Calculul inversei cu matricea adjunctă

În lecția trecută am aflat când există inversa unei matrice: exact atunci când determinantul ei este nenul. Criteriul e perfect, dar nu îți dă nimic în mână — ca și cum ți s-ar spune că într-o cameră închisă se află sigur o cheie.

Lecția aceasta construiește cheia. Toate piesele inversei sunt deja tăiate: sunt complemenții algebrici ${\delta }_{ij}$, aceiași cu care dezvolți un determinant după o linie. Trebuie doar așezați într-o matrice — în ordinea potrivită, care nu e cea la care te aștepți — și împărțiți la determinant. Rezultatul e o rețetă completă, valabilă la orice ordin, pe care programa o cere explicit: „construcția inversei folosind complemenții algebrici".

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi minorii ${\Delta }_{ij}$ și complemenții algebrici ${\delta }_{ij}$.
• Vei ști să construiești matricea adjunctă $A^{\ast }$ ca transpusă a matricei complemenților algebrici.
• Vei ști să demonstrezi relația-cheie $A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)I_n$ și să deduci din ea formula inversei.
• Vei ști să aplici algoritmul în cinci pași pentru $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, la ordinul $2$ și la ordinul $3$.
• Vei ști să verifici rezultatul prin $A\cdot A^{-1}=I_n$ și să recunoști o greșeală de semn.
• Vei ști de ce inversa are elemente întregi exact când $\det A=\pm 1$ și cum arată calculul când apar fracții.

Hai să descoperim împreună

1. Piesele: minorul și complementul algebric

Recapitulăm notațiile din Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană, pentru $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.

• Minorul ${\Delta }_{ij}$ este determinantul de ordin $n-1$ obținut eliminând linia $i$ și coloana $j$.
• Complementul algebric (sau cofactorul) este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$.

Semnele $(-1{)}^{i+j}$ se rețin ca o tablă de șah, cu $+$ în colțul din stânga-sus:

$$\left(\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right).$$

Cu aceste piese, dezvoltarea determinantului după linia $i$ se scrie $\det A=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}$.

2. Ideea: ce se întâmplă când dezvolți după o linie „străină"

Aici stă tot secretul. Ce obținem dacă înmulțim elementele liniei $1$ nu cu complemenții liniei $1$, ci cu cei ai liniei $2$? Pe $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$, ai cărei complemenți îi calculăm complet mai jos, ${\delta }_{21}=18$, ${\delta }_{22}=-15$, ${\delta }_{23}=4$, deci

$$a_{11}{\delta }_{21}+a_{12}{\delta }_{22}+a_{13}{\delta }_{23}=1\cdot 18+2\cdot (-15)+3\cdot 4=18-30+12=0.$$

Rezultatul este $0$ — și nu din întâmplare. Suma ${\sum }_j{a}_{1j}{\delta }_{2j}$ este dezvoltarea, după linia a doua, a determinantului matricei obținute din $A$ înlocuind linia a doua cu linia întâi: o matrice cu două linii identice, al cărei determinant este nul, conform Proprietăților determinanților (II).

Punem cele două observații una lângă alta:

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{kj}=\{\begin{array}{ll}\det A,& i=k,\\ 0,& i\ne k.\end{array}$$

Aceasta e exact structura unui produs care dă $\det A$ pe diagonală și $0$ în rest, adică $(\det A)I_n$. Rămâne să așezăm complemenții în ordinea potrivită.

3. Matricea adjunctă

Definiție. Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Se numește matrice adjunctă a lui $A$, notată $A^{\ast }$, transpusa matricei complemenților algebrici: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$.

Cu alte cuvinte, calculezi cei $n^2$ complemenți, îi așezi în tabloul lor natural — ${\delta }_{ij}$ pe linia $i$, coloana $j$ — și abia apoi transpui. Transpunerea e pasul cel mai des uitat: fără ea, la matricele nesimetrice rezultatul e greșit.

