Legi date prin formule: pe scurt

O formulă cu două variabile definește o lege de compoziție pe mulțimea de numere $M$ numai dacă expresia are sens pentru orice pereche din $M\times M$ și rezultatul rămâne în $M$. Rezultatul se numește compusul lui $x$ cu $y$; nicio proprietate nu vine „pe gratis”, toate se demonstrează.

Rețeta capitolului: legea $x\ast y=xy+bx+by+d$ se scrie sub forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ exact atunci când $a=-b$ și $d=b^2-b$, echivalent $d=a^2+a$. Justificarea e un calcul de o linie: $(x-a)(y-a)+a=xy-ax-ay+a^2+a$. Trucul mută originea din $0$ în $a$, înmulțește acolo și mută originea înapoi, iar numărul $a$ este singurul secret al legii. Când termenul $xy$ vine cu un coeficient, forma devine $x\ast y=\lambda (x-a)(y-a)+a$.

Din forma factorizată se citesc imediat: intervalele $(a,+\infty )$ și $[a,+\infty )$ sunt părți stabile, $(-\infty ,a)$ nu este, iar $a$ este absorbant, adică $a\ast y=a$ pentru orice $y$ — de aceea apariția lui într-un produs lung înghite tot. Compunerea lui $x$ cu el însuși de $n$ ori dă $(x-a{)}^n+a$, formulă care transformă ecuațiile capitolului în ecuații de tipul $(x-a{)}^n=k$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy+9x+9y+72$. Forma factorizată a legii este:

   • a) $(x-9)(y-9)+9$
   • b) $(x+9)(y+9)+9$
   • c) $(x+9)(y+9)-9$
   • d) $(x+9)(y+9)-72$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(x+9)(y+9)-9$

   Coeficientul lui $x$ este $b=9$, deci $a=-b=-9$, iar criteriul cere $d=b^2-b=81-9=72$ — se verifică. Prin urmare $x\ast y=(x+9)(y+9)-9$; control: $(x+9)(y+9)-9=xy+9x+9y+81-9$. Varianta a inversează semnul lui $a$ (greșeala clasică: $a=-b$, nu $a=b$), iar b și d aleg greșit constanta care se adaugă la final, care este mereu $a$.

2. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=(x-14)(y-14)+14$. Compunând $x$ cu el însuși de $n$ ori se obține:

   • a) $(x-14{)}^n+14$
   • b) $(x-14{)}^n\cdot 14$
   • c) $n(x-14)+14$
   • d) $x^n-14^n+14$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(x-14{)}^n+14$

   Demonstrația se face prin inducție: dacă expresia cu $n$ factori este $(x-14{)}^n+14$, compunând-o încă o dată cu $x$ obținem $[(x-14{)}^n+14-14](x-14)+14=(x-14{)}^{n+1}+14$. Varianta c ar corespunde unei legi aditive, nu multiplicative deghizate, iar d aplică exponentul separat fiecărui termen, ceea ce nu are nicio justificare.

3. Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=(x-15)(y-15)+15$. Cât este $15\ast y$, pentru orice număr real $y$?

   • a) $y$
   • b) $0$
   • c) $15y$
   • d) $15$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $15$

   Prima paranteză se anulează: $15\ast y=0\cdot (y-15)+15=15$. Numărul $a=15$ este deci absorbant, iar apariția lui într-un produs lung face rezultatul egal cu $15$. Varianta a confundă elementul absorbant cu elementul neutru — sunt lucruri diferite: neutrul lasă celălalt element neschimbat, absorbantul îl înghite.