Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule

Legile de compoziție date prin formule sunt, la clasa a 12-a, cel mai des întâlnit tip de exercițiu din algebra anului. Nu e o invenție de manual: formula $x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$ este exact regula după care fizica relativistă compune două viteze măsurate ca fracțiuni din viteza luminii. Dacă un tren merge cu jumătate din viteza luminii și cineva aruncă în tren o minge înainte, tot cu jumătate din viteza luminii, adunarea obișnuită ar da fix viteza luminii. Formula de mai sus dă însă $\frac{4}{5}$ — mingea rămâne, cuminte, sub limita universului. Legile de compoziție date prin formule sunt operațiile în care compusul $x\ast y$ se calculează dintr-o expresie algebrică fixată în $x$ și $y$ — precum $x\ast y=xy-2x-2y+6$ — și trebuie să rămână, pentru orice pereche, în mulțimea pe care legea este definită.

De aici pornim. O formulă cu două variabile poate defini o operație nouă pe o mulțime de numere, iar operația aceasta se comportă uneori surprinzător de asemănător cu adunarea sau cu înmulțirea pe care le știi. Lecția de față te învață trei lucruri: să calculezi corect cu o astfel de formulă, să verifici că rezultatul nu iese din mulțime și — piesa cea mai valoroasă — să rescrii formula într-o formă factorizată din care totul se citește dintr-o privire. Este exact tehnica pe care o cer subiectele de Bacalaureat M1 la matematică-informatică, iar odată învățată o vei folosi în toată unitatea.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi valoarea unei legi date prin formulă și să respecți ordinea operațiilor în expresii cu mai mulți termeni.
• Vei ști să verifici dacă o formulă chiar definește o lege de compoziție pe o mulțime dată, adică dacă rezultatul rămâne mereu în acea mulțime.
• Vei ști să aduci o lege de tipul $x\ast y=xy+bx+by+d$ la forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ și să spui, printr-un criteriu, când se poate.
• Vei ști să determini intervalul care este parte stabilă față de o astfel de lege.
• Vei ști să recunoști legile obținute prin „mutarea" adunării sau înmulțirii printr-o schimbare de variabilă și să lucrezi cu ele.
• Vei ști să calculezi rapid produse lungi de forma $1\ast 2\ast \cdots \ast n$ și puteri $\underset{n}{\underbrace{x\ast x\ast \cdots \ast x}}$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o lege de compoziție definită printr-o formulă?

Legea de compoziție definită printr-o formulă este o lege de compoziție (operație algebrică binară) pe o mulțime nevidă de numere $M$, în care compusul $x\ast y$ al oricăror două elemente se obține înlocuind $x$ și $y$ într-o expresie algebrică fixată, aceeași pentru toate perechile. Formula este regula; mulțimea $M$ spune pentru ce perechi are voie să funcționeze.

Ai văzut definiția generală la Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple: o lege pe $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$. Cuvântul „funcție" ascunde aici două cerințe pe care formula trebuie să le îndeplinească și pe care le vom verifica de fiecare dată:

• expresia să aibă sens pentru orice pereche $(x,y)$ din $M\times M$ (fără împărțiri la zero, fără radicali de ordin par din numere negative);
• rezultatul să fie tot în $M$.

Iată patru formule cu care vom lucra în toată lecția, toate pe $\mathbb{R}$:

$$x\ast y=x+y-3,x\ast y=xy-2x-2y+6,x\ast y=x+y+xy,x\ast y=2xy-2x-2y+3.$$

Calculul e mecanic. Pentru a doua, de exemplu, $3\ast 4=3\cdot 4-2\cdot 3-2\cdot 4+6=12-6-8+6=4$, iar $5\ast 7=35-10-14+6=17$. Semnul $\ast$ e doar un nume; nu are nicio proprietate „gratuită", pe toate trebuie să le verifici.

Rezultatul $x\ast y$ se numește compusul lui $x$ cu $y$, iar cuvântul acesta merită folosit ca atare, nu înlocuit cu „produsul" sau „suma". Numele contează, pentru că el te ține departe de reflexele vechi: nimic nu îți garantează, până nu verifici, că ordinea factorilor poate fi schimbată, că parantezele se pot muta liber sau că există un număr care să se poarte precum zeroul la adunare. Toate acestea sunt proprietăți care se demonstrează, una câte una, pentru fiecare lege în parte.

Când pe aceeași mulțime se definesc două legi diferite — situație obișnuită în subiectele de examen — a doua se notează $\circ$. De pildă, pe $\mathbb{R}$ putem lua simultan $x\ast y=x+y-3$ și $x\circ y=xy-2x-2y+6$; atunci $2\ast 5=4$, iar $2\circ 5=10-4-10+6=2$. Aceleași numere, două rezultate diferite: legea nu e o proprietate a numerelor, ci o regulă pe care o alegem noi.

