Inversa unei matrice de ordin 4. Matrice cu parametru

Programa clasei a XI-a pune o limită clară: „se vor calcula inversele unor matrice pătratice din ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, cu $n\le 4$". Ordinul $4$ este capătul drumului — și tot el e locul unde algoritmul învățat data trecută începe să coste. Trecerea de la $3$ la $4$ nu aduce nicio idee nouă, dar înmulțește munca: nu nouă determinanți de ordinul al doilea, ci șaisprezece de ordinul al treilea.

De aceea lecția e mai puțin despre teorie și mai mult despre strategie: cum alegi linia după care dezvolți, cum recunoști structurile care fac calculul aproape gratuit (diagonale, triunghiulare, cu blocuri) și cum ții socoteala semnelor. Partea a doua răspunde la întrebarea preferată a subiectelor de Bacalaureat M1: pentru ce valori ale parametrului este matricea inversabilă? — care, prin criteriul determinantului, devine o simplă ecuație.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi determinantul unei matrice de ordin $4$, alegând linia cu cele mai multe zerouri.
• Vei ști să organizezi cei $16$ complemenți algebrici într-un tabel și să construiești adjuncta corect.
• Vei ști să determini inversa unei matrice de ordin $4$ și să o verifici prin $A\cdot A^{-1}=I_4$.
• Vei ști să inversezi rapid matricele diagonale, triunghiulare și cu blocuri.
• Vei ști să faci discuția inversabilității unei matrice cu parametru, rezolvând $\det A(m)=0$.
• Vei ști să calculezi inversa unei matrice cu parametru pentru o valoare dată, ca la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Cât costă, de fapt, ordinul $4$

Algoritmul din Calculul inversei cu matricea adjunctă rămâne același: determinant, complemenți, transpunere, împărțire. Se schimbă doar volumul.

Șaisprezece determinanți de ordinul al treilea înseamnă aproape o sută de produse. De aici două reguli:

1. Determinantul se calculează inteligent, alegând linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, ca să faci un singur determinant de ordin $3$ în loc de patru. Și nu uita: regula lui Sarrus nu se aplică la ordinul $4$ — se dezvoltă după o linie sau se fac transformări elementare, ca în Determinanți de ordin 4 calculați prin transformări elementare.
2. Adjuncta cere toți cei $16$ complemenți. Aici nu există scurtătură: fiecare element al lui $A^{\ast }$ e un complement algebric diferit. Singura ușurare vine din zerourile matricei, care simplifică unii minori.

2. Exemplul complet: determinantul

Lucrăm cu

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 2\\ 2& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$$

Linia a treia are trei zerouri, deci dezvoltăm după ea: din cei patru termeni rămâne unul singur,

$$\det A=a_{32}{\delta }_{32}=1\cdot (-1{)}^{3+2}{\Delta }_{32}=-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|.$$

Determinantul de ordin $3$ rămas, cu regula lui Sarrus: $1+0+4-(2+0+2)=1$. Prin urmare $\det A=-1\ne 0$: matricea e inversabilă, iar inversa va avea elemente întregi, pentru că împărțim la $-1$.

3. Cei $16$ complemenți

Fiecare ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$ cere un determinant de ordin $3$, obținut ștergând linia $i$ și coloana $j$:

$${\delta }_{11}=+\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=-1,{\delta }_{14}=-\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=-1.$$

Rezultatele, în tabel — linia $i$ conține complemenții liniei $i$ a lui $A$:

Control gratuit. Dezvoltarea după orice linie trebuie să dea determinantul: după linia a treia, $0-1+0+0=-1$ ✓; după linia întâi, $-1+0+2-2=-1$ ✓. Două verificări care prind imediat o greșeală de semn.

4. Adjuncta, inversa și verificarea

Transpunem tabelul de mai sus și obținem adjuncta:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& -1& -1& 2\\ 0& 0& -1& 0\\ 2& 1& 3& -4\\ -1& 0& -1& 1\end{array}\right)\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{-1}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& -2\\ 0& 0& 1& 0\\ -2& -1& -3& 4\\ 1& 0& 1& -1\end{array}\right).$$

Atenție la un detaliu de semn: împărțirea la $-1$ schimbă toate semnele, inclusiv pe cel al lui $-1$ de pe poziția $(2,3)$, care devine $1$.

