Izomorfisme remarcabile: numerele întregi și translațiile, clasele de resturi și rotațiile

Pune pe o riglă lungă semne din centimetru în centimetru și întreabă-te ce mișcări ale riglei lasă desenul neschimbat: singurele sunt alunecările cu un număr întreg de centimetri. Fiecare astfel de alunecare e o translație, iar mulțimea lor, cu operația de compunere, se comportă la calcul exact ca $(\mathbb{Z},+)$ — și tocmai despre asemenea potriviri, numite izomorfisme remarcabile, este lecția de față, una dintre cele mai frumoase din programa de clasa a 12-a la matematică-informatică. Izomorfismele remarcabile cerute de programă sunt trei: numerele întregi cu translațiile care păstrează o diviziune echidistantă a unei drepte, iar clasele de resturi modulo $n$ atât cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unității, cât și cu rotațiile unui poligon regulat cu $n$ laturi.

De ce merită atâta atenție? Pentru că un izomorfism nu e o curiozitate, ci un instrument de lucru. Când două grupuri sunt izomorfe, orice calcul dintr-unul se poate muta în celălalt, se face acolo unde e ușor și se aduce înapoi. Ai văzut mecanismul la izomorfisme de grupuri și l-ai văzut funcționând în oglindă la grupuri care nu sunt izomorfe; aici îl aplicăm pe cazurile pe care programa le numește pe nume, iar la lecția următoare, despre transferul de structură prin izomorfism, transformăm mecanismul într-o metodă de rezolvat ecuații.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii grupul translațiilor unei drepte și să determini exact care translații lasă neschimbată o diviziune echidistantă.
• Vei ști să demonstrezi izomorfismul $(\mathbb{Z},+)\simeq (D_d,\circ )$ dintre numerele întregi și acest grup de translații.
• Vei ști să verifici că funcția $f(\hat{k})={\epsilon }^k$ este bine definită și că realizează izomorfismul $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )$.
• Vei ști să descrii grupul rotațiilor unui poligon regulat cu $n$ laturi și să-l pui în corespondență cu $({\mathbb{Z}}_n,+)$.
• Vei ști să citești, dintr-un izomorfism, profilul ordinelor și faptul că un grup e ciclic.
• Vei ști să folosești aceste trei izomorfisme în probleme de tipul celor din Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că două grupuri sunt izomorfe?

Izomorfismul de grupuri este o funcție bijectivă $f:G\to G^{\prime }$ între două grupuri care păstrează operația, adică $f(x\cdot y)=f(x)\ast f(y)$ pentru orice $x,y\in G$; când o astfel de funcție există, cele două grupuri se numesc izomorfe, se scrie $G\simeq G^{\prime }$ și ele au exact aceleași proprietăți de calcul, deși elementele lor pot fi obiecte cu totul diferite.

„Aceleași proprietăți de calcul" nu e o vorbă în vânt. Un izomorfism duce elementul neutru în elementul neutru, inversul în invers, puterea $x^m$ în puterea $f(x{)}^m$ și păstrează ordinul fiecărui element. Prin urmare, dacă $G$ e comutativ, atunci și $G^{\prime }$ e comutativ; dacă $G$ are exact două elemente de ordinul $2$, atunci și $G^{\prime }$ are exact două. Diferența dintre două grupuri izomorfe e doar numele elementelor.

Mai avem nevoie de o observație tehnică, pe care o folosim de trei ori în lecție: relația $\simeq$ este tranzitivă. Dacă $f:G\to G^{\prime }$ și $g:G^{\prime }\to G^{\prime \prime }$ sunt izomorfisme, atunci $g\circ f:G\to G^{\prime \prime }$ este bijectivă (compunere de bijecții) și păstrează operația, pentru că

$$(g\circ f)(x\cdot y)=g(f(x)\ast f(y))=g(f(x))\perp g(f(y))=(g\circ f)(x)\perp (g\circ f)(y).$$

Deci din $G\simeq G^{\prime }$ și $G^{\prime }\simeq G^{\prime \prime }$ rezultă $G\simeq G^{\prime \prime }$. La fel, inversa unui izomorfism este tot un izomorfism, deci relația e și simetrică — de aceea putem spune „grupurile sunt izomorfe", fără să precizăm în ce ordine.

2. Ce este grupul translațiilor unei drepte?

Fixăm o dreaptă și un reper pe ea, astfel încât fiecare punct să fie dat de abscisa lui, un număr real. O translație de pas $a$ este funcția

$$t_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R},t_a(x)=x+a.$$

Definiția e prin coordonate, exact ca la grupuri de translații și rotații: punctul de abscisă $x$ pleacă și ajunge în punctul de abscisă $x+a$. La lecția aceea translațiile au fost definite în plan, cu doi parametri, $t_{(a,b)}(x,y)=(x+a,y+b)$; pe o dreaptă rămâne un singur parametru, pasul $a$. Numărul $a$ se numește pasul translației și poate fi pozitiv, negativ sau nul.

Compunerea a două translații se calculează într-un rând:

$$(t_a\circ t_b)(x)=t_a(t_b(x))=t_a(x+b)=x+b+a=t_{a+b}(x),$$

deci $t_a\circ t_b=t_{a+b}$. Regula aceasta spune tot: mulțimea $T=\{t_a\mid a\in \mathbb{R}\}$ este parte stabilă față de compunere; compunerea funcțiilor e asociativă; elementul neutru este $t_0=1_{\mathbb{R}}$; simetricul lui $t_a$ este $t_{-a}$, pentru că $t_a\circ t_{-a}=t_0$. Prin urmare $(T,\circ )$ este grup comutativ, iar funcția $a\mapsto t_a$ arată deja că $(\mathbb{R},+)\simeq (T,\circ )$: e bijectivă (translații cu pași diferiți sunt funcții diferite, pentru că iau valori diferite în $0$) și duce suma în compunere.

