Izomorfisme de grupuri; compararea tablelor grupurilor finite

Izomorfismul de grupuri este un morfism bijectiv și una dintre cele mai importante noțiuni din algebra clasei a XII-a: el spune când două grupuri care par complet străine unul de celălalt sunt, de fapt, același grup scris cu alte litere. Iată situația care îl cere: pe cadranul unui ceas orele se adună modulo $12$, iar pe cercul unitate rădăcinile de ordinul $12$ ale unității se înmulțesc și se rotesc una în alta. Cele două mulțimi n-au nimic în comun la prima vedere — una e formată din clase de resturi, cealaltă din numere complexe — și totuși, dacă le așezi tablele operațiilor una lângă alta, vezi exact același tipar. Această coincidență care nu este coincidență e subiectul lecției de față.

În lecția despre morfisme de grupuri ai învățat ce înseamnă o funcție care păstrează operația. Acum adăugăm o singură condiție — bijectivitatea — și obținem un instrument care nu doar compară două grupuri, ci le identifică: două grupuri izomorfe sunt, din punctul de vedere al algebrei, același grup scris cu alte litere. Programa cere explicit compararea tablelor a două grupuri finite cu același număr de elemente, cu două aplicații numite pe nume: grupul lui Klein față de grupul aditiv al claselor de resturi modulo $4$, și grupul rădăcinilor unității față de grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești un izomorfism de grupuri și să scrii corect notația $G\simeq G^{\prime }$.
• Vei ști să demonstrezi că inversa unui izomorfism și compunerea a două izomorfisme sunt tot izomorfisme.
• Vei ști să compari tablele a două grupuri finite cu același număr de elemente și să decizi dacă se pot potrivi.
• Vei ști de ce grupul lui Klein și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $4$ nu sunt izomorfe, deși au patru elemente fiecare.
• Vei ști să construiești izomorfismul dintre grupul rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$.
• Vei ști să aplici rețeta „arătați că $(G,\ast )$ este grup izomorf cu …", cerută la Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un izomorfism de grupuri?

Izomorfismul de grupuri este un morfism bijectiv, adică o funcție care păstrează operația și, în plus, împerechează fără rest elementele celor două grupuri: fiecare element din grupul de sosire este imaginea unui singur element din grupul de plecare. Când o asemenea funcție există, cele două grupuri au aceeași structură și se numesc izomorfe.

Definiție. Fie $(G,\cdot )$ și $(G^{\prime },\ast )$ două grupuri. O funcție $f:G\to G^{\prime }$ se numește izomorfism de grupuri dacă este morfism, adică $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru orice $x,y\in G$, și este bijectivă. Dacă între $G$ și $G^{\prime }$ există un izomorfism, spunem că cele două grupuri sunt izomorfe și scriem $G\simeq G^{\prime }$.

Cuvântul vine din greacă: isos înseamnă „egal", morphe înseamnă „formă". Un izomorfism nu spune că cele două grupuri sunt egale ca mulțimi — ele pot fi făcute din obiecte complet diferite — ci că au aceeași formă: aceleași relații între elemente, aceleași ordine, aceeași tablă după redenumire.

Cel mai mic exemplu are două elemente. Fie $({\mathbb{Z}}_2,+)$, cu elementele $\hat{0}$ și $\hat{1}$, și $(\{-1,1\},\cdot )$. Funcția $f(\hat{0})=1$, $f(\hat{1})=-1$ este evident bijectivă, iar condiția de morfism se verifică pe cele patru perechi posibile: de pildă $f(\hat{1}+\hat{1})=f(\hat{0})=1$, iar $f(\hat{1})\cdot f(\hat{1})=(-1)(-1)=1$. Deci ${\mathbb{Z}}_2\simeq \{-1,1\}$, adică „par sau impar" și „plus sau minus" sunt același grup.

Bijectivitatea este condiția care lipsea. Funcția $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_6,+)$, $f(k)=\hat{k}$, este morfism, dar nu e injectivă, deci nu e izomorfism: ea comprimă o infinitate de întregi în șase clase, pierzând informație. Un izomorfism nu are voie să piardă nimic.

2. Inversa și compunerea izomorfismelor

Două proprietăți simple ne asigură că relația „a fi izomorf" se comportă cum ne așteptăm.

Propoziție. Dacă $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este izomorfism, atunci funcția inversă $f^{-1}:G^{\prime }\to G$ este și ea izomorfism.

Demonstrație. Funcția $f^{-1}$ există și este bijectivă, pentru că $f$ este bijectivă. Rămâne condiția de morfism. Fie $u,v\in G^{\prime }$ și fie $x=f^{-1}(u)$, $y=f^{-1}(v)$, deci $f(x)=u$ și $f(y)=v$. Cum $f$ este morfism, $f(x\cdot y)=u\ast v$, de unde, aplicând $f^{-1}$, obținem $x\cdot y=f^{-1}(u\ast v)$. Așadar

$$f^{-1}(u\ast v)=x\cdot y=f^{-1}(u)\cdot f^{-1}(v).■$$

Propoziție. Compunerea a două izomorfisme este izomorfism.

