Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică

Reuniunea, intersecția și diferența simetrică sunt primele legi de compoziție de la clasa a 12-a care nu operează cu numere, ci cu mulțimi. Aceeași teorie pe care ai construit-o pentru operații cu numere se aplică, literă cu literă, unor obiecte care nu se pot aduna și nu se pot înmulți. Gândește-te la două liste de participanți la un concurs: lista celor înscriși la proba de algebră și lista celor înscriși la proba de geometrie. Din ele poți fabrica alte liste — cine e înscris măcar la o probă, cine e înscris la amândouă, cine e înscris la exact una dintre ele. Legile de compoziție pe mulțimea părților sunt reuniunea, intersecția și diferența simetrică: fiecare dintre ele ia două submulțimi ale unei mulțimi $M$ și dă ca rezultat tot o submulțime a lui $M$, deci nu iese niciodată din $\mathcal{P}(M)$.

Ultima dintre acestea, „exact una dintre ele", este cea mai interesantă și poartă numele de diferență simetrică. Ea apare peste tot în informatică, sub numele de „sau exclusiv", și are o proprietate pe care celelalte două nu o au: aplicată de două ori cu aceeași mulțime, te aduce înapoi de unde ai plecat. Programa clasei a XII-a cere explicit studiul celor trei operații pe mulțimea părților unei mulțimi oarecare, iar lecția de față le tratează pe toate trei, cu tablele lor și cu tehnica de rezolvare a ecuațiilor.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este mulțimea părților unei mulțimi $M$ și câte elemente are când $M$ este finită.
• Vei ști să verifici că reuniunea, intersecția și diferența simetrică sunt legi de compoziție pe această mulțime.
• Vei ști să calculezi diferența simetrică $A△B$ în două moduri și să treci de la unul la celălalt.
• Vei ști să scrii și să citești tablele celor trei operații pe o mulțime cu patru elemente.
• Vei ști să folosești funcția caracteristică pentru a demonstra identități cu mulțimi, transformându-le în calcule cu $0$ și $1$.
• Vei ști să rezolvi ecuații de tipul $A△X=B$ și să determini părți stabile ale mulțimii părților.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este mulțimea părților unei mulțimi?

Mulțimea părților unei mulțimi $M$ este mulțimea care are ca elemente toate submulțimile lui $M$, inclusiv mulțimea vidă și mulțimea $M$ însăși; se notează $\mathcal{P}(M)$, iar apartenența $A\in \mathcal{P}(M)$ înseamnă exact același lucru cu incluziunea $A\subseteq M$. Elementele ei nu sunt numere, ci mulțimi.

Pentru $M=\{1,2\}$ avem patru submulțimi:

$$\mathcal{P}(M)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}.$$

Pentru $M=\{1,2,3\}$ sunt opt, iar regula generală se obține numărând deciziile: pentru fiecare element al lui $M$ alegi, independent, dacă îl pui sau nu în submulțime, deci

$$\mathrm{card}\mathcal{P}(M)=2^n,\text{unde }n=\mathrm{card}M.$$

Atenție la deosebirea dintre cele două relații, pentru că e sursa unei greșeli clasice: $1\in M$, dar $1\notin \mathcal{P}(M)$; în schimb $\{1\}\in \mathcal{P}(M)$ și $\{1\}\subseteq M$. Elementele mulțimii părților sunt mereu mulțimi, niciodată elemente „goale".

Merită să te obișnuiești cu ideea că o mulțime poate fi, la rândul ei, element al altei mulțimi. Nu e un joc de cuvinte, ci exact felul în care lucrează informatica: un director conține fișiere, dar și alte directoare, iar un director rămâne un obiect de sine stătător chiar când e pus într-o listă alături de altele. La fel, în $\mathcal{P}(M)$ mulțimea $\{1,2\}$ este un singur element, deși „înăuntru" are două numere.

Pe această mulțime vom defini trei legi de compoziție. Ca la orice lege, condiția este cea din Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple: rezultatul trebuie să rămână în $\mathcal{P}(M)$, adică să fie tot o submulțime a lui $M$. Este exact verificarea pe care ai făcut-o pentru operațiile date prin formule, la Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule, doar că elementele sunt acum mulțimi.

2. De ce sunt reuniunea și intersecția legi de compoziție?

Reuniunea și intersecția le folosești din gimnaziu, iar la Evenimente disjuncte. Diagrame Venn le-ai văzut desenate. Noutatea de acum este unghiul: nu mai sunt „operații cu mulțimi", ci legi de compoziție pe mulțimea $\mathcal{P}(M)$, exact ca adunarea pe $\mathbb{R}$.