Verificarea. Linia întâi a lui $A$, adică $(1,0,1,2)$, înmulțită cu cele patru coloane ale lui $A^{-1}$ dă $1+0-2+2=1$, apoi $1+0-1+0=0$, $1+0-3+2=0$ și $-2+0+4-2=0$ — exact prima linie a lui $I_4$. Calculul complet dă $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_4$ ✓.

5. Structurile care fac calculul aproape gratuit

Trei tipuri de matrice se inversează fără cei $16$ complemenți. Merită recunoscute din prima privire.

Matrice diagonală. Dacă $D$ are pe diagonală $d_1,d_2,d_3,d_4$ nenule, atunci

$$D^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{d_1}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{d_2}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{d_3}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{d_4}\end{array}\right).$$

Dacă un singur $d_k$ este nul, determinantul se anulează și inversa nu există.

Matrice triunghiulară. Determinantul e produsul elementelor de pe diagonala principală, iar inversa e tot triunghiulară, de același fel:

$$T=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),\det T=1,T^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Matrice cu blocuri. Dacă matricea se rupe în două blocuri de ordin $2$ pe diagonală, cu zerouri în rest, determinantul e produsul determinanților celor două blocuri (se vede dezvoltând de două ori după prima coloană), iar inversa se obține inversând fiecare bloc separat — cea mai comodă structură la un subiect de Bacalaureat M1.

6. Matrice cu parametru: rețeta discuției

Criteriul determinantului transformă întrebarea „pentru ce valori ale lui $m$ este $A(m)$ inversabilă?" într-o ecuație. Trei pași: calculezi $\det A(m)$, rezolvi $\det A(m)=0$, excluzi soluțiile.

Fie $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. Cu regula lui Sarrus,

$$\det A(m)=m^3+1+1-(m+m+m)=m^3-3m+2.$$

Factorizăm: $m=1$ e rădăcină evidentă, iar prin împărțire obținem $m^3-3m+2=(m-1)(m^2+m-2)=(m-1{)}^2(m+2)$. Deci determinantul se anulează exact pentru $m=1$ și $m=-2$, iar matricea e inversabilă pentru

$$m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}.$$

Control: $\det A(0)=2\ne 0$, $\det A(2)=4\ne 0$, iar pentru $m=1$ și $m=-2$ determinantul se anulează ✓.

Inversa pentru o valoare particulară. Pentru $m=0$, $A(0)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ și $\det A(0)=2$. Matricea complemenților, $\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$, e simetrică, deci egală cu propria transpusă, și

$$A(0{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right).$$

Verificare, prima linie: $0+1+1=2$, iar împărțit la $2$ dă $1$ ✓.

7. Parametru la ordinul $4$

Aceeași rețetă, cu grija de a alege bine linia de dezvoltare:

$$A(m)=\left(\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& m& 0\\ 1& 0& 0& m\end{array}\right).$$

Dezvoltăm după prima coloană, unde sunt două zerouri:

$$\det A(m)=m\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& m& 0\\ 0& 0& m\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& m& 0\end{array}\right|=m\cdot m(m-1)-(m-1)=(m-1)(m^2-1).$$

Al doilea determinant are semnul $(-1{)}^{4+1}=-1$, de unde minusul din față. Factorizând, $\det A(m)=(m-1{)}^2(m+1)$, deci matricea e inversabilă pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. Control: $m=0$ dă $1$, $m=2$ dă $3$, iar $m=\pm 1$ dau $0$ ✓.