Reține forma acestui raționament, fiindcă se repetă în toată lecția: legea de compunere a obiectelor geometrice copiază adunarea parametrilor lor. De aici încolo, tot ce facem este să restrângem mulțimea pașilor.

3. Care translații invariază o diviziune echidistantă?

Fixăm un număr $d>0$ și marcăm pe dreaptă punctele de abscise multipli întregi de $d$. Mulțimea absciselor lor este

$$d\mathbb{Z}=\{kd\mid k\in \mathbb{Z}\},$$

adică mulțimea multiplilor întregi ai lui $d$ — aceeași construcție ca subgrupurile $n\mathbb{Z}$ ale lui $(\mathbb{Z},+)$, dar cu pasul $d$ real. Mulțimea punctelor corespunzătoare se numește diviziune echidistantă de pas $d$: două semne vecine sunt mereu la distanța $d$. Întrebarea programei este: pentru ce valori ale lui $a$ translația $t_a$ invariază diviziunea, adică $t_a(d\mathbb{Z})=d\mathbb{Z}$?

Teoremă. $t_a(d\mathbb{Z})=d\mathbb{Z}$ dacă și numai dacă $a=kd$ pentru un $k\in \mathbb{Z}$.

Demonstrație. Presupunem întâi $a=kd$. Atunci, pentru orice $m\in \mathbb{Z}$, avem $t_a(md)=md+kd=(m+k)d\in d\mathbb{Z}$, deci $t_a(d\mathbb{Z})\subseteq d\mathbb{Z}$. Invers, orice punct $md$ din $d\mathbb{Z}$ este imaginea punctului $(m-k)d\in d\mathbb{Z}$, deci $d\mathbb{Z}\subseteq t_a(d\mathbb{Z})$. Cele două incluziuni dau egalitatea.

Reciproc, presupunem $t_a(d\mathbb{Z})=d\mathbb{Z}$. Punctul $0=0\cdot d$ aparține lui $d\mathbb{Z}$, deci imaginea lui, $t_a(0)=a$, aparține lui $t_a(d\mathbb{Z})=d\mathbb{Z}$. Dar apartenența $a\in d\mathbb{Z}$ înseamnă exact $a=kd$ cu $k\in \mathbb{Z}$. $■$

Toată substanța e în partea a doua, și ea încape într-un rând: translația își arată pasul dacă o aplici originii. Merită notat și de ce condiția „$t_a(d\mathbb{Z})\subseteq d\mathbb{Z}$" ar fi fost suficientă: din incluziune ar fi rezultat tot $a=t_a(0)\in d\mathbb{Z}$.

Notăm cu $D_d$ mulțimea translațiilor care invariază diviziunea:

$$D_d=\{t_{kd}\mid k\in \mathbb{Z}\}.$$

(Aceeași construcție a fost făcută la grupuri de translații și rotații, cu translații ale planului și cu pasul $1$ pe axa $Ox$, unde grupul obținut a fost notat $D$; aici lucrăm pe o dreaptă și cu pas oarecare, de aceea îi punem indicele.)

Este subgrup al lui $(T,\circ )$: e nevidă (conține $t_0$), $t_{kd}\circ t_{ld}=t_{(k+l)d}\in D_d$ și $(t_{kd}{)}^{-1}=t_{-kd}\in D_d$ — exact cele două condiții din criteriul de subgrup. Observă și paralela cu subgrupurile grupului numerelor întregi: mulțimea pașilor admisibili este $d\mathbb{Z}$, iar $d\mathbb{Z}$ sunt tocmai subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$.

4. Primul izomorfism remarcabil: numerele întregi și translațiile

Teoremă. Pentru orice $d>0$, grupul $(\mathbb{Z},+)$ este izomorf cu grupul $(D_d,\circ )$ al translațiilor care invariază diviziunea echidistantă de pas $d$.

Demonstrație. Definim $\phi :\mathbb{Z}\to D_d$, $\phi (k)=t_{kd}$.

Morfism: pentru orice $k,l\in \mathbb{Z}$,

$$\phi (k+l)=t_{(k+l)d}=t_{kd+ld}=t_{kd}\circ t_{ld}=\phi (k)\circ \phi (l).$$

Injectivitate: dacă $\phi (k)=\phi (l)$, adică $t_{kd}=t_{ld}$, atunci cele două funcții iau aceeași valoare în $0$, deci $kd=ld$; cum $d\ne 0$, rezultă $k=l$.

Surjectivitate: orice element al lui $D_d$ este, prin chiar definiția mulțimii, de forma $t_{kd}=\phi (k)$. $■$

Ce câștigăm? Tot ce știm despre $(\mathbb{Z},+)$ se mută instantaneu: grupul $D_d$ este comutativ, este infinit, este ciclic (generat de $t_d$, pentru că $\phi (1)=t_d$ și $\phi$ e surjectivă), iar singurul lui element de ordin finit este $t_0$, elementul neutru — pentru că în $\mathbb{Z}$ singurul element de ordin finit este $0$. Niciuna dintre aceste afirmații nu a fost verificată direct pe translații.

5. Al doilea izomorfism remarcabil: clasele de resturi și rădăcinile unității

Trecem la grupuri finite. Fie $n\ge 2$ și fie

$$U_n=\{z\in \mathbb{C}\mid z^n=1\}=\left\{{\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}|k=0,1,\dots ,n-1\right\}$$

mulțimea rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, pe care ai studiat-o la rădăcinile unității și poligoanele regulate și ai regăsit-o ca grup la grupul rădăcinilor unității. Notăm $\epsilon ={\epsilon }_1$; din formula lui Moivre, ${\epsilon }_k={\epsilon }^k$ și ${\epsilon }^n=1$.

