Legi de compoziție cu parametri: determinarea parametrilor din proprietăți

Aproape orice problemă de structuri algebrice din subiectele de Bacalaureat M1 începe la fel: „pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-2x-2y+6$". Uneori, însă, unul dintre numere lipsește și în locul lui stă o literă: $x\ast y=xy-2x-2y+m$, iar cerința sună „determinați $m$ astfel încât legea să fie asociativă". Acesta este subiectul lecției de față, ultima din unitatea de legi de compoziție a clasei a 12-a. Legile de compoziție cu parametri sunt cele în care formula conține o literă necunoscută, iar cerința se citește invers față de obișnuit: nu verifici o proprietate, ci cauți valorile literei pentru care proprietatea are loc.

Necunoscuta nu mai e $x$, ci parametrul din formulă, iar drumul are două jumătăți la fel de obligatorii: din condiție scoți o ecuație în parametru (aceasta îți dă valorile posibile), apoi verifici că pentru fiecare valoare găsită legea are într-adevăr proprietatea cerută. Aceeași disciplină pe care ai practicat-o la Sisteme liniare cu parametru în clasa a XI-a: se discută după parametru, nu se ghicește.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este o lege de compoziție cu parametru și de ce o formulă cu literă descrie, de fapt, o familie întreagă de legi.
• Vei ști să folosești metoda valorilor particulare ca să obții rapid condiția necesară asupra parametrului și de ce verificarea de la final este obligatorie.
• Vei ști să determini parametrii din condiția de asociativitate, cu calculul complet al celor doi membri.
• Vei ști să determini parametrii din existența elementului neutru și din comutativitate.
• Vei ști să scrii forma factorizată $(x+a)(y+a)-a$ și să citești din ea elementul neutru, elementele simetrizabile și o parte stabilă.
• Vei ști să aplici aceeași metodă unei legi definite pe ${\mathbb{Z}}_n$, unde ecuația în parametru se rezolvă printre clase.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o lege de compoziție cu parametru?

O lege de compoziție cu parametru este o formulă în care, pe lângă cele două variabile $x$ și $y$, apare una sau mai multe litere fixe — parametrii. Fiecare valoare dată parametrului produce o altă lege de compoziție pe aceeași mulțime, deci formula descrie o familie întreagă de legi, iar problema cere valorile parametrului pentru care legea familiei are o proprietate dată.

Un exemplu: pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy+m(x+y)+2$. Pentru $m=0$ obținem legea $x\ast y=xy+2$; pentru $m=1$ obținem $x\ast y=xy+x+y+2$; pentru $m=-1$ obținem $x\ast y=xy-x-y+2$. Sunt trei legi diferite pe aceeași mulțime, cu proprietăți diferite. Întrebarea „pentru ce $m$ este legea asociativă?" înseamnă, așadar, „care membri ai familiei au proprietatea aceasta?".

Un lucru se uită des: oricare ar fi parametrul, o lege dată printr-o formulă polinomială pe $\mathbb{R}$ este bine definită, fiindcă rezultatul e un număr real. Parametrul nu decide dacă operația există, ci ce proprietăți are. Pe o submulțime a lui $\mathbb{R}$ apare și întrebarea despre partea stabilă, tratată în subsecțiunea a cincea.

2. Cum afli parametrul: rețeta în doi pași

Condițiile de asociativitate, comutativitate sau element neutru sunt egalități care trebuie să aibă loc pentru orice $x$, $y$, $z$. De aici, rețeta:

Pasul 1 — condiția necesară. Impui egalitatea pentru valori particulare, convenabil alese (de obicei $0$, $1$, $-1$, sau chiar $x=y=z$), și obții o ecuație în parametru. Orice valoare bună a parametrului trebuie să verifice această ecuație, deci lista de candidați este completă.

Pasul 2 — verificarea. Pentru fiecare candidat obținut, verifici egalitatea în general, cu $x$, $y$, $z$ oarecare. Abia acest pas dovedește că valoarea găsită chiar funcționează.

Pasul al doilea nu se sare: din valori particulare rezultă doar o condiție necesară, iar legea se poate comporta bine pe numerele alese și prost în rest. Baremele de Bacalaureat M1 punctează separat cele două jumătăți.

Exemplu de pas 1. Pentru $x\ast y=xy+m(x+y)+2$, cerem asociativitatea și luăm $x=z=0$, $y=1$. Atunci $0\ast 1=m+2$ și

$$(0\ast 1)\ast 0=(m+2)\ast 0=m(m+2)+2,0\ast (1\ast 0)=0\ast (m+2)=m(m+2)+2.$$

Cele două coincid pentru orice $m$, deci alegerea nu a fost inspirată: valorile particulare erau prea simetrice. Luăm atunci $x=0$, $y=0$, $z=1$: $0\ast 0=2$, deci $(0\ast 0)\ast 1=2\ast 1=2+3m+2=3m+4$, iar $0\ast (0\ast 1)=0\ast (m+2)=m(m+2)+2=m^2+2m+2$. Egalitatea $3m+4=m^2+2m+2$ dă $m^2-m-2=0$, adică $m\in \{2,-1\}$ — exact valorile pe care le va confirma, în subsecțiunea următoare, condiția generală $b=a^2-a$ cu $b=2$.