2. Când NU avem lege de compoziție? Cazurile de eșec

Cele mai multe greșeli de examen nu vin din calcul, ci din nepotrivirea dintre formulă și mulțime. Trei exemple lămuritoare:

Scăderea pe $\mathbb{N}$. Formula $x\ast y=x-y$ este perfect valabilă pe $\mathbb{Z}$, dar pe $\mathbb{N}$ nu definește o lege: $3\ast 5=-2\notin \mathbb{N}$. E de ajuns o singură pereche pentru a strica totul.

Media aritmetică pe $\mathbb{Z}$. Formula $x\ast y=\frac{x+y}{2}$ definește o lege pe $\mathbb{Q}$ și pe $\mathbb{R}$, dar nu pe $\mathbb{Z}$: $1\ast 2=\frac{3}{2}$.

Formula fără sens. Pe $\mathbb{R}$, expresia $\frac{x+y}{1+xy}$ nu poate defini o lege, pentru că pentru $x=2$ și $y=-\frac{1}{2}$ numitorul se anulează. Pe intervalul $(-1,1)$, în schimb, avem $|xy|<1$, deci $1+xy>0$ și expresia are mereu sens. Vom vedea în subsecțiunea 6 că și rezultatul rămâne în $(-1,1)$.

Aceleași două întrebări — are sens? rămâne înăuntru? — se pun identic și atunci când elementele nu mai sunt numere, ci mulțimi, așa cum vei vedea la Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică.

Verificarea „rezultatul rămâne în mulțime" poartă numele de parte stabilă și a fost studiată la Parte stabilă și legea de compoziție indusă. Reține tiparul: pornești de la $x,y\in M$ arbitrare, calculezi $x\ast y$ și arăți că el satisface condiția care definește pe $M$. Pentru a infirma, e suficient un contraexemplu numeric.

Observă asimetria dintre cele două sarcini, pentru că ea decide cât scrii. Ca să demonstrezi stabilitatea ai nevoie de un raționament valabil pentru toate perechile deodată, deci pornești obligatoriu de la două elemente oarecare, notate cu litere, și încheiat cu inegalitatea sau apartenența cerută. Ca să infirmi, îți ajunge o singură pereche de numere, aleasă inteligent și calculată până la capăt: o pereche de valori mici, de obicei $0$, $1$ sau capetele mulțimii, unde formula se comportă cel mai brutal.

3. Cum aduci legea la forma $(x-a)(y-a)+a$?

Aici stă rețeta care face diferența dintre cinci minute și douăzeci la un subiect de Bacalaureat M1. Privește din nou legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$ și încearcă să dai factor comun:

$$xy-2x-2y+6=x(y-2)-2(y-2)+2=(x-2)(y-2)+2.$$

Am dat factor comun $y-2$ din primii doi termeni și am fost nevoiți să scoatem din constanta $6$ exact $4=2\cdot 2$, rămânând $2$. Rezultatul e spectaculos: legea complicată de la început este, de fapt, înmulțirea deghizată. Dacă notezi $u=x-2$ și $v=y-2$, atunci $x\ast y-2=uv$.

Rețeta, în trei pași. Fie legea $x\ast y=xy+bx+by+d$, cu $b,d$ numere reale (coeficienții lui $x$ și $y$ trebuie să fie egali).

1. Ia $a=-b$, adică opusul coeficientului lui $x$.
2. Verifică dacă $d=a^2+a$, echivalent $d=b^2-b$.
3. Dacă da, scrie direct $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$; dacă nu, legea nu are această formă.

Justificarea e un calcul de o linie: dezvoltând, $(x-a)(y-a)+a=xy-ax-ay+a^2+a$. Identificând coeficienții cu $xy+bx+by+d$ obținem $-a=b$ și $a^2+a=d$, adică exact pașii 1 și 2.

Merită să înțelegi de ce funcționează trucul, nu doar cum. Expresia $(x-a)(y-a)$ este produsul a două numere „măsurate față de $a$", adică distanțele cu semn de la $a$ la $x$ și de la $a$ la $y$. Legea nu face, deci, nimic exotic: mută originea din $0$ în $a$, înmulțește acolo ca de obicei și mută originea înapoi. Toate proprietățile înmulțirii se transferă atunci automat, iar tot ce trebuie să faci tu este să descoperi unde a fost mutată originea. Numărul $a$ este singurul secret al legii.

Trei verificări rapide cu criteriul: pentru $x\ast y=xy-2x-2y+6$ avem $b=-2$, deci $a=2$, iar $b^2-b=4+2=6=d$ ✓, deci forma este $(x-2)(y-2)+2$. Pentru $x\ast y=x+y+xy$ avem $b=1$, $a=-1$, $b^2-b=0=d$ ✓, deci $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$. Pentru $x\ast y=xy+x+y+3$ avem $b=1$ și $d=3\ne 0$, deci criteriul cade; se poate scrie doar $(x+1)(y+1)+2$, ceea ce e util, dar nu e forma noastră.