Regula de redactare. Scrie determinantul factorizat: din $(m-1{)}^2(m+1)$ citești rădăcinile dintr-o privire, din $m^3-m^2-m+1$ nu. Iar răspunsul se dă ca mulțime de valori excluse.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Matrice triunghiulară de ordin $4$

Determinați inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 0& 3& 1& 0\\ 1& 0& 4& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Fiind triunghiulară, $\det A=1\ne 0$. Toți complemenții de sub diagonala principală sunt nuli, deci matricea complemenților iese triunghiulară:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 6& -25\\ 0& 1& -3& 12\\ 0& 0& 1& -4\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow A^{-1}=A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -2& 1& 0& 0\\ 6& -3& 1& 0\\ -25& 12& -4& 1\end{array}\right).$$

Verificare pe linia a doua a lui $A$, adică $(2,1,0,0)$: cu prima coloană a inversei dă $2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$, cu a doua $2\cdot 0+1\cdot 1=1$ ✓.

Exemplul 2 — Matrice cu blocuri

Determinați inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 5& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Blocurile sunt $B_1=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B_2=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$, ambele cu determinantul $1$, deci $\det A=1\ne 0$. Cu formula de la ordinul $2$, $B_1^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$ și $B_2^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)$, prin urmare

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ -1& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& -1\\ 0& 0& -5& 3\end{array}\right).$$

Verificare: produsul se calculează pe blocuri și dă $I_2$ în fiecare, adică $I_4$ ✓.

Exemplul 3 — Discuție la ordinul $4$, pe blocuri

Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 0& 0\\ 1& m& 0& 0\\ 0& 0& m& 1\\ 0& 0& 1& m\end{array}\right)$. Determinați valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care $A(m)$ este inversabilă și calculați $A(2{)}^{-1}$.

Rezolvare. Cele două blocuri sunt identice, cu determinantul $m^2-1$, deci $\det A(m)=(m^2-1{)}^2$ și matricea e inversabilă pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. Pentru $m=2$ fiecare bloc devine $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $3$ și inversa $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, deci

$$A(2{)}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 0\\ -1& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& -1\\ 0& 0& -1& 2\end{array}\right).$$

Control: $\det A(2)=9$, iar determinantul inversei este $\frac{1}{9}$ ✓.

Exemplul 4 — Discuție la ordinul $3$

Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& m\end{array}\right)$. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care $A(m)$ este inversabilă. b) Calculați $A(2{)}^{-1}$.

Rezolvare. a) Cu regula lui Sarrus: $\det A(m)=m^2+2-(2m+1)=(m-1{)}^2$, care se anulează doar pentru $m=1$; matricea e inversabilă pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$.

b) Pentru $m=2$: $\det A(2)=1$. Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$, simetrică, deci

$$A(2{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right).$$

Verificare, prima linie a lui $A(2)$, adică $(1,1,1)$: $3-1-1=1$, apoi $-1+1+0=0$ și $-1+0+1=0$ ✓.

Exemplul 5 — Determinantul adjunctei la ordinul $4$

Se știe că $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ are $\det A=3$. Calculați $\det(A^{})$și$\det(A^{-1})$.*

Rezolvare. Aplicăm determinantul în $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_4$: matricea din dreapta e diagonală, cu $3$ pe toată diagonala, deci determinantul ei este $3^4=81$. Din $\det A\cdot \det (A^{\ast })=81$ rezultă $\det (A^{\ast })=27=(\det A{)}^3$, iar $\det (A^{-1})=\frac{1}{3}$. Forma generală, la ordinul $n$: $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 1& a\\ a& 0& 1\end{array}\right)$, $a\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A(a)$. b) Determinați valorile lui $a$ pentru care $A(a)$ este inversabilă. c) Calculați $A(1{)}^{-1}$.

Rezolvare. a) Cu regula lui Sarrus: $\det A(a)=1+a^3-0=a^3+1$.

b) $\det A(a)\ne 0$ înseamnă $a^3\ne -1$, deci $a\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

c) Pentru $a=1$, $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ și $\det A(1)=2$. Matricea complemenților, $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$, transpusă dă $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$, deci

$$A(1{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right).$$

Verificare, prima linie: $1+1+0=2$ și $-1+1+0=0$ ✓.