Într-adevăr, la lecția precedentă am arătat că o compunere de morfisme este morfism, iar compunerea a două funcții bijective este bijectivă, proprietate știută de la funcții injective, surjective, bijective.

Cele două propoziții, împreună cu observația că funcția identică $1_G$ este izomorfism, spun că relația de izomorfism este reflexivă ($G\simeq G$), simetrică (din $G\simeq G^{\prime }$ rezultă $G^{\prime }\simeq G$) și tranzitivă (din $G\simeq G^{\prime }$ și $G^{\prime }\simeq G^{\prime \prime }$ rezultă $G\simeq G^{\prime \prime }$). De aceea putem scrie liniștiți „grupurile $G$ și $G^{\prime }$ sunt izomorfe", fără să precizăm în ce sens merge funcția.

3. Cum compari tablele a două grupuri finite?

Pentru grupurile finite cu puține elemente, izomorfismul se poate căuta direct în tablele operațiilor. Ideea e simplă: un izomorfism este o redenumire a elementelor care transformă o tablă în cealaltă. Procedeul are trei pași.

1. Compară numărul de elemente. Dacă tablele au dimensiuni diferite, nu există nicio bijecție, deci nici izomorfism. Este primul filtru și cel mai ieftin.
2. Potrivește elementele neutre. Orice izomorfism duce neutrul în neutru, proprietate demonstrată la lecția precedentă. În tablă, elementul neutru se recunoaște ușor: linia și coloana lui reproduc prima linie și prima coloană.
3. Compară structura tablelor. Caută trăsături care nu depind de ordinea în care ai scris elementele: câte elemente apar pe diagonala principală, dacă tabla e simetrică față de diagonală, de câte ori apare elementul neutru. Dacă o asemenea trăsătură diferă, grupurile nu sunt izomorfe; dacă toate coincid, încearcă să construiești efectiv redenumirea.

Trăsătura cea mai folositoare este diagonala principală: în celula de pe linia $x$ și coloana $x$ stă $x\cdot x=x^2$. Câte pătrate sunt egale cu elementul neutru? Acest număr nu se schimbă la redenumire, pentru că $f(x^2)=f(x{)}^2$ și $f(e)=e^{\prime }$. Este exact instrumentul de care avem nevoie mai jos.

4. Este grupul lui Klein izomorf cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo $4$?

Programa cere această comparație pe nume, iar rezultatul ei este surprinzător pentru cine se aștepta ca numărul de elemente să decidă totul.

Scriem întâi tabla grupului lui Klein $K=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$, construit la grupuri de funcții și grupul lui Klein din funcțiile $f_1(x)=x$, $f_2(x)=-x$, $f_3(x)=\frac{1}{x}$, $f_4(x)=-\frac{1}{x}$ definite pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, cu compunerea funcțiilor:

În scrierea abstractă $K=\{e,a,b,c\}$, tabla se rezumă la trei egalități: $a^2=b^2=c^2=e$ și $ab=c$ (de unde, prin comutativitate și simplificare, $ac=b$ și $bc=a$).

Alături, tabla grupului aditiv al claselor de resturi modulo $4$:

Ambele grupuri au patru elemente și ambele sunt comutative, adică ambele table sunt simetrice față de diagonala principală. Primele două filtre nu decid nimic. Trecem la al treilea: privim diagonala principală. La grupul lui Klein, toate cele patru celule de pe diagonală conțin elementul neutru $f_1$ — fiecare element compus cu el însuși dă identitatea. La $({\mathbb{Z}}_4,+)$, diagonala conține $\hat{0}$, $\hat{2}$, $\hat{0}$, $\hat{2}$: doar două celule dau neutrul.

Aceasta este deosebirea decisivă. Dacă ar exista un izomorfism $f:K\to {\mathbb{Z}}_4$, atunci din $x\circ x=f_1$ ar rezulta $f(x)+f(x)=\hat{0}$ pentru toate cele patru elemente, adică diagonala celei de-a doua table ar trebui să fie și ea plină de $\hat{0}$ — ceea ce nu este cazul. Prin urmare grupurile nu sunt izomorfe, deși au același număr de elemente și sunt amândouă comutative.

Citită altfel, aceeași deosebire spune că $({\mathbb{Z}}_4,+)$ este ciclic, generat de $\hat{1}$, în timp ce grupul lui Klein nu este ciclic, cum ai văzut la subgrupul generat de un element și grupurile ciclice. Un grup ciclic nu poate fi izomorf cu unul care nu e ciclic.

5. Rădăcinile unității și clasele de resturi modulo $n$

A doua aplicație cerută de programă are un rezultat opus: aici grupurile sunt izomorfe, pentru orice $n$.

Reamintim notațiile din clasa a X-a, de la rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex: mulțimea $U_n$ este formată din numerele ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$, cu $k=0,1,\dots ,n-1$, iar ${\epsilon }_k={\epsilon }_1^k$.

Teoremă. Pentru orice $n\ge 2$ are loc $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )$, izomorfismul fiind $f(\hat{k})={\epsilon }_k$.