Reține lecția ascunsă: dacă alegerea de valori nu dă nicio informație, mai încearcă una, cu $x\ne z$ — motivul se vede în subsecțiunea următoare.

3. Când este asociativă legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$?

Aceasta este familia care apare cel mai des la Bacalaureat M1, iar condiția ei merită calculată o dată, complet, și apoi reținută. Reamintim din Asociativitatea unei legi de compoziție că trebuie comparate $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$ pentru $x,y,z$ oarecare.

Calculăm membrul stâng, notând întâi $x\ast y=xy+a(x+y)+b$:

$$(x\ast y)\ast z=(x\ast y)z+a((x\ast y)+z)+b=xyz+a(xz+yz)+bz+axy+a^2(x+y)+ab+az+b.$$

Calculăm membrul drept, cu $y\ast z=yz+a(y+z)+b$:

$$x\ast (y\ast z)=x(y\ast z)+a(x+(y\ast z))+b=xyz+a(xy+xz)+bx+ax+ayz+a^2(y+z)+ab+b.$$

Scădem. Termenii $xyz$, $axz$, $axy$, $ayz$, $a^{2}y$, $ab$ și $b$ apar în ambii membri și se reduc; rămâne

$$(x\ast y)\ast z-x\ast (y\ast z)=(b+a-a^2)z-(b+a-a^2)x=(b+a-a^2)(z-x).$$

Concluzia se citește direct din această identitate.

Propoziție. Legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$ pe $\mathbb{R}$ este asociativă dacă și numai dacă $b=a^2-a$.

Demonstrație. Dacă $b=a^2-a$, atunci $b+a-a^2=0$ și diferența calculată mai sus este nulă pentru orice $x,y,z$, deci legea este asociativă. Reciproc, dacă legea este asociativă, luăm $z=1$ și $x=0$: diferența devine $b+a-a^2$, care trebuie să fie nulă. $■$

Identitatea explică și eșecul primei alegeri de valori din subsecțiunea anterioară: diferența are factorul $z-x$, deci orice triplet cu $x=z$ dă $0=0$, indiferent de parametru. De aceea valorile particulare se aleg cu $x\ne z$.

Observă și că legea este comutativă pentru orice $a$ și $b$, pentru că formula este simetrică în $x$ și $y$: $xy=yx$ și $x+y=y+x$. La această familie, comutativitatea nu impune nicio condiție.

4. Forma factorizată și elementul neutru: de ce apare aceeași condiție?

Când $b=a^2-a$, formula se poate strânge remarcabil:

$$x\ast y=xy+a(x+y)+a^2-a=(x+a)(y+a)-a.$$

Verificarea e imediată: $(x+a)(y+a)-a=xy+ax+ay+a^2-a$. Aceasta este forma factorizată, rețeta pe care ai fixat-o la Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule: caută numărul $a$ pentru care legea se scrie ca $(x+a)(y+a)-a$. Din ea se citește totul.

Să determinăm acum elementul neutru independent, ca să vedem ce condiție impune el asupra parametrilor. Cerem $x\ast e=x$ pentru orice $x$:

$$xe+a(x+e)+b=x⟺x(e+a-1)+(ae+b)=0\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$

Un polinom de gradul întâi în $x$ este nul pentru orice $x$ numai dacă ambii coeficienți sunt nuli, deci

$$e+a-1=0\text{și}ae+b=0⟹e=1-a\text{și}b=-a(1-a)=a^2-a.$$

Am obținut, din altă cerință, aceeași condiție asupra parametrilor. În familia aceasta, „legea este asociativă" și „legea are element neutru" se întâmplă exact pentru aceleași valori, iar elementul neutru este atunci $e=1-a$, adică exact valoarea pentru care $e+a=1$ în forma factorizată.

⚠️ Atenție la litere. În prima lecție a unității aceeași familie a fost scrisă $x\ast y=xy-ax-ay+b$, cu condiția $b=a^2+a$, forma $(x-a)(y-a)+a$ și neutrul $e=a+1$. Litera $a$ de acolo este opusul literei $a$ de aici (semnul lui $a$ intră în formulă cu plus, nu cu minus), iar în lecția a patra $b$ nota coeficientul lui $x$, nu termenul liber. Cele două scrieri spun exact același lucru; înainte de a aplica o formulă memorată, uită-te ce rol are fiecare literă în legea din fața ta.

⚠️ Coincidența este a acestei familii, nu o regulă generală: există legi cu element neutru care nu sunt asociative. Cea mai scurtă ilustrare, pe $\mathbb{R}$: legea $x\ast y=x+y+x{y}^2$ are elementul neutru $0$, dar $(1\ast 1)\ast 1=3\ast 1=7$, în timp ce $1\ast (1\ast 1)=1\ast 3=13$. Cele două proprietăți se verifică separat, întotdeauna.