Teoremă. Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$,

$$A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)I_n.$$

Demonstrație. Elementul de pe linia $i$, coloana $k$ al produsului $A\cdot A^{\ast }$ este $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}(A^{\ast }{)}_{jk}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{kj}$, adică exact suma studiată în paragraful anterior: $\det A$ dacă $i=k$ și $0$ dacă $i\ne k$. Deci $A\cdot A^{\ast }$ are $\det A$ pe toată diagonala principală și $0$ în rest, adică este $(\det A)I_n$. Calculul pentru $A^{\ast }\cdot A$ este identic, folosind dezvoltarea după coloane. $■$

4. Formula inversei

Consecință. Dacă $\det A\ne 0$, împărțim relația de mai sus la $\det A$ și obținem

$$A\cdot \left(\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }\right)=\left(\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }\right)\cdot A=I_n,\text{deci}{A}^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }.$$

Aceasta încheie demonstrația criteriului din Matrice inversabilă: definiție și criteriul determinantului: am construit efectiv inversa, la orice ordin, ori de câte ori $\det A\ne 0$.

De reținut: relația $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ e adevărată întotdeauna, chiar și când $\det A=0$ (atunci spune că $A\cdot A^{\ast }=O_n$); numai împărțirea cere ipoteza $\det A\ne 0$.

5. Ordinul $2$: de unde vine formula rapidă

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, minorii sunt determinanți de ordinul $1$, adică numere: ${\Delta }_{11}=d$, ${\Delta }_{12}=c$, ${\Delta }_{21}=b$, ${\Delta }_{22}=a$. Cu semnele de tablă de șah, complemenții sunt

$${\delta }_{11}=d,{\delta }_{12}=-c,{\delta }_{21}=-b,{\delta }_{22}=a,$$

deci matricea complemenților este $\left(\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array}\right)$, iar adjuncta ei — transpusa — este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Regăsim formula anunțată în lecția precedentă:

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

Pe scurt: schimbi între ele elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul celorlalte două și împarți la determinant. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)$, $\det A=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 2\end{array}\right)$, iar $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6-5& -10+10\\ 3-3& -5+6\end{array}\right)=I_2$ ✓.

6. Algoritmul în cinci pași, pe un exemplu de ordin $3$

Algoritmul. (1) Calculezi $\det A$; dacă e $0$, te oprești. (2) Calculezi cei $n^2$ complemenți ${\delta }_{ij}$. (3) Îi așezi în matricea complemenților. (4) Transpui. (5) Împarți la $\det A$ și verifici prin $A\cdot A^{-1}=I_n$.

Îl aplicăm pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$.

Pasul 1. Cu regula lui Sarrus: $\det A=0+40+0-(15+24+0)=1\ne 0$, deci matricea este inversabilă.

Pasul 2. Cei nouă complemenți, fiecare cu minorul lui:

Pasul 3. Matricea complemenților algebrici:

$$\left(\begin{array}{ccc}-24& 20& -5\\ 18& -15& 4\\ 5& -4& 1\end{array}\right).$$

Pasul 4. Transpunem și obținem adjuncta:

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-24& 18& 5\\ 20& -15& -4\\ -5& 4& 1\end{array}\right).$$

Pasul 5. Cum $\det A=1$, avem $A^{-1}=A^{\ast }$. Verificarea:

$$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-24& 18& 5\\ 20& -15& -4\\ -5& 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3.$$

Primul element: $1\cdot (-24)+2\cdot 20+3\cdot (-5)=1$ ✓.

7. Când apar fracții

Dacă $\det A=\pm 1$, adjuncta este deja inversa (eventual cu semn schimbat) și toate elementele rămân întregi. În rest apar numitori. Fie $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 1\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$, cu $\det A=1\cdot 1+2\cdot 2=5$ (dezvoltare după prima linie: $1\cdot (1-0)-2\cdot (0-2)+0=1+4=5$).

Complemenții, calculați în același mod, dau matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ -2& 1& 4\\ 2& -1& 1\end{array}\right)$, deci

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& 1& -1\\ -2& 4& 1\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 2\\ 2& 1& -1\\ -2& 4& 1\end{array}\right).$$

Sfat de redactare: lasă factorul $\frac{1}{5}$ în fața matricei, nu împărți fiecare element separat — verificările ies mult mai curate. Control: linia întâi a lui $A$ înmulțită cu prima coloană a lui $A^{\ast }$ dă $1+4+0=5$, iar împărțit la $5$ dă $1$ ✓.