Demonstrație. Verificăm întâi că funcția este bine definită, adică nu depinde de reprezentantul ales pentru clasă. Dacă $\hat{k}=\hat{l}$, atunci $n\mid k-l$, deci $k=l+qn$ cu $q$ întreg și

$${\epsilon }_1^k={\epsilon }_1^{l+qn}={\epsilon }_1^l\cdot ({\epsilon }_1^n{)}^q={\epsilon }_1^l\cdot 1^q={\epsilon }_1^l,$$

adică ${\epsilon }_k={\epsilon }_l$. Funcția este deci corect definită.

Este morfism: $f(\hat{k}+\hat{l})=f(\widehat{k+l})={\epsilon }_1^{k+l}={\epsilon }_1^k\cdot {\epsilon }_1^l=f(\hat{k})\cdot f(\hat{l})$.

Este bijectivă: cele două mulțimi au fiecare câte $n$ elemente, iar rădăcinile ${\epsilon }_0,{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_{n-1}$ sunt distincte două câte două, fiind $n$ puncte diferite de pe cercul unitate. O funcție surjectivă între două mulțimi finite cu același număr de elemente este bijectivă. $■$

Pentru $n=4$ izomorfismul se vede pe loc: $\hat{0}\mapsto 1$, $\hat{1}\mapsto i$, $\hat{2}\mapsto -1$, $\hat{3}\mapsto -i$. Tabla lui $U_4$, scrisă cu indicii rădăcinilor, este chiar tabla lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$, pentru că ${\epsilon }_j\cdot {\epsilon }_k={\epsilon }_{j+k}$, cu indicele redus modulo $4$.

Interpretarea geometrică e cea mai frumoasă parte: a aduna clasa $\hat{1}$ înseamnă a roti punctul de pe cerc cu unghiul $\frac{2\pi }{n}$, iar a aduna $\hat{k}$ înseamnă a repeta rotirea de $k$ ori. Adunarea claselor de resturi devine astfel o mișcare, iar acest fir va fi dus mai departe în lecțiile geometrice ale unității.

6. Cum arăți că un grup dat este izomorf cu unul cunoscut?

Acesta este tipul de problemă cel mai frecvent la Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1, iar rețeta lui are trei pași fixați.

1. Propune funcția $f$, sugerată de forma legii. Când legea are forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, funcția potrivită este $f(x)=x-a$; când are forma $x\ast y=x+y-a$, funcția potrivită este $f(x)=x-a$ tot așa, dar către grupul aditiv.
2. Verifică morfismul, adică egalitatea $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$, prin calcul literal, ca la lecția precedentă.
3. Verifică bijectivitatea, de preferat scriind funcția inversă explicit. Dacă $f(x)=x-a$, atunci $f^{-1}(u)=u+a$, iar bijectivitatea e imediată.

Îl aplicăm pe un exemplu scurt. Pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ definim $x\ast y=3xy$. Legea este asociativă, pentru că ambele paranteze dau $9xyz$; are elementul neutru $e=\frac{1}{3}$, din $3xe=x$; iar simetricul lui $x$ este $\frac{1}{9x}$, din $3x{x}^{\prime }=\frac{1}{3}$. Deci $({\mathbb{R}}^{\ast },\ast )$ este grup comutativ. Propunem $f(x)=3x$, cu valori în $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$. Verificăm morfismul: $f(x\ast y)=3\cdot 3xy=9xy$, iar $f(x)\cdot f(y)=3x\cdot 3y=9xy$; egale. Bijectivitatea: inversa este $f^{-1}(u)=\frac{u}{3}$, definită pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Prin urmare $({\mathbb{R}}^{\ast },\ast )\simeq ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$.

Observă cât de mult economisește izomorfismul: dacă vrem acum să rezolvăm ecuația $x\ast x\ast x=24$, o trecem prin $f$ și obținem $(3x{)}^3=3\cdot 24=72$, adică $27x^3=72$; de aici $x^3=\frac{8}{3}$. Nu a fost nevoie să desfacem compunerea triplă.

7. Ce se păstrează prin izomorfism?

Dacă $G\simeq G^{\prime }$, atunci tot ce se poate exprima folosind numai operația grupului se transferă dintr-un grup în celălalt:

• numărul de elemente, pentru că funcția e bijectivă;
• comutativitatea: dacă $G$ e comutativ și $f$ e izomorfism, atunci pentru orice $u,v\in G^{\prime }$ scriem $u=f(x)$, $v=f(y)$ și obținem $u\ast v=f(xy)=f(yx)=v\ast u$;
• elementul neutru și simetricele, prin proprietățile morfismelor;
• ordinele elementelor și, prin urmare, ciclicitatea;
• numărul de subgrupuri și structura lor.

Nu se păstrează, în schimb, nimic din „materialul" din care sunt făcute elementele: un grup de numere poate fi izomorf cu un grup de funcții, de matrice sau de clase de resturi. Exact această libertate face izomorfismul util — permite mutarea unei probleme dintr-un grup incomod într-unul comod.