Verificarea că sunt legi este imediată. Dacă $A\subseteq M$ și $B\subseteq M$, atunci orice element al lui $A\cup B$ este în $A$ sau în $B$, deci în $M$; prin urmare $A\cup B\subseteq M$, adică $A\cup B\in \mathcal{P}(M)$. Pentru intersecție e și mai simplu: $A\cap B\subseteq A\subseteq M$. Avem, așadar, două funcții

$$\cup :\mathcal{P}(M)\times \mathcal{P}(M)\to \mathcal{P}(M),\cap :\mathcal{P}(M)\times \mathcal{P}(M)\to \mathcal{P}(M).$$

Amândouă dau același rezultat când schimbi ordinea, $A\cup B=B\cup A$ și $A\cap B=B\cap A$, iar mutarea parantezelor nu schimbă nimic: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$. Se vede din definiție — un element aparține oricăreia dintre cele două mulțimi exact atunci când aparține măcar uneia dintre $A$, $B$, $C$. Numele acestor proprietăți, ca și numele mulțimilor $\varnothing$ și $M$, care nu schimbă nimic la compunere, se fixează în Asociativitatea unei legi de compoziție și în Elementul neutru al unei legi de compoziție; aici le folosim doar prin calcul.

Un lucru însă lipsește, și merită observat de pe acum. La reuniune, dacă ai „adăugat" ceva, nu mai poți da înapoi: din $A\cup X=M$ nu se determină $X$ în mod unic. Aceeași problemă la intersecție. Operația care repară acest defect este a treia.

Compară cu ce știi despre numere. Adunarea pe $\mathbb{R}$ are întotdeauna un drum de întoarcere, pentru că orice număr are un opus; înmulțirea are drum de întoarcere pentru toate numerele în afară de zero. Reuniunea nu are drum de întoarcere pentru niciun element în afară de mulțimea vidă, iar asta o face o operație „care doar crește". Aceasta este exact deosebirea pe care programa cere să o observi comparând proprietățile celor trei legi.

3. Cum se calculează diferența simetrică a două mulțimi?

Diferența simetrică a mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea elementelor care aparțin exact uneia dintre ele; se notează $A△B$ și se calculează prin oricare dintre formulele

$$A△B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B).$$

Prima formulă spune „ce e doar în $A$, plus ce e doar în $B$"; a doua spune „tot, mai puțin partea comună". Cele două descriu aceeași mulțime: un element se află în membrul stâng exact când e în cel puțin una dintre mulțimi și nu în amândouă, ceea ce e chiar definiția din membrul drept.

⚠️ O notație, o dată pentru totdeauna. Simbolul $△$ folosit aici este cel al diferenței simetrice și nu are nicio legătură cu $\Delta$-ul discriminantului sau al determinanților de la clasa a XI-a; sunt semne diferite, în capitole diferite, iar în unitatea aceasta $△$ înseamnă un singur lucru.

Un exemplu numeric, cu $M=\{1,2,3,4\}$, $A=\{1,2\}$ și $B=\{2,3\}$. Elementul $1$ este doar în $A$, elementul $3$ este doar în $B$, iar $2$ este în amândouă, deci nu intră. Rezultatul: $A△B=\{1,3\}$. Aceeași valoare pe a doua cale: $A\cup B=\{1,2,3\}$, $A\cap B=\{2\}$, iar diferența lor este $\{1,3\}$.

Verificarea că diferența simetrică este lege de compoziție pe $\mathcal{P}(M)$ e la fel de scurtă: $A△B\subseteq A\cup B\subseteq M$.

Două valori speciale merită reținute imediat, pentru că pe ele se sprijină tot restul lecției:

$$A△A=\varnothing ,A△\varnothing =A.$$

Prima spune că orice mulțime se anulează cu ea însăși; a doua, că mulțimea vidă nu schimbă nimic. Împreună, ele fac din diferența simetrică operația „reversibilă" pe care reuniunea și intersecția nu o oferă.

Există și o formulă de numărare, utilă în probleme: pentru mulțimi finite,

$$\mathrm{card}(A△B)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-2\mathrm{card}(A\cap B).$$

Explicația: elementele comune sunt numărate de două ori în sumă și trebuie scoase de două ori, o dată pentru fiecare mulțime din care le eliminăm.

Formula răspunde direct la întrebările de tipul „câți elevi fac exact una dintre cele două activități", iar în probleme se folosește mult mai des decât pare. Este, în fond, o variantă a principiului includerii și excluderii, cu diferența că partea comună se scoate de două ori, nu o dată.

4. Tablele celor trei operații pe $\mathcal{P}(\{1,2\})$

Pe o mulțime cu patru elemente, tabla operației se scrie complet și se citește dintr-o privire; tehnica e cea din Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită. Notăm, pentru economie de spațiu, elementele lui $\mathcal{P}(\{1,2\})$ cu $\varnothing$, $\{1\}$, $\{2\}$ și $M$.

