru elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, substituind $y=mx+n$ și înmulțind cu $a^2{b}^2$, ajungem la $$\left(b^2+a^2{m}^2\right)x^2+2a^{2}mnx+a^2\left(n^2-b^2\right)=0,$$ cu discriminantul redus $$\frac{\Delta }{4}=a^4{m}^2{n}^2-\left(b^2+a^2{m}^2\right)a^2\left(n^2-b^2\right)=a^2{b}^2\left(a^2{m}^2+b^2-n^2\right).$$ Cum $a^2{b}^2>0$, semnul lui $\Delta$ este semnul lui $a^2{m}^2+b^2-n^2$, iar tangența înseamnă $n^2=a^2{m}^2+b^2$.

Compară a doua coloană cu prima: la cerc și la elipsă coeficientul lui $x^2$ este o sumă de mărimi pozitive, deci nu se anulează niciodată. La hiperbolă el se anulează pentru $m=\pm \frac{b}{a}$, iar la parabolă pentru $m=0$. Exact acolo cade pasul al patrulea — și tocmai despre asta este secțiunea următoare.

4. Când nu se aplică discriminantul?

Când coeficientul lui $x^2$ se anulează, ecuația nu mai este de gradul al doilea, deci $\Delta$ nici nu există. Sunt exact două situații, ambele geometrice.

Prima: dreapta paralelă cu o asimptotă a hiperbolei. Panta $m=\frac{b}{a}$ este panta asimptotei, fixată la lecția despre asimptotele hiperbolei. Pentru $y=\frac{b}{a}x+n$ cu $n\ne 0$, substituția în $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ dă $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{2n}{ab}x-\frac{n^2}{b^2}=1⟺-\frac{2n}{ab}x=\frac{b^2+n^2}{b^2},$$ adică o ecuație de gradul întâi, cu soluția unică $$x=-\frac{a\left(b^2+n^2\right)}{2bn}.$$ Dreapta taie hiperbola într-un singur punct, dar nu este tangentă acolo: tangenta în acel punct are altă pantă. Geometric, dreapta „fuge" paralel cu asimptota și prinde ramura o singură dată. Pentru $n=0$ obținem chiar asimptota, care nu are niciun punct comun cu curba.

A doua: dreapta paralelă cu axa parabolei. Pentru $y^2=2px$, axa este $Ox$, deci dreptele paralele cu axa sunt orizontalele $y=y_0$. Substituind, $y_0^2=2px$ este de gradul întâi în $x$: un singur punct, $\left(\frac{y_0^2}{2p},y_0\right)$, și niciodată tangență. Aceeași concluzie se scrie relativ la axă și pentru celelalte trei orientări fixate la lecția despre cele patru orientări ale parabolei: orice dreaptă paralelă cu axa unei parabole o taie exact într-un punct, iar la formele $x^2=\pm 2py$ axa este $Oy$, deci dreptele „vinovate" sunt verticalele.

5. Cum tratezi dreapta fără pantă?

Dreapta verticală $x=x_0$ nu se scrie sub forma $y=mx+n$ — avertismentul din geometria analitică a clasei a XI-a rămâne valabil. Ce cade este parametrizarea, nu metoda: substitui $x=x_0$ în ecuația conicei și discuți ecuația obținută în $y$.

• La cerc, elipsă și hiperbolă ecuația obținută este de gradul al doilea în $y$, iar criteriul lui $\Delta$ funcționează neschimbat. În practică nici nu ai nevoie de el: rămâne o ecuație de forma $y^2=k$, iar semnul lui $k$ decide — pozitiv înseamnă secantă, nul înseamnă tangentă, negativ înseamnă exterioară.
• La parabolă răspunsul depinde de axa curbei. Dacă axa este $Ox$ (formele $y^2=\pm 2px$), verticala este perpendiculară pe axă și dă gradul al doilea în $y$. Dacă axa este $Oy$ (formele $x^2=\pm 2py$), verticala este paralelă cu axa și intrăm în situația de la punctul $4$: un singur punct comun, fără tangență.

