Legi de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții

Legile de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții sunt, la clasa a 12-a, ultimul pas înainte de studiul structurilor algebrice propriu-zise. Vestea bună este că nu ai nimic nou de învățat ca tehnică de calcul: adunarea și înmulțirea matricelor le stăpânești din clasa a XI-a, iar compunerea funcțiilor, din clasa a IX-a. Ce se schimbă este întrebarea pe care le-o punem. Legile de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții sunt adunarea și înmulțirea matricelor, respectiv compunerea funcțiilor, privite pe o familie aleasă de elemente: rezultatul trebuie să rămână, de fiecare dată, în familia de la care ai plecat.

Până acum întrebai „cât face produsul acestor două matrice?". De acum înainte întrebi „ce se întâmplă dacă rămân mereu în interiorul acestei familii de matrice?". Diferența e uriașă. O familie de matrice care se comportă bine la înmulțire descrie, în practică, un set de transformări care se pot compune fără să iasă din tipar — rotațiile unui robot, translațiile unei imagini, schimbările de scară dintr-un program de grafică. Subiectele de Bacalaureat M1 folosesc constant acest tip de familie, iar rețeta de verificare este mereu aceeași.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști adunarea și înmulțirea matricelor drept legi de compoziție pe mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.
• Vei ști să verifici dacă o familie de matrice dată printr-un parametru este parte stabilă în raport cu înmulțirea.
• Vei ști să lucrezi cu familia $A(x)$ pentru care $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ și să îi calculezi puterile.
• Vei ști să dai contraexemple pentru mulțimi de matrice care nu sunt părți stabile.
• Vei ști să tratezi compunerea funcțiilor ca lege de compoziție pe mulțimea $\mathcal{F}(E)$ a funcțiilor de la $E$ la $E$.
• Vei ști să verifici că funcțiile afine, funcțiile crescătoare și permutările formează părți stabile.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o lege de compoziție pe o mulțime de matrice?

Legea de compoziție pe o mulțime de matrice este o funcție care asociază oricăror două matrice din acea mulțime o a treia matrice, tot din ea; pentru mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ a matricelor pătratice de ordinul al doilea cu elemente reale, cele două legi naturale sunt adunarea și înmulțirea, ambele definite în clasa a XI-a și amândouă dând ca rezultat tot o matrice de ordinul al doilea.

Că adunarea este lege se vede imediat: suma a două matrice de ordinul al doilea se face element cu element, deci rezultatul are tot două linii și două coloane. Pentru înmulțire, tehnica de calcul e cea de la Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul, iar rezultatul are, din construcție, tot ordinul al doilea. Avem, așadar, două funcții

$$+:{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\times {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}),\cdot :{\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\times {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\to {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R}).$$

Deosebirea esențială dintre ele o știi tot de la clasa a XI-a, din Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea: adunarea dă același rezultat la schimbarea ordinii, înmulțirea nu. Este primul exemplu important de lege la care ordinea contează, iar el va fi folosit în toată unitatea. Numele complet al proprietăților pe care le invocăm aici doar prin calcul — asociativitatea, matricele $O_2$ și $I_2$ care nu schimbă nimic la compunere, matricele inversabile — se fixează începând cu Asociativitatea unei legi de compoziție.

2. Cum verifici că o mulțime de matrice este parte stabilă?

Rețeta are trei rânduri și se aplică identic de fiecare dată, așa cum ai văzut la Parte stabilă și legea de compoziție indusă:

1. scrii forma generală a matricelor din mulțime, cu parametri;
2. înmulțești (sau aduni) două matrice de această formă, cu parametri diferiți;
3. arăți că rezultatul are aceeași formă, precizând care sunt noii parametri.

Pasul al doilea este cel în care se greșește: dacă folosești aceiași parametri pentru ambele matrice, ai verificat un caz particular, nu regula. Rețeta e aceeași pe care ai aplicat-o mulțimilor, la Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică; se schimbă doar natura elementelor.

Mai există o capcană, de data aceasta de redactare. Nu e destul să obții „ceva de aceeași formă"; trebuie să spui cine sunt noii parametri, pentru că exact ei arată cum funcționează legea indusă pe mulțime. Diferența dintre „produsul rămâne în mulțime" și „produsul este matricea de parametru egal cu suma parametrilor" este diferența dintre un punct și trei la corectare, iar pentru tine este diferența dintre a ști și a bănui.