Tabla reuniunii:

Tabla intersecției:

Tabla diferenței simetrice:

Compară-le. Toate trei sunt simetrice față de diagonala principală, ceea ce înseamnă că ordinea nu contează la niciuna. Prima linie a tablei reuniunii repetă antetul, la fel prima linie a tablei diferenței simetrice; la intersecție, linia care repetă antetul este cea a lui $M$. Dar numai la a treia tablă apare $\varnothing$ pe toată diagonala principală — semnul acelei reversibilități despre care vorbeam.

5. Funcția caracteristică: mulțimile devin șiruri de $0$ și $1$

Aici lecția devine, pe bună dreptate, o lecție de matematică-informatică. Fiecărei submulțimi $A\subseteq M$ îi atașăm o funcție ${\chi }_A:M\to \{0,1\}$, numită funcția caracteristică a lui $A$, definită prin ${\chi }_A(x)=1$ dacă $x\in A$ și ${\chi }_A(x)=0$ dacă $x\notin A$.

Practic, dacă $M=\{1,2,3,4\}$, mulțimea $A=\{1,2\}$ devine șirul $1100$, iar $B=\{2,3\}$ devine $0110$. Corespondența este perfectă: fiecare submulțime are exact un șir și fiecare șir vine de la exact o submulțime — de aici, încă o dată, numărul $2^n$ de submulțimi.

Cele trei operații se traduc în operații cu cifre, pentru fiecare poziție separat:

$${\chi }_{A\cap B}={\chi }_A\cdot {\chi }_B,{\chi }_{A\cup B}={\chi }_A+{\chi }_B-{\chi }_A{\chi }_B,{\chi }_{A△B}={\chi }_A+{\chi }_B(\text{modulo }2).$$

Ultima este cheia. „Modulo $2$" înseamnă că adunăm și păstrăm doar restul la împărțirea cu $2$: $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, iar $1+1=0$. Este exact operația pe care informaticienii o numesc sau exclusiv. Pe exemplul de mai sus, $1100$ și $0110$ dau $1010$, adică mulțimea $\{1,3\}$ — același rezultat ca la subsecțiunea 3.

6. De ce nu contează parantezele la diferența simetrică?

Pentru că adunarea modulo $2$ este. Traducerea în cifre transformă o identitate cu mulțimi, greu de verificat cu diagrame pentru trei mulțimi, într-un calcul de o linie pe fiecare poziție:

$${\chi }_{(A△B)△C}=({\chi }_A+{\chi }_B)+{\chi }_C={\chi }_A+({\chi }_B+{\chi }_C)={\chi }_{A△(B△C)}(\text{modulo }2).$$

Cum două submulțimi ale lui $M$ cu aceeași funcție caracteristică sunt egale, rezultă identitatea

$$(A△B)△C=A△(B△C).$$

Mai mult, se citește imediat și cine sunt elementele acestei mulțimi: sunt cele care apar într-un număr impar dintre mulțimile $A$, $B$, $C$, pentru că doar atunci suma cifrelor este $1$ modulo $2$. Este o descriere pe care diagramele Venn o sugerează, dar nu o demonstrează.

Aceeași metodă rezolvă și o identitate mai fină, cerută uneori la Bacalaureat M1:

$$A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C),$$

pentru că ${\chi }_A({\chi }_B+{\chi }_C)={\chi }_A{\chi }_B+{\chi }_A{\chi }_C$ modulo $2$. Atenție însă: reuniunea nu are aceeași proprietate față de $△$. Un contraexemplu cu $M=\{1\}$, $A=\{1\}$ și $B=C=\varnothing$: în stânga obținem $\{1\}\cup \varnothing =\{1\}$, iar în dreapta $\{1\}△\{1\}=\varnothing$.

7. Cum rezolvi ecuația $A△X=B$?

Compui ambii membri cu $A$ și folosești cele două valori speciale. Din $A△X=B$ rezultă

$$A△(A△X)=A△B⟹(A△A)△X=A△B⟹\varnothing △X=A△B⟹X=A△B.$$

Am folosit, pe rând, identitatea demonstrată la subsecțiunea 6, apoi $A△A=\varnothing$ și $\varnothing △X=X$. Soluția este unică, iar verificarea confirmă: $A△(A△B)=(A△A)△B=B$.

Reține și forma practică a rezultatului: ca să afli necunoscuta, compui cei doi termeni cunoscuți. Nu există cazuri de discutat, nu există soluții pierdute și nu există soluții în plus — o situație rară și confortabilă, pe care merită să o exploatezi ori de câte ori o recunoști în enunț.