Lista de mai sus se citește și invers: dacă una singură dintre aceste trăsături diferă, cele două grupuri nu pot fi izomorfe. Aceasta este ideea pe care se sprijină lecția următoare, despre grupurile care nu sunt izomorfe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două grupuri cu trei elemente

Arătați că $({\mathbb{Z}}_3,+)\simeq (U_3,\cdot )$ și scrieți cele două table.

Rezolvare. Aplicăm teorema de la punctul $5$ pentru $n=3$: funcția $f(\hat{k})={\epsilon }_k$ este izomorfism. Tablele, scrise cu aceleași poziții, sunt:

Cele două table sunt identice, cu $\hat{k}$ înlocuit peste tot prin ${\epsilon }_k$. Nu e nicio surpriză: $3$ fiind prim, ambele grupuri sunt ciclice, prin Consecința 3 a teoremei lui Lagrange.

Exemplul 2 — Adunarea și înmulțirea numerelor reale

Arătați că $(\mathbb{R}, +) \simeq (\mathbb{R}^{}_{+}, \cdot)$.*

Rezolvare. Propunem funcția exponențială $f(x)=e^x$, unde $e$ este numărul lui Euler, baza logaritmului natural — nu elementul neutru al vreunui grup; în restul lecției litera $e$ înseamnă elementul neutru, aici înseamnă numărul.

Morfismul: $f(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=f(x)f(y)$, proprietate a puterilor cunoscută din clasa a X-a.

Bijectivitatea: funcția exponențială de bază $e$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci injectivă, iar imaginea ei este exact $(0,+\infty )={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, deci este surjectivă. Inversa este logaritmul natural, $f^{-1}(u)=\ln u$.

Prin urmare cele două grupuri sunt izomorfe. Egalitatea $\lg (xy)=\lg x+\lg y$ de la începutul lecției precedente descrie tocmai izomorfismul invers, în baza $10$.

Exemplul 3 — Un grup de matrice izomorf cu numerele reale

Fie $G=\left\{A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)|x\in \mathbb{R}\right\}$, grup față de înmulțirea matricelor. Arătați că $G\simeq (\mathbb{R},+)$.

Rezolvare. Definim $f:\mathbb{R}\to G$, $f(x)=A(x)$. Am arătat la lecția precedentă că $A(x)A(y)=A(x+y)$, deci $f$ este morfism.

Injectivitatea: dacă $A(x)=A(y)$, atunci elementele de pe poziția din colțul din dreapta sus coincid, adică $x=y$. Surjectivitatea: prin definiție, orice element al lui $G$ este de forma $A(x)$ pentru un $x$ real, deci este imaginea lui $x$. Așadar $f$ este bijectivă și $G\simeq (\mathbb{R},+)$.

Consecința practică: puterile din $G$ se calculează ca multipli în $\mathbb{R}$, deci $A(x{)}^n=A(nx)$, fără nicio înmulțire de matrice.

Exemplul 4 — Un grup de clase de resturi izomorf cu grupul lui Klein

Arătați că grupul multiplicativ al claselor inversabile modulo $8$ este izomorf cu grupul lui Klein.

Rezolvare. Clasele inversabile modulo $8$ sunt cele ale numerelor prime cu $8$, adică $U({\mathbb{Z}}_8)=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$. Tabla înmulțirii lor este:

Celulele se obțin prin reducere modulo $8$: $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{1}$, $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{7}$, $\hat{5}\cdot \hat{7}=\widehat{35}=\hat{3}$ și așa mai departe.

Comparăm cu tabla grupului lui Klein de la punctul $4$: pozițiile coincid celulă cu celulă, dacă redenumim $\hat{1}\mapsto f_1$, $\hat{3}\mapsto f_2$, $\hat{5}\mapsto f_3$, $\hat{7}\mapsto f_4$. Bijecția aceasta este deci izomorfism, iar $U({\mathbb{Z}}_8)\simeq K$. Se vede și direct: în ambele grupuri, pătratul fiecărui element este elementul neutru.

Exemplul 5 — Un grup izomorf cu un subgrup al său

Arătați că $(\mathbb{Z},+)\simeq (2\mathbb{Z},+)$, unde $2\mathbb{Z}$ este mulțimea numerelor întregi pare.

Rezolvare. Definim $f:\mathbb{Z}\to 2\mathbb{Z}$, $f(k)=2k$. Morfismul: $f(k+l)=2(k+l)=2k+2l=f(k)+f(l)$. Injectivitatea: din $2k=2l$ rezultă $k=l$. Surjectivitatea: orice număr par se scrie $2k$ cu $k$ întreg, deci este imaginea lui $k$. Prin urmare $f$ este izomorfism.

Rezultatul merită gândit: $2\mathbb{Z}$ este un subgrup strict al lui $\mathbb{Z}$ — îi lipsesc toate numerele impare — și totuși cele două grupuri sunt izomorfe. La grupurile infinite, „mai mic" nu înseamnă „altă structură". La grupurile finite, în schimb, un subgrup strict are strict mai puține elemente, deci nu poate fi izomorf cu grupul întreg.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe intervalul $G=(2,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$. a) Arătați că $(G,\ast )$ este grup comutativ. b) Arătați că funcția $f : G \to \mathbb{R}^{}{+}$,$f(x) = x - 2$,esteizomorfismdela$(G, \ast)$la$(\mathbb{R}^{*}{+}, \cdot)$.* c) Rezolvați în $G$ ecuația $x\ast x\ast x=10$.