5. Cum afli elementele simetrizabile și partea stabilă?

Fie legea asociativă $x\ast y=(x+a)(y+a)-a$, cu $e=1-a$. Căutăm simetricul unui element $x$, adică, în limbajul fixat la Elemente simetrizabile și simetricul unui element, acel $x^{\prime }$ cu $x\ast x^{\prime }=e$:

$$(x+a)(x^{\prime }+a)-a=1-a⟺(x+a)(x^{\prime }+a)=1⟺x^{\prime }=\frac{1}{x+a}-a.$$

Egalitatea din mijloc arată totul: produsul $(x+a)(x^{\prime }+a)$ trebuie să fie $1$, ceea ce e posibil exact când $x+a\ne 0$. Prin urmare, pe $\mathbb{R}$,

$$U(\mathbb{R},\ast )=\mathbb{R}\setminus \{-a\},x^{\prime }=\frac{1}{x+a}-a=\frac{1-a(x+a)}{x+a}.$$

Elementul $-a$ este singurul fără simetric, iar comportarea lui e ușor de reținut: $x\ast (-a)=(x+a)\cdot 0-a=-a$ pentru orice $x$, deci el „înghite" orice compunere.

Partea stabilă naturală. Fie $H=(-a,+\infty )$. Dacă $x>-a$ și $y>-a$, atunci $x+a>0$ și $y+a>0$, deci $(x+a)(y+a)>0$, adică $x\ast y+a>0$, adică $x\ast y>-a$. Așadar $H$ este parte stabilă. Mai mult, $e=1-a>-a$ aparține lui $H$, iar pentru $x\in H$ avem $x^{\prime }+a=\frac{1}{x+a}>0$, deci și $x^{\prime }\in H$.

Pe $H$, așadar, legea indusă este asociativă, comutativă, are element neutru și toate elementele sunt simetrizabile. Este un monoid comutativ în care orice element are simetric — structurii acesteia îi vom da un nume în unitatea următoare.

Cazul-etalon. Pentru $a=-2$, adică pentru legea $x\ast y=xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2$, avem $e=3$, partea stabilă $(2,+\infty )$ și $x^{\prime }=\frac{1}{x-2}+2=\frac{2x-3}{x-2}$. Verifică pe un exemplu: pentru $x=5$, $x^{\prime }=\frac{7}{3}$, iar $5\ast \frac{7}{3}=3\cdot \frac{1}{3}+2=3=e$ ✓.

6. Legile cu coeficient: $x\ast y=axy+b(x+y)+c$

Când coeficientul lui $xy$ nu mai este $1$, calculul se face la fel, iar rezultatul are aceeași formă. ⚠️ Atenție la litere: în această familie $a$ este coeficientul lui $xy$ (în subsecțiunea a treia el era $1$, iar litera $a$ însemna coeficientul lui $x+y$, care aici se numește $b$). Repetând scăderea din subsecțiunea a treia, cu $a$ în fața lui $xy$, se obține identitatea

$$(x\ast y)\ast z-x\ast (y\ast z)=(ac+b-b^2)(z-x),$$

deci, pentru $a\ne 0$:

Legea $x\ast y=axy+b(x+y)+c$ este asociativă dacă și numai dacă $ac+b=b^2$.

Forma factorizată corespunzătoare este $a(x\ast y)+b=(ax+b)(ay+b)$, iar elementul neutru se obține punând $ae+b=1$, deci $e=\frac{1-b}{a}$.

Exemplu. Determinăm $m$ pentru care legea $x\ast y=2xy+m(x+y)+3$ este asociativă. Condiția $ac+b=b^2$ devine $2\cdot 3+m=m^2$, adică

$$m^2-m-6=0,$$

o ecuație de gradul al doilea pe care o rezolvi ca la Funcția de gradul al doilea: $\Delta =25$, deci $m_1=3$ și $m_2=-2$. Doi parametri, nu unul — iar amândoi trebuie verificați și amândoi trec:

• pentru $m=3$: $2(x\ast y)+3=4xy+6x+6y+9=(2x+3)(2y+3)$ ✓, cu $e=\frac{1-3}{2}=-1$;
• pentru $m=-2$: $2(x\ast y)-2=4xy-4x-4y+4=(2x-2)(2y-2)$ ✓, cu $e=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$.

Greșeala clasică aici este oprirea după prima soluție a ecuației de gradul al doilea. Cerința „determinați $m$" cere toate valorile.

7. Aceeași metodă pe mulțimea claselor de resturi

Metoda nu depinde de mulțimea pe care lucrezi: depinde doar de faptul că se pot face calcule cu paranteze, adică de asociativitate, comutativitate și distributivitate — toate demonstrate pentru ${\mathbb{Z}}_n$ la Înmulțirea claselor de resturi modulo n; distributivitatea.

Problemă. Pe ${\mathbb{Z}}_5$ se definește $\hat{x}\ast \hat{y}=\hat{x}\hat{y}+\hat{2}(\hat{x}+\hat{y})+\hat{b}$. Determinați $\hat{b}$ astfel încât legea să fie asociativă, apoi elementul neutru și elementele simetrizabile.