Compară cu reuniunea, unde ecuația $\{1\}\cup X=\{1,2\}$ are două soluții, $\{2\}$ și $\{1,2\}$, iar ecuația $\{1,2\}\cup X=\{1\}$ nu are niciuna. Diferența simetrică se poartă, din acest punct de vedere, precum adunarea numerelor; reuniunea, nu.

8. Care sunt părțile stabile ale mulțimii părților?

Ideea de parte stabilă, studiată la Parte stabilă și legea de compoziție indusă, se aplică și aici, iar exemplele sunt frumoase. Lucrăm cu $M=\{1,2,3,4\}$.

Submulțimile unei mulțimi fixate. Dacă $A\subseteq M$, familia $\mathcal{P}(A)$ este parte stabilă în raport cu toate trei operațiile: reuniunea, intersecția și diferența simetrică a două submulțimi ale lui $A$ rămân în $A$.

Familia $\{\varnothing ,A,M\setminus A,M\}$. Fie $A=\{1,2\}$, deci $M\setminus A=\{3,4\}$. Se verifică pe tablă că toate cele trei operații duc oricare două dintre cele patru mulțimi tot într-una dintre ele; de exemplu $A△(M\setminus A)=M$, $A\cup (M\setminus A)=M$ și $A\cap (M\setminus A)=\varnothing$.

Submulțimile cu număr par de elemente. Familia lor este parte stabilă față de $△$, dar nu și față de $\cup$. Prima afirmație se citește din formula de numărare de la subsecțiunea 3: dacă $\mathrm{card}A$ și $\mathrm{card}B$ sunt pare, atunci $\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-2\mathrm{card}(A\cap B)$ este par. A doua cade la un contraexemplu: $\{1,2\}\cup \{2,3\}=\{1,2,3\}$, care are trei elemente. Pentru $M$ cu patru elemente, familia are $8$ mulțimi din cele $16$.

Familia mulțimilor care conțin un element fixat. Mulțimile $X$ cu $A\subseteq X$ formează o parte stabilă față de $\cup$ și $\cap$, dar nu față de $△$: pentru $X=Y=A$ obținem $\varnothing$, care nu conține $A$ decât dacă $A$ este vidă.

Aceleași întrebări, puse de data aceasta unor familii de matrice și de funcții, sunt subiectul lecției următoare, Legi de compoziție pe mulțimi de matrice și pe mulțimi de funcții.

Observă tiparul comun al acestor patru exemple: de fiecare dată am pornit de la o proprietate a submulțimilor (să fie incluse într-o mulțime fixată, să aibă cardinal par, să conțină un element fixat) și am întrebat dacă proprietatea se păstrează prin compunere. Aceasta este întrebarea standard a examenului, iar răspunsul se dă fie printr-o demonstrație generală, fie printr-un contraexemplu numeric complet calculat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Mulțimea părților, scrisă complet

Scrieți $\mathcal{P}(M)$ pentru $M=\{a,b,c\}$ și precizați câte elemente are $\mathcal{P}(N)$ pentru $N$ cu $6$ elemente.

Rezolvare. Le scriem ordonat, după numărul de elemente: mulțimea vidă; cele cu un element $\{a\}$, $\{b\}$, $\{c\}$; cele cu două elemente $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$; mulțimea întreagă $\{a,b,c\}$. În total $1+3+3+1=8=2^3$ elemente.

Pentru $N$ cu șase elemente, $\mathrm{card}\mathcal{P}(N)=2^6=64$.

Exemplul 2 — Calcule cu cele trei operații

Fie $M=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,2,3\}$ și $B=\{3,4\}$. Calculați $A\cup B$, $A\cap B$, $A△B$ și $\mathrm{card}(A△B)$.

Rezolvare. $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ și $A\cap B=\{3\}$. Pentru diferența simetrică scoatem partea comună din reuniune: $A△B=\{1,2,4\}$.

Verificare cu formula de numărare: $\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-2\mathrm{card}(A\cap B)=3+2-2=3$, iar mulțimea găsită are într-adevăr trei elemente.

Exemplul 3 — O identitate demonstrată cu funcția caracteristică

Demonstrați că $A△B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$ pentru orice $A,B\subseteq M$.

Rezolvare. Trecem la funcții caracteristice și verificăm pe fiecare poziție, adică pentru fiecare $x\in M$, cele patru cazuri posibile.

Dacă $x\in A$ și $x\in B$: în stânga $x$ nu apare, pentru că nu e în exact una dintre ele; în dreapta $x$ este în reuniune, dar și în intersecție, deci se scoate. Ambele dau $0$.