De cealaltă parte stă $({\mathbb{Z}}_n,+)$, grupul aditiv al claselor de resturi, de la grupurile claselor de resturi modulo n. Candidatul natural la izomorfism este

$$f:{\mathbb{Z}}_n\to U_n,f(\hat{k})={\epsilon }^k.$$

⚠️ Aici apare singura dificultate reală a lecției: funcția trebuie mai întâi să fie bine definită. Clasa $\hat{k}$ are o infinitate de reprezentanți — de pildă, în ${\mathbb{Z}}_4$, clasa $\hat{1}$ este și $\hat{5}$, și $\widehat{-3}$. Dacă formula ar da rezultate diferite pentru reprezentanți diferiți, „funcția" nici nu ar exista.

Buna definire. Fie $\hat{k}=\hat{j}$, adică $n\mid (k-j)$. Atunci $k=j+nq$ cu $q\in \mathbb{Z}$ și

$${\epsilon }^k={\epsilon }^{j+nq}={\epsilon }^j\cdot {\left({\epsilon }^n\right)}^q={\epsilon }^j\cdot 1^q={\epsilon }^j.$$

Deci valoarea nu depinde de reprezentantul ales, iar $f$ este o funcție bine definită.

Morfism: $f(\hat{k}+\hat{j})=f(\widehat{k+j})={\epsilon }^{k+j}={\epsilon }^k\cdot {\epsilon }^j=f(\hat{k})\cdot f(\hat{j})$.

Bijectivitate: din descrierea lui $U_n$, orice element al lui $U_n$ este de forma ${\epsilon }^k$ cu $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$, deci $f$ e surjectivă; cum $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_n=\mathrm{card}{U}_n=n$, o funcție surjectivă între mulțimi finite de același cardinal este și injectivă.

Prin urmare $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )$. Observă traducerea: adunarea exponenților devine înmulțirea puterilor. E aceeași idee care leagă, în analiză, adunarea de înmulțire — dar aici totul rămâne în algebră, cu numere complexe pe cercul unitate.

6. Cum se demonstrează că rotațiile unui poligon regulat formează grup?

Al treilea izomorfism cerut de programă este cel geometric. Rotația de unghi $\theta$ în jurul originii este funcția

$$R_{\theta }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2,R_{\theta }(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta ),$$

adică exact înmulțirea cu matricea de rotație studiată în clasa a XI-a. De acolo știi și legea de compunere, $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }$, precum și periodicitatea $R_{\theta +2\pi }=R_{\theta }$.

Considerăm poligonul regulat $P_n$ cu vârfurile

$$A_k\left(\cos \frac{2k\pi }{n},\sin \frac{2k\pi }{n}\right),k=0,1,\dots ,n-1,$$

adică poligonul înscris în cercul unitate ale cărui vârfuri sunt tocmai punctele lui $U_n$. Ne întrebăm care rotații în jurul originii îl duc în el însuși.

Teoremă. $R_{\theta }(P_n)=P_n$ dacă și numai dacă $\theta =\frac{2k\pi }{n}+2m\pi$ pentru niște $k,m\in \mathbb{Z}$.

Demonstrație. Dacă $\theta =\frac{2k\pi }{n}$, atunci

$$R_{\theta }(A_j)=\left(\cos \left(\frac{2j\pi }{n}+\frac{2k\pi }{n}\right),\sin \left(\frac{2j\pi }{n}+\frac{2k\pi }{n}\right)\right)=A_{(j+k)\mathrm{mod}n},$$

folosind formulele de adunare pentru sinus și cosinus; rotația permută vârfurile, deci păstrează poligonul. Reciproc, dacă $R_{\theta }$ păstrează poligonul, atunci $R_{\theta }(A_0)=R_{\theta }(1,0)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ trebuie să fie un vârf $A_k$, deci $\cos \theta =\cos \frac{2k\pi }{n}$ și $\sin \theta =\sin \frac{2k\pi }{n}$, ceea ce înseamnă $\theta =\frac{2k\pi }{n}+2m\pi$. $■$

Cum $R_{\theta +2\pi }=R_{\theta }$, mulțimea rotațiilor distincte care păstrează poligonul este

$${\mathcal{R}}_n=\left\{R_{\frac{2k\pi }{n}}|k=0,1,\dots ,n-1\right\},$$

iar ea are exact $n$ elemente. Este grup: e parte stabilă, pentru că $R_{2k\pi /n}\circ R_{2l\pi /n}=R_{2(k+l)\pi /n}$ și unghiul se reduce modulo $2\pi$; compunerea funcțiilor e asociativă; neutrul este $R_0=1_{{\mathbb{R}}^2}$; simetricul lui $R_{2k\pi /n}$ este $R_{2(n-k)\pi /n}$.

Izomorfismul. Funcția $g:{\mathbb{Z}}_n\to {\mathcal{R}}_n$, $g(\hat{k})=R_{2k\pi /n}$, este bine definită (dacă $n\mid k-j$, atunci unghiurile diferă printr-un multiplu de $2\pi$, deci rotațiile coincid), este morfism ($g(\hat{k}+\hat{j})=R_{2(k+j)\pi /n}=g(\hat{k})\circ g(\hat{j})$) și este bijectivă (surjectivă prin definiție, injectivă prin egalitatea cardinalelor). Deci $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq ({\mathcal{R}}_n,\circ )$.

7. Lanțul ${\mathbb{Z}}_n\simeq U_n\simeq {\mathcal{R}}_n$

Punând cap la cap ultimele două teoreme și tranzitivitatea relației $\simeq$, obținem rezultatul pe care programa îl cere explicit:

$$({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )\simeq ({\mathcal{R}}_n,\circ ).$$

Sunt trei descrieri ale aceluiași grup: una aritmetică (resturile la împărțirea cu $n$), una algebrică peste numere complexe (rădăcinile unității) și una geometrică (rotațiile poligonului). Izomorfismul dintre ultimele două, $h:U_n\to {\mathcal{R}}_n$, $h({\epsilon }^k)=R_{2k\pi /n}$, se citește direct din desen: numărul complex ${\epsilon }^k$ e vârful $A_k$, iar rotația corespunzătoare e cea care duce $A_0$ în $A_k$.

