Izomorfisme remarcabile: pe scurt

Pe o dreaptă cu reper, translația de pas $a$ este $t_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $t_a(x)=x+a$, iar compunerea copiază adunarea pașilor: $t_a\circ t_b=t_{a+b}$. De aici, $(T,\circ )$ este grup comutativ, cu neutrul $t_0$ și cu $t_a^{-1}=t_{-a}$. Dacă marcăm punctele de abscise multipli întregi de $d>0$, obținem diviziunea echidistantă de pas $d$, cu mulțimea absciselor $d\mathbb{Z}$; translația $t_a$ o invariază dacă și numai dacă $a=kd$ cu $k\in \mathbb{Z}$ — partea grea se scrie într-un rând, aplicând translația originii: $a=t_a(0)\in d\mathbb{Z}$. Grupul acestor translații, $D_d=\{t_{kd}\mid k\in \mathbb{Z}\}$, este izomorf cu $(\mathbb{Z},+)$ prin $\phi (k)=t_{kd}$, deci este comutativ, infinit și ciclic.

Al doilea izomorfism remarcabil este $f:{\mathbb{Z}}_n\to U_n$, $f(\hat{k})={\epsilon }^k$, cu $\epsilon ={\epsilon }_1$. Aici trebuie verificată întâi buna definire: o clasă are o infinitate de reprezentanți, iar din $\hat{k}=\hat{j}$ rezultă ${\epsilon }^k={\epsilon }^j$ tocmai pentru că ${\epsilon }^n=1$. Al treilea leagă clasele de geometrie: rotațiile care păstrează un poligon regulat cu $n$ laturi sunt exact ${\mathcal{R}}_n=\left\{R_{\frac{2k\pi }{n}}\mid k=0,\dots ,n-1\right\}$, iar $g(\hat{k})=R_{\frac{2k\pi }{n}}$ este izomorfism. Prin tranzitivitate se obține lanțul $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )\simeq ({\mathcal{R}}_n,\circ )$ — o descriere aritmetică, una algebrică și una geometrică ale aceluiași grup ciclic. Profilul ordinelor se calculează o dată, în ${\mathbb{Z}}_n$, și se citește pe toate trei.

Exerciții din această mini-lecție

1. Translația $t_a$ a dreptei invariază diviziunea echidistantă de pas $d=7$ dacă și numai dacă:

   • a) $a=7$
   • b) $a$ este multiplu întreg al lui $7$
   • c) $a>0$
   • d) $a$ este număr întreg
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $a$ este multiplu întreg al lui $7$

   Condiția este $a\in 7\mathbb{Z}$, adică $a=7k$ cu $k$ întreg. Demonstrația părții grele încape într-un rând: punctul $0$ aparține diviziunii, deci imaginea lui, $t_a(0)=a$, trebuie să aparțină tot diviziunii. Varianta $a=7$ dă doar generatorul grupului; $a>0$ exclude greșit translațiile spre stânga, iar „$a$ întreg” ar accepta $a=3$, care mută semnele.

2. În lanțul $({\mathbb{Z}}_{12},+)\simeq (U_{12},\cdot )\simeq ({\mathcal{R}}_{12},\circ )$, clasei $\hat{3}$ îi corespunde rotația:

   • a) $R_{\frac{\pi }{2}}$
   • b) $R_{\frac{\pi }{4}}$
   • c) $R_{\frac{\pi }{6}}$
   • d) $R_{\frac{3\pi }{2}}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $R_{\frac{\pi }{2}}$

   Izomorfismul este $g(\hat{k})=R_{\frac{2k\pi }{n}}$, deci pentru $n=12$ și $k=3$ obținem $R_{\frac{6\pi }{12}}=R_{\frac{\pi }{2}}$. Varianta $R_{\frac{\pi }{6}}$ este imaginea lui $\hat{1}$, adică generatorul; varianta $R_{\frac{\pi }{4}}$ împarte $\pi$ la $k$, iar $R_{\frac{3\pi }{2}}$ confundă indicele $3$ cu unghiul $3\pi$.

3. Ordinul rotației $R_{\frac{4\pi }{3}}$ în grupul $\left({\mathcal{R}}_{12},\circ \right)$ al rotațiilor poligonului regulat cu $12$ laturi este:

   • a) $12$
   • b) $8$
   • c) $4$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $3$

   Scriem unghiul în forma $\frac{2k\pi }{12}$: din $\frac{4\pi }{3}=\frac{16\pi }{12}=\frac{2\cdot 8\pi }{12}$ rezultă $k=8$. Prin izomorfism, ordinul rotației este ordinul clasei $\hat{8}$ în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, adică $\frac{12}{(8,12)}=\frac{12}{4}=3$. Verificare geometrică: rotația cu $240^{\circ }$ aplicată de trei ori dă $720^{\circ }$, adică poziția inițială.