Regula de aur a semnelor. Dacă la verificare obții $-I_n$, sau valori egale pe diagonală dar diferite de $1$, greșeala e la semne ori la împărțire; dacă obții o matrice fără nicio structură, ai uitat transpunerea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ordinul $2$, cu fracții

Determinați inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. $\det A=12-14=-2\ne 0$. Adjuncta este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -2& 4\end{array}\right)$, prin urmare

$$A^{-1}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}& \frac{7}{2}\\ 1& -2\end{array}\right).$$

Verificare: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-6+7& 14-14\\ -3+3& 7-6\end{array}\right)=I_2$ ✓.

Exemplul 2 — Ordinul $3$, cu numitor

Determinați inversa matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. $\det A=2(1-0)-0(1-0)+1(1-0)=3\ne 0$.

Complemenții: ${\delta }_{11}=1$, ${\delta }_{12}=-1$, ${\delta }_{13}=1$; ${\delta }_{21}=1$, ${\delta }_{22}=2$, ${\delta }_{23}=-2$; ${\delta }_{31}=-1$, ${\delta }_{32}=1$, ${\delta }_{33}=2$. Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 2& -2\\ -1& 1& 2\end{array}\right)$, deci

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 2& 1\\ 1& -2& 2\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 2& 1\\ 1& -2& 2\end{array}\right).$$

Verificare pe prima linie: $2\cdot 1+0\cdot (-1)+1\cdot 1=3$ și $2\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot (-2)=0$ ✓.

Exemplul 3 — O matrice triunghiulară

Determinați inversa matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 3& 4& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Fiind triunghiulară, $\det A=1$. Complemenții: ${\delta }_{11}=1$, ${\delta }_{12}=-2$, ${\delta }_{13}=5$; ${\delta }_{21}=0$, ${\delta }_{22}=1$, ${\delta }_{23}=-4$; ${\delta }_{31}={\delta }_{32}=0$, ${\delta }_{33}=1$. După transpunere,

$$A^{-1}=A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& -4& 1\end{array}\right).$$

Inversa unei matrice triunghiulare este tot triunghiulară, de același fel — un semnal de control util.

Exemplul 4 — Matrice cu parametru

Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 0\\ 1& m& 1\\ 0& 1& m\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care $A(m)$ este inversabilă. b) Calculați $A(1{)}^{-1}$.

Rezolvare. a) Dezvoltând după prima linie, $\det A(m)=m(m^2-1)-1\cdot (m-0)=m^3-2m=m(m^2-2)$. Condiția $\det A(m)\ne 0$ dă $m\ne 0$, $m\ne \sqrt{2}$ și $m\ne -\sqrt{2}$, deci $m\in \mathbb{R}\setminus \{-\sqrt{2},0,\sqrt{2}\}$.

b) Pentru $m=1$: $A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ și $\det A(1)=1-2=-1$. Complemenții dau matricea $\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$, a cărei transpusă este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 1& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$ (matricea complemenților fiind aici simetrică). Deci

$$A(1{)}^{-1}=\frac{1}{-1}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right).$$

Verificare, prima linie: $1\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot (-1)=1$ și $1\cdot 1+1\cdot (-1)+0=0$ ✓.

Exemplul 5 — Relația $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ folosită direct

Se știe că $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ are $\det A=7$. Calculați $A \cdot A^{}$și$\det(A^{})$.

Rezolvare. Din teoremă, $A\cdot A^{\ast }=7I_3$. Aplicăm determinantul; matricea $7I_3$ fiind diagonală, determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală, adică $7^3=343$. Din $\det A\cdot \det (A^{\ast })=343$ rezultă $\det (A^{\ast })=49=(\det A{)}^2$ — rezultatul general la ordinul $3$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$. b) Arătați că $A$ este inversabilă. c) Determinați $A^{-1}$, folosind matricea adjunctă.