Lecția următoare, despre transferul de structură prin izomorfism, transformă acest lanț într-o metodă de calcul. Toate trei grupurile sunt ciclice: fiecare e generat de un singur element — $\hat{1}$, respectiv $\epsilon$, respectiv $R_{2\pi /n}$. Iar corespondența e completă: puterea $k$ a generatorului dintr-un grup se traduce prin puterea $k$ a generatorului din celălalt.

8. Ce se citește dintr-un izomorfism: profilul ordinelor

Fiindcă izomorfismele păstrează ordinele, profilul ordinelor — adică lista „câte elemente de fiecare ordin" — este același în toate trei grupurile. Îl calculăm o singură dată, în $({\mathbb{Z}}_n,+)$, unde e cel mai comod, și îl citim apoi și pe celelalte două.

Pentru $n=6$, ordinele elementelor lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$ sunt, în ordinea $\hat{0},\hat{1},\dots ,\hat{5}$: $1,6,3,2,3,6$. Iată tabelul, valabil deopotrivă pentru ${\mathbb{Z}}_6$, pentru $U_6$ și pentru rotațiile hexagonului regulat:

Citirea geometrică e limpede: rotația cu $180^{\circ }$ are ordinul $2$, pentru că aplicată de două ori readuce hexagonul în poziția inițială; rotația cu $120^{\circ }$ are ordinul $3$; iar cele două rotații care generează tot grupul sunt cele de $60^{\circ }$ și $300^{\circ }$. Vei folosi acest tabel, împreună cu noțiunea de ordin al unui element, în aproape orice problemă care compară două grupuri finite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabla lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$ și tabla lui $(U_4,\cdot )$

Scrieți cele două table și puneți-le în corespondență prin $f(\hat{k})=i^k$.

Rezolvare. Pentru $n=4$ avem $\epsilon =\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$, deci $U_4=\{1,i,-1,-i\}$.

Înlocuind în prima tablă $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3}$ cu $1,i,-1,-i$, obținem literă cu literă a doua tablă. Aceasta este verificarea concretă a izomorfismului, cea cerută de programă la analiza tablelor a două grupuri finite cu același număr de elemente.

Exemplul 2 — Rotațiile pătratului

Descrieți grupul rotațiilor pătratului cu vârfurile $A_0(1,0)$, $A_1(0,1)$, $A_2(-1,0)$, $A_3(0,-1)$ și determinați ordinul fiecărei rotații.

Rezolvare. Rotațiile care păstrează pătratul sunt cele de unghiuri $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, adică $R_0$, $R_{\pi /2}$, $R_{\pi }$, $R_{3\pi /2}$. Verificăm una: $R_{\pi /2}(1,0)=(\cos \frac{\pi }{2},\sin \frac{\pi }{2})=(0,1)=A_1$; la fel, $A_1\mapsto A_2$, $A_2\mapsto A_3$, $A_3\mapsto A_0$.

Ordinele: $\mathrm{ord}(R_0)=1$; $R_{\pi /2}$ aplicată de patru ori dă $R_{2\pi }=R_0$, iar de una, două sau trei ori nu, deci $\mathrm{ord}(R_{\pi /2})=4$; $R_{\pi }\circ R_{\pi }=R_{2\pi }=R_0$, deci $\mathrm{ord}(R_{\pi })=2$; analog $\mathrm{ord}(R_{3\pi /2})=4$. Profilul $1,4,2,4$ coincide cu cel al lui $({\mathbb{Z}}_4,+)$, cum era de așteptat.

Exemplul 3 — Translațiile cu pas $3$

Fie diviziunea echidistantă de pas $3$, cu abscisele din $3\mathbb{Z}=\{3k\mid k\in \mathbb{Z}\}$. Arătați că $t_6\in D_3$, că $t_4\notin D_3$ și determinați translația $x$ cu $t_9\circ x=t_{15}$.

Rezolvare. Avem $6=3\cdot 2$, deci $t_6=\phi (2)\in D_3$. Pentru $t_4$: $t_4(0)=4$, iar $4$ nu e multiplu de $3$, deci $t_4(3\mathbb{Z})\ne 3\mathbb{Z}$ și $t_4\notin D_3$.

Ecuația: compunând la stânga cu $t_{-9}$, obținem $x=t_{-9}\circ t_{15}=t_6$. Verificare: $t_9\circ t_6=t_{15}$. ✓ Prin izomorfismul $\phi$, ecuația devine $9+y=15$ în $(\mathbb{Z},+)$ — dar cu pașii scriși în multipli de $3$: $3\cdot 3+3y^{\prime }=3\cdot 5$, adică $y^{\prime }=2$ și $x=t_{3\cdot 2}=t_6$.

Exemplul 4 — Un izomorfism al lui $(\mathbb{Z},+)$ cu un subgrup al său

Arătați că $(\mathbb{Z},+)\simeq (5\mathbb{Z},+)$.

Rezolvare. Fie $u:\mathbb{Z}\to 5\mathbb{Z}$, $u(k)=5k$. Este morfism: $u(k+l)=5(k+l)=5k+5l=u(k)+u(l)$. Este injectivă: $5k=5l\Rightarrow k=l$. Este surjectivă: orice element al lui $5\mathbb{Z}$ se scrie $5k=u(k)$. Deci $u$ e izomorfism.