Rezolvare. Identitatea din subsecțiunea a treia s-a obținut folosind numai reguli valabile și în ${\mathbb{Z}}_5$, deci condiția este aceeași: $\hat{b}={\hat{a}}^2-\hat{a}$ cu $\hat{a}=\hat{2}$, adică

$$\hat{b}=\hat{4}-\hat{2}=\hat{2}.$$

Legea devine $\hat{x}\ast \hat{y}=(\hat{x}+\hat{2})(\hat{y}+\hat{2})-\hat{2}$, iar elementul neutru este $e=\hat{1}-\hat{2}=\widehat{-1}=\hat{4}$. Verificare: $\hat{x}\ast \hat{4}=(\hat{x}+\hat{2})(\hat{4}+\hat{2})-\hat{2}=(\hat{x}+\hat{2})\cdot \hat{1}-\hat{2}=\hat{x}$ ✓, pentru că $\hat{6}=\hat{1}$.

Pentru simetrice, condiția $(\hat{x}+\hat{2})({\hat{x}}^{\prime }+\hat{2})=\hat{1}$ cere ca $\hat{x}+\hat{2}$ să fie inversabilă — exact noțiunea din lecția precedentă. Cum $5$ este prim, orice clasă nenulă este inversabilă, deci singurul element nesimetrizabil este cel cu $\hat{x}+\hat{2}=\hat{0}$, adică $\hat{x}=\hat{3}$. De pildă, pentru $\hat{x}=\hat{0}$: $\hat{x}+\hat{2}=\hat{2}$, cu ${\hat{2}}^{-1}=\hat{3}$, deci ${\hat{x}}^{\prime }=\hat{3}-\hat{2}=\hat{1}$; într-adevăr $\hat{0}\ast \hat{1}=\hat{2}\cdot \hat{3}-\hat{2}=\hat{6}-\hat{2}=\hat{4}=e$ ✓.

Deosebirea față de cazul real e una singură, dar esențială: pe $\mathbb{R}$ ecuația în parametru se rezolvă printre numerele reale, pe ${\mathbb{Z}}_n$ printre cele $n$ clase — și acolo o ecuație de gradul al doilea poate avea, cum ai văzut, mai mult de două soluții sau niciuna.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Parametrul din condiția de asociativitate

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-3x-3y+m$. Determinați $m$ astfel încât legea să fie asociativă și scrieți forma factorizată.

Rezolvare. Legea este de forma $xy+a(x+y)+b$ cu $a=-3$ și $b=m$. Condiția de asociativitate este $b=a^2-a$, deci

$$m=(-3{)}^2-(-3)=9+3=12.$$

Verificare prin forma factorizată: $(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3=xy-3x-3y+12$ ✓. Cum $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, legea este asociativă, fiind „împrumutată" de la înmulțire.

Dacă nu ai reținut formula, refaci pasul 1: pentru $x=0$, $y=0$, $z=1$ obții $(0\ast 0)\ast 1=m\ast 1=m-3m-3+m=-m-3$ și $0\ast (0\ast 1)=0\ast (m-3)=-3(m-3)+m=-2m+9$. Din $-m-3=-2m+9$ rezultă $m=12$, apoi verifici în general.

Exemplul 2 — Parametrul din existența elementului neutru

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care legea $x\ast y=xy+4x+4y+m$ admite element neutru și găsiți acest element.

Rezolvare. Aici $a=4$ și $b=m$. Cerem $x\ast e=x$ pentru orice $x$:

$$xe+4x+4e+m=x⟺x(e+3)+(4e+m)=0\text{pentru orice }x.$$

Un polinom de gradul întâi în $x$ este identic nul doar cu ambii coeficienți nuli: $e+3=0$ și $4e+m=0$, deci $e=-3$ și $m=12$.

Verificare: pentru $m=12$, $x\ast (-3)=-3x+4x-12+12=x$ ✓ și, prin comutativitate, $(-3)\ast x=x$ ✓. Observă că $m=12=4^2-4$, adică exact condiția de asociativitate — coincidența discutată în lecție.

Exemplul 3 — Doi parametri posibili

Determinați valorile lui $m$ pentru care legea $x\ast y=3xy+m(x+y)+2$ este asociativă.

Rezolvare. Legea este de forma $axy+b(x+y)+c$ cu $a=3$, $b=m$, $c=2$. Condiția este $ac+b=b^2$:

$$3\cdot 2+m=m^2⟺m^2-m-6=0⟺m\in \{3,-2\}.$$

Verificăm ambele valori prin forma factorizată. Pentru $m=3$: $3(x\ast y)+3=9xy+9x+9y+6+3=(3x+3)(3y+3)$ ✓. Pentru $m=-2$: $3(x\ast y)-2=9xy-6x-6y+6-2=(3x-2)(3y-2)$ ✓.

Deci ambele valori sunt bune: $m=3$ și $m=-2$. Elementele neutre corespunzătoare sunt $e=\frac{1-3}{3}=-\frac{2}{3}$, respectiv $e=\frac{1+2}{3}=1$.

Exemplul 4 — Parametrul din comutativitate

Determinați $m$ pentru care legea $x\ast y=2xy+3x+my+1$ este comutativă.

Rezolvare. Comutativitatea cere $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y$:

$$2xy+3x+my+1=2xy+3y+mx+1⟺(3-m)x=(3-m)y\text{pentru orice }x,y.$$

Luând $x=1$ și $y=0$ obținem $3-m=0$, deci $m=3$. Reciproc, pentru $m=3$ formula devine $x\ast y=2xy+3(x+y)+1$, simetrică în $x$ și $y$, deci comutativă.

