Limita fundamentală sin x supra x

Un inginer care proiectează o curbă de șosea are nevoie să știe cu cât diferă lungimea arcului de lungimea coardei care îi unește capetele. Un astronom care măsoară distanța până la o stea lucrează cu unghiuri de câteva miimi de grad. Un fizician care scrie ecuația pendulului are de comparat $\sin \alpha$ cu $\alpha$. Toți trei fac, fără să clipească, aceeași înlocuire: pentru unghiuri mici, măsurate în radiani, scriu $\sin x\approx x$. Și au dreptate: $\sin 0,01=0,0099998333\dots$, adică se depărtează de $0,01$ cu mai puțin de $2\cdot 10^{-7}$ — o eroare pe care niciun instrument de măsură obișnuit nu o vede.

Înlocuirea aceasta nu e o convenție de breaslă, ci consecința unei egalități exacte de limită, prima dintre cele cinci limite fundamentale ale capitolului. Ea nu se poate obține prin niciuna dintre tehnicile pe care le ai deja: la funcțiile raționale descompuneai în factori, la expresiile cu radicali amplificai cu conjugata — dar $\sin x$ nu este o expresie algebrică și nu se simplifică cu nimic. Singurul drum este unul geometric: același clește cu care ai calculat aria discului în lecția despre criteriul cleștelui, aplicat de data aceasta pe cercul trigonometric.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști nedeterminarea $\frac{0}{0}$ la expresiile trigonometrice și să explici de ce tehnicile algebrice nu o rezolvă.
• Vei ști să demonstrezi încadrarea $\sin t<t<\mathrm{tg}t$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, comparând ariile a trei figuri de pe cercul trigonometric.
• Vei ști să deduci de aici, cu criteriul cleștelui, limita fundamentală $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ și să tratezi separat cele două limite laterale.
• Vei ști să demonstrezi cele două corolare ale ei: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.
• Vei ști să folosești forma compusă $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1$ și să justifici substituția de fiecare dată, așa cum cere baremul.
• Vei ști ce nu spune limita fundamentală: la infinit, în grade sau cu numitor de alt grad rezultatul este cu totul altul.

Hai să descoperim împreună

1. O nedeterminare care nu cedează la algebră

Funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sin x}{x}$, nu este definită în $0$, dar $0$ este punct de acumulare al domeniului ei, deci întrebarea „ce limită are în $0$?" are sens. Din limitele funcțiilor trigonometrice știi că $\sin x\to 0$ când $x\to 0$; numitorul tinde tot la $0$. Suntem în cazul $\frac{0}{0}$.

Ce ai făcut până acum în acest caz? Ai descompus în factori și ai simplificat. Aici nu ai ce simplifica: $\sin x$ nu este un polinom și nu se scrie ca produs în care să apară factorul $x$. Trebuie deci un argument de alt tip. Înainte de el, să vedem ce sugerează numerele — în radiani, singura unitate în care funcțiile trigonometrice sunt funcții de variabilă reală:

Tabelul sugerează $1$, $1$ și $\frac{1}{2}$. Ca la orice tabel, el nu demonstrează nimic — exact avertismentul din lecția despre numărul $e$, unde zece termeni păreau să se stabilizeze fără să garanteze nimic. Merită totuși observat un detaliu care se va confirma la demonstrație: primele două coloane se apropie de $1$ din părți opuse — raportul sinusului rămâne mereu mai mic decât $1$, cel al tangentei mereu mai mare. Nu e o întâmplare, ci umbra numerică a inegalității duble pe care urmează să o construim geometric.

Un al doilea detaliu de reținut din tabel: apropierea este rapidă. Când $x$ se împarte la $10$, distanța dintre raport și $1$ se împarte la aproximativ $100$. Comparați cu șirul numărului $e$, care avea nevoie de un milion de termeni pentru șase zecimale: aici trei zecimale se obțin deja la $x=0,05$. Această viteză este chiar motivul pentru care inginerii înlocuiesc liniștit $\sin x$ cu $x$ — eroarea relativă la un unghi de un grad este sub o sutime de procent. Trecem acum la demonstrație, singura care transformă observația în certitudine.

2. Cleștele geometric: $\sin t<t<\mathrm{tg}t$

Lucrăm pe cercul trigonometric — cercul de rază $1$ cu centrul în originea $O$ a reperului. Fie $t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, fie $A(1,0)$ și fie $M$ punctul de pe cerc corespunzător măsurii $t$; din definițiile de pe cercul trigonometric, $M$ are coordonatele $(\cos t,\sin t)$. Notăm cu $P$ proiecția lui $M$ pe axa $Ox$ și cu $T$ punctul în care semidreapta $OM$ taie tangenta la cerc dusă în $A$.