Să exersăm

La ordinul $4$, caută întâi structura: diagonală, triunghiulară, blocuri, linie cu multe zerouri. Abia dacă nu găsești nimic, treci la cei $16$ complemenți.

1. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

2. Determină inversa matricei diagonale $\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ca să scrii adjuncta unei matrice de ordin $4$ ai nevoie de $16$ determinanți de ordin $3$."

4. Arată că matricea $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$ nu este inversabilă.

5. Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ 3& m-1\end{array}\right)$ este inversabilă.

6. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

7. Calculează inversa matricei $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O matrice de ordin $4$ cu două coloane proporționale poate fi inversabilă, dacă determinantul ei este mare."

9. Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}2& m& 0\\ m& 2& 0\\ 0& 0& m\end{array}\right)$ este inversabilă.

10. Pentru matricea $A$ din secțiunea a doua a lecției, calculează minorul ${\Delta }_{32}$ și complementul algebric ${\delta }_{32}$.

11. (Problemă aplicată.) Un depozit convertește patru mărimi cu matricea $\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 5& 2\end{array}\right)$. Arată că transformarea se poate „da înapoi" și scrie matricea care o desface.

12. Fie $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ cu $\det A=-3$. Calculează $\det (A^{-1})$ și $\det (A^{\ast })$.

13. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

14. Pentru matricea $A$ din secțiunea a doua a lecției, verifică egalitatea $({}^{t}A{)}^{-1}={}^t(A^{-1})$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{cccc}1& m& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& m\\ 0& 0& m& 2\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A(m)$. b) Determină valorile lui $m$ pentru care $A(m)$ este inversabilă. c) Calculează $A(0{)}^{-1}$.

16. Fie $A\in {\mathcal{M}}_4(\mathbb{R})$ cu $A^2=I_4$. Arată că $A$ este inversabilă și că $A^{-1}=A$.

17. Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cccc}m& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& m& 0\\ 1& 0& 0& m\end{array}\right)$ nu este inversabilă.

18. (Provocare.) Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cccc}m& 1& 1& 1\\ 1& m& 1& 1\\ 1& 1& m& 1\\ 1& 1& 1& m\end{array}\right)$ este inversabilă, știind că determinantul ei este $(m-1{)}^3(m+3)$. Verifică formula pentru $m=0$.

Răspunsuri și explicații

1. Matricea e triunghiulară cu $1$ pe diagonală, deci $\det =1$, iar inversa este $\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -1\\ 0& 1& -1& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$, cu semne alternante.

2. $\det =3\cdot 2\cdot (-1)\cdot 4=-24\ne 0$, iar inversa este matricea diagonală cu elementele $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $-1$, $\frac{1}{4}$ pe diagonala principală.

3. Adevărat. Adjuncta are $16$ elemente, fiecare un determinant de ordin $3$ cu semn. Determinantul matricei, în schimb, se poate obține cu unul singur, dacă alegi o linie cu trei zerouri.

4. Linia a doua e dublul liniei întâi, deci determinantul e nul (linii proporționale) și matricea e singulară.

5. $\det =m(m-1)-6=(m-3)(m+2)$, deci matricea e inversabilă pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,3\}$.

6. $\det =1$ (triunghiulară). Inversa este $\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

7. Matricea inversează ordinea coloanelor; înmulțită cu ea însăși dă $I_4$, deci este propria ei inversă. (Determinantul este $1$.)

8. Fals. Două coloane proporționale fac determinantul nul, indiferent de mărimea elementelor, deci matricea e singulară. Contează doar dacă determinantul e nul sau nu, nu cât de mare este.

9. Dezvoltând după ultima coloană, $\det =m(4-m^2)=-m(m-2)(m+2)$, deci matricea e inversabilă pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,0,2\}$.

10. ${\Delta }_{32}$ se obține ștergând linia $3$ și coloana $2$: ${\Delta }_{32}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=1$. Semnul este $(-1{)}^{3+2}=-1$, deci ${\delta }_{32}=-1$.