Reține tiparul: comutativitatea cere ca formula să fie simetrică, iar coeficienții lui $x$ și ai lui $y$ trebuie să fie egali. Aici legea nu era simetrică din start, spre deosebire de familia din subsecțiunea a treia.

Exemplul 5 — Simetricul unui element, cu parametru determinat

Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy-4x-4y+20$. Arătați că legea este asociativă, determinați elementul neutru și simetricul unui element $x$.

Rezolvare. Cu $a=-4$ avem $a^2-a=16+4=20=b$, deci legea este asociativă, iar forma factorizată este $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$.

Elementul neutru: $e=1-a=5$. Verificare: $x\ast 5=(x-4)\cdot 1+4=x$ ✓.

Simetricul: din $(x-4)(x^{\prime }-4)+4=5$ obținem $(x-4)(x^{\prime }-4)=1$, deci

$$x^{\prime }=\frac{1}{x-4}+4=\frac{1+4(x-4)}{x-4}=\frac{4x-15}{x-4},x\ne 4.$$

Elementul $4$ este singurul nesimetrizabil, iar mulțimea elementelor simetrizabile este $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. Verificare pentru $x=5$: $x^{\prime }=\frac{5}{1}=5$ și $5\ast 5=1\cdot 1+4=5=e$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-2x-2y+m$, unde $m\in \mathbb{R}$. a) Determinați $m$ astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru valoarea găsită, arătați că $e=3$ este element neutru și că intervalul $(2,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\ast$. c) Arătați că orice element din $(2,+\infty )$ este simetrizabil în raport cu legea indusă și determinați simetricul lui $x$.

Rezolvare. a) Legea are $a=-2$ și $b=m$, deci condiția de asociativitate $b=a^2-a$ dă

$$m=4+2=6.$$

Forma factorizată este $x\ast y=xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2$, ceea ce verifică imediat asociativitatea: ambii membri ai egalității de asociativitate devin $(x-2)(y-2)(z-2)+2$.

b) Elementul neutru: $x\ast 3=(x-2)(3-2)+2=x-2+2=x$, iar prin comutativitate și $3\ast x=x$; deci $e=3$.

Partea stabilă: fie $x,y\in (2,+\infty )$. Atunci $x-2>0$ și $y-2>0$, deci $(x-2)(y-2)>0$, de unde $x\ast y=(x-2)(y-2)+2>2$, adică $x\ast y\in (2,+\infty )$. Intervalul este, așadar, parte stabilă, iar $e=3$ îi aparține.

c) Căutăm $x^{\prime }$ cu $x\ast x^{\prime }=3$: din $(x-2)(x^{\prime }-2)+2=3$ rezultă $(x-2)(x^{\prime }-2)=1$, deci

$$x^{\prime }=\frac{1}{x-2}+2=\frac{2x-3}{x-2}.$$

Pentru $x>2$ avem $x-2>0$, deci $\frac{1}{x-2}>0$ și $x^{\prime }>2$: simetricul rămâne în interval. Prin urmare orice element al intervalului $(2,+\infty )$ este simetrizabil. Un asemenea subiect apare la Bacalaureat M1 în Subiectul al II-lea și se rezolvă integral din forma factorizată, fără niciun calcul lung.

Să exersăm

La fiecare cerință cu parametru, scrie întâi ce familie e (coeficientul lui $xy$) și abia apoi aplică formula potrivită. Verificarea finală, prin forma factorizată, e parte din rezolvare, nu un lux.

1. Determină $m$ pentru care legea $x\ast y=xy+2(x+y)+m$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă.

2. Pentru legea de la exercițiul $1$, cu $m$ găsit, determină elementul neutru.

3. Determină $m$ pentru care $x\ast y=xy-5x-5y+m$ este asociativă și scrie forma factorizată.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o lege de compoziție are element neutru, atunci ea este asociativă."

5. Determină toate valorile lui $m$ pentru care legea $x\ast y=3xy+m(x+y)+2$ este asociativă.

6. Determină $m$ pentru care legea $x\ast y=2xy+3x+my+1$ este comutativă.

7. Pentru legea $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, determină elementul neutru și simetricul unui element $x$, precizând pentru ce valori ale lui $x$ acesta există.

8. Arată că intervalul $(3,+\infty )$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea de la exercițiul $7$.

9. Pe ${\mathbb{Z}}_7$ se definește $\hat{x}\ast \hat{y}=\hat{x}\hat{y}+\hat{3}(\hat{x}+\hat{y})+\hat{b}$. Determină $\hat{b}$ pentru care legea este asociativă și află elementul neutru.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $m\in \mathbb{R}$, legea $x\ast y=xy+m$ este asociativă."

11. Determină $a$ și $b$ astfel încât legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$ să fie asociativă și să aibă elementul neutru $e=4$.

12. (Problemă aplicată.) Două reduceri succesive de $x\%$ și $y\%$ dau o reducere totală de $x\ast y=x+y-\frac{xy}{100}$ procente. Arată că legea este asociativă, găsește elementul ei neutru și calculează reducerea totală pentru $x=20$ și $y=30$.