Observația care merită reținută: un grup infinit poate fi izomorf cu un subgrup propriu al său — lucru imposibil la grupurile finite, unde cardinalele ar trebui să coincidă. Iar $5\mathbb{Z}$ este exact mulțimea pașilor din $D_5$, deci $(\mathbb{Z},+)\simeq (5\mathbb{Z},+)\simeq (D_5,\circ )$.

Exemplul 5 — De la o afirmație despre clase la una despre rotații

Folosind izomorfismul $({\mathbb{Z}}_{12},+)\simeq ({\mathcal{R}}_{12},\circ )$, determinați câte rotații ale poligonului regulat cu $12$ laturi generează întregul grup al rotațiilor lui.

Rezolvare. Mutăm întrebarea în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$: o rotație generează tot grupul dacă și numai dacă elementul corespunzător generează ${\mathbb{Z}}_{12}$, adică are ordinul $12$. Clasa $\hat{k}$ generează ${\mathbb{Z}}_{12}$ exact când $(k,12)=1$, adică pentru $k\in \{1,5,7,11\}$ — patru valori.

Deci exact patru rotații generează grupul: cele de unghiuri $\frac{2\pi }{12}$, $\frac{10\pi }{12}$, $\frac{14\pi }{12}$ și $\frac{22\pi }{12}$, adică de $30^{\circ }$, $150^{\circ }$, $210^{\circ }$ și $330^{\circ }$. Verificarea directă, pe rotații, ar fi cerut douăsprezece calcule de ordin; prin izomorfism, a cerut o singură observație aritmetică.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $n=6$, $\epsilon =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ și funcția $f:{\mathbb{Z}}_6\to U_6$, $f(\hat{k})={\epsilon }^k$.

a) Arătați că $f$ este bine definită și că $f(\hat{2})\cdot f(\hat{3})=f(\hat{5})$.

b) Arătați că $f$ este izomorfism de grupuri de la $({\mathbb{Z}}_6,+)$ la $(U_6,\cdot )$.

c) Determinați numărul elementelor de ordinul $3$ din $U_6$.

Rezolvare. a) Dacă $\hat{k}=\hat{j}$, atunci $6\mid k-j$, deci $k=j+6q$ și ${\epsilon }^k={\epsilon }^j({\epsilon }^6{)}^q={\epsilon }^j$, pentru că ${\epsilon }^6=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1$. Apoi $f(\hat{2})\cdot f(\hat{3})={\epsilon }^2\cdot {\epsilon }^3={\epsilon }^5=f(\hat{5})$, iar în ${\mathbb{Z}}_6$ avem $\hat{2}+\hat{3}=\hat{5}$.

b) Morfismul: $f(\hat{k}+\hat{j})=f(\widehat{k+j})={\epsilon }^{k+j}={\epsilon }^k{\epsilon }^j=f(\hat{k})f(\hat{j})$. Surjectivitatea: orice element al lui $U_6$ este de forma ${\epsilon }^k$ cu $k\in \{0,\dots ,5\}$. Injectivitatea: cele două mulțimi au câte $6$ elemente, iar o funcție surjectivă între mulțimi finite echipotente este bijectivă. Deci $f$ e izomorfism și $({\mathbb{Z}}_6,+)\simeq (U_6,\cdot )$.

c) Izomorfismele păstrează ordinele, deci numărăm în $({\mathbb{Z}}_6,+)$: elementele de ordinul $3$ sunt $\hat{2}$ și $\hat{4}$, pentru că $\hat{2}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$, iar $\hat{2}\ne \hat{0}$ și $\hat{2}+\hat{2}=\hat{4}\ne \hat{0}$; analog pentru $\hat{4}$. Sunt două elemente de ordinul $3$, anume ${\epsilon }^2$ și ${\epsilon }^4$.

Să exersăm

Înainte de fiecare rezolvare, scrie explicit care e izomorfismul cu care lucrezi și în ce direcție îl folosești. La orice funcție definită pe clase de resturi, prima verificare este buna definire.

1. Calculează $t_5\circ t_{-2}$ și $t_{-2}\circ t_5$ și explică de ce rezultatele coincid.

2. Determină pasul translației $x$ pentru care $t_7\circ x=t_3$.

3. Fie diviziunea echidistantă de pas $4$, cu abscisele din $4\mathbb{Z}=\{4k\mid k\in \mathbb{Z}\}$. Care dintre translațiile $t_8$, $t_{10}$, $t_{-12}$, $t_2$ o invariază?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $t_a$ invariază diviziunea $d\mathbb{Z}$, atunci $a>0$."

5. Scrie toate elementele lui $U_3$ sub formă trigonometrică și verifică prin calcul direct că ${\epsilon }_1\cdot {\epsilon }_2={\epsilon }_0$.

6. Construiește tabla grupului $(U_3,\cdot )$ și tabla lui $({\mathbb{Z}}_3,+)$ și pune-le în corespondență.

7. Determină ordinul fiecărui element din $({\mathbb{Z}}_8,+)$ și scrie profilul ordinelor.

8. Folosind rezultatul de la exercițiul anterior, spune câte elemente de ordinul $8$ are $U_8$ și care sunt ele.

9. Arată că funcția $f:{\mathbb{Z}}_5\to U_5$, $f(\hat{k})={\epsilon }^k$, este bine definită.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Grupul $({\mathcal{R}}_5,\circ )$ al rotațiilor pentagonului regulat este comutativ."

11. Determină simetricul lui $R_{2\pi /5}$ în grupul $({\mathcal{R}}_5,\circ )$.

12. (Problemă aplicată.) Un ceas mecanic are secundarul care sare din secundă în secundă, adică se rotește de fiecare dată cu $6^{\circ }$. Ce grup descriu pozițiile posibile ale secundarului și cu ce grup de clase de resturi este el izomorf?