Rezolvare. a) Cu regula lui Sarrus: $\det A=8+1+1-(2+2+2)=10-6=4$.

b) Cum $\det A=4\ne 0$, criteriul determinantului asigură că $A$ este inversabilă.

c) Complemenții: ${\delta }_{11}=3$, ${\delta }_{12}=-1$, ${\delta }_{13}=-1$; prin simetria lui $A$, matricea complemenților este

$$\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right),$$

care este simetrică, deci coincide cu propria transpusă: $A^{\ast }$ este chiar ea. Prin urmare

$$A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right).$$

Verificare, prima linie: $2\cdot 3+1\cdot (-1)+1\cdot (-1)=4$ și $2\cdot (-1)+1\cdot 3+1\cdot (-1)=0$ ✓.

Să exersăm

La fiecare exercițiu calculează întâi determinantul, iar la final verifică prin $A\cdot A^{-1}=I_n$ măcar pe prima linie.

1. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$.

2. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 3\end{array}\right)$.

3. Arată că matricea $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ nu are inversă.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Matricea adjunctă $A^{\ast }$ este chiar matricea complemenților algebrici."

5. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right)$.

6. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

7. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$, calculează minorul ${\Delta }_{23}$ și complementul algebric ${\delta }_{23}$.

8. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

9. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate elementele lui $A$ sunt numere întregi, atunci și elementele lui $A^{-1}$ sunt numere întregi."

11. (Problemă aplicată.) O casă de schimb codifică perechile $(x,y)$ prin $u=5x+2y$, $v=2x+y$. Scrie matricea codificării, determină-i inversa și decodifică perechea $(u,v)=(9,4)$.

12. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$, verifică prin calcul direct egalitatea $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_3$.

13. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$.

14. Explică, în două-trei fraze, de ce o matrice cu elemente întregi și cu $\det A=1$ are inversa tot cu elemente întregi.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 6\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$. b) Arată că $A$ este inversabilă. c) Determină $A^{-1}$ cu ajutorul matricei adjuncte.

16. Determină valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ 8& m\end{array}\right)$ este inversabilă, apoi calculează inversa pentru $m=0$.

17. Se știe că $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$. Determină matricea $A$.

18. (Provocare.) Arată, pornind de la $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_3$, că pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ cu $\det A\ne 0$ are loc $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^2$. Verifică formula pe matricele $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 3& 6\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $\det =6-5=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$. Verificare: $3\cdot 2+5\cdot (-1)=1$ ✓.

2. $\det =-2$, $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -2& 4\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}& \frac{7}{2}\\ 1& -2\end{array}\right)$. Verificare: $4\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)+7\cdot 1=1$ ✓.

3. $\det =4-4=0$, deci matricea e singulară. (Adjuncta există, $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 1\end{array}\right)$, dar $A\cdot A^{\ast }=O_2$, nu $I_2$.)

4. Fals. $A^{\ast }$ este transpusa matricei complemenților algebrici: elementul de pe linia $i$, coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$. Cele două coincid doar când matricea complemenților este simetrică.

5. $\det =1-6=-5$. Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -3\\ 0& -5& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$, deci $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& -5& 0\\ -3& 0& 1\end{array}\right)$ și $A^{-1}=-\frac{1}{5}{A}^{\ast }$.

6. $\det =1$ (matrice triunghiulară). Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

7. ${\Delta }_{23}$ se obține eliminând linia $2$ și coloana $3$: ${\Delta }_{23}=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right|=6-10=-4$. Semnul este $(-1{)}^{2+3}=-1$, deci ${\delta }_{23}=4$.

8. $\det =1$; matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

9. $\det =4-3=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)$.

10. Fals. Elementele lui $A^{\ast }$ sunt întregi, dar se împart la $\det A$: matricea $\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 2& 3\end{array}\right)$ are inversa $\left(\begin{array}{cc}-\frac{3}{2}& \frac{7}{2}\\ 1& -2\end{array}\right)$. Afirmația e adevărată exact când $\det A=\pm 1$.

11. $M=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, cu $\det M=5-4=1$, deci $M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 5\end{array}\right)$. Decodificarea: $x=9-2\cdot 4=1$ și $y=-2\cdot 9+5\cdot 4=2$. Control: $5\cdot 1+2\cdot 2=9$ și $2+2=4$ ✓.