11. Blocurile au determinanții $1$ și $1$, deci $\det =1\ne 0$: transformarea se poate desface, iar matricea care o desface este $\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 0\\ -1& 2& 0& 0\\ 0& 0& 2& -1\\ 0& 0& -5& 3\end{array}\right)$.

12. $\det (A^{-1})=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$, iar $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^3=(-3{)}^3=-27$.

13. Matricea este triunghiulară cu $1$ pe diagonală, deci $\det =1$, iar inversa se obține schimbând semnul elementelor din afara diagonalei: $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 0\\ 0& 1& 0& -3\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$.

14. Transpusa are tot determinantul $-1$, iar inversa ei este $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 1& 0& -1& 0\\ 1& 1& -3& 1\\ -2& 0& 4& -1\end{array}\right)$ — exact transpusa lui $A^{-1}$ ✓.

15. a) Matricea are două blocuri: $\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu determinantul $1$, și $\left(\begin{array}{cc}2& m\\ m& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $4-m^2$. Deci $\det A(m)=4-m^2$. b) Condiția $4-m^2\ne 0$ dă $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$. c) Pentru $m=0$ matricea devine diagonală, cu $1,1,2,2$ pe diagonală, deci $A(0{)}^{-1}$ este matricea diagonală cu elementele $1$, $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$.

16. Din $A^2=I_4$ avem $A\cdot A=I_4$, iar produsul în cealaltă ordine este același; e exact definiția inversei, cu $B=A$. Deci $A$ este inversabilă și $A^{-1}=A$. (Control: din $(\det A{)}^2=1$ rezultă $\det A\ne 0$.)

17. E matricea din secțiunea a șaptea, cu $\det A(m)=(m-1{)}^2(m+1)$; ea nu e inversabilă exact când determinantul se anulează, adică pentru $m=\pm 1$.

18. Condiția $(m-1{)}^3(m+3)\ne 0$ dă $m\in \mathbb{R}\setminus \{-3,1\}$. Pentru $m=0$ formula prezice $(-1{)}^3\cdot 3=-3$, iar determinantul matricei cu $0$ pe diagonală și $1$ în rest este într-adevăr $-3\ne 0$ ✓.

De reținut

• Programa limitează calculul inversei la ordinul $4$. Algoritmul e același ca la ordinul $3$, dar cere $16$ complemenți, fiecare un determinant de ordin $3$.
• Determinantul se calculează dezvoltând după linia sau coloana cu cele mai multe zerouri. Regula lui Sarrus nu se aplică la ordinul $4$.
• Adjuncta cere toți cei $16$ complemenți — aici nu există scurtătură; scurtătura e doar la determinant.
• Structuri gratuite: matricea diagonală se inversează element cu element; matricea triunghiulară are inversa tot triunghiulară; matricea cu blocuri se inversează bloc cu bloc.
• Discuția cu parametru are trei pași: calculezi $\det A(m)$, îl scrii factorizat, rezolvi $\det A(m)=0$ și dai răspunsul ca mulțime de valori excluse.

Greșeli frecvente

• Sarrus la ordinul $4$. Cea mai costisitoare greșeală a capitolului: regula lui Sarrus e valabilă exclusiv la ordinul $3$; la ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau se fac transformări elementare.
• Dezvoltarea după o linie fără zerouri. Alegi linia întâi din obișnuință și faci patru determinanți de ordin $3$ în loc de unul; numără zerourile înainte de a începe.
• Împărțirea la un determinant negativ. Când $\det A=-1$, toate semnele adjunctei se schimbă — verifică fiecare element, nu doar pe cele care „arată" negativ.
• Discuția dată ca listă de cazuri. Răspunsul la „pentru ce valori este inversabilă" este o mulțime de forma $\mathbb{R}\setminus \{\dots \}$, nu enumerarea valorilor pentru care nu este.
• Rădăcini pierdute la factorizare. Din $(m-1{)}^2(m+2)$ se citesc două valori excluse, $1$ și $-2$; puterea $2$ nu adaugă și nici nu ascunde o valoare.