Regula de reținut, formulată o singură dată și valabilă la toate orientările: decizia se ia raportând dreapta la axa conicei, nu la axele reperului.

6. Elipsa și o dreaptă: cele trei poziții pe același exemplu

Lucrăm pe elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$, cu $a=6$, $b=3$ și $c=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$. Condiția de tangență, cu $m=\frac{2}{3}$, dă $n^2=36\cdot \frac{4}{9}+9=25$, deci $n=\pm 5$ separă cele trei cazuri pentru toate dreptele de această pantă.

Secantă. Pentru $y=x-3$, substituind și înmulțind cu $36$, obținem $x^2+4(x-3{)}^2=36$, adică $5x^2-24x=0$, cu $\Delta =576>0$ și rădăcinile $x_1=0$, $x_2=\frac{24}{5}$. Punctele comune sunt $(0,-3)$ și $\left(\frac{24}{5},\frac{9}{5}\right)$; al doilea verifică ecuația elipsei, pentru că $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1$ ✓.

Tangentă. Pentru $2x-3y+15=0$, adică $y=\frac{2}{3}x+5$, avem $n=5$ și condiția de tangență este îndeplinită. Substituția dă $\frac{25}{9}{x}^2+\frac{80}{3}x+64=0$, cu $\Delta =0$ și rădăcina dublă $x=-\frac{24}{5}$: punctul de tangență este $\left(-\frac{24}{5},\frac{9}{5}\right)$.

Exterioară. Pentru $2x-3y+30=0$ avem $n=10$ și $n^2=100>25$: discriminantul iese negativ, deci dreapta trece pe lângă elipsă.

7. Hiperbola și o dreaptă: două situații pe care elipsa nu le are

Lucrăm pe hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$, cu $a=4$, $b=3$, $c=5$ și asimptotele $y=\pm \frac{3}{4}x$. Scrisă fără numitori, ecuația este $9x^2-16y^2=144$.

O secantă care taie ambele ramuri. Pentru $x-2y+4=0$, adică $y=\frac{x}{2}+2$, substituția dă $5x^2-32x-208=0$, cu rădăcinile $x_1=-4$ și $x_2=\frac{52}{5}$. Punctele sunt $(-4,0)$ — chiar vârful din stânga — și $\left(\frac{52}{5},\frac{36}{5}\right)$, aflat pe ramura din dreapta. Explicația: panta $\frac{1}{2}$ este mai mică decât panta asimptotei, $\frac{3}{4}$, deci dreapta este mai „culcată" decât asimptotele și traversează ambele ramuri.

O dreaptă care nu taie deloc curba, deși trece prin centru. Pentru $y=2x$, substituția dă $-55x^2=144$, imposibil în numere reale. Panta $2$ depășește panta asimptotelor, deci dreapta rămâne captivă în unghiul care conține axa $Oy$ — regiune în care hiperbola nu are niciun punct.

Dreapta paralelă cu o asimptotă. Pentru $3x-4y+24=0$, adică $y=\frac{3}{4}x+6$, coeficientul lui $x^2$ se anulează. Formula de la punctul $4$ dă $x=-\frac{4(9+36)}{2\cdot 3\cdot 6}=-5$, deci singurul punct comun este $\left(-5,\frac{9}{4}\right)$, care într-adevăr verifică $\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1$ ✓. Tangenta în acel punct este însă altă dreaptă, $5x+4y+16=0$, cum se va vedea la lecția despre tangenta într-un punct al unei conice prin metoda dedublării.

8. Cum alegi calea

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei drepte, aceeași elipsă

Stabilim poziția dreptelor $d_1:y=x-3$, $d_2:2x-3y+15=0$ și $d_3:2x-3y+30=0$ față de elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

Pentru $d_1$: substituind, $x^2+4(x-3{)}^2=36$, adică $5x^2-24x=0$; coeficientul lui $x^2$ este $5\ne 0$, iar $\Delta =576>0$, deci $d_1$ este secantă, în $(0,-3)$ și $\left(\frac{24}{5},\frac{9}{5}\right)$.