12. $\det A=3$ și $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 2& 1\\ 1& -2& 2\end{array}\right)$ (Exemplul 2). Prima linie a produsului: $2+0+1=3$, apoi $2+0-2=0$ și $-2+0+2=0$; celelalte linii se calculează la fel și dau $3I_3$ ✓.

13. $\det =3(2-1)-1(1-0)+0=2$. Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 3& -3\\ 1& -3& 5\end{array}\right)$, simetrică, deci $A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 3& -3\\ 1& -3& 5\end{array}\right)$.

14. Complemenții algebrici sunt determinanți formați din elementele lui $A$, deci sunt numere întregi; la fel toată adjuncta $A^{\ast }$. Inversa este $\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, iar dacă $\det A=1$ împărțirea nu schimbă nimic, deci $A^{-1}=A^{\ast }$ are elemente întregi.

15. a) $\det A=1(12-9)-1(6-3)+1(3-2)=3-3+1=1$. b) $\det A=1\ne 0$, deci $A$ este inversabilă. c) Matricea complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}3& -3& 1\\ -3& 5& -2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$, simetrică, deci $A^{-1}=A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}3& -3& 1\\ -3& 5& -2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$. Verificare, prima linie: $1\cdot 3+1\cdot (-3)+1\cdot 1=1$ ✓.

16. $\det =m^2-16$, deci matricea este inversabilă pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-4,4\}$. Pentru $m=0$: $\det =-16$ și $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -8& 0\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=-\frac{1}{16}\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -8& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{8}\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$.

17. Din $(A^{-1}{)}^{-1}=A$, matricea căutată este inversa lui $\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$, al cărei determinant este $6-5=1$; deci $A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 2\end{array}\right)$.

18. Aplicăm determinantul în $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_3$: matricea din dreapta e diagonală, cu $\det A$ pe toată diagonala, deci determinantul ei este $(\det A{)}^3$. Din $\det A\cdot \det (A^{\ast })=(\det A{)}^3$, împărțind la $\det A\ne 0$, obținem $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^2$. Control: prima matrice are $\det A=1$ și $\det (A^{\ast })=1$; a doua are $\det A=2$ și $\det (A^{\ast })=4$ ✓.

De reținut

• Complementul algebric: ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, unde ${\Delta }_{ij}$ este determinantul rămas după eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$. Semnele se rețin ca tablă de șah, cu $+$ în colțul din stânga-sus.
• Adjuncta $A^{\ast }$ este TRANSPUSA matricei complemenților algebrici: elementul $(i,j)$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$.
• Relația fundamentală $A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)I_n$ este adevărată pentru orice matrice pătratică, inversabilă sau nu.
• Formula inversei: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, valabilă exact când $\det A\ne 0$.
• La ordinul $2$: schimbi elementele de pe diagonala principală, schimbi semnul celorlalte două, împarți la determinant. Inversa are elemente întregi exact când $\det A=\pm 1$.

Greșeli frecvente

• Uitarea transpunerii. Cea mai frecventă greșeală: se calculează corect toți complemenții și se împarte matricea lor la determinant, fără să se transpună. La matrice nesimetrice, rezultatul e greșit și se vede imediat la verificare.
• Semnele $(-1{)}^{i+j}$ ignorate. ${\delta }_{12}$ nu este ${\Delta }_{12}$, ci $-{\Delta }_{12}$. Desenează tabla de șah a semnelor pe marginea foii înainte de a începe.
• Împărțirea uitată sau făcută invers. Se împarte la $\det A$, nu se înmulțește cu el. Când $\det A=-1$, toate semnele lui $A^{\ast }$ se schimbă.
• Începerea calculului fără determinant. Dacă $\det A=0$, cei nouă complemenți sunt muncă pierdută; determinantul se calculează primul.
• Verificarea săritată. Un singur produs $A\cdot A^{-1}$ prinde orice greșeală de semn în câteva secunde; fără el, o eroare la ${\delta }_{23}$ trece nedetectată.