13. Fie legea asociativă $x\ast y=(x+a)(y+a)-a$. Arată că $x\ast (-a)=-a$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

14. Rezolvă în intervalul $(2,+\infty )$ ecuația $x\ast x=11$, unde $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy+2x+2y+m$. a) Determină $m$ astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru $m$ găsit, determină elementul neutru. c) Determină simetricul lui $x$ și mulțimea elementelor simetrizabile.

16. Determină $a$ și $b$ pentru care legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$ este asociativă și are elementul neutru $e=0$. Ce formă simplă are legea obținută?

17. Arată că legea $x\ast y=2xy+2x+2y+1$ este asociativă și determină elementul ei neutru.

18. (Provocare.) Fie $x\ast y=(x+a)(y+a)-a$ și funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+a$. Arată că $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$ pentru orice $x,y$ și deduce de aici formula puterii $\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{x\ast x\ast \cdots \ast x}}=(x+a{)}^n-a$.

Răspunsuri și explicații

1. Familia este $xy+a(x+y)+b$ cu $a=2$, deci condiția este $m=a^2-a=4-2=2$. Forma factorizată: $x\ast y=(x+2)(y+2)-2$.

2. $e=1-a=-1$. Verificare: $x\ast (-1)=-x+2(x-1)+2=-x+2x-2+2=x$ ✓.

3. Cu $a=-5$: $m=25+5=30$, iar forma factorizată este $x\ast y=(x-5)(y-5)+5$. Elementul neutru corespunzător este $e=6$.

4. Fals. Legea $x\ast y=x+y+x{y}^2$ are elementul neutru $0$ (căci $x\ast 0=x$ și $0\ast y=y$), dar nu este asociativă: $(1\ast 1)\ast 1=3\ast 1=7$, în timp ce $1\ast (1\ast 1)=1\ast 3=13$.

5. Cu $a=3$, $b=m$, $c=2$, condiția $ac+b=b^2$ dă $6+m=m^2$, adică $m^2-m-6=0$, cu soluțiile $m=3$ și $m=-2$. Ambele se verifică: $3(x\ast y)+3=(3x+3)(3y+3)$, respectiv $3(x\ast y)-2=(3x-2)(3y-2)$.

6. Din $x\ast y=y\ast x$ obținem $3x+my=3y+mx$, adică $(3-m)(x-y)=0$ pentru orice $x,y$, deci $m=3$.

7. Aici $a=-3$, deci $e=1-(-3)=4$. Din $(x-3)(x^{\prime }-3)=1$ rezultă $x^{\prime }=\frac{1}{x-3}+3=\frac{3x-8}{x-3}$, definit pentru $x\ne 3$. Elementul $3$ este singurul nesimetrizabil.

8. Dacă $x>3$ și $y>3$, atunci $x-3>0$ și $y-3>0$, deci $(x-3)(y-3)>0$ și $x\ast y=(x-3)(y-3)+3>3$. Prin urmare $(3,+\infty )$ este parte stabilă.

9. Condiția rămâne $\hat{b}={\hat{a}}^2-\hat{a}$ cu $\hat{a}=\hat{3}$: $\hat{b}=\hat{9}-\hat{3}=\hat{2}-\hat{3}=\widehat{-1}=\hat{6}$. Elementul neutru este $e=\hat{1}-\hat{3}=\widehat{-2}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{x}\ast \hat{5}=(\hat{x}+\hat{3})(\hat{5}+\hat{3})-\hat{3}=(\hat{x}+\hat{3})\cdot \hat{1}-\hat{3}=\hat{x}$ ✓.

10. Fals. Legea este din familia $xy+a(x+y)+b$, cu $a=0$ și $b=m$, deci condiția $b=a^2-a$ dă $m=0$; pentru orice alt $m$ legea nu este asociativă. Contraexemplu cu $m=1$: $(2\ast 3)\ast 4=7\ast 4=29$, iar $2\ast (3\ast 4)=2\ast 13=27$.

11. Din $e=1-a=4$ rezultă $a=-3$, iar asociativitatea cere $b=a^2-a=9+3=12$. Legea este $x\ast y=xy-3(x+y)+12=(x-3)(y-3)+3$; verificare: $x\ast 4=(x-3)\cdot 1+3=x$ ✓.

12. Legea este de forma $axy+b(x+y)+c$ cu $a=-\frac{1}{100}$, $b=1$, $c=0$, iar condiția $ac+b=b^2$ devine $0+1=1$ ✓, deci legea este asociativă. Elementul neutru: $e=\frac{1-b}{a}=0$ — o reducere de $0\%$ nu schimbă nimic. Pentru $x=20$ și $y=30$: $20\ast 30=50-6=44$, deci o reducere totală de $44\%$. (Într-adevăr, rămâne $0,8\cdot 0,7=0,56$ din preț.)

13. $x\ast (-a)=(x+a)(-a+a)-a=(x+a)\cdot 0-a=-a$, pentru orice $x$. Elementul $-a$ „absoarbe" orice compunere; el este și singurul element nesimetrizabil al legii.