13. Câte rotații generează întregul grup al rotațiilor unui poligon regulat cu $10$ laturi?

14. Arată că $(\mathbb{Z},+)\simeq (7\mathbb{Z},+)$ și scrie explicit izomorfismul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $\epsilon =\cos \frac{2\pi }{4}+i\sin \frac{2\pi }{4}$ și $f:{\mathbb{Z}}_4\to U_4$, $f(\hat{k})={\epsilon }^k$. a) Calculează $f(\hat{1})$, $f(\hat{2})$ și $f(\hat{3})$. b) Arată că $f$ este morfism de grupuri de la $({\mathbb{Z}}_4,+)$ la $(U_4,\cdot )$. c) Determină toate elementele $\hat{k}$ pentru care $f(\hat{k})$ are ordinul $4$.

16. Explică de ce funcția $u:{\mathbb{Z}}_6\to U_4$, $u(\hat{k})=i^k$, nu este bine definită.

17. Arată că grupul $(D_2,\circ )$ al translațiilor care invariază diviziunea de pas $2$ este izomorf cu grupul $(D_5,\circ )$.

18. (Provocare.) Fie $n\ge 2$ și fie $S$ mulțimea rotațiilor în jurul originii care duc mulțimea $U_n$ în ea însăși. Arată că $S={\mathcal{R}}_n$ și deduce că grupul rotațiilor poligonului regulat cu $n$ laturi are exact $n$ elemente.

Răspunsuri și explicații

1. $t_5\circ t_{-2}=t_{5+(-2)}=t_3$ și $t_{-2}\circ t_5=t_{-2+5}=t_3$. Rezultatele coincid pentru că adunarea numerelor reale e comutativă, iar compunerea translațiilor copiază adunarea pașilor.

2. Compunem la stânga cu $t_{-7}$: $x=t_{-7}\circ t_3=t_{-4}$. Verificare: $t_7\circ t_{-4}=t_3$. ✓

3. $t_8$ ($8=4\cdot 2$) și $t_{-12}$ ($-12=4\cdot (-3)$) invariază $4\mathbb{Z}$. $t_{10}$ și $t_2$ nu, pentru că $10$ și $2$ nu sunt multipli de $4$: de exemplu $t_2(0)=2\notin 4\mathbb{Z}$.

4. Fals. Condiția este $a=kd$ cu $k\in \mathbb{Z}$, iar $k$ poate fi negativ sau nul. De pildă, $t_{-d}$ și $t_0$ invariază diviziunea, deși pașii lor nu sunt pozitivi.

5. ${\epsilon }_0=1$, ${\epsilon }_1=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, ${\epsilon }_2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Produsul: ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1={\epsilon }_0$, folosind $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$.

6. Tabla lui $({\mathbb{Z}}_3,+)$ are liniile $\hat{0}\hat{1}\hat{2}$, $\hat{1}\hat{2}\hat{0}$, $\hat{2}\hat{0}\hat{1}$; tabla lui $(U_3,\cdot )$ are liniile $1\epsilon {\epsilon }^2$, $\epsilon {\epsilon }^{2}1$, ${\epsilon }^{2}1\epsilon$. Corespondența $\hat{k}\leftrightarrow {\epsilon }^k$ transformă prima tablă în a doua.

7. $\mathrm{ord}(\hat{0})=1$; $\mathrm{ord}(\hat{1})=\mathrm{ord}(\hat{3})=\mathrm{ord}(\hat{5})=\mathrm{ord}(\hat{7})=8$; $\mathrm{ord}(\hat{2})=\mathrm{ord}(\hat{6})=4$; $\mathrm{ord}(\hat{4})=2$. Profilul: un element de ordinul $1$, unul de ordinul $2$, două de ordinul $4$, patru de ordinul $8$.

8. Izomorfismul păstrează ordinele, deci $U_8$ are tot patru elemente de ordinul $8$: $\epsilon$, ${\epsilon }^3$, ${\epsilon }^5$, ${\epsilon }^7$, unde $\epsilon =\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}$.

9. Dacă $\hat{k}=\hat{j}$ în ${\mathbb{Z}}_5$, atunci $5\mid k-j$, deci $k=j+5q$ și ${\epsilon }^k={\epsilon }^j({\epsilon }^5{)}^q={\epsilon }^j$, pentru că ${\epsilon }^5=1$. Valoarea nu depinde de reprezentant.

10. Adevărat. ${\mathcal{R}}_5\simeq ({\mathbb{Z}}_5,+)$, care e comutativ, iar izomorfismele păstrează comutativitatea. Direct: $R_{\alpha }\circ R_{\beta }=R_{\alpha +\beta }=R_{\beta +\alpha }=R_{\beta }\circ R_{\alpha }$.

11. Simetricul este $R_{8\pi /5}$, pentru că $R_{2\pi /5}\circ R_{8\pi /5}=R_{2\pi }=R_0$. În $({\mathbb{Z}}_5,+)$ îi corespunde $-\hat{1}=\hat{4}$.

12. Pozițiile secundarului sunt cele $60$ de rotații de unghiuri $\frac{2k\pi }{60}$, $k=0,\dots ,59$, adică grupul $({\mathcal{R}}_{60},\circ )$; el este izomorf cu $({\mathbb{Z}}_{60},+)$. De aceea „ora exactă" se calculează cu resturi la împărțirea cu $60$: adunarea secundelor este adunarea claselor.

13. Sunt cele care corespund claselor $\hat{k}$ cu $(k,10)=1$, adică $k\in \{1,3,7,9\}$: patru rotații, de unghiuri $36^{\circ }$, $108^{\circ }$, $252^{\circ }$ și $324^{\circ }$.

14. $u:\mathbb{Z}\to 7\mathbb{Z}$, $u(k)=7k$. Morfism: $u(k+l)=7k+7l$. Injectiv: $7k=7l\Rightarrow k=l$. Surjectiv: orice element al lui $7\mathbb{Z}$ e de forma $7k$.

