Legi pe matrice și funcții: pe scurt

Adunarea și înmulțirea matricelor sunt legi de compoziție pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, iar compunerea funcțiilor este lege de compoziție pe mulțimea $\mathcal{F}(E)$ a funcțiilor de la $E$ la $E$. Prima deosebire de reținut: adunarea matricelor nu ține seama de ordine, înmulțirea lor da.

Ca să arăți că o familie de matrice este parte stabilă, compui două elemente cu parametri diferiți și spui cine sunt noii parametri — nu doar că rezultatul are aceeași formă. Pentru $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$ se obține $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$: înmulțirea se face adunând parametrii, de unde și $(A(x){)}^n=A(nx)$. Pentru $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ rezultă $B(a,b)\cdot B(c,d)=B(ac-bd,ad+bc)$, adică regula de înmulțire a numerelor complexe.

Contraexemplele de reținut: matricele simetrice nu formează parte stabilă la înmulțire, matricele cu determinant nenul nu formează parte stabilă la adunare, iar mulțimea matricelor cu $\det X=k$ este stabilă la înmulțire numai pentru $k=0$ și $k=1$.

La funcții, convenția este $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ — întâi cea din dreapta. Funcțiile afine dau $f_{a,b}\circ f_{c,d}=f_{ac,ad+b}$; permutările, funcțiile crescătoare și funcțiile continue formează părți stabile, funcțiile injective nu sunt parte stabilă față de adunare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$. Atunci $A(7)\cdot A(-2)$ este egală cu:

   • a) $A(-14)$
   • b) $A(9)$
   • c) $A(-5)$
   • d) $A(5)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $A(5)$

   Din regula familiei, $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, deci $A(7)\cdot A(-2)=A(7-2)=A(5)$. Varianta $A(-14)$ vine din înmulțirea parametrilor, ca și cum regula ar copia înmulțirea, nu adunarea. Varianta $A(9)$ schimbă semnul celui de-al doilea parametru, iar $A(-5)$ inversează ordinea scăderii — dar aici ordinea nici nu contează, fiindcă adunarea numerelor nu depinde de ea.

2. Mulțimea matricelor $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\det X=k$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea exact pentru:

   • a) orice număr real $k$
   • b) $k\in \{0,1\}$
   • c) orice $k\ne 0$
   • d) niciun $k$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $k\in \{0,1\}$

   Din $\det (XY)=\det X\cdot \det Y$ rezultă că produsul are determinantul $k^2$, iar condiția $k^2=k$ dă $k\in \{0,1\}$. Pentru $k=3$, de pildă, produsul a două matrice cu determinantul $3$ are determinantul $9$ și iese din mulțime. Varianta c ar fi corectă doar dacă mulțimea ar fi descrisă prin $\det X\ne 0$, ceea ce este altceva.

3. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-1$ și $g(x)=x+3$. Atunci $(f\circ g)(2)$ este:

   • a) $19$
   • b) $10$
   • c) $7$
   • d) $11$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $19$

   Se aplică întâi cea din dreapta: $g(2)=5$, apoi $f(5)=4\cdot 5-1=19$. Varianta $10$ este $(g\circ f)(2)$: $f(2)=7$, apoi $g(7)=10$ — exact greșeala de ordine. Varianta $7$ este doar $f(2)$, iar $11$ nu corespunde niciunui drum.