Legi pe mulțimea părților: pe scurt

Mulțimea părților $\mathcal{P}(M)$ are ca elemente toate submulțimile lui $M$, inclusiv $\varnothing$ și $M$; dacă $M$ are $n$ elemente, atunci $\mathrm{card}\mathcal{P}(M)=2^n$. Atenție la tipul obiectelor: $\{1\}\in \mathcal{P}(M)$, dar $1\notin \mathcal{P}(M)$.

Pe $\mathcal{P}(M)$ sunt legi de compoziție reuniunea, intersecția și diferența simetrică, pentru că rezultatul fiecăreia rămâne o submulțime a lui $M$. Diferența simetrică adună elementele care aparțin exact uneia dintre mulțimi și se calculează pe două căi: $A△B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$. Semnul $△$ nu are nicio legătură cu discriminantul. Pentru mulțimi finite, $\mathrm{card}(A△B)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-2\mathrm{card}(A\cap B)$.

Funcția caracteristică ${\chi }_A$ traduce submulțimile în șiruri de $0$ și $1$: intersecția devine înmulțire, iar diferența simetrică devine adunare modulo $2$, adică „sau exclusiv”. De aici, într-un rând, egalitatea $(A△B)△C=A△(B△C)$ și identitatea $A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C)$.

Din $A△A=\varnothing$ și $A△\varnothing =A$ rezultă că ecuația $A△X=B$ are soluția unică $X=A△B$, spre deosebire de ecuațiile cu reuniune, care pot avea mai multe soluții sau niciuna.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dacă mulțimea $M$ are $6$ elemente, atunci $\mathrm{card}\mathcal{P}(M)$ este:

   • a) $64$
   • b) $36$
   • c) $12$
   • d) $720$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $64$

   Pentru fiecare dintre cele $6$ elemente alegi independent dacă îl pui sau nu în submulțime, deci $2^6=64$. Varianta $12$ este $2\cdot 6$, varianta $36$ este $6^2$, iar $720$ este $6!$ — niciuna nu numără submulțimi. Reține că în cele $64$ intră și $\varnothing$, și $M$ însăși, cele două care se uită cel mai des.

2. Fie $M=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{1,2,3,4\}$ și $B=\{3,4,5\}$. Atunci $A△B$ este:

   • a) $\{3,4\}$
   • b) $\{1,2\}$
   • c) $\{1,2,3,4,5\}$
   • d) $\{1,2,5\}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\{1,2,5\}$

   Elementele care aparțin exact uneia dintre mulțimi sunt $1$, $2$ (doar în $A$) și $5$ (doar în $B$). Pe a doua cale: $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, $A\cap B=\{3,4\}$, iar diferența lor este $\{1,2,5\}$. Varianta a dă intersecția, varianta b calculează doar $A\setminus B$ — greșeala din care vine chiar numele „simetrică” —, iar c dă reuniunea.

3. În $\mathcal{P}(M)$, ecuația $A△X=B$:

   • a) nu are întotdeauna soluție
   • b) are soluția unică $X=A△B$
   • c) are soluția unică $X=A\cup B$
   • d) are întotdeauna mai multe soluții
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) are soluția unică $X=A△B$

   Compunem ambii membri cu $A$ și folosim $A△A=\varnothing$ și $\varnothing △X=X$: din $A△(A△X)=A△B$ rezultă $X=A△B$. Nu există cazuri de discutat, soluții pierdute sau în plus. Variantele a și d descriu comportamentul reuniunii: $\{1,2\}\cup X=\{1\}$ nu are soluție, iar $\{1\}\cup X=\{1,2\}$ are două.