Primul exemplu, cel mai simplu. Matricele diagonale de ordinul al doilea:

$$\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& 0\\ 0& bd\end{array}\right).$$

Rezultatul este tot diagonal, deci mulțimea matricelor diagonale este parte stabilă în raport cu înmulțirea. Se verifică la fel de repede că este parte stabilă și în raport cu adunarea. Al doilea exemplu: matricele superior triunghiulare, adică cele cu zero în colțul din stânga jos. Produsul lor păstrează zeroul acolo, pentru că elementul respectiv se obține înmulțind linia a doua a primei matrice cu prima coloană a celei de-a doua, iar în ambele apare factorul nul. Al treilea exemplu, la fel de scurt: mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z})$, pentru că sumele și produsele de numere întregi rămân întregi.

3. Familia $A(x)$ și proprietatea $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$

Iată tipul de familie care apare cel mai des în subiectele de examen. Fie

$$A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right),x\in \mathbb{R},G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}.$$

Înmulțim două astfel de matrice, cu parametri diferiți:

$$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& y\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+x\cdot 0& 1\cdot y+x\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 0& 0\cdot y+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y).$$

Rezultatul este uluitor de curat: înmulțirea matricelor din $G$ se face adunând parametrii. Mulțimea $G$ este, deci, parte stabilă, iar legea indusă pe ea copiază adunarea numerelor reale. De aici, două consecințe imediate.

Merită să te oprești o clipă asupra acestui fapt, pentru că el explică de ce familiile de acest tip revin an de an în subiecte. O operație grea, cu patru înmulțiri și două adunări pe fiecare element, se preface, pe această submulțime, într-o singură adunare de numere. Toate întrebările despre familie se traduc atunci în întrebări despre numere reale, iar acestea le știi rezolva de mult.

Prima: ordinea nu contează pe $G$, pentru că $A(x)A(y)=A(x+y)=A(y+x)=A(y)A(x)$ — deși pe toată mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ înmulțirea nu are această proprietate. A doua: puterile se calculează instantaneu,

$$(A(x){)}^n=A(nx),n\in {\mathbb{N}}^{\ast },$$

formulă care se demonstrează prin inducție, cu metoda de la Metoda inducției matematice: principiul dominoului. Verificarea pasului: dacă $(A(x){)}^n=A(nx)$, atunci $(A(x){)}^{n+1}=A(nx)\cdot A(x)=A(nx+x)=A((n+1)x)$. Numere de control: $A(2)\cdot A(3)=A(5)$ și $(A(1){)}^{10}=A(10)$.

4. Matricele de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$

A doua familie clasică. Notăm $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$ și înmulțim două astfel de matrice:

$$B(a,b)\cdot B(c,d)=\left(\begin{array}{cc}ac-bd& ad+bc\\ -(ad+bc)& ac-bd\end{array}\right)=B(ac-bd,ad+bc).$$

Colțul din stânga jos este opusul celui din dreapta sus, iar cele două elemente de pe diagonala principală sunt egale — exact forma cerută. Mulțimea acestor matrice este, așadar, parte stabilă în raport cu înmulțirea, și la fel de ușor se arată că este parte stabilă și în raport cu adunarea.

Merită observat cum arată noii parametri: $ac-bd$ și $ad+bc$ sunt exact partea reală și partea imaginară ale produsului $(a+bi)(c+di)$ de la clasa a X-a. Familia aceasta de matrice reproduce, deci, înmulțirea numerelor complexe. Control numeric: $B(1,2)\cdot B(3,4)=B(-5,10)$, iar $(1+2i)(3+4i)=3+4i+6i-8=-5+10i$ ✓.

O rudă apropiată, pe care ai întâlnit-o deja: matricea de rotație de la clasa a XI-a este de această formă, cu $a=\cos \theta$ și $b=-\sin \theta$, iar produsul a două rotații este rotația de unghi egal cu suma unghiurilor.