Din triunghiul dreptunghic $OPM$ obținem $MP=\sin t$, iar din triunghiul dreptunghic $OAT$, cu $OA=1$, obținem $AT=\mathrm{tg}t$. Comparăm acum ariile a trei figuri așezate una în alta: $$△OAM\subset \text{sectorul de cerc }OAM\subset △OAT.$$

• ${\mathcal{S}}_{△OAM}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot MP=\frac{\sin t}{2}$;
• ${\mathcal{S}}_{\text{sector }OAM}=\frac{t}{2}$, pentru că sectorul de unghi la centru $t$ reprezintă fracțiunea $\frac{t}{2\pi }$ dintr-un disc de rază $1$, a cărui arie este $\pi$ (aria discului a fost obținută prin clește în lecția despre criteriul cleștelui);
• ${\mathcal{S}}_{△OAT}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot AT=\frac{\mathrm{tg}t}{2}$.

Incluziunile stricte dau inegalități stricte între arii, iar după înmulțirea cu $2$: $$\sin t<t<\mathrm{tg}t,\text{pentru orice }t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).$$

Inegalitatea din stânga îți este deja cunoscută: la criteriul cleștelui ai obținut $0<\sin t<t$ pe alt drum — $\sin t$ este distanța de la $M$ la axa $Ox$, cel mult egală cu lungimea coardei $AM$, iar coarda este mai scurtă decât arcul, a cărui lungime este chiar $t$. Cele două raționamente duc la același rezultat, ceea ce e liniștitor; noutatea de aici este inegalitatea din dreapta, care mărginește superior și fără de care cleștele nu se închide.

Merită spus limpede ce se admite și ce se demonstrează în acest paragraf, pentru că exact aici se strecoară, la lucrare, argumentele circulare. Se admit două lucruri, ambele de natură geometrică: că o figură inclusă în alta are aria mai mică și că aria unui sector de cerc este proporțională cu unghiul la centru. Se demonstrează, în schimb, tot restul: valorile celor trei arii, inegalitatea dublă și, la punctul următor, limita însăși. Nicăieri nu se folosește vreo proprietate a sinusului dincolo de definiția lui de pe cerc — și e important să fie așa, pentru că toate proprietățile „mai avansate" ale funcțiilor trigonometrice se sprijină, mai devreme sau mai târziu, tocmai pe limita pe care o construim acum.

3. Demonstrația limitei fundamentale

Pornim de la încadrarea de mai sus. Pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ avem $\sin t>0$, deci putem împărți la $\sin t$: $$1<\frac{t}{\sin t}<\frac{1}{\cos t}.$$ Toți cei trei membri sunt strict pozitivi, deci trecerea la inverse răstoarnă inegalitățile: $$\cos t<\frac{\sin t}{t}<1,t\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).$$

Această încadrare rămâne valabilă și la stânga lui $0$. Într-adevăr, funcția $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ este pară: $\frac{\sin (-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}$, iar $\cos$ este și ea pară. Prin urmare $$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\text{pentru orice }x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\setminus \{0\}.$$

Teoremă (prima limită fundamentală). $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1.$$

Demonstrație. Folosim definiția limitei cu șiruri. Fie $(x_n)$ un șir oarecare cu $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$. De la un rang încolo, $x_n\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, deci $$\cos x_n<\frac{\sin x_n}{x_n}<1.$$ Din limitele funcțiilor trigonometrice, $\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$, deci $\cos x_n\to 1$. Marginea din dreapta este constantă, $1$. Ambele margini au aceeași limită, așa că criteriul cleștelui dă $\frac{\sin x_n}{x_n}\to 1$. Cum șirul a fost arbitrar, limita funcției în $0$ este $1$. $■$

Observație — de ce $\cos x\to 1$ se poate obține și din cleștele nostru. Cu formula unghiului pe jumătate, $1-\cos t=2{\sin }^2\frac{t}{2}$ (vezi formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate), iar din $0<\sin \frac{t}{2}<\frac{t}{2}$ rezultă $$0<1-\cos t<2\cdot \frac{t^2}{4}=\frac{t^2}{2},\text{deci}1-\frac{t^2}{2}<\cos t\le 1.$$ Un nou clește dă $\cos t\to 1$. Demonstrația limitei fundamentale nu depinde, așadar, de niciun rezultat din afara acestei linii de raționament.

Oprește-te o clipă asupra structurii demonstrației, pentru că ea este modelul tuturor celorlalte din capitol. Definiția limitei de funcție este dată cu șiruri, deci orice afirmație despre o limită de funcție se probează luând un șir arbitrar și arătând ceva despre el. Cuvântul care face toată treaba este „arbitrar": dacă am fi ales un anume șir, de pildă $x_n=\frac{1}{n}$, am fi obținut o singură informație, nu limita funcției. Alegerea arbitrară este exact ceea ce transformă un rezultat despre șiruri într-un rezultat despre funcții — și tot ea explică de ce nu putem sări peste acest pas, oricât de evident ar părea.

4. Cele două corolare

Corolarul 1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$.

Scriem $\frac{\mathrm{tg}x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\setminus \{0\}$, unde $\cos x\ne 0$. Primul factor tinde la $1$, al doilea la $\frac{1}{1}=1$ (numitorul are limita $1\ne 0$), iar operațiile cu limite de funcții dau produsul $1\cdot 1=1$.

Corolarul 2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.