14. Cu forma factorizată, ecuația devine $(x-2{)}^2+2=11$, adică $(x-2{)}^2=9$, deci $x-2=3$ sau $x-2=-3$, adică $x=5$ sau $x=-1$. Cum lucrăm în $(2,+\infty )$, singura soluție este $x=5$. Verificare: $5\ast 5=25-10-10+6=11$ ✓.

15. a) Cu $a=2$: $m=a^2-a=2$. b) $e=1-a=-1$; verificare: $x\ast (-1)=-x+2x-2+2=x$ ✓. c) Din $(x+2)(x^{\prime }+2)=1$ rezultă $x^{\prime }=\frac{1}{x+2}-2=-\frac{2x+3}{x+2}$, pentru $x\ne -2$; mulțimea elementelor simetrizabile este $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.

16. Din $e=1-a=0$ rezultă $a=1$, iar apoi $b=a^2-a=0$. Legea este $x\ast y=xy+x+y=(x+1)(y+1)-1$, cea mai simplă din familie: elementul neutru este $0$, iar singurul element nesimetrizabil este $-1$.

17. Familia $axy+b(x+y)+c$ cu $a=2$, $b=2$, $c=1$: condiția $ac+b=b^2$ devine $2+2=4$ ✓, deci legea este asociativă. Elementul neutru: $e=\frac{1-b}{a}=-\frac{1}{2}$. Verificare: $x\ast \left(-\frac{1}{2}\right)=-x+2x-1+1=x$ ✓. Forma factorizată: $x\ast y=2(x+1)(y+1)-1$.

18. $f(x\ast y)=(x\ast y)+a=(x+a)(y+a)=f(x)f(y)$. Prin urmare, aplicând repetat egalitatea, $f$ transformă orice compunere de $n$ factori într-un produs de $n$ factori: $f(x\ast x\ast \cdots \ast x)=f(x{)}^n=(x+a{)}^n$. Cum $f(t)=t+a$, rezultă că puterea căutată este $(x+a{)}^n-a$. Verificare pentru $n=2$: $x\ast x=(x+a{)}^2-a$ ✓.

De reținut

• O lege de compoziție cu parametru descrie o familie de legi, iar cerința „determinați parametrul" înseamnă „găsiți membrii familiei care au proprietatea cerută".
• Rețeta are două jumătăți obligatorii: valorile particulare dau condiția necesară asupra parametrului, iar verificarea generală arată că valorile găsite chiar funcționează.
• Legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$ este asociativă dacă și numai dacă $b=a^2-a$, pentru că diferența celor doi membri ai asociativității este $(b+a-a^2)(z-x)$.
• Când $b=a^2-a$, legea se scrie factorizat ca $x\ast y=(x+a)(y+a)-a$, are elementul neutru $e=1-a$, iar simetricul lui $x$ este $x^{\prime }=\frac{1}{x+a}-a$, definit pentru $x\ne -a$.
• Pentru familia $x\ast y=axy+b(x+y)+c$ cu $a\ne 0$, condiția de asociativitate este $ac+b=b^2$, iar elementul neutru este $e=\frac{1-b}{a}$.

Greșeli frecvente

• Oprirea după valorile particulare. Din $x=0$, $y=0$, $z=1$ obții o ecuație în parametru, deci o condiție necesară. Fără verificarea generală, rezolvarea e incompletă și baremul de Bacalaureat M1 taie punctele pentru „suficiență".
• Alegerea unor valori care nu spun nimic. Cum diferența are factorul $z-x$, orice triplet cu $x=z$ dă o identitate adevărată pentru orice parametru. Alege întotdeauna $x\ne z$, de pildă $x=0$ și $z=1$.
• Pierderea unei soluții a ecuației în parametru. Condiția $ac+b=b^2$ este de gradul al doilea în $b$, deci poate da două valori. Ambele trebuie scrise și verificate; „determinați $m$" cere toate valorile, nu prima găsită.
• Confuzia dintre parametru și necunoscută. În $x\ast y=xy+m(x+y)+2$, literele $x$ și $y$ parcurg toată mulțimea, iar $m$ este fix. Egalitatea de asociativitate trebuie să aibă loc pentru orice $x,y,z$, deci coeficienții polinomului în aceste variabile se anulează separat.
• Uitarea elementului fără simetric. Simetricul $x^{\prime }=\frac{1}{x+a}-a$ nu există pentru $x=-a$; un răspuns care spune „orice element este simetrizabil pe $\mathbb{R}$" este greșit. Pe partea stabilă $(-a,+\infty )$, în schimb, afirmația devine adevărată.

Aplică acasă

1. Familia ta de legi. Alege trei valori pentru $a$ (una pozitivă, una negativă, una nulă), scrie de fiecare dată legea $x\ast y=xy+a(x+y)+(a^2-a)$ desfășurată, apoi forma factorizată, elementul neutru și simetricul lui $x$. Compară cele trei rezultate și observă cum se mișcă $e=1-a$ față de elementul nesimetrizabil $-a$.