Se vede aici un tipar care va reveni de multe ori în anul acesta: o familie de matrice descrie un set de transformări geometrice, iar înmulțirea matricelor înseamnă „efectuez o transformare, apoi pe cealaltă". Parte stabilă înseamnă atunci, pur și simplu, că două transformări din familie compuse dau tot o transformare din familie.

5. Când NU este o mulțime de matrice parte stabilă?

Contraexemplele sunt la fel de importante ca demonstrațiile, iar la examen valorează la fel de mult. Trei situații pe care trebuie să le recunoști.

Matricele simetrice, la înmulțire. O matrice simetrică are elementele de pe pozițiile oglindite egale. Luăm

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right),$$

iar rezultatul nu mai este simetric, pentru că $2\ne 1$. Un singur contraexemplu, complet calculat, încheie discuția.

Matricele cu determinant nenul, la adunare. Fie $I_2$ matricea unitate, cu $\det I_2=1$, și $-I_2$, cu determinantul tot $1$. Suma lor este matricea nulă $O_2$, al cărei determinant este $0$. Deci mulțimea nu este parte stabilă la adunare — deși, atenție, la înmulțire este: din $\det (XY)=\det X\cdot \det Y$, dovedită la Determinantul produsului a două matrice, rezultă că produsul a două matrice cu determinant nenul are determinantul nenul.

Matricele cu determinant egal cu $2$, la înmulțire. Aceeași formulă a determinantului produsului arată că rezultatul are determinantul $4$, deci iese din mulțime. Regula generală de reținut: mulțimea matricelor cu $\det X=k$ este parte stabilă la înmulțire doar pentru $k=0$ și $k=1$.

6. De ce este compunerea funcțiilor o lege de compoziție?

Trecem la al doilea tip de mulțime cerut de programă. Fie $E$ o mulțime nevidă și fie $\mathcal{F}(E)$ mulțimea tuturor funcțiilor definite pe $E$ cu valori în $E$. Pe ea, compunerea funcțiilor este o lege de compoziție, pentru că $f\circ g$ este tot o funcție de la $E$ la $E$.

Convenția de ordine este cea fixată la Operații cu funcții; compunerea funcțiilor și folosită apoi peste tot: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, adică întâi cea din dreapta, apoi cea din stânga. Compunerea nu dă, în general, același rezultat la schimbarea ordinii; contraexemplul îl vom vedea imediat, la funcțiile afine.

Aici semnul $\circ$ înseamnă compunerea funcțiilor și numai atât. În celelalte lecții ale unității, când pe o mulțime se definesc două legi oarecare, a doua se notează tot cu $\circ$; când în aceeași lecție apar funcții, ca acum, ambiguitatea se evită folosind pentru orice altă lege semnul $\ast$.

Un lucru care merită spus, pentru că explică de ce compunerea e atât de importantă: funcția identică $1_E$, definită prin $1_E(x)=x$, nu schimbă nimic la compunere, iar mutarea parantezelor nu schimbă niciodată rezultatul unei compuneri de trei funcții. Amândouă se verifică într-un rând, direct din definiție: $((f\circ g)\circ h)(x)=f(g(h(x)))=(f\circ (g\circ h))(x)$.

7. De ce sunt funcțiile afine și permutările părți stabile?

Funcțiile afine. Fie $f_{a,b}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f_{a,b}(x)=ax+b$. Compunem două astfel de funcții, cu parametri diferiți:

$$(f_{a,b}\circ f_{c,d})(x)=f_{a,b}(f_{c,d}(x))=a(cx+d)+b=(ac)x+(ad+b),$$

deci $f_{a,b}\circ f_{c,d}=f_{ac,ad+b}$. Rezultatul este tot o funcție afină, deci mulțimea lor este parte stabilă. Mai mult, dacă $a\ne 0$ și $c\ne 0$, atunci $ac\ne 0$, deci și mulțimea funcțiilor afine cu $a\ne 0$ — adică funcțiile de gradul întâi — este parte stabilă.

Aici se vede necomutativitatea, cu numere concrete: $f_{2,3}\circ f_{5,-1}=f_{10,1}$, dar $f_{5,-1}\circ f_{2,3}=f_{10,14}$. Aceeași pereche, două rezultate diferite. Verifică singur în $x=0$: prima dă $2\cdot (-1)+3=1$, a doua dă $5\cdot 3-1=14$.