4. Ce citești imediat din forma factorizată?

Presupunem că am ajuns la $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$. Atunci:

• Intervalele stabile. Dacă $x>a$ și $y>a$, atunci $(x-a)(y-a)>0$, deci $x\ast y>a$: intervalul $(a,+\infty )$ este parte stabilă. La fel, $[a,+\infty )$ este parte stabilă, iar mulțimea $\{a\}$ este parte stabilă, pentru că $a\ast a=a$.
• Ce NU e stabil. Intervalul $(-\infty ,a)$ nu este parte stabilă: dacă $x<a$ și $y<a$, ambele paranteze sunt negative, produsul lor este pozitiv și $x\ast y>a$. Pentru legea noastră, $1\ast 1=1-2-2+6=3>2$ — contraexemplul se scrie într-un rând.
• Numărul $a$ însuși e „absorbant": $a\ast y=0\cdot (y-a)+a=a$ pentru orice $y$. De aceea, într-un produs lung, apariția lui $a$ înghite tot.

Merită să reții și cazul intervalelor mărginite. Dacă îți dă cineva intervalul $[a,a+1]$, nu te grăbi: pentru $x=y=a+1$ obținem $1\cdot 1+a=a+1$, deci capătul din dreapta rezistă, dar pentru valori mai mari intervalul cedează. Regula practică este simplă: verifică întotdeauna capetele, pentru că acolo se hotărăște soarta oricărei mulțimi mărginite, iar apoi generalizează la elemente oarecare.

Numele proprietăților pe care le folosim aici doar prin calcul — asociativitatea, elementul neutru și simetricul unui element — se definesc în Asociativitatea unei legi de compoziție și în Elementul neutru al unei legi de compoziție, iar forma factorizată le va da acolo pe toate dintr-o singură privire.

5. Ce faci când $xy$ are un coeficient?

Formula $x\ast y=2xy-2x-2y+3$ nu intră direct în rețetă, pentru că termenul $xy$ vine cu coeficientul $2$. Se dă factor comun coeficientul și se reia ideea:

$$2xy-2x-2y+3=2\left(xy-x-y\right)+3=2[(x-1)(y-1)-1]+3=2(x-1)(y-1)+1.$$

Forma generală este $x\ast y=\lambda (x-a)(y-a)+a$, cu $\lambda \ne 0$. Se citește la fel de bine: pentru $x>a$ și $y>a$ avem $\lambda (x-a)(y-a)>0$ când $\lambda >0$, deci $(a,+\infty )$ rămâne parte stabilă. Verificare numerică: $2\ast 3=2\cdot 2\cdot 3-2\cdot 2-2\cdot 3+3=12-4-6+3=5$, iar din formă factorizată $2(2-1)(3-1)+1=4+1=5$ ✓. La fel, $3\ast 5=2\cdot 15-6-10+3=17$ și $2\cdot 2\cdot 4+1=17$ ✓.

6. Legile obținute prin „mutarea" adunării

Rețeta factorizării este un caz particular al unei idei mai generale, care merită înțeleasă, pentru că apare des la matematică-informatică. Se ia o operație cunoscută (adunarea sau înmulțirea), se aplică pe o mulțime prin intermediul unei funcții inversabile și rezultă o lege nouă. Trei exemple:

Adunarea mutată cu $3$. Legea $x\ast y=x+y-3$ se rescrie $x\ast y-3=(x-3)+(y-3)$: dacă notăm $u=x-3$, avem adunarea obișnuită.

Adunarea mutată prin cub. Pe $\mathbb{R}$, definim $x\ast y=\sqrt[3]{x^3+y^3}$. Cum funcția cub este bijectivă de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$ — vezi Funcția radical de ordin 3 —, radicalul de ordin $3$ are sens pentru orice număr real, deci legea e bine definită pe tot $\mathbb{R}$. Calculul lui $3\ast 4$ dă $\sqrt[3]{27+64}=\sqrt[3]{91}$, iar $3\ast 4\ast 5=\sqrt[3]{27+64+125}=\sqrt[3]{216}=6$. Ordinea parantezelor nu contează, pentru că sub radical se adună aceleași cuburi.

