Limita fundamentală sin x supra x: pe scurt

Raportul $\frac{\sin x}{x}$ dă în $0$ nedeterminarea $\frac{0}{0}$, dar nicio tehnică algebrică nu o rezolvă: $\sin x$ nu se descompune în factori. Drumul este geometric. Pe cercul trigonometric, comparând ariile triunghiului $OAM$, ale sectorului $OAM$ și ale triunghiului $OAT$, se obține $\sin t<t<\mathrm{tg}t$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, de unde $\cos t<\frac{\sin t}{t}<1$. Funcția fiind pară, încadrarea ține pe ambele părți, iar criteriul cleștelui dă $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$ Corolarele: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.

Forma compusă: dacă $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă, atunci $\frac{\sin u(x)}{u(x)}\to 1$; substituția se justifică în scris, cu ambele condiții. Tehnica de lucru: dacă sub sinus stă $u$, construiești tot $u$ la numitor, amplificând.

Ce nu spune limita: la $+\infty$ raportul tinde la $0$; în grade valoarea este $\frac{\pi }{180}$; iar $\frac{\sin x}{x^2}$ nu are limită în $0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 7x}{x}$.

   • a) $1$
   • b) $7$
   • c) $\frac{1}{7}$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $7$

   Sub sinus stă $7x$, deci la numitor trebuie să apară tot $7x$: amplificăm cu $7$ și scriem $\frac{\sin 7x}{x}=7\cdot \frac{\sin 7x}{7x}$. Cu $u(x)=7x$, care tinde la $0$ și se anulează doar în $0$, forma compusă dă $\frac{\sin 7x}{7x}\to 1$, deci limita este $7$. Varianta a) aplică mecanic limita fundamentală, fără să numere factorii.

2. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{\sin 9x}$.

   • a) $1$
   • b) $\frac{9}{4}$
   • c) $\frac{4}{9}$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{4}{9}$

   Construim ambele rapoarte fundamentale: $\frac{\sin 4x}{\sin 9x}=\frac{4x}{9x}\cdot \frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{9x}{\sin 9x}$. Primul factor este $\frac{4}{9}$, al doilea tinde la $1$, al treilea este inversul unei expresii care tinde la $1\ne 0$, deci tinde tot la $1$. Limita este $\frac{4}{9}$; varianta b) răstoarnă raportul.

3. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 3x}{x^2}$.

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $3$
   • c) $\frac{3}{2}$
   • d) $\frac{9}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{9}{2}$

   Scriem $\frac{1-\cos 3x}{x^2}=9\cdot \frac{1-\cos 3x}{(3x{)}^2}$ și aplicăm corolarul $\frac{1-\cos u}{u^2}\to \frac{1}{2}$ cu $u=3x$: limita este $9\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}$. Varianta a) uită să transporte coeficientul, iar b) confundă $a$ cu $\frac{a^2}{2}$.