Permutările. Pentru $E=\{1,2,\dots ,n\}$, mulțimea $S_n$ a permutărilor de grad $n$ — adică a funcțiilor bijective de la $E$ la $E$, studiate la Permutări: definiție, notație și compunere — este o parte stabilă a lui $\mathcal{F}(E)$, pentru că o compunere de funcții bijective este bijectivă. Ea are $n!$ elemente, iar pentru $n=4$ sunt $24$.

Funcțiile crescătoare. Dacă $f$ și $g$ sunt crescătoare pe $\mathbb{R}$, atunci $f\circ g$ este crescătoare, pentru că din $x_1\le x_2$ rezultă $g(x_1)\le g(x_2)$ și apoi $f(g(x_1))\le f(g(x_2))$. Mulțimea funcțiilor crescătoare este deci parte stabilă și față de compunere, și față de adunare.

8. Adunarea și înmulțirea funcțiilor reale

Pe mulțimea $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ mai există două legi de compoziție, definite punct cu punct:

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x),(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).$$

Amândouă dau ca rezultat tot funcții de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$, deci sunt legi de compoziție. Spre deosebire de compunere, la ele ordinea nu contează, pentru că adunarea și înmulțirea numerelor reale nu depind de ordine.

Programa cere explicit un exemplu care leagă acest capitol de analiză: mulțimea funcțiilor continue pe un interval este parte stabilă în raport cu adunarea, cu înmulțirea și cu compunerea — exact rezultatele demonstrate la Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue, compunere și inversă. Este un exemplu care merită reținut, pentru că arată că noțiunea de parte stabilă nu e o curiozitate algebrică, ci descrie proprietăți pe care le folosești zilnic în analiză.

Un contraexemplu, ca să nu rămână impresia că totul e stabil: mulțimea funcțiilor injective nu este parte stabilă în raport cu adunarea. Funcțiile $f(x)=x$ și $g(x)=-x$ sunt injective, dar suma lor este funcția constantă nulă, care nu este injectivă.

Reține ideea generală care se desprinde din toate exemplele acestei lecții: stabilitatea nu este o proprietate a mulțimii singure și nici a legii singure, ci a perechii formate din ele. Aceeași mulțime de funcții poate fi parte stabilă față de compunere și să nu fie față de adunare, iar aceeași mulțime de matrice poate fi stabilă la înmulțire și instabilă la adunare. Prima întrebare pe care ți-o pui la orice enunț este, deci, „față de care lege?".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea unei familii cu parametru

Se consideră mulțimea $M$ a matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)$, cu $a\in \mathbb{R}$. Arătați că $M$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor.

Rezolvare. Notăm $C(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)$ și luăm două elemente cu parametri diferiți:

$$C(a)\cdot C(b)=\left(\begin{array}{cc}ab& 0\\ 0& ab\end{array}\right)=C(ab).$$

Cum $ab\in \mathbb{R}$, rezultatul este tot în $M$. Observă că înmulțirea acestor matrice copiază înmulțirea numerelor reale, la fel cum familia $A(x)$ copia adunarea.

Exemplul 2 — Puterile unei matrice dintr-o familie

Fie $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$. Calculați $A(3)\cdot A(-1)$ și $(A(3){)}^4$.

Rezolvare. Din regula $A(x)A(y)=A(x+y)$ obținem direct $A(3)\cdot A(-1)=A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Pentru putere folosim $(A(x){)}^n=A(nx)$: $(A(3){)}^4=A(12)=\left(\begin{array}{cc}1& 12\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Verificare parțială, prin calcul direct: $(A(3){)}^2=A(6)$, apoi $A(6)\cdot A(6)=A(12)$ ✓.

Exemplul 3 — Un contraexemplu complet

Arătați că mulțimea matricelor $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\det X=3$ nu este parte stabilă în raport cu înmulțirea.

Rezolvare. Fie $X=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu $\det X=3$, și $Y=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, cu $\det Y=3$. Atunci

$$X\cdot Y=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right),\det (XY)=9\ne 3.$$

Produsul nu mai aparține mulțimii. Argumentul general: $\det (XY)=\det X\cdot \det Y=9$ pentru orice două elemente, deci mulțimea nu este stabilă pentru niciun $k\notin \{0,1\}$.