Rezolvare. a) Scriem întâi legea sub formă factorizată, pasul care descurcă totul:

$$x\ast y=xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2.$$

Parte stabilă: dacă $x>2$ și $y>2$, atunci $(x-2)(y-2)>0$, deci $x\ast y>2$, adică rezultatul rămâne în $G$.

Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=((x-2)(y-2)+2-2)(z-2)+2=(x-2)(y-2)(z-2)+2$, iar $x\ast (y\ast z)$ dă aceeași expresie, prin simetrie. Comutativitatea e evidentă din forma factorizată.

Element neutru: din $(x-2)(e-2)+2=x$ obținem $(x-2)(e-2)=x-2$, deci $e-2=1$ și $e=3\in G$.

Simetricul: din $(x-2)(x^{\prime }-2)+2=3$ obținem $(x-2)(x^{\prime }-2)=1$, deci $x^{\prime }=2+\frac{1}{x-2}$, număr strict mai mare decât $2$, deci din $G$. Toate condițiile fiind îndeplinite, $(G,\ast )$ este grup comutativ.

b) Morfismul: $f(x\ast y)=x\ast y-2=(x-2)(y-2)=f(x)\cdot f(y)$. Bijectivitatea: funcția $f(x)=x-2$ duce intervalul $(2,+\infty )$ pe intervalul $(0,+\infty )={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, iar inversa ei este $f^{-1}(u)=u+2$. Deci $f$ este izomorfism și $(G,\ast )\simeq ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

c) Aplicăm izomorfismul, care duce compusul în produs:

$$f(x\ast x\ast x)=(f(x){)}^3=(x-2{)}^3.$$

Ecuația devine $(x-2{)}^3=f(10)=8$, de unde $x-2=2$ și $x=4$. Verificare: $4\ast 4=16-8-8+6=6$, apoi $6\ast 4=24-12-8+6=10$. Soluția $x=4$ aparține lui $G$ și este unică, pentru că funcția $u\mapsto u^3$ este injectivă.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, verifică separat cele două condiții: morfismul (prin calcul literal) și bijectivitatea (de preferat prin scrierea funcției inverse). Când ți se cere să arăți că două grupuri nu sunt izomorfe, caută o trăsătură a tablei care nu se schimbă la redenumire.

1. Arată că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=5x$, este izomorfism și scrie inversa lui.

2. Arată că $({\mathbb{Z}}_5,+)\simeq (U_5,\cdot )$ și precizează imaginea lui $\hat{3}$.

3. Scrie tabla grupului $(U_4,\cdot )$ folosind elementele $1,i,-1,-i$ și compar-o cu tabla lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două grupuri cu același număr de elemente sunt izomorfe."

5. Arată că funcția $f:(\mathbb{Z},+)\to (3\mathbb{Z},+)$, $f(k)=3k$, este izomorfism.

6. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=x+y+5$. Arată că $f(x)=x+5$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},\ast )$ la $(\mathbb{R},+)$.

7. Arată că grupul multiplicativ al claselor inversabile modulo $5$ este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_4,+)$.

8. Fie $f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ izomorfism. Arată că $G$ este comutativ dacă și numai dacă $G^{\prime }$ este comutativ.

9. (Problemă aplicată.) Un mecanism cu $6$ poziții se rotește cu câte o poziție la fiecare impuls. Explică de ce grupul pozițiilor lui este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și cu $(U_6,\cdot )$.

10. Pe $(0,+\infty )$ se definește $x\ast y=xy$. Arată că funcția $f(x)=\ln x$ este izomorfism către $(\mathbb{R},+)$.

11. Arată că $({\mathbb{Z}}_6,+)$ nu este izomorf cu grupul lui Klein, comparând numărul de elemente.

12. Fie $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$ un izomorfism de forma $f(x)=ax$. Ce valori poate lua $a$?

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Inversa unui izomorfism de grupuri este tot izomorfism."

14. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=2xy$. Arată că $({\mathbb{R}}^{\ast },\ast )$ este grup și că $f(x)=2x$ este izomorfism către $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $G=(3,+\infty )$ se definește $x\ast y=xy-3x-3y+12$. a) Arată că $(G,\ast )$ este grup comutativ. b) Arată că $f(x)=x-3$ este izomorfism către $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$. c) Rezolvă ecuația $x\ast x=28$.

16. Compară tablele grupurilor $({\mathbb{Z}}_2,+)$ și $(U_2,\cdot )$ și scrie explicit izomorfismul dintre ele.

17. Fie $G$ un grup cu $5$ elemente. Arată că $G\simeq ({\mathbb{Z}}_5,+)$.

18. (Provocare.) Arată că grupul $(\mathbb{Q},+)$ nu este izomorf cu $(\mathbb{Z},+)$, folosind faptul că $(\mathbb{Z},+)$ este ciclic.