Dacă $x\in A$ și $x\notin B$: în stânga $x$ apare; în dreapta este în reuniune și nu în intersecție, deci rămâne. Ambele dau $1$. Cazul simetric este identic.

Dacă $x\notin A$ și $x\notin B$: ambele dau $0$.

Cele două mulțimi au aceeași funcție caracteristică, deci sunt egale.

Exemplul 4 — Rezolvarea unei ecuații cu mulțimi

Fie $M=\{1,2,3,4\}$, $A=\{1,2\}$. Rezolvați ecuațiile: a) $A△X=\{2,3\}$; b) $A△X=M$.

Rezolvare. a) Soluția este $X=A△\{2,3\}=\{1,3\}$. Verificare: $\{1,2\}△\{1,3\}=\{2,3\}$ ✓.

b) $X=A△M=\{3,4\}$, adică exact $M\setminus A$. Verificare: $\{1,2\}△\{3,4\}=\{1,2,3,4\}$ ✓. Reține concluzia generală: $A△M=M\setminus A$.

Exemplul 5 — O parte stabilă verificată complet

Fie $M=\{1,2,3\}$ și $H=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},M\}$. Arătați că $H$ este parte stabilă în raport cu diferența simetrică.

Rezolvare. Scriem tabla, folosind $A=\{1\}$ și $M\setminus A=\{2,3\}$:

Toate cele $16$ rezultate sunt elemente ale lui $H$, deci $H$ este parte stabilă. Observă că tabla arată la fel ca tabla diferenței simetrice pe $\mathcal{P}(\{1,2\})$ din subsecțiunea 4, deși mulțimile sunt altele.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,4\}$ și submulțimile $A=\{1,2\}$, $B=\{2,3\}$. a) Calculați $A△B$ și $\mathrm{card}\mathcal{P}(M)$. b) Rezolvați în $\mathcal{P}(M)$ ecuația $X△A=B$. c) Arătați că familia $H$ a submulțimilor lui $M$ cu număr par de elemente este parte stabilă în raport cu $△$ și determinați $\mathrm{card}H$.

Rezolvare. Enunțul are forma unei probleme din Subiectul al II-lea: un calcul, o ecuație, o verificare de structură.

a) Elementul $2$ este în amândouă, deci nu intră; rămân $1$ și $3$, adică $A△B=\{1,3\}$. Cum $M$ are patru elemente, $\mathrm{card}\mathcal{P}(M)=2^4=16$.

b) Compunem ambii membri cu $A$, la dreapta: $(X△A)△A=B△A$, deci $X△(A△A)=B△A$, adică $X=A△B=\{1,3\}$. Verificare: $\{1,3\}△\{1,2\}=\{2,3\}=B$ ✓.

c) Fie $X,Y\in H$, deci $\mathrm{card}X$ și $\mathrm{card}Y$ sunt numere pare. Din formula de numărare,

$$\mathrm{card}(X△Y)=\mathrm{card}X+\mathrm{card}Y-2\mathrm{card}(X\cap Y),$$

iar în membrul drept toți cei trei termeni sunt pari, deci suma lor este pară. Prin urmare $X△Y\in H$.

Numărul elementelor: submulțimile cu $0$, $2$ sau $4$ elemente sunt în număr de $C_4^0+C_4^2+C_4^4=1+6+1=8$. Deci $\mathrm{card}H=8$, adică exact jumătate din $\mathcal{P}(M)$.

Să exersăm

Lucrează, unde se poate, cu șirurile de $0$ și $1$: multe cerințe devin astfel calcule de o linie.

1. Scrie toate elementele lui $\mathcal{P}(\{a,b\})$ și precizează câte sunt.

2. Câte elemente are $\mathcal{P}(M)$ dacă $M$ are $7$ elemente? Dar $10$?

3. Pentru $M=\{1,2,3,4,5\}$, $A=\{1,3,5\}$ și $B=\{2,3\}$, calculează $A\cup B$, $A\cap B$ și $A△B$.

4. Pentru mulțimile de la exercițiul precedent, verifică formula $\mathrm{card}(A△B)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-2\mathrm{card}(A\cap B)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice mulțimi $A$ și $B$ avem $A△B\subseteq A\cup B$."

6. Scrie funcțiile caracteristice ale mulțimilor $A=\{1,4\}$ și $B=\{2,4\}$ față de $M=\{1,2,3,4\}$, apoi calculează $A△B$ adunând modulo $2$.