Exemplul 4 — Compunerea a două funcții afine

Fie $f(x)=3x-2$ și $g(x)=-x+5$, funcții de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$. Calculați $f\circ g$ și $g\circ f$ și comparați rezultatele.

Rezolvare. Aplicăm întâi funcția din dreapta:

$$(f\circ g)(x)=f(-x+5)=3(-x+5)-2=-3x+13,(g\circ f)(x)=g(3x-2)=-(3x-2)+5=-3x+7.$$

Cele două funcții au aceeași pantă, dar termeni liberi diferiți, deci $f\circ g\ne g\circ f$. Ambele sunt însă funcții afine, ceea ce confirmă că mulțimea funcțiilor afine este parte stabilă.

Exemplul 5 — O parte stabilă de funcții

Fie $H=\{f_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f_a(x)=x+a,a\in \mathbb{R}\}$. Arătați că $H$ este parte stabilă în raport cu compunerea și calculați $f_2\circ f_{-7}$.

Rezolvare. Compunem două elemente cu parametri diferiți:

$$(f_a\circ f_b)(x)=f_a(f_b(x))=f_a(x+b)=x+b+a=f_{a+b}(x).$$

Deci $f_a\circ f_b=f_{a+b}\in H$, adică $H$ este parte stabilă, iar compunerea se face adunând parametrii — exact ca la familia de matrice $A(x)$ din subsecțiunea 3. În particular, $f_2\circ f_{-7}=f_{-5}$, adică funcția $x\mapsto x-5$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$, și mulțimea $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$. a) Calculați $A(2)\cdot A(3)$. b) Arătați că $G$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor. c) Demonstrați că $(A(x){)}^n=A(nx)$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^{}$șicalculați$\big(A(1)\big)^{2026}$.*

Rezolvare. Este structura obișnuită a unei probleme de matrice din Subiectul al II-lea: un calcul, o proprietate a mulțimii, o generalizare.

a) $A(2)\cdot A(3)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)=A(5)$.

b) Fie $A(x),A(y)\in G$ oarecare. Efectuând înmulțirea obținem

$$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y),$$

iar cum $x+y\in \mathbb{R}$, rezultă $A(x)\cdot A(y)\in G$. Deci $G$ este parte stabilă.

c) Demonstrăm prin inducție după $n$. Pentru $n=1$ afirmația este $A(x)=A(x)$, adevărată. Presupunem $(A(x){)}^n=A(nx)$ și calculăm

$$(A(x){)}^{n+1}=(A(x){)}^n\cdot A(x)=A(nx)\cdot A(x)=A(nx+x)=A((n+1)x),$$

ceea ce încheie inducția. Pentru $x=1$ și $n=2026$ obținem $(A(1){)}^{2026}=A(2026)=\left(\begin{array}{cc}1& 2026\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Să exersăm

La fiecare familie de matrice sau de funcții, scrie mai întâi forma generală cu parametri, apoi compune două elemente cu parametri diferiți.

1. Calculează $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -6\\ 0& 1\end{array}\right)$ și scrie rezultatul sub forma $A(x)$.

2. Arată că mulțimea matricelor diagonale de ordinul al doilea este parte stabilă în raport cu adunarea.

3. Calculează $B(2,1)\cdot B(1,3)$, unde $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& a\end{array}\right)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea matricelor simetrice de ordinul al doilea este parte stabilă în raport cu înmulțirea."

5. Arată că mulțimea matricelor cu $\det X=1$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea.

6. Determină $(A(5){)}^3$ pentru $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$.

7. Fie $f(x)=2x+1$ și $g(x)=x-3$. Calculează $f\circ g$ și $g\circ f$.

8. Arată că mulțimea funcțiilor $f_a(x)=ax$, cu $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, este parte stabilă în raport cu compunerea.

9. Arată că mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z})$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea.

10. (Problemă aplicată.) O imagine digitală se deplasează cu $a$ unități pe orizontală prin funcția $t_a(x)=x+a$. Arată că două deplasări succesive dau tot o deplasare și determină parametrul ei pentru $a=7$ urmat de $a=-2$.