15. a) $\epsilon =\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$, deci $f(\hat{1})=i$, $f(\hat{2})=i^2=-1$, $f(\hat{3})=i^3=-i$. b) $f(\hat{k}+\hat{j})=f(\widehat{k+j})=i^{k+j}=i^k\cdot i^j=f(\hat{k})f(\hat{j})$; funcția e bine definită pentru că $i^4=1$. c) Ordinul se păstrează, deci căutăm elementele de ordinul $4$ din $({\mathbb{Z}}_4,+)$: $\hat{1}$ și $\hat{3}$. Le corespund $i$ și $-i$.

16. Pentru că $\hat{0}=\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_6$, dar $i^0=1$, iar $i^4=1$ — până aici e bine; luăm însă $\hat{1}=\hat{7}$ în ${\mathbb{Z}}_6$: $i^1=i$, iar $i^7=i^4\cdot i^3=-i$. Aceeași clasă ar primi două valori diferite, deci $u$ nu e funcție. Motivul de fond: $6\nmid 4$, adică perioada lui $i$ nu împarte modulul claselor.

17. Ambele sunt izomorfe cu $(\mathbb{Z},+)$, prin ${\phi }_2(k)=t_{2k}$ și ${\phi }_5(k)=t_{5k}$. Din tranzitivitatea și simetria relației $\simeq$ rezultă $D_2\simeq D_5$; izomorfismul explicit este ${\phi }_5\circ {\phi }_2^{-1}$, adică $t_{2k}\mapsto t_{5k}$.

18. Dacă $R_{\theta }(U_n)=U_n$, atunci $R_{\theta }$ duce punctul $A_0(1,0)$ (care corespunde lui ${\epsilon }_0=1\in U_n$) într-un punct al lui $U_n$, deci $(\cos \theta ,\sin \theta )=\left(\cos \frac{2k\pi }{n},\sin \frac{2k\pi }{n}\right)$ pentru un $k$, adică $\theta =\frac{2k\pi }{n}+2m\pi$ și $R_{\theta }\in {\mathcal{R}}_n$. Reciproc, $R_{2k\pi /n}$ duce ${\epsilon }_j$ în ${\epsilon }_{(j+k)\mathrm{mod}n}$, deci păstrează $U_n$. Cum vârfurile poligonului sunt exact punctele lui $U_n$, mulțimile de rotații coincid; iar unghiurile $\frac{2k\pi }{n}$ cu $k=0,\dots ,n-1$ dau rotații distincte, deci $\mathrm{card}{\mathcal{R}}_n=n$.

De reținut

• Două grupuri sunt izomorfe când există între ele o funcție bijectivă care păstrează operația, iar atunci ele au aceleași proprietăți de calcul: comutativitate, ciclicitate, profil al ordinelor.
• Translația de pas $a$ a unei drepte este $t_a(x)=x+a$, iar compunerea lor copiază adunarea pașilor: $t_a\circ t_b=t_{a+b}$.
• Translația $t_a$ invariază diviziunea echidistantă de pas $d$ dacă și numai dacă $a$ este multiplu întreg de $d$, iar grupul acestor translații este izomorf cu $(\mathbb{Z},+)$ prin $\phi (k)=t_{kd}$.
• Funcția $f(\hat{k})={\epsilon }^k$ este bine definită tocmai pentru că ${\epsilon }^n=1$, iar ea realizează izomorfismul $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )$ dintre clasele de resturi și rădăcinile de ordinul $n$ ale unității.
• Rotațiile care păstrează un poligon regulat cu $n$ laturi sunt exact cele de unghiuri $\frac{2k\pi }{n}$, iar grupul lor închide lanțul $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )\simeq ({\mathcal{R}}_n,\circ )$.

Greșeli frecvente

• Se sare peste verificarea bunei definiri. O funcție dată pe clase de resturi printr-o formulă cu reprezentanți nu există până nu arăți că reprezentanți diferiți dau același rezultat. La Bacalaureat M1, punctul acesta se punctează separat.
• Se demonstrează doar o incluziune la caracterizarea translațiilor. Enunțul „$t_a$ invariază $d\mathbb{Z}$ dacă și numai dacă $a=kd$" cere ambele sensuri; partea grea, dar scurtă, e cea în care aplici translația originii și obții $a=t_a(0)\in d\mathbb{Z}$.
• Se confundă ordinul grupului cu ordinul unui element. $\mathrm{card}{\mathcal{R}}_n=n$ pentru orice $n$, dar ordinele elementelor sunt divizorii lui $n$; rotația de $180^{\circ }$ dintr-un hexagon are ordinul $2$, nu $6$.
• Se scrie „grupurile sunt izomorfe" doar pentru că au același număr de elemente. Cardinalul egal e necesar, nu suficient: grupul lui Klein și $({\mathbb{Z}}_4,+)$ au câte patru elemente și nu sunt izomorfe, pentru că profilurile ordinelor diferă.
• Se uită periodicitatea rotației. $R_{\theta }$ și $R_{\theta +2\pi }$ sunt aceeași funcție; dacă nu reduci unghiul modulo $2\pi$, numeri același element de mai multe ori și obții un „grup" cu prea multe elemente.

Aplică acasă

1. Rigla gradată. Ia o riglă și marchează pe o foaie lungă semne din $2$ în $2$ centimetri. Alunecă rigla cu $2$, cu $4$, apoi cu $3$ centimetri și notează de fiecare dată dacă semnele se suprapun. Scrie apoi mulțimea pașilor care funcționează și recunoaște în ea grupul $D_2$.

2. Hexagonul din hârtie. Decupează un hexagon regulat, numerotează-i vârfurile de la $0$ la $5$ și marchează centrul. Rotește-l succesiv cu $60^{\circ }$ și scrie, pentru fiecare rotație, permutarea vârfurilor. Verifică pe desen tabelul ordinelor din secțiunea a opta.

