Legi cu parametri: pe scurt

O lege de compoziție cu parametru este o formulă în care, pe lângă $x$ și $y$, apar litere fixe; fiecare valoare a parametrului dă altă lege, deci formula descrie o familie întreagă, iar problema cere membrii familiei care au o proprietate dată.

Rețeta are două jumătăți obligatorii. Pasul 1: impui egalitatea pentru valori particulare bine alese și obții o condiție necesară asupra parametrului. Pasul 2: verifici egalitatea în general, cu $x$, $y$, $z$ oarecare. Fără pasul 2 rezolvarea e incompletă, iar baremul taie punctele.

Pentru familia $x\ast y=xy+a(x+y)+b$ pe $\mathbb{R}$, diferența celor doi membri ai asociativității este $(b+a-a^2)(z-x)$, de unde: legea este asociativă dacă și numai dacă $b=a^2-a$. Identitatea explică și de ce valorile particulare trebuie luate cu $x\ne z$. Legea este comutativă pentru orice $a$ și $b$, formula fiind simetrică.

Când $b=a^2-a$, forma factorizată este $x\ast y=(x+a)(y+a)-a$, elementul neutru este $e=1-a$, simetricul este $x^{\prime }=\frac{1}{x+a}-a$ (deci $-a$ nu are simetric), iar $(-a,+\infty )$ este parte stabilă.

Pentru $x\ast y=axy+b(x+y)+c$ cu $a\ne 0$, condiția devine $ac+b=b^2$ — ecuație de gradul al doilea, deci pot fi două valori —, iar $e=\frac{1-b}{a}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă dacă și numai dacă:

   • a) $b=a^2+a$
   • b) $b=a^2-a$
   • c) $a=b$
   • d) pentru orice valori ale lui $a$ și $b$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $b=a^2-a$

   Din identitatea $(x\ast y)\ast z-x\ast (y\ast z)=(b+a-a^2)(z-x)$ rezultă că diferența este nulă pentru orice $x,y,z$ exact când $b+a-a^2=0$, adică $b=a^2-a$. Varianta b este condiția scrisă pentru cealaltă convenție de semn, $x\ast y=xy-ax-ay+b$, unde litera $a$ este opusul celei de aici — de aceea formulele memorate se aplică doar după ce verifici ce rol are fiecare literă.

2. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=2xy+m(x+y)+6$. Legea este asociativă pentru:

   • a) doar $m=4$
   • b) doar $m=-3$
   • c) $m\in \{4,-3\}$
   • d) nicio valoare a lui $m$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $m\in \{4,-3\}$

   Condiția pentru familia $axy+b(x+y)+c$ este $ac+b=b^2$, aici $2\cdot 6+m=m^2$, adică $m^2-m-12=0$, cu $\Delta =49$ și soluțiile $m_1=4$, $m_2=-3$. Amândouă trec verificarea generală: $2(x\ast y)+4=(2x+4)(2y+4)$, respectiv $2(x\ast y)-3=(2x-3)(2y-3)$. Variantele a și b ilustrează greșeala clasică: oprirea după prima soluție a ecuației de gradul al doilea.

3. În rețeta determinării parametrului, folosirea unor valori particulare pentru $x$, $y$, $z$:

   • a) dă o condiție suficientă
   • b) încheie rezolvarea
   • c) nu aduce nicio informație utilă
   • d) dă o condiție necesară, care trebuie apoi verificată în general
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) dă o condiție necesară, care trebuie apoi verificată în general

   Orice valoare bună a parametrului trebuie să verifice egalitatea și pentru valorile alese, deci lista de candidați obținută este completă — dar o lege se poate purta bine pe numerele alese și prost în rest. De aceea urmează pasul general, cu $x$, $y$, $z$ oarecare. Atenție și la alegere: pentru familia $xy+a(x+y)+b$, orice triplet cu $x=z$ dă $0=0$ pentru orice parametru.