Compunerea vitezelor. Pe $M=(-1,1)$, legea $x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$ este parte stabilă, iar demonstrația e o bijuterie de factorizare:

$$1-\frac{x+y}{1+xy}=\frac{1+xy-x-y}{1+xy}=\frac{(1-x)(1-y)}{1+xy}>0,1+\frac{x+y}{1+xy}=\frac{(1+x)(1+y)}{1+xy}>0.$$

Cum $x,y\in (-1,1)$, toate cele patru paranteze sunt strict pozitive, iar $1+xy>0$; prin urmare $-1<x\ast y<1$. Exemplul din deschidere: $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}$. Alte două valori de control: $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{3}=\frac{5}{7}$ și $\frac{3}{5}\ast \frac{1}{2}=\frac{11}{13}$.

7. Cum calculezi rapid $1\ast 2\ast \cdots \ast n$?

Produsele lungi apar la fiecare sesiune, iar forma factorizată le rezolvă în două rânduri. Convenim că se calculează de la stânga la dreapta.

Cu legea $x\ast y=x+y-3$. La fiecare pas se adaugă un termen și se scade $3$; pentru $n$ termeni sunt $n-1$ compuneri, deci

$$1\ast 2\ast \cdots \ast 10=(1+2+\cdots +10)-3\cdot 9=55-27=28.$$

Cu legea $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$. Aici intervine elementul absorbant: cum $2$ apare în șir, iar $2\ast y=2$ pentru orice $y$, tot ce urmează se prăbușește. Deci $1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 10=2$. Calculul făcut pas cu pas confirmă: $1\ast 2=2$, apoi $2\ast 3=2$, și tot așa.

Puterile unui element. Compunând $x$ cu el însuși de $n$ ori se obține, prin inducție după $n$ — metoda o știi de la Metoda inducției matematice —, formula

$$\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{x\ast x\ast \cdots \ast x}}=(x-a{)}^n+a.$$

Pasul inductiv e imediat: dacă expresia cu $n$ factori este $(x-a{)}^n+a$, atunci compunând-o încă o dată cu $x$ obținem $[(x-a{)}^n+a-a](x-a)+a=(x-a{)}^{n+1}+a$. Pentru $x=\frac{7}{2}$ și $a=2$ rezultă, de exemplu, ${\left(\frac{3}{2}\right)}^3+2=\frac{27}{8}+2=\frac{43}{8}$.

Formula aceasta este, practic, generatorul de ecuații al capitolului. Un enunț de tipul „compunerea lui $x$ cu el însuși de trei ori dă zece" se traduce instantaneu într-o ecuație cu putere, pe care o rezolvi prin extragerea radicalului potrivit; iar un enunț de tipul „aflați valoarea compunerii repetate pentru un număr dat" se rezolvă printr-o simplă ridicare la putere. Fără forma factorizată, aceleași cerințe ar cere trei pagini de calcule cu expresii care se lungesc la fiecare pas.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două legi pe aceeași mulțime

Pe $\mathbb{R}$ se definesc $x\ast y=x+y-3$ și $x\circ y=xy-2x-2y+6$. Calculați $(2\ast 5)\circ 3$ și $2\ast (5\circ 3)$.

Rezolvare. Întâi $2\ast 5=2+5-3=4$, apoi $4\circ 3=12-8-6+6=4$. Deci $(2\ast 5)\circ 3=4$.

Pentru al doilea: $5\circ 3=15-10-6+6=5$, apoi $2\ast 5=4$. Deci $2\ast (5\circ 3)=4$.

Rezultatele coincid, dar coincidența nu ascunde nicio regulă: cu alte numere ele se despart. Pentru $x=y=z=0$ avem $(0\ast 0)\circ 0=(-3)\circ 0=0+6+0+6=12$, în timp ce $0\ast (0\circ 0)=0\ast 6=3$. Când în enunț apar două legi, parantezele nu se mută niciodată de la una la cealaltă.

Reține totuși disciplina de redactare: când într-un enunț apar două legi, scrie de fiecare dată care este care înainte de a începe calculul și respectă ordinea parantezelor exact așa cum e dată. Confuzia dintre $\ast$ și $\circ$ este cea mai ieftină greșeală posibilă la un subiect de examen.

Exemplul 2 — Formula definește sau nu o lege?

Stabiliți dacă următoarele formule definesc legi de compoziție pe mulțimile indicate: a) $x\ast y=x+y-3$ pe $\mathbb{N}$; b) $x\ast y=3xy$ pe $\mathbb{Z}$; c) $x\ast y=\frac{xy}{x+y}$ pe $(0,+\infty )$.

Rezolvare. a) Nu. Pentru $x=y=1$ obținem $1+1-3=-1\notin \mathbb{N}$.

b) Da. Produsul a trei numere întregi este întreg, deci $3xy\in \mathbb{Z}$ pentru orice $x,y\in \mathbb{Z}$.

c) Da. Pentru $x,y>0$ avem $x+y>0$, deci împărțirea are sens, iar $\frac{xy}{x+y}>0$ ca raport de numere pozitive. (Este legea „rezistențelor în paralel" din fizică.)