Pentru $d_2$ și $d_3$ folosim condiția de tangență, mai rapidă: ambele au $m=\frac{2}{3}$, deci pragul este $n^2=36\cdot \frac{4}{9}+9=25$. La $d_2$ avem $n=5$ și $n^2=25$, deci tangentă; la $d_3$ avem $n=10$ și $n^2=100>25$, deci exterioară.

Exemplul 2 — Drepte verticale față de aceeași elipsă

Stabilim poziția dreptelor $x=\frac{24}{5}$, $x=6$ și $x=8$ față de elipsa de mai sus.

Substituim direct și obținem de fiecare dată o ecuație în $y$ de forma $y^2=9\left(1-\frac{x_0^2}{36}\right)$.

Pentru $x=\frac{24}{5}$: $y^2=9\left(1-\frac{16}{25}\right)=\frac{81}{25}>0$, deci secantă, în $\left(\frac{24}{5},\pm \frac{9}{5}\right)$. Pentru $x=6$: $y^2=0$, rădăcină dublă, deci tangentă, în vârful $(6,0)$. Pentru $x=8$: $y^2=9\left(1-\frac{64}{36}\right)=-7<0$, deci exterioară.

Observă cât de scurtă e discuția: la o conică cu ambele variabile la pătrat, verticala reduce totul la semnul unui număr.

Exemplul 3 — O secantă care taie ambele ramuri ale hiperbolei

Determinăm punctele comune ale dreptei $x-2y+4=0$ cu hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ și explicăm de ce ele sunt pe ramuri diferite.

Din dreaptă, $y=\frac{x}{2}+2$. Înlocuind în $9x^2-16y^2=144$: $$9x^2-16{\left(\frac{x}{2}+2\right)}^2=144⟺9x^2-4x^2-32x-64=144⟺5x^2-32x-208=0.$$ Coeficientul lui $x^2$ este $5\ne 0$, iar $\Delta =1024+4160=5184=72^2>0$, deci dreapta este secantă. Rădăcinile sunt $x_1=-4$ și $x_2=\frac{52}{5}$, cu $y_1=0$ și $y_2=\frac{36}{5}$.

Verificăm ambele puncte în ecuația hiperbolei: $\frac{16}{16}-0=1$ ✓ și $\frac{169}{25}-\frac{144}{25}=1$ ✓. Cum $|m|=\frac{1}{2}<\frac{3}{4}=\frac{b}{a}$, dreapta este mai puțin înclinată decât asimptotele, deci străbate ambele ramuri.

Exemplul 4 — Un punct comun care nu înseamnă tangență

Arătăm că dreapta $3x-4y+24=0$ are exact un punct comun cu hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ și că nu este tangentă acolo.

Dreapta se scrie $y=\frac{3}{4}x+6$, iar $\frac{3}{4}$ este chiar panta asimptotei. Coeficientul lui $x^2$ după substituție este $b^2-a^2{m}^2=9-16\cdot \frac{9}{16}=0$, deci ecuația coboară la gradul întâi: $$-\frac{2\cdot 6}{4\cdot 3}x=\frac{9+36}{9}⟺-x=5⟺x=-5.$$ Punctul comun este $\left(-5,\frac{9}{4}\right)$, iar substituția în ecuația hiperbolei dă $\frac{25}{16}-\frac{81}{16\cdot 9}=\frac{25-9}{16}=1$ ✓.

Nu este tangentă: o dreaptă tangentă ar fi trebuit să dea o rădăcină dublă a unei ecuații de gradul al doilea, iar aici ecuația nici nu este de gradul al doilea. Prin punctul $\left(-5,\frac{9}{4}\right)$ trece și o tangentă adevărată, dar are altă pantă.

Exemplul 5 — Parabola și patru drepte

Stabilim poziția dreptelor $y=x$, $y=x+3$, $y=x+4$ și $y=6$ față de parabola $y^2=12x$.