2. Verificarea cu numere. Pentru legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$, calculează $(2\ast 3)\ast 4$ și $2\ast (3\ast 4)$ separat, fără forma factorizată, și compară rezultatele. Repetă calculul pentru $x\ast y=xy-2x-2y+5$, unde condiția de asociativitate nu e îndeplinită, și vezi cât de mult diferă cele două rezultate.

3. Reducerile din magazin. Ia trei reduceri procentuale reale dintr-un pliant publicitar și compune-le două câte două cu regula $x\ast y=x+y-\frac{xy}{100}$. Verifică, pe numerele obținute, că ordinea nu contează și că reducerea totală este mereu mai mică decât suma reducerilor.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de legi de compoziție și este cea mai apropiată de subiectele reale de BAC M1: aproape toate problemele de structuri algebrice din Subiectul al II-lea încep cu o lege dată printr-o formulă, iar varianta cu parametru separă elevii care au înțeles de cei care au memorat. Miezul metodologic este distincția dintre condiția necesară (din valori particulare) și cea suficientă (verificarea generală), punctate separat în bareme.

De verificat în caiet: (1) apare calculul complet al celor doi membri ai asociativității, măcar o dată, nu doar formula finală; (2) valorile particulare sunt alese cu $x\ne z$; (3) fiecare valoare a parametrului găsită este verificată; (4) la elementele simetrizabile este precizată valoarea exclusă. Întrebări de control: „Ce înseamnă că o lege are parametru?"; „De ce nu e de ajuns să verifici asociativitatea pe trei numere?"; „Cum găsești forma factorizată?"; „Care element nu are simetric și de ce?".

La BAC M1, subiectul apare în trei subpuncte legate: determinarea parametrului, elementul neutru și simetricul, uneori urmate de o cerință de parte stabilă sau de rezolvarea unei ecuații de tipul $x\ast x=k$. Semn că elevul a înțeles: scrie forma factorizată imediat ce vede formula și citește din ea, fără calcule suplimentare, elementul neutru și elementul care nu are simetric.

Întrebări frecvente

Ce este o lege de compoziție cu parametru?

Este o lege dată printr-o formulă în care apare o literă fixă, pe lângă variabilele $x$ și $y$ — de exemplu $x\ast y=xy-2x-2y+m$. Fiecare valoare a parametrului dă altă lege pe aceeași mulțime, deci formula descrie o familie de legi, iar problema cere membrii familiei care au o proprietate dată.

Cum aflu parametrul dintr-o lege de compoziție la Bacalaureat M1?

În doi pași. Întâi impui proprietatea cerută pentru valori particulare ale lui $x$, $y$, $z$ și obții o ecuație în parametru, care îți dă lista de candidați. Apoi verifici, pentru fiecare candidat, că proprietatea are loc pentru valori oarecare. Fără al doilea pas, rezolvarea nu este completă.

Când este asociativă legea $x\ast y=xy+a(x+y)+b$?

Exact atunci când $b=a^2-a$. Explicația e o identitate: diferența dintre $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$ este $(b+a-a^2)(z-x)$, deci ea se anulează pentru orice $x,y,z$ dacă și numai dacă $b+a-a^2=0$. Legea devine atunci $(x+a)(y+a)-a$.

Care este elementul neutru al unei legi cu parametru?

Pentru familia $x\ast y=xy+a(x+y)+b$, elementul neutru este $e=1-a$, iar existența lui cere aceeași condiție $b=a^2-a$ ca asociativitatea. Pentru familia $x\ast y=axy+b(x+y)+c$ cu $a\ne 0$, elementul neutru este $e=\frac{1-b}{a}$, iar condiția este $ac+b=b^2$.

Cum găsesc forma factorizată a unei legi de compoziție?

Cauți numărul $a$ pentru care legea se scrie $(x+a)(y+a)-a$: el este chiar coeficientul lui $x$ și al lui $y$ din formula desfășurată. De exemplu, $xy-2x-2y+6$ are $a=-2$ și devine $(x-2)(y-2)+2$. Din forma factorizată citești imediat elementul neutru și simetricul.

De ce nu e de ajuns să verific asociativitatea pentru câteva numere?

Pentru că valorile particulare dau doar o condiție necesară: legea poate fi „cuminte" pe numerele alese și să dea rezultate diferite în rest. Mai mult, diferența dintre cei doi membri conține factorul $z-x$, deci orice alegere cu $x=z$ este verificată automat, oricare ar fi parametrul, și nu demonstrează nimic.

Poate o lege să aibă element neutru fără să fie asociativă?

Da. Legea $x\ast y=x+y+x{y}^2$, definită pe $\mathbb{R}$, are elementul neutru $0$, dar $(1\ast 1)\ast 1=7$ și $1\ast (1\ast 1)=13$, deci nu este asociativă. În familia $xy+a(x+y)+b$ cele două condiții coincid, însă aceasta este o particularitate a familiei, nu o regulă generală.

Cum se rezolvă o problemă cu parametru pe mulțimea claselor de resturi?

La fel ca pe $\mathbb{R}$, pentru că identitățile folosite se sprijină doar pe asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea operațiilor din ${\mathbb{Z}}_n$. Deosebirea este că ecuația în parametru se rezolvă printre cele $n$ clase, iar simetricul există doar când clasa $\hat{x}+\hat{a}$ este inversabilă.