Aplică acasă

1. Cronometrul celor două metode. Calculează inversa unei matrice de ordin $2$ în două feluri: cu formula rapidă și cu algoritmul complet al adjunctei. Numără pașii și explică de ce formula rapidă nu e o excepție, ci un caz particular.

2. Fabrica de matrice cu inversă întreagă. Pornește de la $I_3$ și adună la o linie o altă linie înmulțită cu un întreg, de trei-patru ori. Determinantul rămâne $1$, deci matricea obținută are inversa tot cu elemente întregi — verifică asta calculând-o.

3. Controlul cu tehnologia. Calculează pe hârtie inversa unei matrice de ordin $3$, apoi verifică rezultatul cu o aplicație de calcul simbolic. Dacă apare o diferență, caut-o în semne și în transpunere, nu în împărțire.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima procedură lungă din capitol: nouă determinanți de ordinul al doilea, nouă semne, o transpunere și o împărțire. Greșelile vin din organizare, nu din neînțelegere — de aceea algoritmul e scris în cinci pași, iar verificarea face parte din el.

De verificat în caiet: determinantul calculat înainte de complemenți; tabelul complet al celor nouă complemenți, cu semnele scrise explicit; transpunerea marcată vizibil ca pas separat; factorul $\frac{1}{\det A}$ lăsat în față; verificarea $A\cdot A^{-1}=I_n$ făcută măcar pe o linie. Întrebări de control: „Ce este ${\delta }_{32}$ și ce semn are?"; „De ce se transpune?"; „Ce obții din $A\cdot A^{\ast }$ dacă $\det A=0$?"; „Când are inversa elemente întregi?".

La BAC M1, subiectul al II-lea cere frecvent inversa unei matrice de ordin $3$, adesea în trei pași („calculați $\det A$", „arătați că $A$ este inversabilă", „determinați $A^{-1}$"), punctajul fiind distribuit exact pe acești pași. Semn că elevul a înțeles: nu începe niciodată cu complemenții, ci cu determinantul, și își verifică singur rezultatul.

Întrebări frecvente

Cum se calculează inversa unei matrice cu matricea adjunctă? Calculezi determinantul; dacă e nenul, calculezi toți complemenții algebrici ${\delta }_{ij}$, îi așezi în matricea complemenților, o transpui — obținând $A^{\ast }$ — și împarți la determinant: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$.

Ce este matricea adjunctă a unei matrice? Este transpusa matricei complemenților algebrici. Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui $A^{\ast }$ este ${\delta }_{ji}$, adică complementul algebric al elementului $a_{ji}$.

Care e diferența dintre minor și complement algebric? Minorul ${\Delta }_{ij}$ este determinantul rămas după eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$; complementul algebric este același număr înmulțit cu $(-1{)}^{i+j}$. Ele diferă doar prin semn, dar semnul acela decide corectitudinea întregului calcul.

De ce trebuie transpusă matricea complemenților? Pentru că produsul $A\cdot A^{\ast }$ trebuie să pună $\det A$ pe diagonală și $0$ în rest, ceea ce se întâmplă doar dacă linia $i$ a lui $A$ se întâlnește cu coloana complemenților liniei $i$ — adică după transpunere.

Cât este $A\cdot A^{\ast }$ dacă determinantul este zero? Este matricea nulă $O_n$, pentru că relația $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ rămâne adevărată și atunci. Aceasta este și o cale de a verifica adjuncta unei matrice singulare.

Când are inversa unei matrice elemente întregi? Exact când $\det A=1$ sau $\det A=-1$ și matricea are elemente întregi. Adjuncta are întotdeauna elemente întregi în acest caz, iar împărțirea la $\pm 1$ nu introduce fracții.

Cum verific rapid că am calculat corect inversa? Înmulțești $A$ cu $A^{-1}$ și trebuie să obții $I_n$. E suficient, ca prim control, să calculezi prima linie a produsului: dacă iese $1,0,0$, aproape sigur restul e corect; dacă nu, greșeala e la semne sau la transpunere.

Se poate calcula inversa și altfel decât cu adjuncta? Da. Programa cere și metoda lui Gauss, cu transformări elementare pe linii, studiată mai târziu, în unitatea despre sisteme de ecuații liniare, unde se compară cele două metode.