Izomorfisme de grupuri: pe scurt

Un izomorfism de grupuri este un morfism bijectiv; când există unul între $(G,\cdot )$ și $(G^{\prime },\ast )$, grupurile se numesc izomorfe și se scrie $G\simeq G^{\prime }$. Ele nu sunt egale ca mulțimi — pot fi făcute din numere, matrice, funcții sau clase de resturi —, dar au aceeași formă: aceleași relații între elemente, aceeași tablă după redenumire. Inversa unui izomorfism și compunerea a două izomorfisme sunt tot izomorfisme, deci relația este reflexivă, simetrică și tranzitivă.

Compararea a două table finite are trei pași: numărul de elemente, potrivirea elementelor neutre, apoi trăsăturile care nu se schimbă la redenumire — cea mai utilă fiind diagonala principală, unde stau pătratele $x^2$. Așa se arată că grupul lui Klein și $({\mathbb{Z}}_4,+)$, deși au patru elemente și sunt amândouă comutative, nu sunt izomorfe: la Klein toate cele patru pătrate dau neutrul, la ${\mathbb{Z}}_4$ doar două. În schimb $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )$ pentru orice $n\ge 2$, izomorfismul fiind $f(\hat{k})={\epsilon }_k$. Rețeta pentru „arătați că $(G,\ast )$ este grup izomorf cu unul cunoscut” are trei pași: propui funcția (pentru $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ ea este $f(x)=x-a$), verifici morfismul cu litere, verifici bijectivitatea scriind inversa. Prin izomorfism se păstrează cardinalul, comutativitatea, neutrul, ordinele, ciclicitatea și structura subgrupurilor.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe intervalul $(20,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=xy-20x-20y+420$. Funcția care realizează izomorfismul $\left((20,+\infty ),\ast \right)\simeq \left({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot \right)$ este:

   • a) $f(x)=x-20$
   • b) $f(x)=x+20$
   • c) $f(x)=20x$
   • d) $f(x)=x-420$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f(x)=x-20$

   Scriem legea în forma factorizată: $(x-20)(y-20)+20=xy-20x-20y+400+20=xy-20x-20y+420$. Pentru o lege de tipul $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, funcția potrivită este întotdeauna $f(x)=x-a$, aici $f(x)=x-20$. Verificare: $f(x\ast y)=(x-20)(y-20)=f(x)\cdot f(y)$, iar inversa $f^{-1}(u)=u+20$ arată bijectivitatea.

2. De ce grupul lui Klein nu este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_4,+)$?

   • a) pentru că au numere diferite de elemente
   • b) pentru că unul este comutativ și celălalt nu
   • c) pentru că în primul toate pătratele dau elementul neutru, iar în al doilea numai două
   • d) pentru că grupul lui Klein nu are element neutru
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) pentru că în primul toate pătratele dau elementul neutru, iar în al doilea numai două

   Ambele au patru elemente și ambele sunt comutative, deci primele două filtre nu decid nimic. Deosebirea se citește pe diagonala principală: la grupul lui Klein toate cele patru celule conțin neutrul, iar la $({\mathbb{Z}}_4,+)$ diagonala este $\hat{0},\hat{2},\hat{0},\hat{2}$. Cum un izomorfism păstrează numărul de elemente cu $x^2=e$, grupurile nu pot fi izomorfe.

3. Care dintre următoarele perechi de grupuri este formată din grupuri izomorfe?

   • a) $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și $(S_3,\circ )$
   • b) $({\mathbb{Z}}_5,+)$ și $(U_5,\cdot )$
   • c) $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și grupul lui Klein
   • d) $(\mathbb{Z},+)$ și $(\mathbb{Q},+)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $({\mathbb{Z}}_5,+)$ și $(U_5,\cdot )$

   Teorema lecției spune că $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )$ pentru orice $n\ge 2$, prin $f(\hat{k})={\epsilon }_k$; pentru $n=5$ avem deci perechea izomorfă. Perechile $({\mathbb{Z}}_6,+)$ – $(S_3,\circ )$ și $({\mathbb{Z}}_4,+)$ – grupul lui Klein au același cardinal, dar $(S_3,\circ )$ nu este comutativ, iar grupul lui Klein nu este ciclic; perechea $(\mathbb{Z},+)$ – $(\mathbb{Q},+)$ este formată din grupuri infinite care nu sunt izomorfe, pentru că $(\mathbb{Z},+)$ este ciclic, iar $(\mathbb{Q},+)$ nu.