Răspunsuri și explicații

1. Morfismul: $f(x+y)=5(x+y)=5x+5y=f(x)+f(y)$. Bijectivitatea: inversa este $f^{-1}(u)=\frac{u}{5}$, definită pe tot $\mathbb{R}$. Deci $f$ este izomorfism.

2. Din teorema de la punctul $5$, $f(\hat{k})={\epsilon }_k$ este izomorfism, deci imaginea lui $\hat{3}$ este ${\epsilon }_3=\cos \frac{6\pi }{5}+i\sin \frac{6\pi }{5}$.

3. Tabla lui $U_4$ este: $1$ pe prima linie și coloană; $i\cdot i=-1$, $i\cdot (-1)=-i$, $i\cdot (-i)=1$, $(-1)(-1)=1$, $(-1)(-i)=i$, $(-i)(-i)=-1$. Înlocuind $1\mapsto \hat{0}$, $i\mapsto \hat{1}$, $-1\mapsto \hat{2}$, $-i\mapsto \hat{3}$, se obține exact tabla lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$.

4. Fals. Contraexemplul canonic este chiar cel din lecție: grupul lui Klein și $({\mathbb{Z}}_4,+)$ au patru elemente fiecare și nu sunt izomorfe, pentru că diagonalele tablelor lor arată diferit.

5. Morfismul: $f(k+l)=3(k+l)=3k+3l$. Injectivitatea: din $3k=3l$ rezultă $k=l$. Surjectivitatea: orice multiplu de $3$ se scrie $3k$. Deci $f$ este izomorfism, iar $(\mathbb{Z},+)\simeq (3\mathbb{Z},+)$.

6. $f(x\ast y)=f(x+y+5)=x+y+10$, iar $f(x)+f(y)=(x+5)+(y+5)=x+y+10$; egale, deci morfism. Inversa este $f^{-1}(u)=u-5$, deci $f$ e bijectivă și izomorfism.

7. $U({\mathbb{Z}}_5)=\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}\}$. Puterile lui $\hat{2}$ sunt $\hat{2}$, $\hat{4}$, $\hat{8}=\hat{3}$, $\widehat{16}=\hat{1}$, deci $\hat{2}$ generează tot grupul. Funcția care duce ${\hat{2}}^k$ în $\hat{k}$ din ${\mathbb{Z}}_4$ este bijectivă și duce produsul în sumă, deci este izomorfism.

8. Dacă $G$ e comutativ, atunci pentru $u=f(x)$ și $v=f(y)$ avem $u\ast v=f(xy)=f(yx)=v\ast u$, deci $G^{\prime }$ e comutativ. Reciproc, $f^{-1}$ este tot izomorfism (punctul $2$ al lecției), deci același raționament se aplică în sens invers.

9. Numerotăm pozițiile cu $\hat{0},\hat{1},\dots ,\hat{5}$; un impuls înseamnă adunarea lui $\hat{1}$, deci grupul pozițiilor este chiar $({\mathbb{Z}}_6,+)$. Iar $({\mathbb{Z}}_6,+)\simeq (U_6,\cdot )$ prin teorema de la punctul $5$, cu $\hat{k}\mapsto {\epsilon }_k$: rotirea cu $k$ poziții corespunde înmulțirii cu ${\epsilon }_k$.

10. $f(x\ast y)=\ln (xy)=\ln x+\ln y=f(x)+f(y)$, deci morfism. Funcția logaritmică este bijectivă de la $(0,+\infty )$ la $\mathbb{R}$, cu inversa exponențială. Deci este izomorfism.

11. $({\mathbb{Z}}_6,+)$ are șase elemente, iar grupul lui Klein are patru. Cum orice izomorfism este bijecție, iar între o mulțime cu șase elemente și una cu patru nu există bijecție, grupurile nu sunt izomorfe. Este primul filtru din rețeta de comparare.

12. Morfismul se verifică pentru orice $a$ real. Bijectivitatea cere ca $f$ să fie injectivă și surjectivă, ceea ce se întâmplă exact pentru $a\ne 0$. Deci $a$ poate lua orice valoare reală nenulă, iar inversa este $f^{-1}(u)=\frac{u}{a}$.

13. Adevărat, demonstrat la punctul $2$: dacă $u=f(x)$ și $v=f(y)$, atunci $f^{-1}(u\ast v)=x\cdot y=f^{-1}(u)\cdot f^{-1}(v)$, iar inversa unei bijecții este bijecție.

14. Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=2(2xy)z=4xyz$ și $x\ast (y\ast z)=2x(2yz)=4xyz$. Neutrul: $2xe=x$ dă $e=\frac{1}{2}$. Simetricul: $2x{x}^{\prime }=\frac{1}{2}$ dă $x^{\prime }=\frac{1}{4x}$. Morfismul: $f(x\ast y)=2\cdot 2xy=4xy$ și $f(x)f(y)=2x\cdot 2y=4xy$. Inversa lui $f$ este $u\mapsto \frac{u}{2}$, deci $f$ e izomorfism.