7. Calculează $A△A△A$ pentru $A=\{1,2\}$ și explică rezultatul.

8. Rezolvă, în $\mathcal{P}(\{1,2,3\})$, ecuația $\{1,2\}△X=\{2,3\}$.

9. Arată că ecuația $\{1,2\}\cup X=\{1\}$ nu are soluții în $\mathcal{P}(\{1,2,3\})$.

10. Scrie tabla intersecției pe $\mathcal{P}(\{1\})$ și precizează care mulțime nu schimbă nimic la compunere.

11. (Problemă aplicată.) Într-o clasă, $18$ elevi merg la olimpiada de matematică, $12$ la cea de informatică, iar $5$ la amândouă. Câți elevi merg la exact una dintre ele?

12. Arată că $A△B=\varnothing$ dacă și numai dacă $A=B$.

13. Determină toate submulțimile $X$ ale lui $\{1,2,3\}$ pentru care $X△\{1\}=\{1,2\}$.

14. Arată că familia $\{\varnothing ,\{1,2\},\{3,4\},\{1,2,3,4\}\}$ este parte stabilă în raport cu reuniunea.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $M=\{1,2,3\}$. a) Calculează $\{1\}△\{2,3\}$. b) Rezolvă ecuația $X△\{1,2\}=\{3\}$. c) Arată că mulțimea submulțimilor cu număr par de elemente ale lui $M$ este parte stabilă față de $△$.

16. Demonstrează, cu funcții caracteristice, identitatea $A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C)$.

17. Dă un exemplu de mulțimi pentru care $A\cup (B△C)\ne (A\cup B)△(A\cup C)$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru $n$ mulțimi $A_1,A_2,\dots ,A_n$, elementele lui $A_1△A_2△\dots △A_n$ sunt exact cele care aparțin unui număr impar dintre ele.

Răspunsuri și explicații

1. $\varnothing$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a,b\}$ — patru elemente, adică $2^2$.

2. $2^7=128$, respectiv $2^{10}=1024$.

3. $A\cup B=\{1,2,3,5\}$; $A\cap B=\{3\}$; $A△B=\{1,2,5\}$.

4. $\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-2\mathrm{card}(A\cap B)=3+2-2\cdot 1=3$, iar $A△B$ are într-adevăr trei elemente.

5. Adevărat. Orice element din $A△B$ aparține măcar uneia dintre mulțimi, deci aparține reuniunii. Incluziunea este strictă ori de câte ori $A\cap B\ne \varnothing$.

6. ${\chi }_A=1001$ și ${\chi }_B=0101$. Adunând modulo $2$ poziție cu poziție obținem $1100$, adică $A△B=\{1,2\}$.

7. $A△A=\varnothing$, apoi $\varnothing △A=A$, deci rezultatul este $\{1,2\}$. În general, compunând un număr impar de copii ale aceleiași mulțimi se obține mulțimea, iar un număr par dă mulțimea vidă.

8. $X=\{1,2\}△\{2,3\}=\{1,3\}$. Verificare: $\{1,2\}△\{1,3\}=\{2,3\}$ ✓.

9. Orice mulțime de forma $\{1,2\}\cup X$ conține elementul $2$, deci nu poate fi egală cu $\{1\}$.

10. Tabla are două linii și două coloane, cu elementele $\varnothing$ și $\{1\}$; toate rezultatele sunt $\varnothing$, în afară de $\{1\}\cap \{1\}=\{1\}$. Mulțimea care nu schimbă nimic la intersecție este $\{1\}$, adică mulțimea totală.

11. Exact una dintre ele înseamnă diferența simetrică: $18+12-2\cdot 5=20$ de elevi.

12. Dacă $A=B$, atunci nu există elemente în exact una dintre ele, deci $A△B=\varnothing$. Reciproc, dacă $A△B=\varnothing$, niciun element nu e în exact una dintre mulțimi, deci fiecare element al lui $A$ este și în $B$ și invers, adică $A=B$.

13. $X=\{1,2\}△\{1\}=\{2\}$; soluția este unică. Verificare: $\{2\}△\{1\}=\{1,2\}$ ✓.

14. Reuniunea oricăror două dintre cele patru mulțimi este tot una dintre ele: de exemplu $\{1,2\}\cup \{3,4\}=\{1,2,3,4\}$, iar $\{1,2\}\cup \varnothing =\{1,2\}$. Se verifică toate cele $16$ perechi.

15. a) $\{1\}△\{2,3\}=\{1,2,3\}$. b) $X=\{3\}△\{1,2\}=\{1,2,3\}$. c) Submulțimile cu număr par de elemente sunt $\varnothing$, $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$; diferența simetrică a oricăror două dintre ele are, după formula de numărare, tot număr par de elemente, deci rămâne în familie.

16. Pe fiecare poziție, ${\chi }_A\cdot ({\chi }_B+{\chi }_C)={\chi }_A{\chi }_B+{\chi }_A{\chi }_C$ modulo $2$, ceea ce este exact distributivitatea înmulțirii față de adunare pe cifrele $0$ și $1$. Mulțimile au aceeași funcție caracteristică, deci sunt egale.

