Inversa cu matricea adjunctă: pe scurt

Criteriul determinantului spune când există inversa; matricea adjunctă o construiește, iar piesele sunt complemenții algebrici pe care îi știi deja de la dezvoltarea după o linie.

Definiție. Matricea adjunctă $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici: elementul de pe linia $i$, coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$. Transpunerea este pasul cel mai des uitat — fără ea, la matricele nesimetrice rezultatul e greșit.

Teorema fundamentală. $A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)I_n$, pentru orice matrice pătratică. Demonstrația se sprijină pe două observații deja cunoscute: elementele unei linii înmulțite cu complemenții aceleiași linii dau $\det A$, iar înmulțite cu complemenții altei linii dau $0$ (fiindcă suma obținută este dezvoltarea unui determinant cu două linii identice).

Împărțind la $\det A$, când acesta e nenul, obținem $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$ — formula care încheie și demonstrația criteriului, la orice ordin. Relația $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ rămâne adevărată și când $\det A=0$; atunci ea spune doar că $A\cdot A^{\ast }=O_n$.

Algoritmul, în cinci pași: calculezi $\det A$ (dacă e $0$, te oprești); calculezi cei $n^2$ complemenți; îi așezi în matricea complemenților; transpui; împarți la $\det A$ și verifici prin $A\cdot A^{-1}=I_n$.

La ordinul $2$ algoritmul se strânge în rețeta rapidă: schimbi elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul celorlalte două, împarți la determinant. Inversa are elemente întregi exact când $\det A=\pm 1$; în rest, lasă factorul $\frac{1}{\det A}$ în fața matricei.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care este inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$?

   • a) $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 5\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ -3& 2\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 3& -5\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right)$

   $\det A=5\cdot 2-3\cdot 3=1\ne 0$. Se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală ($5$ cu $2$), se schimbă semnul celorlalte două și se împarte la $1$. Verificare: $5\cdot 2+3\cdot (-3)=1$ și $5\cdot (-3)+3\cdot 5=0$. Varianta a) uită schimbarea semnelor, iar b) uită schimbarea elementelor de pe diagonala principală.

2. Care dintre afirmațiile despre matricea adjunctă $A^{\ast }$ este adevărată?

   • a) $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici, iar $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ pentru orice matrice pătratică
   • b) $A^{\ast }$ este chiar matricea complemenților algebrici, fără transpunere
   • c) $A^{\ast }$ se poate scrie numai dacă $\det A\ne 0$
   • d) $A^{\ast }=\frac{1}{\det A}{A}^{-1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici, iar $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ pentru orice matrice pătratică

   Elementul de pe linia $i$, coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$ — cu indicii inversați, adică după transpunere. Relația $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ nu cere nimic: e adevărată și pentru matrice singulare, caz în care spune că $A\cdot A^{\ast }=O_n$. Varianta d) răstoarnă formula: corectă este $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$.

3. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$, care este elementul de pe linia întâi și coloana a doua a matricei adjuncte $A^{\ast }$?

   • a) $1$
   • b) $-6$
   • c) $-1$
   • d) $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $6$

   Prin definiție, elementul de pe poziția $(1,2)$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{21}$, nu ${\delta }_{12}$ — aici lucrează transpunerea. Minorul: ${\Delta }_{21}=\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 0\end{array}\right|=0-6=-6$, iar semnul poziției $(2,1)$ este $(-1{)}^3=-1$, deci ${\delta }_{21}=6$. Varianta a) este ${\delta }_{12}$, adică rezultatul obținut dacă uiți să transpui; varianta b) este minorul lăsat fără semn.