Aici $2p=12$, deci $p=6$, focarul este $(3,0)$ și directoarea $x=-3$.

Pentru primele trei, coeficientul lui $x^2$ este $m^2=1\ne 0$ și substituim $y=x+n$ în $y^2=12x$, obținând $x^2+(2n-12)x+n^2=0$.

• $n=0$: $x^2-12x=0$, cu $\Delta =144>0$ și rădăcinile $0$ și $12$ — secantă, în $(0,0)$ și $(12,12)$.
• $n=3$: $x^2-6x+9=0$, adică $(x-3{)}^2=0$, cu $\Delta =0$ — tangentă, în $(3,6)$. Condiția $2mn=p$ confirmă: $2\cdot 1\cdot 3=6=p$ ✓.
• $n=4$: $x^2-4x+16=0$, cu $\Delta =-48<0$ — exterioară.

Pentru $y=6$ pasul al treilea oprește calculul: dreapta este orizontală, deci paralelă cu axa parabolei, iar substituția dă $36=12x$, o ecuație de gradul întâi cu soluția $x=3$. Un singur punct comun, $(3,6)$ — același ca la tangentă, dar dreapta nu este tangentă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ și dreptele $d_n:y=\frac{2}{3}x+n$, unde $n$ este un număr real.

a) Determinați semiaxele, focarele și excentricitatea elipsei. Din numitori, $a=6$ și $b=3$, deci $c=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$. Focarele sunt $F\left(3\sqrt{3},0\right)$ și $F^{\prime }\left(-3\sqrt{3},0\right)$, iar excentricitatea este $e=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) Determinați valorile lui $n$ pentru care $d_n$ este tangentă elipsei și scrieți ecuațiile celor două tangente. Condiția de tangență este $n^2=a^2{m}^2+b^2=36\cdot \frac{4}{9}+9=25$, deci $n\in \{-5,5\}$. Tangentele sunt $2x-3y+15=0$ și $2x-3y-15=0$.

c) Discutați, după $n$, numărul punctelor comune ale dreptei $d_n$ cu elipsa. Semnul lui $\Delta$ este semnul lui $25-n^2$, deci: pentru $n\in (-5,5)$ dreapta este secantă și avem două puncte comune; pentru $n\in \{-5,5\}$ este tangentă și avem unul singur; pentru $|n|>5$ este exterioară și nu avem niciunul.

Să exersăm

1. Stabiliți poziția dreptei $y=x+1$ față de elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ și determinați punctele comune, dacă există.

2. Determinați valorile reale ale lui $n$ pentru care dreapta $y=\frac{1}{3}x+n$ este tangentă elipsei $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

3. Stabiliți poziția dreptei $x=5$ față de elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

4. Determinați punctele comune ale dreptei $y=2x-10$ cu parabola $y^2=12x$.

5. Arătați că dreapta $y=3$ are exact un punct comun cu parabola $y^2=12x$ și precizați dacă este tangentă.

6. Determinați valoarea lui $n$ pentru care dreapta $y=2x+n$ este tangentă parabolei $y^2=12x$, folosind condiția $2mn=p$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o dreaptă are exact un punct comun cu o conică, atunci ea este tangentă conicei."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Coeficientul lui $x^2$ obținut prin substituirea unei drepte $y=mx+n$ în ecuația unei elipse nu se poate anula."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O dreaptă poate avea trei puncte comune cu o hiperbolă, pentru că hiperbola are două ramuri."

10. Stabiliți poziția dreptei $y=\frac{x}{4}$ față de hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ și precizați pe ce ramuri se află punctele comune.

11. Arătați că dreapta $3x+4y-24=0$ are exact un punct comun cu hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ și determinați-l.

12. Stabiliți poziția dreptelor $x=5$, $x=4$ și $x=2$ față de hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

13. Determinați valorile reale ale lui $n$ pentru care dreapta $y=\frac{5}{4}x+n$ este tangentă hiperbolei $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

14. Arătați că dreapta $y=2x$ nu are niciun punct comun cu hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$, deși trece prin centrul ei.

