Inversa la ordinul 4 și matrice cu parametru: pe scurt

Programa oprește calculul inversei la ordinul $4$, iar trecerea de la $3$ la $4$ nu aduce nicio idee nouă — doar volum: nu nouă determinanți de ordinul al doilea, ci șaisprezece de ordinul al treilea. De aceea lecția este despre strategie.

Determinantul se calculează inteligent, dezvoltând după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, ca să faci un singur determinant de ordin $3$ în loc de patru. Și, din nou: regula lui Sarrus nu se aplică la ordinul $4$.

Adjuncta cere însă toți cei $16$ complemenți — aici nu există scurtătură. Un control gratuit: dezvoltarea după două linii diferite trebuie să dea aceeași valoare a determinantului.

Trei structuri fac calculul aproape gratuit și merită recunoscute din prima privire. O matrice diagonală cu elementele $d_1,\dots ,d_n$ nenule are inversa diagonală, cu $\frac{1}{d_k}$ pe diagonală. O matrice triunghiulară are determinantul egal cu produsul diagonalei, iar inversa tot triunghiulară, de același fel. O matrice cu blocuri de ordin $2$ pe diagonală și zerouri în rest are determinantul egal cu produsul determinanților blocurilor, iar inversa se obține inversând fiecare bloc separat.

Discuția cu parametru are trei pași: calculezi $\det A(m)$, îl scrii factorizat și rezolvi $\det A(m)=0$; răspunsul se dă ca mulțime de valori excluse, de forma $\mathbb{R}\setminus \{\dots \}$. Factorizarea e pasul care transformă discuția într-un răspuns: din $(m-1{)}^2(m+2)$ citești rădăcinile dintr-o privire, din $m^3-3m+2$ nu. Atenție la formularea cerinței — „pentru ce valori este inversabilă" și „pentru ce valori nu este" cer răspunsuri complementare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ 5& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& 3\\ 0& 0& 1& 2\end{array}\right)$. Care afirmație este adevărată?

   • a) $\det A=0$, deci $A$ nu este inversabilă
   • b) $\det A=1$, deci $A$ este inversabilă
   • c) $\det A=2$, deci $A$ este inversabilă
   • d) $\det A=-1$, deci $A$ este inversabilă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\det A=1$, deci $A$ este inversabilă

   Matricea are două blocuri de ordin $2$ pe diagonală și zerouri în rest, deci determinantul este produsul determinanților blocurilor: $\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right|=1$ și $\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=1$, deci $\det A=1\cdot 1=1\ne 0$. Inversa se obține inversând fiecare bloc separat și are elemente întregi, pentru că determinantul este $1$.

2. Pentru ce valori reale ale lui $m$ este inversabilă matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 0& 0\\ 1& m& 0& 0\\ 0& 0& 3& m\\ 0& 0& m& 3\end{array}\right)$?

   • a) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$
   • b) $m\in \{-3,-1,1,3\}$
   • c) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$
   • d) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-3,-1,1,3\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $m\in \mathbb{R}\setminus \{-3,-1,1,3\}$

   Matricea are două blocuri, cu determinanții $m^2-1$ și $9-m^2$, deci $\det A(m)=(m^2-1)(9-m^2)=(m-1)(m+1)(3-m)(3+m)$. Determinantul se anulează pentru $m\in \{-3,-1,1,3\}$, deci matricea este inversabilă pentru toate celelalte valori. Variantele a) și c) rețin doar câte un bloc, iar b) răspunde la întrebarea opusă.

3. Câți determinanți de ordinul al treilea trebuie calculați pentru a scrie matricea adjunctă a unei matrice de ordinul al patrulea?

   • a) $4$
   • b) $8$
   • c) $16$
   • d) $24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $16$

   Adjuncta are $4\times 4=16$ elemente, iar fiecare este un complement algebric, adică un determinant de ordinul al treilea cu semnul poziției. Scurtătura există doar la determinant — el se poate obține cu un singur minor, dacă alegi o linie cu trei zerouri. Numărul $24$ este numărul termenilor determinantului, nu al complemenților.