Observă că la punctul c) am avut de verificat două lucruri separate, nu unul: mai întâi că expresia are sens pe mulțimea dată, apoi că valoarea ei rămâne în mulțime. Pe $\mathbb{R}$ prima condiție ar fi picat, pentru că numitorul se anulează ori de câte ori $y=-x$.

Exemplul 3 — Aducerea la forma factorizată

Aduceți la forma $(x-a)(y-a)+a$, dacă se poate: a) $x\ast y=xy-5x-5y+30$; b) $x\ast y=xy+3x+3y+6$.

Rezolvare. a) Coeficientul lui $x$ este $b=-5$, deci $a=5$. Criteriul cere $d=b^2-b=25+5=30$, iar constanta chiar este $30$ ✓. Prin urmare $x\ast y=(x-5)(y-5)+5$. Control numeric: $6\ast 7=42-30-35+30=7$, iar $(6-5)(7-5)+5=2+5=7$ ✓.

b) Aici $b=3$, deci $a=-3$, iar criteriul cere $d=9-3=6$; constanta este chiar $6$ ✓. Deci $x\ast y=(x+3)(y+3)-3$. Control: $0\ast 0=6$ și $3\cdot 3-3=6$ ✓.

Exemplul 4 — Determinarea intervalului stabil

Se consideră legea $x\ast y=x+y+xy$ pe $\mathbb{R}$. Arătați că intervalul $(-1,+\infty )$ este parte stabilă și calculați $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5$.

Rezolvare. Scriem $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$ (criteriul: $b=1$, $a=-1$, $d=0=b^2-b$ ✓).

Dacă $x>-1$ și $y>-1$, atunci $x+1>0$ și $y+1>0$, deci $(x+1)(y+1)>0$ și $x\ast y>-1$. Intervalul este parte stabilă.

Pentru produsul lung folosim aceeași scriere: fiecare compunere înmulțește factorii măriți cu $1$, deci

$$1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5=2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6-1=720-1=719.$$

Exemplul 5 — O lege pe un interval mărginit

Pe $M=(-1,1)$ se consideră $x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$. Calculați $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{3}$ și arătați că $x\ast 0=x$ pentru orice $x\in M$.

Rezolvare. $\frac{1}{2}\ast \frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{6}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{7}{6}}=\frac{5}{7}$, iar $\frac{5}{7}\in (-1,1)$ ✓.

Pentru a doua cerință, înlocuim $y=0$: $x\ast 0=\frac{x+0}{1+0}=x$. Numărul $0$ nu schimbă nimic la această compunere — proprietatea aceasta va primi un nume la lecția a noua a unității.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$. a) Arătați că $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. b) Arătați că intervalul $(2,+\infty )$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$. c) Rezolvați în $(2,+\infty )$ ecuația $x\ast x\ast x=10$.

Rezolvare. Este structura clasică a unei probleme din Subiectul al II-lea: un calcul, o verificare de structură, o ecuație.

a) Dezvoltăm membrul drept: $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6$, adică exact membrul stâng.

b) Fie $x,y\in (2,+\infty )$, deci $x-2>0$ și $y-2>0$. Atunci $(x-2)(y-2)>0$, de unde $x\ast y=(x-2)(y-2)+2>2$, adică $x\ast y\in (2,+\infty )$.

c) Calculăm mai întâi $x\ast x=(x-2{)}^2+2$, apoi

$$x\ast x\ast x=[(x-2{)}^2+2-2](x-2)+2=(x-2{)}^3+2.$$

Ecuația devine $(x-2{)}^3+2=10$, adică $(x-2{)}^3=8$, deci $x-2=2$ și $x=4$. Cum $4\in (2,+\infty )$, soluția este acceptată.

Verificare: $4\ast 4=16-8-8+6=6$, apoi $6\ast 4=24-12-8+6=10$ ✓.

Să exersăm

Înainte de orice, scrie forma factorizată a legii — dacă există. Aproape toate cerințele de mai jos se rezolvă din ea în două rânduri.

1. Pentru $x\ast y=x+y-3$, calculează $4\ast 7$, $0\ast 3$ și $3\ast 3$.

2. Pentru $x\ast y=xy-2x-2y+6$, calculează $5\ast 6$, $2\ast 100$ și $0\ast 0$.

3. Arată că $x\ast y=2x+2y$ definește o lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$, dar nu și pe mulțimea numerelor naturale impare.

4. Aduce la forma $(x-a)(y-a)+a$ legea $x\ast y=xy-4x-4y+20$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice formulă de tipul $x\ast y=xy+bx+by+d$ se poate scrie sub forma $(x-a)(y-a)+a$."

6. Determină numărul real $d$ pentru care legea $x\ast y=xy+6x+6y+d$ are forma $(x-a)(y-a)+a$ și precizează valoarea lui $a$.