15. (Problemă aplicată.) O grădină are forma interiorului elipsei $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$, cu unitatea în zeci de metri, iar o alee dreaptă urmează dreapta $y=x-3$. Determinați capetele aleii din interiorul grădinii și lungimea ei.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră parabola $y^2=12x$. a) Determinați parametrul, focarul și directoarea. b) Stabiliți poziția dreptei $y=x+4$ față de parabolă. c) Determinați valoarea lui $n$ pentru care dreapta $y=x+n$ este tangentă parabolei și precizați punctul de tangență.

17. Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care dreapta $y=mx+6$ este tangentă elipsei $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$.

18. (Provocare.) Arătați că orice dreaptă de pantă $m$ cu $|m|<\frac{b}{a}$ taie hiperbola $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ în exact două puncte, situate pe ramuri diferite.

Răspunsuri și explicații

1. Substituind, $x^2+4(x+1{)}^2=36$, adică $5x^2+8x-32=0$, cu $\Delta =64+640=704>0$: secantă. Rădăcinile sunt $x=\frac{-4\pm 4\sqrt{11}}{5}$, deci punctele nu au coordonate raționale — ceea ce nu schimbă cu nimic concluzia despre poziție.

2. Condiția de tangență: $n^2=36\cdot \frac{1}{9}+9=13$, deci $n\in \left\{-\sqrt{13},\sqrt{13}\right\}$.

3. $y^2=9\left(1-\frac{25}{36}\right)=\frac{11}{4}>0$, deci secantă, în $\left(5,\pm \frac{\sqrt{11}}{2}\right)$.

4. $(2x-10{)}^2=12x$ dă $4x^2-52x+100=0$, adică $x^2-13x+25=0$, cu $\Delta =169-100=69>0$: secantă, cu $x=\frac{13\pm \sqrt{69}}{2}$ și $y=2x-10$.

5. Dreapta este orizontală, deci paralelă cu axa $Ox$ a parabolei: coeficientul lui $x^2$ este $m^2=0$. Substituția dă $9=12x$, adică $x=\frac{3}{4}$, deci punctul unic este $\left(\frac{3}{4},3\right)$. Nu este tangentă, pentru că ecuația nu este de gradul al doilea și nu există rădăcină dublă.

6. Aici $p=6$, deci $2\cdot 2\cdot n=6$ și $n=\frac{3}{2}$. Tangenta este $y=2x+\frac{3}{2}$. Control: ${\left(2x+\frac{3}{2}\right)}^2=12x$ dă $4x^2-6x+\frac{9}{4}=0$, cu $\Delta =36-36=0$ ✓.

7. Fals. Contraexemplul canonic este dreapta $y=6$ și parabola $y^2=12x$: un singur punct comun, $(3,6)$, dar ecuația obținută este de gradul întâi, deci nu există rădăcină dublă. La fel, orice dreaptă paralelă cu o asimptotă a unei hiperbole.

8. Adevărat. Coeficientul este $b^2+a^2{m}^2$, sumă de un număr strict pozitiv și unul nenegativ, deci strict pozitiv pentru orice $m$. La elipsă și la cerc pasul al treilea nu produce niciodată surprize; la hiperbolă și la parabolă, da.

9. Fals. Numărul ramurilor nu schimbă gradul ecuației. După substituție rămâne o ecuație de gradul al doilea cel mult, deci cel mult două puncte comune; ele pot fi pe aceeași ramură sau pe ramuri diferite, dar sunt cel mult două.

10. Panta $\frac{1}{4}$ este mai mică decât $\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$, deci ne așteptăm la două puncte, pe ramuri diferite. Substituind în $9x^2-16y^2=144$: $9x^2-x^2=144$, deci $x^2=18$ și $x=\pm 3\sqrt{2}$. Cum $3\sqrt{2}\approx 4,24>4=a$, cele două valori sunt de o parte și de alta, deci punctele sunt pe ramuri diferite.