11. Dă un contraexemplu care arată că mulțimea funcțiilor injective de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$ nu este parte stabilă în raport cu adunarea.

12. Arată că mulțimea funcțiilor impare de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$ nu este parte stabilă în raport cu înmulțirea funcțiilor.

13. Calculează $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ și verifică faptul că rezultatul este diagonal.

14. Arată că mulțimea matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right)$ este parte stabilă în raport cu adunarea.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $C(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)$. a) Calculează $C(2)\cdot C(5)$. b) Arată că mulțimea $\{C(a)\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea. c) Demonstrează prin inducție că $(C(a){)}^n=C(a^n)$.

16. Arată că mulțimea funcțiilor descrescătoare de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$ nu este parte stabilă în raport cu compunerea, dând un exemplu.

17. Câte elemente are $S_4$ și de ce este ea parte stabilă în raport cu compunerea?

18. (Provocare.) Arată că mulțimea matricelor $X$ de ordinul al doilea cu suma elementelor de pe fiecare linie egală cu $1$ este parte stabilă în raport cu înmulțirea, apoi verifică pe un exemplu numeric.

Răspunsuri și explicații

1. $A(4)\cdot A(-6)=A(-2)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$.

2. Suma a două matrice diagonale se face element cu element, deci elementele din afara diagonalei rămân nule: $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c& 0\\ 0& b+d\end{array}\right)$.

3. $B(2,1)\cdot B(1,3)=B(2\cdot 1-1\cdot 3,2\cdot 3+1\cdot 1)=B(-1,7)=\left(\begin{array}{cc}-1& 7\\ -7& -1\end{array}\right)$.

4. Fals. Contraexemplul din lecție: $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$, care nu este simetrică.

5. Din $\det (XY)=\det X\cdot \det Y=1\cdot 1=1$ rezultă că produsul are tot determinantul $1$.

6. $(A(5){)}^3=A(15)=\left(\begin{array}{cc}1& 15\\ 0& 1\end{array}\right)$.

7. $(f\circ g)(x)=2(x-3)+1=2x-5$, iar $(g\circ f)(x)=(2x+1)-3=2x-2$. Diferite.

8. $(f_a\circ f_b)(x)=a(bx)=(ab)x=f_{ab}(x)$, iar $ab\ne 0$ când $a\ne 0$ și $b\ne 0$.

9. Fiecare element al produsului este o sumă de produse de numere întregi, deci este întreg.

10. $(t_a\circ t_b)(x)=x+b+a=t_{a+b}(x)$, deci două deplasări dau tot o deplasare. Pentru $a=7$ urmat de $a=-2$ parametrul este $7+(-2)=5$.

11. Funcțiile $f(x)=x$ și $g(x)=-x$ sunt injective, dar $(f+g)(x)=0$ pentru orice $x$, deci suma nu este injectivă.

12. Fie $f(x)=g(x)=x$, funcții impare. Produsul lor este $(fg)(x)=x^2$, care nu este impară, pentru că $(-x{)}^2=x^2$ și nu $-x^2$. În general, produsul a două funcții impare este o funcție pară.

13. $\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& -3\end{array}\right)$ — tot diagonală.

14. $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ 0& 0\end{array}\right)$, deci linia a doua rămâne nulă.

15. a) $C(2)\cdot C(5)=C(10)=\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$. b) $C(a)\cdot C(b)=C(ab)$, iar din $a\ne 0$ și $b\ne 0$ rezultă $ab\ne 0$. c) Pentru $n=1$ afirmația e clară; dacă $(C(a){)}^n=C(a^n)$, atunci $(C(a){)}^{n+1}=C(a^n)\cdot C(a)=C(a^{n+1})$.

16. Funcția $f(x)=-x$ este descrescătoare, dar $(f\circ f)(x)=x$ este crescătoare, deci rezultatul iese din mulțime.

17. $S_4$ are $4!=24$ de elemente. Este parte stabilă pentru că o compunere de funcții bijective de la $\{1,2,3,4\}$ la ea însăși este tot bijectivă.