7. Arată că intervalul $(4,+\infty )$ este parte stabilă în raport cu legea de la exercițiul 4.

8. Calculează $1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 20$ pentru legea $x\ast y=x+y-3$.

9. Calculează $1\ast 2\ast 3\ast \cdots \ast 20$ pentru legea $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

10. Pentru legea $x\ast y=x+y+xy$, rezolvă ecuația $x\ast x=8$.

11. (Problemă aplicată.) Două rezistențe legate în paralel se compun după regula $x\ast y=\frac{xy}{x+y}$. Calculează rezistența echivalentă pentru $x=6$ și $y=12$ ohmi, apoi pentru trei rezistențe de câte $6$ ohmi.

12. Arată că $x\ast y=3xy+3x+3y+2$ se scrie $3(x+1)(y+1)-1$ și calculează $1\ast 1$.

13. Pe $M=(-1,1)$, cu $x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$, calculează $\frac{3}{5}\ast \frac{1}{2}$ și verifică faptul că rezultatul este în $M$.

14. Arată că mulțimea numerelor întregi este parte stabilă în raport cu $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=2xy-2x-2y+3$. a) Arată că $x\ast y=2(x-1)(y-1)+1$. b) Arată că $(1,+\infty )$ este parte stabilă. c) Rezolvă ecuația $x\ast x=9$ în $(1,+\infty )$.

16. Arată că formula $x\ast y=xy+2x+y$ nu dă același rezultat când schimbi ordinea, calculând $1\ast 2$ și $2\ast 1$.

17. Determină toate numerele reale $x$ pentru care $x\ast 5=x$, dacă $x\ast y=xy-2x-2y+6$.

18. (Provocare.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=\sqrt[3]{x^3+y^3}$. Arată că, oricum ai pune parantezele, $x\ast y\ast z=\sqrt[3]{x^3+y^3+z^3}$, apoi calculează $3\ast 4\ast 5$.

Răspunsuri și explicații

1. $4\ast 7=8$; $0\ast 3=0$; $3\ast 3=3$.

2. $5\ast 6=(5-2)(6-2)+2=14$; $2\ast 100=0\cdot 98+2=2$ (numărul $2$ este absorbant); $0\ast 0=(-2)(-2)+2=6$.

3. Pentru $x,y\in \mathbb{Z}$, $2x+2y\in \mathbb{Z}$, deci legea e bine definită. Pe mulțimea numerelor naturale impare însă $1\ast 1=4$, care este par, deci rezultatul iese din mulțime.

4. $b=-4$, deci $a=4$; criteriul: $b^2-b=16+4=20=d$ ✓. Deci $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$.

5. Fals. Este nevoie de condiția $d=b^2-b$. Contraexemplu: $x\ast y=xy+x+y+3$ are $b=1$ și $d=3\ne 0$, deci nu se poate scrie în forma cerută (cel mult ca $(x+1)(y+1)+2$).

6. $b=6$, deci $a=-6$, iar $d=b^2-b=36-6=30$. Forma este $(x+6)(y+6)-6$.

7. Dacă $x>4$ și $y>4$, atunci $(x-4)(y-4)>0$, deci $x\ast y=(x-4)(y-4)+4>4$.

8. $(1+2+\cdots +20)-3\cdot 19=210-57=153$.

9. Șirul conține numărul $2$, care este absorbant, deci rezultatul este $2$.

10. $x\ast x=(x+1{)}^2-1=8$, deci $(x+1{)}^2=9$, adică $x+1=\pm 3$: soluțiile sunt $x=2$ și $x=-4$.

11. $6\ast 12=\frac{72}{18}=4$ ohmi. Pentru trei rezistențe: $6\ast 6=3$, apoi $3\ast 6=\frac{18}{9}=2$ ohmi.

12. $3(x+1)(y+1)-1=3(xy+x+y+1)-1=3xy+3x+3y+2$ ✓. Apoi $1\ast 1=3\cdot 2\cdot 2-1=11$.

13. $\frac{3}{5}\ast \frac{1}{2}=\frac{\frac{3}{5}+\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{10}}=\frac{\frac{11}{10}}{\frac{13}{10}}=\frac{11}{13}$, iar $\frac{11}{13}<1$ ✓.

14. $x\ast y=xy-2x-2y+6$ este o sumă de produse de numere întregi, deci este întreg.

15. a) $2(x-1)(y-1)+1=2(xy-x-y+1)+1=2xy-2x-2y+3$ ✓. b) Dacă $x,y>1$, atunci $2(x-1)(y-1)>0$, deci $x\ast y>1$. c) $2(x-1{)}^2+1=9$ dă $(x-1{)}^2=4$, deci $x=3$ (soluția $x=-1$ nu este în interval). Verificare: $3\ast 3=18-6-6+3=9$ ✓.