11. Dreapta se scrie $y=-\frac{3}{4}x+6$, iar $-\frac{3}{4}$ este panta celeilalte asimptote: coeficientul lui $x^2$ se anulează. Substituind, $9x^2-16{\left(-\frac{3}{4}x+6\right)}^2=144$ dă $144x-576=144$, adică $x=5$ și $y=\frac{9}{4}$. Punctul unic este $\left(5,\frac{9}{4}\right)$, care verifică $\frac{25}{16}-\frac{9}{16}=1$ ✓.

12. Din $y^2=9\left(\frac{x_0^2}{16}-1\right)$: pentru $x=5$, $y^2=\frac{81}{16}>0$, secantă în $\left(5,\pm \frac{9}{4}\right)$; pentru $x=4$, $y^2=0$, tangentă în vârful $(4,0)$; pentru $x=2$, $y^2=-\frac{27}{4}<0$, exterioară.

13. Condiția de tangență la hiperbolă: $n^2=a^2{m}^2-b^2=16\cdot \frac{25}{16}-9=16$, deci $n\in \{-4,4\}$. Tangentele sunt $5x-4y+16=0$ și $5x-4y-16=0$.

14. Substituind, $9x^2-64x^2=144$, adică $-55x^2=144$, ecuație fără soluții reale. Geometric: panta $2$ este mai mare decât panta asimptotelor, $\frac{3}{4}$, deci dreapta rămâne în regiunea dintre ramuri, unde curba nu are puncte.

15. Capetele sunt punctele găsite la secantă: $(0,-3)$ și $\left(\frac{24}{5},\frac{9}{5}\right)$. Lungimea aleii este $$\sqrt{{\left(\frac{24}{5}\right)}^2+{\left(\frac{9}{5}+3\right)}^2}=\sqrt{\frac{576}{25}+\frac{576}{25}}=\frac{24\sqrt{2}}{5}\approx 6,79,$$ adică aproximativ $67,9$ metri.

16. a) $2p=12$, deci $p=6$, focarul este $(3,0)$, directoarea $x=-3$. b) $(x+4{)}^2=12x$ dă $x^2-4x+16=0$, cu $\Delta =-48<0$: exterioară. c) Condiția $2mn=p$ cu $m=1$ dă $n=3$; tangenta este $y=x+3$, iar din $(x-3{)}^2=0$ punctul de tangență este $(3,6)$.

17. Condiția $n^2=36m^2+9$ cu $n=6$ dă $36=36m^2+9$, adică $m^2=\frac{3}{4}$ și $m=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

18. Substituind $y=mx+n$ în $b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2$, coeficientul lui $x^2$ este $b^2-a^2{m}^2$, strict pozitiv exact când $|m|<\frac{b}{a}$; ecuația este deci de gradul al doilea. Discriminantul redus este $a^2{b}^2\left(n^2+b^2-a^2{m}^2\right)$, iar $b^2-a^2{m}^2>0$ îl face strict pozitiv, deci există două puncte distincte. Produsul rădăcinilor este $\frac{-a^2\left(n^2+b^2\right)}{b^2-a^2{m}^2}<0$, deci abscisele au semne contrare; cum pe o ramură toate abscisele au același semn, punctele sunt pe ramuri diferite.

De reținut

• Punctele comune ale unei drepte cu o conică sunt soluțiile sistemului format din cele două ecuații, iar rezolvarea prin substituție duce la o ecuație de gradul al doilea cel mult, deci punctele comune sunt cel mult două.
• Cei patru pași ai intersecției dreaptă–conică sunt: alegi forma dreptei, substitui, verifici coeficientul lui $x^2$ și abia apoi discuți după semnul discriminantului.
• Discriminantul pozitiv înseamnă dreaptă secantă, discriminantul nul înseamnă dreaptă tangentă cu rădăcină dublă, iar discriminantul negativ înseamnă dreaptă exterioară.
• Coeficientul lui $x^2$ se anulează numai la hiperbolă, pentru dreptele paralele cu o asimptotă, și la parabolă, pentru dreptele paralele cu axa; în ambele cazuri există exact un punct comun, fără ca dreapta să fie tangentă.
• Dreapta fără pantă se studiază substituind direct abscisa ei în ecuația conicei și discutând ecuația obținută în cealaltă variabilă, iar decizia se ia raportând dreapta la axa conicei, nu la axele reperului.