18. Fie $X$ și $Y$ cu această proprietate. Suma elementelor de pe linia $i$ a produsului este ${\sum }_j{\sum }_k{x}_{ik}{y}_{kj}={\sum }_k{x}_{ik}\left({\sum }_j{y}_{kj}\right)={\sum }_k{x}_{ik}\cdot 1=1$, pentru că fiecare linie a lui $Y$ are suma $1$, iar apoi și linia $i$ a lui $X$ are suma $1$. Exemplu: $\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{3}{4}\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{8}& \frac{3}{8}\\ \frac{3}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right)$, cu sumele pe linii egale cu $1$.

De reținut

• Adunarea și înmulțirea matricelor sunt legi de compoziție pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, iar compunerea funcțiilor este lege de compoziție pe mulțimea $\mathcal{F}(E)$ a funcțiilor de la $E$ la $E$.
• Verificarea unei părți stabile se face compunând două elemente cu parametri diferiți și arătând că rezultatul are aceeași formă, cu parametri noi scriși explicit.
• Familia matricelor $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$ satisface $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, deci înmulțirea lor se face adunând parametrii, iar puterile sunt date de $(A(x){)}^n=A(nx)$.
• Mulțimea matricelor cu determinant nenul este parte stabilă la înmulțire, dar nu și la adunare, iar mulțimea matricelor simetrice nu este parte stabilă la înmulțire.
• Funcțiile afine, funcțiile crescătoare, permutările din $S_n$ și funcțiile continue formează părți stabile în raport cu compunerea, în timp ce funcțiile injective nu formează parte stabilă în raport cu adunarea.

Greșeli frecvente

• Se compun două matrice cu același parametru. A calcula $A(x)\cdot A(x)$ și a conchide că mulțimea e parte stabilă este o verificare incompletă: ai testat doar diagonala. Ia întotdeauna $A(x)$ și $A(y)$, cu litere diferite.
• Se schimbă ordinea factorilor la înmulțirea matricelor. Pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ produsul depinde de ordine, iar la familii particulare independența de ordine trebuie dovedită, nu presupusă. Pentru familia $A(x)$ ea rezultă din faptul că adunarea numerelor nu depinde de ordine.
• Se compune în ordinea greșită. În $f\circ g$ se aplică întâi $g$; cine inversează obține, la funcțiile afine, un termen liber greșit. Scrie de fiecare dată, înainte de calcul, „întâi cea din dreapta".
• Se confundă mulțimea matricelor cu determinant $1$ cu cea cu determinant oarecare. Doar valorile $0$ și $1$ se păstrează prin înmulțire; pentru orice alt $k$ produsul are determinantul $k^2$, deci iese din mulțime.
• Se dă un contraexemplu neterminat. Nu e destul să spui „produsul a două matrice simetrice nu e simetric": trebuie scrise cele două matrice, efectuat produsul și arătat elementul care strică simetria.

Aplică acasă

1. Fabrica de translații. Scrie pe o foaie matricele $A(1)$, $A(2)$ și $A(3)$ și înmulțește-le două câte două, în ambele ordini. Verifică de fiecare dată că rezultatul este $A$ de suma parametrilor și că ordinea nu schimbă nimic pentru această familie.

2. Detectorul de contraexemple. Alege trei familii de matrice de ordinul al doilea inventate de tine (de exemplu, cele cu suma elementelor egală cu zero, cele cu prima linie nulă, cele cu elemente naturale) și decide, pentru fiecare, dacă este parte stabilă în raport cu înmulțirea. Scrie demonstrația sau contraexemplul complet calculat.

3. Compuneri de funcții. Ia funcțiile $f(x)=2x$, $g(x)=x+3$ și $h(x)=-x$, apoi calculează toate cele șase compuneri de câte două funcții diferite. Notează care perechi dau același rezultat în ambele ordini și încearcă să explici de ce. Scrie rezultatele într-un tabel cu două coloane, ca să vezi dintr-o privire unde ordinea contează.

Pentru părinți și profesori

Lecția aduce împreună două capitole pe care elevul le-a învățat separat — matricele din clasa a XI-a și funcțiile din clasa a IX-a — și le pune aceeași întrebare structurală. Valoarea ei practică este mare: familia $A(x)$ cu proprietatea $A(x)A(y)=A(x+y)$ apare în aproape fiecare sesiune de examen, iar elevul care recunoaște tiparul rezolvă primul punct al problemei în treizeci de secunde.