16. $1\ast 2=2+2+2=6$, iar $2\ast 1=2+4+1=7$. Coeficienții lui $x$ și $y$ fiind diferiți, rețeta factorizării nu se aplică.

17. $x\ast 5=3(x-2)+2=3x-4$. Ecuația $3x-4=x$ dă $x=2$. Verificare: $2\ast 5=2$ ✓ (era de așteptat, $2$ fiind absorbant).

18. Pentru orice parantezare, sub radical se adună aceleași cuburi: ${\left(\sqrt[3]{x^3+y^3}\right)}^3+z^3=x^3+y^3+z^3$, la fel pentru cealaltă parantezare. Apoi $3\ast 4\ast 5=\sqrt[3]{27+64+125}=\sqrt[3]{216}=6$.

De reținut

• O formulă cu două variabile definește o lege de compoziție pe mulțimea $M$ doar dacă expresia are sens pentru orice pereche din $M\times M$ și dacă rezultatul rămâne în $M$.
• Legea $x\ast y=xy+bx+by+d$ se scrie sub forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ exact atunci când $a=-b$ și $d=b^2-b$.
• Din forma factorizată se citește imediat că intervalele $(a,+\infty )$ și $[a,+\infty )$ sunt părți stabile, iar $(-\infty ,a)$ nu este.
• Numărul $a$ din forma factorizată este absorbant, adică $a\ast y=a$ pentru orice $y$, deci apariția lui într-un produs lung face rezultatul egal cu $a$.
• Compunerea repetată a unui element cu el însuși de $n$ ori dă $(x-a{)}^n+a$, formulă care transformă ecuațiile cu puteri în ecuații de tipul $(x-a{)}^n=k$.

Greșeli frecvente

• Se aplică rețeta când coeficienții lui $x$ și $y$ sunt diferiți. Pentru $x\ast y=xy+2x+y$ nu există niciun $a$ care să meargă, iar legea nici măcar nu dă același rezultat la schimbarea ordinii: $1\ast 2=6$, dar $2\ast 1=7$. Compară întotdeauna cei doi coeficienți înainte de a începe.
• Se sare peste verificarea constantei. Din $b=1$ mulți scriu direct $(x+1)(y+1)-1$, fără să verifice că $d=b^2-b$. Dacă legea este $xy+x+y+3$, forma corectă este $(x+1)(y+1)+2$, iar concluziile despre intervale se schimbă.
• Se confundă „nu am găsit contraexemplu" cu „am demonstrat". Ca să arăți că o mulțime este parte stabilă, pornești de la $x,y$ arbitrare din ea; câteva valori numerice nu demonstrează nimic. Un singur contraexemplu, în schimb, e de ajuns pentru a infirma.
• Se uită condiția de existență. Formula $\frac{x+y}{1+xy}$ nu definește o lege pe $\mathbb{R}$, oricât de frumoasă ar fi, pentru că numitorul se anulează. Domeniul se verifică înaintea oricărui calcul.
• Se schimbă ordinea într-un produs lung fără temei. Convenția este calculul de la stânga la dreapta; faptul că rezultatul nu depinde de parantezare este o proprietate care trebuie demonstrată, nu presupusă.

Aplică acasă

1. Fabrica de legi. Alege trei valori pentru $a$ (de exemplu $-3$, $1$, $5$) și scrie, pentru fiecare, legea $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ în formă dezvoltată. Dă formulele dezvoltate unui coleg și cere-i să găsească $a$ folosind criteriul $a=-b$, $d=b^2-b$.

2. Vitezele relativiste. Pe un caiet, calculează $x\ast y=\frac{x+y}{1+xy}$ pentru perechile $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, $\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right)$ și $\left(\frac{9}{10},\frac{9}{10}\right)$. Observă cum rezultatul se apropie de $1$ fără să îl atingă niciodată și scrie două fraze despre ce înseamnă asta fizic.

3. Produsul lung. Pentru legea $x\ast y=x+y-3$, calculează $1\ast 2\ast \cdots \ast n$ pentru $n=5$, $n=10$ și $n=100$, folosind formula sumei primilor $n$ termeni ai unei progresii aritmetice. Verifică primele două rezultate compunând efectiv, pas cu pas. Notează cât timp îți ia fiecare metodă: diferența dintre ele este exact motivul pentru care merită învățată forma factorizată.

Pentru părinți și profesori

Lecția predă tehnica centrală a întregii unități de algebră din anul terminal: recunoașterea unei operații „deghizate". Elevul care vede în $xy-2x-2y+6$ doar o expresie complicată va lucra de zece ori mai mult decât cel care vede $(x-2)(y-2)+2$ și înțelege că e vorba de înmulțire mutată cu două unități. Criteriul $a=-b$ și $d=b^2-b$ transformă factorizarea din ghicit în procedură; merită cerut ca atare, cu justificarea în trei rânduri.