Greșeli frecvente

• Calculezi $\Delta$ fără să te uiți la coeficientul lui $x^2$. Dacă acesta este zero, formula discriminantului nu se aplică: ecuația este de gradul întâi și are exact o soluție. La hiperbolă pățești asta pentru $m=\pm \frac{b}{a}$, la parabolă pentru $m=0$.
• Declari „tangentă" ori de câte ori găsești un singur punct comun. Tangența înseamnă rădăcină dublă a unei ecuații de gradul al doilea. Dreapta $y=6$ taie parabola $y^2=12x$ doar în $(3,6)$, dar nu este tangentă acolo; tangenta în acel punct este $y=x+3$.
• Încerci să scrii o dreaptă verticală sub forma $y=mx+n$. Fasciculul de drepte cu pantă nu conține verticalele. Substitui $x=x_0$ direct și discuți ecuația obținută în $y$; la parabolele cu axa $Oy$, verticala este chiar dreapta paralelă cu axa.
• Uiți să verifici punctele găsite în ecuația conicei. După ce afli $x$ din ecuația de gradul al doilea și $y$ din ecuația dreptei, substituie perechea în ambele ecuații. Este singurul control care prinde o eroare de semn făcută la desfacerea parantezelor.
• Crezi că o dreaptă care trece prin centrul unei hiperbole o taie obligatoriu. Dreapta $y=2x$ trece prin centrul hiperbolei $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ și nu are niciun punct comun cu ea, pentru că panta ei depășește panta asimptotelor.

Aplică acasă

1. Trei drepte paralele. Desenează pe hârtie milimetrică elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ și, peste ea, dreptele de pantă $\frac{2}{3}$ cu $n\in \{0,3,5,7\}$. Verifică vizual că pragul este exact $n=5$ și măsoară, pentru fiecare secantă, lungimea coardei tăiate.

2. Vânătoarea de rădăcini duble. Alege cinci puncte cu coordonate simple de pe parabola $y^2=12x$ și, pentru fiecare, caută prin încercări valoarea lui $n$ pentru care dreapta $y=x+n$ trece prin el. Scrie de fiecare dată ecuația de gradul al doilea obținută și observă că discriminantul se anulează într-un singur caz.

3. Asimptota și paralelele ei. Trasează hiperbola $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ împreună cu asimptota $y=\frac{3}{4}x$ și cu trei paralele la ea. Numără punctele comune în fiecare caz și compară cu rezultatul formulei $x=-\frac{a\left(b^2+n^2\right)}{2bn}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde primei cerințe a competenței specifice despre configurații geometrice din programa de matematică-informatică: stabilirea pozițiilor relative ale unei conice față de o dreaptă. Sugestiile metodologice cer explicit accentul pe folosirea sistemelor de ecuații, iar lecția face exact asta: metoda geometrică rămâne o scurtătură valabilă doar la cerc, iar peste tot altundeva se lucrează algebric.

Ce verifică lecția: (1) rezolvarea corectă a sistemului prin substituție, cu reducerea la o singură ecuație; (2) verificarea coeficientului termenului de gradul al doilea înainte de discriminant; (3) discuția completă după semnul discriminantului; (4) tratarea separată a dreptei fără pantă; (5) recunoașterea celor două situații în care apare un singur punct comun fără tangență; (6) folosirea condiției de tangență în discuțiile după parametru.