3. Ceasul ca grup. Urmărește un minut întreg pe un ceas cu secundar. Notează câte poziții distincte are acul și scrie corespondența dintre pozițiile lui și clasele din ${\mathbb{Z}}_{60}$; verifică apoi că „peste $50$ de secunde de la secunda $20$" se calculează ca $\widehat{20}+\widehat{50}=\widehat{10}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția strânge cele trei izomorfisme pe care programa clasei a XII-a le numește explicit, la competența XII.CS.6.2: numerele întregi cu grupul translațiilor care invariază o diviziune echidistantă a unei drepte, respectiv clasele de resturi cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unității și cu rotațiile poligonului regulat. Este prima lecție a unității în care izomorfismul nu mai e verificat pe o formulă abstractă, ci construit între obiecte din trei domenii diferite — aritmetică, numere complexe, geometrie.

De verificat în caiet: (1) buna definire a funcției $f(\hat{k})={\epsilon }^k$ este scrisă separat, înaintea morfismului; (2) la caracterizarea translațiilor sunt demonstrate ambele implicații; (3) unghiurile rotațiilor sunt reduse modulo $2\pi$; (4) ordinele elementelor sunt citite dintr-un singur grup și transportate în celelalte, nu recalculate. Întrebări de control: „De ce ${\epsilon }^n=1$ garantează buna definire?"; „Cum arăți că o rotație păstrează poligonul?"; „Ce înseamnă că un grup e ciclic?"; „De ce $\mathbb{Z}$ poate fi izomorf cu $5\mathbb{Z}$, dar un grup finit nu poate fi izomorf cu un subgrup propriu?".

La BAC M1, materialul acesta apare în Subiectul al II-lea, la problema de structuri algebrice: se cere verificarea faptului că o funcție dată este morfism sau izomorfism, sau numărarea elementelor de un anumit ordin într-un grup ciclic. Semn că elevul a înțeles: privește o problemă despre rotații și o rescrie, fără ezitare, ca o problemă despre resturi la împărțirea cu $n$.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două grupuri sunt izomorfe la clasa a 12-a? Înseamnă că există o funcție bijectivă între ele care păstrează operația: compusul a două elemente se duce în compusul imaginilor. Practic, cele două grupuri au aceeași tablă de operație, scrisă cu alte nume de elemente, deci orice proprietate de calcul valabilă în primul este valabilă și în al doilea. Se notează $G\simeq G^{\prime }$.

Care sunt translațiile care invariază o diviziune echidistantă a unei drepte? Sunt exact translațiile al căror pas este un multiplu întreg al pasului diviziunii. Dacă diviziunea are pasul $d$, atunci $t_a$ o invariază dacă și numai dacă $a=kd$ cu $k$ întreg. Motivul este simplu: aplicând translația originii, obții că însuși pasul $a$ trebuie să fie un punct al diviziunii.

Cum se demonstrează că grupul numerelor întregi este izomorf cu grupul translațiilor? Se ia funcția $\phi (k)=t_{kd}$ și se verifică trei lucruri: că duce suma în compunere, adică $\phi (k+l)=\phi (k)\circ \phi (l)$; că e injectivă, pentru că din $t_{kd}=t_{ld}$ rezultă $kd=ld$, deci $k=l$; și că e surjectivă, pentru că orice translație din grup are prin definiție pasul multiplu de $d$.

De ce trebuie verificată buna definire a funcției $f(\hat{k})={\epsilon }^k$? Pentru că o clasă de resturi are o infinitate de reprezentanți, iar formula folosește un reprezentant anume. Verificarea arată că alegerea nu contează: dacă $\hat{k}=\hat{j}$, atunci $n$ divide $k-j$, deci ${\epsilon }^k$ și ${\epsilon }^j$ diferă printr-o putere a lui ${\epsilon }^n=1$ și sunt egale. Fără acest pas, $f$ nici nu ar fi funcție.

Care este legătura dintre clasele de resturi, rădăcinile unității și rotațiile unui poligon? Sunt trei descrieri ale aceluiași grup ciclic cu $n$ elemente, legate prin lanțul de izomorfisme $({\mathbb{Z}}_n,+)\simeq (U_n,\cdot )\simeq ({\mathcal{R}}_n,\circ )$. Clasa $\hat{k}$ corespunde rădăcinii ${\epsilon }^k$ și rotației de unghi $\frac{2k\pi }{n}$; adunarea claselor devine înmulțirea rădăcinilor și compunerea rotațiilor.

Câte rotații are un poligon regulat cu $n$ laturi? Are exact $n$ rotații în jurul centrului care îl duc în el însuși, de unghiuri $0$, $\frac{2\pi }{n}$, $\frac{4\pi }{n}$ și așa mai departe, până la $\frac{2(n-1)\pi }{n}$. Unghiurile mai mari se reduc modulo $2\pi$ și dau aceleași rotații, deci nu aduc elemente noi în grup.

Cum se află ordinul unei rotații fără calcule lungi? Se trece prin izomorfism în $({\mathbb{Z}}_n,+)$: rotația de unghi $\frac{2k\pi }{n}$ are ordinul clasei $\hat{k}$, adică $\frac{n}{(k,n)}$. Pentru hexagon, rotația de $120^{\circ }$ corespunde clasei $\hat{2}$, iar $(2,6)=2$, deci ordinul este $3$: aplicată de trei ori, readuce hexagonul în poziția inițială.

Un grup infinit poate fi izomorf cu un subgrup al său? Da, iar exemplul clasic este $(\mathbb{Z},+)\simeq (5\mathbb{Z},+)$, prin funcția $k\mapsto 5k$. Este ceva ce nu se poate întâmpla la grupurile finite, unde un subgrup propriu are strict mai puține elemente, deci nu poate exista o bijecție între grup și subgrup.