Aplică acasă

1. Fabrica de matrice cu inversă întreagă. Pornește de la $I_4$ și adună de câteva ori la o linie o altă linie înmulțită cu un întreg: determinantul rămâne $1$, deci inversa are elemente întregi. Calculeaz-o și verifică.

2. Vânătoarea de zerouri. Scrie o matrice de ordin $4$ cu trei zerouri pe o linie și calculează-i determinantul în două feluri: după acea linie și după prima. Compară numărul de operații.

3. Parametrul pe grafic. Desenează graficul funcției $m\mapsto (m-1{)}^2(m+2)$, adică determinantul matricei din secțiunea a șasea, și marchează punctele în care taie axa: sunt exact valorile pentru care matricea nu e inversabilă.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu aduce teorie nouă, ci disciplină de calcul. La ordinul $4$ elevul dezorganizat pierde puncte nu pentru că nu știe, ci pentru că se încurcă în semne. De aceea cei $16$ complemenți se scriu într-un tabel, nu în șir, iar dezvoltarea determinantului după două linii diferite se folosește drept control.

De verificat în caiet: linia sau coloana de dezvoltare aleasă după numărul de zerouri; tabelul complet al complemenților; transpunerea marcată ca pas separat; verificarea măcar pe o linie; iar la discuții, determinantul scris factorizat și răspunsul dat ca mulțime. Întrebări de control: „De ce nu se poate folosi Sarrus aici?"; „Câți determinanți de ordin $3$ îți trebuie pentru adjunctă?"; „Cum arată inversa unei matrice diagonale?"; „Ce înseamnă că $\det A(m)=(m-1{)}^2(m+2)$?".

La BAC M1, matricele cu parametru apar constant, de regulă la ordinul $3$ și aproape întotdeauna în trei pași: determinantul, valorile pentru care matricea e inversabilă, inversa pentru o valoare dată. Semn că elevul a înțeles: factorizează determinantul din reflex și nu confundă „valorile pentru care este inversabilă" cu „valorile pentru care nu este".

Întrebări frecvente

Cum se calculează inversa unei matrice de ordin 4? Exact ca la ordinul $3$: determinantul, apoi cei $16$ complemenți algebrici, așezați într-un tabel, transpuși pentru a obține $A^{\ast }$ și împărțiți la determinant. Diferența e doar de volum.

Se poate folosi regula lui Sarrus la un determinant de ordin 4? Nu. Sarrus și regula triunghiului sunt valabile exclusiv la ordinul $3$. La ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană, de preferință cea cu cele mai multe zerouri, sau se fac transformări elementare.

Care este cea mai rapidă cale la o matrice de ordin 4? Întâi cauți structura: dacă matricea e diagonală, triunghiulară sau cu blocuri, inversa se obține aproape instantaneu. Dacă nu, alegi linia cu cele mai multe zerouri pentru determinant și faci cei $16$ complemenți pentru adjunctă.

Cum se face discuția pentru o matrice cu parametru? Calculezi $\det A(m)$, îl scrii factorizat, rezolvi ecuația $\det A(m)=0$ și răspunzi: matricea este inversabilă pentru toate valorile în afara rădăcinilor găsite.

De ce trebuie scris determinantul în formă factorizată? Pentru că din $(m-1{)}^2(m+2)$ citești imediat valorile care anulează determinantul, în timp ce din $m^3-3m+2$ trebuie să rezolvi o ecuație de gradul al treilea. Factorizarea este pasul care transformă discuția într-un răspuns.

Cât este determinantul adjunctei unei matrice de ordin 4? Din $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_4$ rezultă $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^3$; formula generală, la ordinul $n$, este $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{n-1}$.

Cum verific o inversă de ordin 4 fără să fac toate cele 16 produse? Calculezi o singură linie a produsului $A\cdot A^{-1}$: dacă iese linia corespunzătoare din $I_4$, aproape sigur restul e corect. Al doilea control ieftin: dezvoltarea determinantului după două linii diferite, care trebuie să dea aceeași valoare.