De verificat în caiet: (1) la orice familie cu parametru, compunerea se face cu doi parametri diferiți; (2) noii parametri sunt scriși explicit, nu doar sugerați; (3) contraexemplele conțin matricele concrete și produsul efectuat; (4) la compuneri de funcții este notată ordinea corectă. Întrebări de control: „Cât face $A(x)\cdot A(y)$?"; „De ce mulțimea matricelor cu determinant $2$ nu e stabilă?"; „Care este deosebirea dintre $f\circ g$ și $g\circ f$?".

La BAC, aceste conținuturi deschid problema de structuri algebrice din Subiectul al II-lea și pregătesc, un an mai târziu, orice curs de algebră liniară din facultate. Semn că elevul a înțeles: primește o familie de matrice necunoscută și, fără ezitare, scrie produsul a două elemente generice și identifică forma rezultatului.

Întrebări frecvente

Ce este o lege de compoziție pe o mulțime de matrice la clasa a 12-a? Este o operație care ia două matrice din mulțime și dă tot o matrice din aceeași mulțime. Pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, cele două legi naturale sunt adunarea și înmulțirea matricelor, ambele studiate în clasa a XI-a. Condiția esențială este ca rezultatul să nu părăsească mulțimea aleasă, adică mulțimea să fie parte stabilă.

Cum arăt că o mulțime de matrice este parte stabilă? Scrii forma generală a matricelor din mulțime, cu parametri, iei două elemente cu parametri diferiți, efectuezi produsul și arăți că rezultatul are aceeași formă, precizând care sunt noii parametri. Dacă nu reușești, caută un contraexemplu: două matrice din mulțime al căror produs iese din ea.

Cât face produsul matricelor de forma $\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$? Produsul lor este $A(x+y)$, adică matricea de aceeași formă în care parametrul este suma parametrilor. Cu alte cuvinte, înmulțirea acestor matrice se face adunând numerele din colțul din dreapta sus. De aici rezultă și formula puterilor, $(A(x){)}^n=A(nx)$, demonstrată prin inducție matematică.

De ce nu este mulțimea matricelor simetrice parte stabilă la înmulțire? Pentru că produsul a două matrice simetrice nu este, în general, simetric. Contraexemplul standard folosește matricele cu elementele $0$ și $1$ pe antidiagonală și matricea diagonală cu $1$ și $2$: produsul lor are $2$ deasupra diagonalei și $1$ dedesubt, deci simetria se pierde. Un singur astfel de calcul încheie demonstrația.

Ce este mulțimea $\mathcal{F}(E)$ și de ce compunerea este lege pe ea? Este mulțimea tuturor funcțiilor definite pe $E$ cu valori tot în $E$. Compunerea a două astfel de funcții dă tot o funcție de la $E$ la $E$, deci rezultatul rămâne în mulțime, ceea ce este exact condiția din definiția legii de compoziție. Este exemplul standard de lege la care ordinea contează.

Care este ordinea corectă la compunerea funcțiilor? În scrierea $f\circ g$ se aplică întâi funcția din dreapta, adică $g$, și apoi $f$; formula este $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Convenția este aceeași din clasa a IX-a și din capitolul de permutări al clasei a XI-a, iar inversarea ei este cea mai frecventă greșeală de calcul la acest tip de exercițiu.

Funcțiile continue formează o parte stabilă? Da, în raport cu adunarea, cu înmulțirea și cu compunerea, pentru că suma, produsul și compusa a două funcții continue sunt funcții continue. Este rezultatul demonstrat în clasa a XI-a, la operațiile cu funcții continue, și un exemplu bun de legătură între algebra structurilor și analiza matematică.

Este mulțimea funcțiilor injective parte stabilă? La compunere da, pentru că o compunere de funcții injective este injectivă; la adunare, nu. Contraexemplul se scrie într-un rând: funcțiile $x$ și $-x$ sunt injective, dar suma lor este funcția constantă nulă, care nu este injectivă. Merită reținut, pentru că arată că răspunsul depinde de lege, nu doar de mulțime.