17. Cu $A=\{1\}$ și $B=C=\varnothing$: în stânga $\{1\}\cup \varnothing =\{1\}$, în dreapta $\{1\}△\{1\}=\varnothing$.

18. Trecem la funcții caracteristice: apartenența la mulțimea compusă înseamnă că suma ${\chi }_{A_1}+\cdots +{\chi }_{A_n}$ este $1$ modulo $2$, adică suma cifrelor este impară. Cum fiecare cifră este $1$ exact pentru mulțimile care conțin elementul, concluzia este că elementul aparține unui număr impar dintre ele.

De reținut

• Mulțimea părților $\mathcal{P}(M)$ are ca elemente toate submulțimile lui $M$ și are $2^n$ elemente atunci când $M$ are $n$ elemente.
• Reuniunea, intersecția și diferența simetrică sunt legi de compoziție pe $\mathcal{P}(M)$, pentru că rezultatul fiecăreia este tot o submulțime a lui $M$.
• Diferența simetrică $A△B$ este formată din elementele care aparțin exact uneia dintre cele două mulțimi și se scrie fie ca $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$, fie ca $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.
• Funcția caracteristică traduce mulțimile în șiruri de $0$ și $1$, iar diferența simetrică devine adunare modulo $2$, ceea ce demonstrează imediat identitatea $(A△B)△C=A△(B△C)$.
• Ecuația $A△X=B$ are soluția unică $X=A△B$, în timp ce ecuațiile cu reuniune sau intersecție pot avea mai multe soluții sau niciuna.

Greșeli frecvente

• Se confundă $\in$ cu $\subseteq$ la mulțimea părților. Elementele lui $\mathcal{P}(M)$ sunt mulțimi, deci se scrie $\{1\}\in \mathcal{P}(M)$, nu $1\in \mathcal{P}(M)$. Verifică de fiecare dată ce fel de obiect stă în stânga simbolului.
• Se uită mulțimea vidă și mulțimea totală. Când se cere scrierea completă a lui $\mathcal{P}(M)$, cele două se sar cel mai des, iar numărul obținut nu mai este $2^n$. Începe lista cu $\varnothing$ și încheie-o cu $M$.
• Se calculează $A△B$ ca $A\setminus B$. Diferența simetrică ia și ce e doar în $B$, nu numai ce e doar în $A$; cuvântul „simetrică" e chiar avertismentul. Cel mai sigur e să treci prin reuniune, din care scoți intersecția.
• Se presupune că $△$ se distribuie față de $\cup$. Doar intersecția se distribuie față de diferența simetrică; în sens invers identitatea este falsă, iar contraexemplul cu $A=\{1\}$ și $B=C=\varnothing$ o arată în două rânduri.
• Se rezolvă ecuația $A△X=B$ prin încercări. Nu e nevoie: soluția este $X=A△B$, unică, iar drumul se scrie în trei implicații, așa cum am făcut în lecție. Încercările pierd timp și, la mulțimi cu multe elemente, sunt imposibile.

Aplică acasă

1. Cele opt submulțimi. Scrie pe o foaie toate cele opt submulțimi ale mulțimii $\{r,o,m\}$, ordonate după numărul de elemente, și verifică faptul că numărul lor pe fiecare treaptă este $1,3,3,1$. Compară acest șir cu numerele combinărilor de trei luate câte $0,1,2,3$.

2. Tabla de comutatoare. Reprezintă submulțimile lui $\{1,2,3\}$ prin șiruri de trei cifre binare și completează tabla diferenței simetrice pe toate cele opt elemente, adunând modulo $2$. Verifică apoi trei dintre căsuțe direct pe mulțimi, ca să te convingi că traducerea funcționează.

3. Ancheta din clasă. Alege două activități la care participă colegii tăi (de exemplu sport și cor), notează numărul celor de la fiecare și numărul celor de la amândouă, apoi calculează, cu formula diferenței simetrice, câți fac exact una dintre ele. Verifică rezultatul numărând efectiv. Dacă numerele nu se potrivesc, caută greșeala în numărul celor care fac amândouă activitățile — acolo se strecoară de obicei.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un rol dublu. Pe de o parte, arată că teoria legilor de compoziție nu este despre numere, ci despre reguli: aceleași întrebări — rezultatul rămâne în mulțime? contează ordinea? contează parantezele? — se pun identic pentru mulțimi. Pe de altă parte, introduce funcția caracteristică, unealta care transformă demonstrațiile cu mulțimi din desene în calcule, și care este puntea firească spre informatică, unde diferența simetrică se numește „sau exclusiv".