Întrebări bune de control: „Câte puncte comune poate avea cel mult o dreaptă cu o conică și de ce?"; „Ce verifici înainte de a calcula discriminantul?"; „Dă un exemplu de dreaptă cu un singur punct comun care nu este tangentă"; „De ce nu poți scrie orice dreaptă sub forma $y=mx+n$?". Un semn sigur că elevul a înțeles: după ce află punctele, le substituie singur în ambele ecuații.

La BAC, profilul matematică-informatică va conține acest tip de cerință odată cu intrarea în examen a programei noi. Formatul previzibil este cel din Exemplul 6, cu trei subpuncte în stilul Subiectului al II-lea: elementele conicei, poziția unei drepte concrete, apoi discuția după un parametru. Exercițiile de aici sunt gândite în acest format, ca deprinderea de redactare să se formeze de pe acum.

Întrebări frecvente

Cum se stabilește poziția unei drepte față de o conică?

Se rezolvă sistemul format din ecuația conicei și ecuația dreptei, prin substituție. Rezultă o ecuație de gradul al doilea cel mult; dacă este de gradul al doilea, semnul discriminantului decide: pozitiv înseamnă dreaptă secantă, nul înseamnă tangentă, negativ înseamnă exterioară. Dacă nu este de gradul al doilea, dreapta are exact un punct comun cu conica.

Câte puncte comune poate avea o dreaptă cu o conică?

Cel mult două. Motivul este algebric: după substituție rămâne o ecuație în care necunoscuta apare cel mult la puterea a doua, iar o astfel de ecuație are cel mult două soluții reale. Faptul că hiperbola are două ramuri nu schimbă nimic: cele două puncte pot fi pe aceeași ramură sau pe ramuri diferite.

Ce înseamnă că discriminantul este nul?

Înseamnă că ecuația obținută după substituție are o rădăcină dublă, deci cele două puncte de intersecție s-au suprapus într-unul singur: dreapta este tangentă conicei. Rădăcina dublă este semnătura algebrică a tangenței și este singurul criteriu care funcționează la toate cele patru conice ale capitolului.

De ce o dreaptă paralelă cu axa unei parabole nu este tangentă?

Pentru că substituția ei în ecuația parabolei dă o ecuație de gradul întâi, nu de gradul al doilea, deci nu poate exista rădăcină dublă. Dreapta întâlnește curba o singură dată și o traversează, în loc să o atingă. Același lucru se întâmplă la hiperbolă cu dreptele paralele cu o asimptotă.

Cum se lucrează cu o dreaptă verticală?

Se substituie direct $x=x_0$ în ecuația conicei și se discută ecuația obținută în $y$. La cerc, elipsă și hiperbolă ea are forma $y^2=k$, iar semnul lui $k$ decide poziția: pozitiv înseamnă secantă, nul înseamnă tangentă, negativ înseamnă exterioară. La parabolă răspunsul depinde de orientarea curbei.

Care este condiția de tangență a unei drepte la elipsă?

Pentru elipsa $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ și dreapta $y=mx+n$, condiția este $n^2=a^2{m}^2+b^2$. Ea se obține punând discriminantul egal cu zero. Analogele sunt $n^2=a^2{m}^2-b^2$ la hiperbolă, $2mn=p$ la parabola $y^2=2px$ și $n^2=r^2\left(1+m^2\right)$ la cercul cu centrul în origine.

La ce folosește condiția de tangență în probleme?

Scurtează enorm discuțiile după parametru: în loc să calculezi discriminantul de fiecare dată, compari o singură dată $n^2$ cu valoarea-prag. Pentru elipsa $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$ și pantă $\frac{2}{3}$, pragul este $25$: sub el dreapta este secantă, pe el tangentă, peste el exterioară.

Apar conicele în subiectele de Bacalaureat M1?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut, pentru că ele intră în examen odată cu programa nouă. Pozițiile relative rămân însă materie de clasa a 12-a și se folosesc imediat mai departe: punctele de intersecție găsite aici sunt capetele intervalelor pe care se calculează, la finalul anului, ariile mărginite de conice și de drepte.