15. a) Forma factorizată este $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$; pentru $x,y>3$ produsul e pozitiv, deci $x\ast y>3$. Asociativitatea dă în ambele ordini $(x-3)(y-3)(z-3)+3$; neutrul este $e=4$; simetricul este $x^{\prime }=3+\frac{1}{x-3}>3$. b) $f(x\ast y)=(x-3)(y-3)=f(x)f(y)$, iar $f$ duce $(3,+\infty )$ pe $(0,+\infty )$ bijectiv, cu inversa $u\mapsto u+3$. c) Din $(f(x){)}^2=f(28)=25$ rezultă $x-3=5$, deci $x=8$ (soluția $x-3=-5$ nu convine, fiindcă $f(x)>0$). Verificare: $8\ast 8=64-24-24+12=28$.

16. $({\mathbb{Z}}_2,+)$ are elementele $\hat{0},\hat{1}$, iar $U_2=\{1,-1\}$. Ambele table au aceeași formă: neutrul pe prima linie și coloană, iar celălalt element compus cu el însuși dă neutrul. Izomorfismul este $f(\hat{0})=1$, $f(\hat{1})=-1$.

17. $5$ este prim, deci, prin Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, $G$ este ciclic: există $x$ cu $G=\{e,x,x^2,x^3,x^4\}$. Funcția $f:{\mathbb{Z}}_5\to G$, $f(\hat{k})=x^k$, este bine definită (pentru că $x^5=e$), este morfism (pentru că $x^k{x}^l=x^{k+l}$) și este bijectivă (ambele mulțimi au cinci elemente, iar puterile sunt distincte). Deci $G\simeq ({\mathbb{Z}}_5,+)$.

18. Grupul $(\mathbb{Z},+)$ este ciclic, generat de $1$, iar ciclicitatea se păstrează prin izomorfism. Dacă cele două grupuri ar fi izomorfe, ar exista deci un număr rațional $q$ cu $\mathbb{Q}=⟨q⟩=\{kq\mid k\in \mathbb{Z}\}$. Valoarea $q=0$ se exclude, fiindcă $⟨0⟩=\{0\}$. Pentru $q\ne 0$, numărul $\frac{q}{2}$ este rațional, deci ar trebui să existe un întreg $k$ cu $\frac{q}{2}=kq$; simplificând prin $q$ obținem $k=\frac{1}{2}$, care nu este întreg. Contradicția arată că $(\mathbb{Q},+)$ nu este ciclic, deci cele două grupuri nu sunt izomorfe.

De reținut

• Un izomorfism de grupuri este un morfism bijectiv, iar existența lui se notează $G\simeq G^{\prime }$ și se citește „grupurile $G$ și $G^{\prime }$ sunt izomorfe".
• Inversa unui izomorfism și compunerea a două izomorfisme sunt tot izomorfisme, așa că relația de izomorfism este reflexivă, simetrică și tranzitivă.
• Compararea a două table de grupuri finite se face în trei pași: numărul de elemente, potrivirea elementelor neutre și trăsăturile care nu se schimbă la redenumire, în primul rând diagonala principală.
• Grupul lui Klein și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $4$ au patru elemente fiecare și nu sunt izomorfe, pentru că în primul toate pătratele dau elementul neutru, iar în al doilea numai două.
• Grupul rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității este izomorf cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$, izomorfismul fiind $f(\hat{k})={\epsilon }_k$.

Greșeli frecvente

• Uitarea bijectivității. Un morfism nu este automat izomorfism: trecerea la clasa de resturi păstrează operația, dar comprimă infinit de multe numere într-o clasă. Ambele condiții trebuie verificate, iar cea mai curată verificare a bijectivității este scrierea funcției inverse.
• Concluzia „au același număr de elemente, deci sunt izomorfe". Numărul de elemente este doar primul filtru; el poate respinge, dar nu poate confirma. Perechea Klein–${\mathbb{Z}}_4$ este contraexemplul de reținut.
• Compararea tablelor în ordini diferite ale elementelor. Înainte de a compara două table, scrie elementele în aceeași ordine pe linie și pe coloană și pune neutrul pe prima poziție; altfel două table identice ca structură pot părea diferite.
• Confuzia dintre izomorfism și egalitate. Grupurile izomorfe nu sunt egale ca mulțimi: unul poate fi format din funcții, celălalt din clase de resturi. Izomorfismul spune că au aceeași structură, nu aceleași elemente.
• Verificarea morfismului doar pe câteva perechi. La grupurile finite mici, verificarea pe toate perechile este acceptabilă și chiar recomandată; la grupurile infinite, ea trebuie făcută cu litere, pentru $x$ și $y$ oarecare.

Aplică acasă

1. Două table, aceeași formă. Scrie pe hârtie tabla lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și tabla lui $(U_6,\cdot )$, folosind pentru a doua notația ${\epsilon }_k$. Colorează la fel celulele care se corespund prin $\hat{k}\mapsto {\epsilon }_k$ și verifică dacă rămâne vreo celulă necolorată.