De verificat în caiet: (1) la fiecare lege apare forma factorizată, scrisă înainte de orice altceva; (2) demonstrațiile de parte stabilă pornesc de la elemente arbitrare, nu de la exemple; (3) contraexemplele sunt numerice și complet calculate; (4) la produsele lungi se folosește elementul absorbant sau formula sumei, nu compunerea pas cu pas. Întrebări de control: „Ce condiție trebuie să îndeplinească $d$?"; „De ce intervalul de sub $a$ nu este parte stabilă?"; „Cât face $2\ast 100$ și de ce nu ai calculat nimic?".

La BAC, structura acestor cerințe este aproape invariabilă: punctul a) cere forma factorizată, punctul b) partea stabilă, punctul c) o ecuație. Semn că elevul a înțeles: primește o lege necunoscută și scrie forma factorizată corectă în mai puțin de un minut, fără să încerce valori.

Un sfat de organizare a învățării, pentru cine pregătește examenul acasă: lecția aceasta se recitește împreună cu cea despre partea stabilă, pentru că cerințele lor se împletesc în aproape orice subiect de algebră. Cinci minute pe zi de exersat factorizarea, pe legi inventate chiar de elev, aduc mai mult decât o oră de rezolvat variante, pentru că automatismul acesta se pierde repede dacă nu e întreținut.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă o lege de compoziție dată printr-o formulă? Este o operație pe o mulțime de numere în care compusul a două elemente se obține înlocuindu-le într-o expresie algebrică fixată. Ca să fie într-adevăr lege pe mulțimea $M$, expresia trebuie să aibă sens pentru orice pereche din $M$ și rezultatul trebuie să rămână tot în $M$. Formula singură nu ajunge; contează și mulțimea pe care o folosim.

Cum aduc legea $x\ast y=xy+bx+by+d$ la forma factorizată? Iei $a$ egal cu opusul coeficientului lui $x$, adică $a=-b$, apoi verifici dacă termenul liber îndeplinește condiția $d=b^2-b$. Dacă da, scrii direct $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$. Dacă nu, legea nu are această formă și trebuie lucrată altfel, de exemplu prin factorizare parțială.

De ce este utilă forma $(x-a)(y-a)+a$ la Bacalaureat M1? Pentru că din ea se citesc dintr-o privire aproape toate cerințele de examen: intervalele care sunt părți stabile, valoarea absorbantă $a$, rezultatul unui produs lung și formula puterilor $(x-a{)}^n+a$. Fără ea, fiecare cerință ar trebui calculată separat, cu expresii lungi și cu risc mare de greșeală de semn.

Când NU este un interval parte stabilă față de o lege? Când există măcar două elemente din interval al căror compus iese din el. Pentru legea $(x-a)(y-a)+a$, intervalul $(-\infty ,a)$ nu este parte stabilă, pentru că produsul a două paranteze negative este pozitiv și rezultatul sare peste $a$. Demonstrația se face cu un singur contraexemplu numeric, complet calculat.

Care este formula pentru $1\ast 2\ast \cdots \ast n$? Depinde de lege. Dacă $x\ast y=x+y+c$, rezultatul este suma numerelor plus $c$ înmulțit cu numărul de compuneri, adică $n-1$. Dacă legea are forma factorizată și unul dintre numerele din șir este chiar $a$, rezultatul este $a$, pentru că $a$ este element absorbant și înghite tot ce urmează.

Cum calculez compunerea unui element cu el însuși de mai multe ori? Folosești formula $\underset{n}{\underbrace{x\ast x\ast \cdots \ast x}}=(x-a{)}^n+a$, demonstrată prin inducție matematică. Ea transformă ecuațiile de tipul „compunerea de trei ori dă zece" în ecuații simple cu puteri, precum $(x-2{)}^3=8$, pe care le rezolvi imediat prin extragerea radicalului de ordinul corespunzător.

De ce se compun vitezele cu formula $\frac{x+y}{1+xy}$? Pentru că în teoria relativității restrânse nicio viteză nu poate depăși viteza luminii, iar adunarea obișnuită ar încălca această limită. Formula păstrează rezultatul în intervalul $(-1,1)$, unde vitezele se măsoară ca fracțiuni din viteza luminii. Demonstrația este o factorizare de trei rânduri, făcută integral în lecție.

Cum arăt că o formulă nu definește o lege de compoziție? Este de ajuns o singură pereche de elemente din mulțime pentru care rezultatul iese din ea sau expresia nu are sens. De exemplu, scăderea nu este lege pe mulțimea numerelor naturale, pentru că $3-5=-2$; media aritmetică nu este lege pe mulțimea numerelor întregi, pentru că $1\ast 2$ dă $\frac{3}{2}$.