De verificat în caiet: (1) elementele lui $\mathcal{P}(M)$ sunt scrise ca mulțimi, cu acolade; (2) în listele complete apar și $\varnothing$, și $M$; (3) diferența simetrică este calculată prin una dintre cele două formule, nu ghicită; (4) demonstrațiile de identități trec prin funcția caracteristică sau prin discuția celor patru cazuri. Întrebări de control: „Câte elemente are mulțimea părților unei mulțimi cu cinci elemente?"; „Cât face $A△A$?"; „De ce ecuația cu diferență simetrică are soluție unică, iar cea cu reuniune nu?".

La BAC, aceste conținuturi apar în Subiectul al II-lea, de obicei ca prim punct al unei probleme de structuri algebrice, sau ca exercițiu de verificare a unei părți stabile. Semn că elevul a înțeles: rezolvă ecuația $A△X=B$ instantaneu, prin compunere cu $A$, și motivează unicitatea soluției fără să enumere cazurile.

Pentru cine vrea să exerseze acasă, cea mai eficientă temă este scrierea completă a unei table pe opt elemente, adică pe submulțimile unei mulțimi cu trei elemente. Durează un sfert de oră, obligă la ordine și fixează definitiv legătura dintre mulțimi și șirurile de cifre binare, care va fi folosită și mai târziu, la clasele de resturi.

Întrebări frecvente

Ce este mulțimea părților unei mulțimi și câte elemente are? Este mulțimea care are ca elemente toate submulțimile mulțimii date, inclusiv mulțimea vidă și mulțimea însăși. Se notează $\mathcal{P}(M)$ și, dacă $M$ are $n$ elemente, ea are $2^n$ elemente. Elementele ei sunt mulțimi, nu numere, iar de aici vin cele mai multe confuzii între apartenență și incluziune.

Cum se calculează diferența simetrică a două mulțimi la clasa a 12-a? Iei elementele care aparțin exact uneia dintre cele două mulțimi. Practic, ai două drumuri: fie scrii $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$, adică aduni ce e doar în prima cu ce e doar în a doua, fie scrii $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$, adică iei reuniunea și scoți din ea partea comună. Ambele dau același rezultat.

Care este formula pentru numărul de elemente al diferenței simetrice? Formula este $\mathrm{card}(A△B)=\mathrm{card}A+\mathrm{card}B-2\mathrm{card}(A\cap B)$. Se scade de două ori numărul elementelor comune, pentru că acestea au fost numărate o dată în fiecare mulțime, iar în diferența simetrică nu apar deloc. Formula rezolvă imediat problemele de tipul „câți fac exact una dintre cele două activități".

De ce este diferența simetrică asociativă? Pentru că, tradusă prin funcția caracteristică, ea devine adunare modulo $2$, iar adunarea este asociativă. Concret, un element aparține compusului a trei mulțimi exact atunci când aparține unui număr impar dintre ele, iar această descriere nu depinde de ordinea în care așezi parantezele. Demonstrația cu diagrame ar fi mult mai greoaie.

Cum se rezolvă ecuația $A△X=B$? Compui ambii membri cu $A$ și folosești faptul că $A△A=\varnothing$, iar mulțimea vidă nu schimbă nimic. Rezultă $X=A△B$, soluție unică. Este exact procedeul prin care rezolvi o ecuație de gradul întâi cu numere, adunând în ambii membri același termen, doar că aici „opusul" fiecărei mulțimi este ea însăși.

Ce este funcția caracteristică a unei mulțimi? Este funcția care asociază fiecărui element al mulțimii mari valoarea $1$ dacă elementul aparține submulțimii și $0$ dacă nu aparține. Ea transformă orice submulțime într-un șir de cifre binare, iar operațiile cu mulțimi în operații cu cifre: intersecția devine înmulțire, diferența simetrică devine adunare modulo $2$.

Câte submulțimi are o mulțime cu n elemente? Exact $2^n$, pentru că pentru fiecare element decizi independent dacă îl incluzi sau nu, deci ai două posibilități repetate de $n$ ori. Pentru $n=3$ ies $8$ submulțimi, pentru $n=5$ ies $32$, iar pentru $n=10$ ies $1024$. Numărul include mereu mulțimea vidă și mulțimea întreagă.

Este reuniunea distributivă față de diferența simetrică? Nu. Doar intersecția este: $A\cap (B△C)=(A\cap B)△(A\cap C)$. Pentru reuniune identitatea corespunzătoare este falsă, iar contraexemplul cel mai scurt este $A=\{1\}$ cu $B$ și $C$ vide: în stânga se obține $\{1\}$, în dreapta mulțimea vidă. Merită reținut, pentru că este o capcană frecventă.