2. Vânătoarea de diagonale. Alcătuiește tablele grupurilor cu patru elemente pe care le cunoști: $({\mathbb{Z}}_4,+)$, grupul lui Klein, $U_4$ și clasele inversabile modulo $8$. Numără, pentru fiecare, câte celule de pe diagonala principală conțin elementul neutru, apoi grupează-le după acest număr.

3. Rețeta pe o lege nouă. Inventează o lege de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ cu $a$ ales de tine, scrie intervalul pe care devine grup și verifică toți pașii rețetei de la punctul $6$. Rezolvă apoi o ecuație de tipul $x\ast x=b$, alegând $b$ astfel încât soluția să fie un număr întreg.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde direct competenței XII.CS.2.2 din programa de matematică-informatică, care cere „evidențierea asemănărilor și deosebirilor dintre tablele operațiilor unor grupuri finite cu același număr de elemente", cu cele două aplicații numite explicit în programă. Ea este și lecția pe care se sprijină cel mai frecvent tip de problemă din algebra de la BAC M1: „arătați că $(G,\ast )$ este grup izomorf cu …".

De verificat în caiet: (1) sunt scrise ambele condiții, morfismul și bijectivitatea, nu doar prima; (2) bijectivitatea este justificată, de preferat prin inversa explicită, nu doar afirmată; (3) la compararea tablelor, elementele sunt scrise în aceeași ordine, cu neutrul pe prima poziție; (4) când se afirmă că două grupuri nu sunt izomorfe, se indică trăsătura concretă care diferă. Întrebări de control: „Ce înseamnă că două grupuri sunt izomorfe?"; „De ce Klein nu e izomorf cu grupul claselor modulo $4$?"; „Cum arăți că o funcție e izomorfism?"; „Ce se păstrează prin izomorfism?".

Semn că elevul a înțeles: în fața unei legi de compoziție necunoscute, scrie forma factorizată, propune imediat funcția potrivită și verifică cele două condiții, în loc să reia toate axiomele de grup pentru fiecare cerință.

Întrebări frecvente

Ce este un izomorfism de grupuri? Un izomorfism de grupuri este un morfism bijectiv, adică o funcție care păstrează operația și, în plus, împerechează perfect elementele celor două grupuri. Când o asemenea funcție există, grupurile se numesc izomorfe și se scrie $G\simeq G^{\prime }$; ele au aceeași structură, chiar dacă elementele lor sunt obiecte complet diferite.

Cum arăt că două grupuri sunt izomorfe? Construiești o funcție de la un grup la celălalt, verifici prin calcul literal că păstrează operația și apoi arăți că este bijectivă, cel mai simplu scriind funcția inversă. La legile de forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, funcția potrivită este întotdeauna $f(x)=x-a$.

De ce grupul lui Klein nu este izomorf cu grupul claselor de resturi modulo 4? Pentru că în grupul lui Klein fiecare element compus cu el însuși dă elementul neutru, deci toate cele patru celule de pe diagonala principală conțin neutrul, în timp ce în grupul claselor de resturi modulo $4$ doar două celule de pe diagonală îl conțin. Un izomorfism ar trebui să păstreze acest număr.

Care este izomorfismul dintre rădăcinile unității și clasele de resturi? Este funcția $f(\hat{k})={\epsilon }_k$, care duce clasa lui $k$ modulo $n$ în rădăcina ${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$. Ea este bine definită, păstrează operația, pentru că ${\epsilon }_j{\epsilon }_k={\epsilon }_{j+k}$, și este bijectivă, cele două mulțimi având câte $n$ elemente.

Ce se păstrează atunci când două grupuri sunt izomorfe? Se păstrează numărul de elemente, comutativitatea, elementul neutru, simetricele, ordinele tuturor elementelor, ciclicitatea și structura subgrupurilor. Nu se păstrează nimic din natura concretă a elementelor: un grup de numere poate fi izomorf cu unul de matrice, de funcții sau de clase de resturi.

Cum compar tablele a două grupuri finite? Verifici întâi dacă au același număr de elemente, apoi așezi elementele în aceeași ordine, cu neutrul pe prima poziție, și compari trăsăturile care nu se schimbă la redenumire: simetria față de diagonală, numărul de celule de pe diagonală care conțin neutrul, ordinele elementelor.

Un grup infinit poate fi izomorf cu un subgrup al său? Da, și acesta este unul dintre lucrurile care deosebesc grupurile infinite de cele finite. Grupul aditiv al numerelor întregi este izomorf cu subgrupul numerelor pare, prin funcția $f(k)=2k$. La grupurile finite acest lucru este imposibil, pentru că un subgrup strict are strict mai puține elemente.

Unde apare izomorfismul în subiectele de Bacalaureat M1? Apare la Subiectul al II-lea, în problema de algebră: se dă o lege de compoziție pe un interval, se cere să se arate că mulțimea devine grup și că este izomorfă cu un grup cunoscut, apoi se rezolvă o ecuație folosind izomorfismul. Ultimul subpunct este cel care arată la ce folosește noțiunea.