Aici reapare o tehnică veche: amplificarea cu conjugata. Înmulțim numărătorul și numitorul cu $1+\cos x$, care este nenul lângă $0$: $$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2\left(1+\cos x\right)}=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2\left(1+\cos x\right)}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}.$$ Primul factor tinde la $1^2=1$, al doilea la $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$. Așadar limita este $\frac{1}{2}$.

Același rezultat se obține și cu formula unghiului pe jumătate: $\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2\to \frac{1}{2}$. Reține valoarea $\frac{1}{2}$ ca atare: la Bacalaureat M1 ea apare la fel de des ca limita fundamentală însăși.

5. Forma compusă și justificarea substituției

În exerciții, sub sinus nu stă aproape niciodată chiar $x$, ci o expresie: $3x$, $x^2$, $x-2$. Pentru astfel de situații avem forma compusă.

Teoremă (forma compusă). Fie $x_0$ punct de acumulare al domeniului lui $u$. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)=0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1.$$

Demonstrație. Fie $(x_n)$ un șir din domeniu cu $x_n\to x_0$, $x_n\ne x_0$. Atunci $t_n=u(x_n)\to 0$, iar de la un rang încolo $t_n\ne 0$, pentru că $x_n$ intră în vecinătatea redusă pe care $u$ nu se anulează. Din teorema de la punctul 3, aplicată tot prin definiția cu șiruri, $\frac{\sin t_n}{t_n}\to 1$. Șirul fiind arbitrar, limita funcției este $1$. $■$

⚠️ Substituția se justifică de fiecare dată, în scris. Formula de redactare, pe care baremele de Bacalaureat M1 o punctează separat, este: „notăm $t=u(x)$; cum $u(x)\to 0$ când $x\to x_0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, obținem $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin u(x)}{u(x)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$." Cele două condiții — limita zero și nenularea — se verifică amândouă; a doua e cea uitată. Pentru $u(x)=3x$ ea e imediată ($3x=0$ doar în $0$), pentru $u(x)=x\sin \frac{1}{x}$ ar fi falsă, iar substituția nu s-ar putea face.

De ce contează atât de mult a doua condiție? Pentru că raportul $\frac{\sin u(x)}{u(x)}$ pur și simplu nu are sens în punctele unde $u$ se anulează: acolo împărțim la zero. Dacă $u$ ar avea zerouri oricât de aproape de $x_0$, expresia n-ar fi definită pe nicio vecinătate redusă a lui $x_0$, iar $x_0$ ar înceta să fie punct de acumulare al domeniului ei — deci întrebarea despre limită și-ar pierde obiectul. Condiția nu este, așadar, o precauție birocratică, ci chiar cerința ca problema să fie bine pusă. În practică o verifici din ochi: pentru $u(x)=ax$, $u(x)=x^2$ sau $u(x)=x-x_0$ ea e evidentă, iar pentru $u(x)=\sin x$ o justifici cu poziția zerourilor sinusului, așa cum se face la exercițiul 18.

6. Tiparele de lucru

Aproape toate exercițiile se reduc la construirea artificială a raportului $\frac{\sin u}{u}$: dacă sub sinus stă $u$, la numitor trebuie să apară tot $u$, așa că amplifici cu ce lipsește. Restul — factorii care rămân pe dinafară — se tratează cu regulile obișnuite de operații cu limite, pentru că ei nu mai sunt nedeterminați.

Ordinea corectă a pașilor, valabilă la orice exercițiu din această familie, are patru momente: întâi identifici punctul în care se ia limita și confirmi că într-adevăr ai nedeterminare; apoi numeri gradele, adică vezi câți factori $x$ trebuie „consumați" la numitor și de către cine; apoi construiești rapoartele fundamentale, amplificând; abia la final treci la limită, factor cu factor. Elevii care sar peste al doilea moment ajung, aproape întotdeauna, la răspunsuri de forma $1$ acolo unde răspunsul corect este $0$ sau infinit.

7. Ce NU spune limita fundamentală

Trei situații care seamănă cu ea și în care răspunsul e cu totul altul.

La infinit. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$, nu $1$. Aici nu mai avem nedeterminare: numărătorul e mărginit, $\left|\sin x\right|\le 1$, iar numitorul crește nemărginit, deci $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le \frac{1}{x}\to 0$.

În grade. Limita fundamentală este adevărată numai în radiani. Dacă unghiul se măsoară în grade, atunci $x^{\circ }=\frac{\pi x}{180}$ radiani și $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x^{\circ }}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\pi }{180}\cdot \frac{\sin \frac{\pi x}{180}}{\frac{\pi x}{180}}=\frac{\pi }{180}\approx 0,017453.$$ Acesta este motivul profund pentru care analiza matematică lucrează exclusiv în radiani: numai acolo derivatele și limitele funcțiilor trigonometrice ies fără constante parazite.

Cu numitor de alt grad. $\frac{\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{x}$; primul factor tinde la $1$, al doilea are limite laterale diferite, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}=+\infty ,$$ iar limita în $0$ nu există. În sfârșit, $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sin x}{x}=\frac{\sin 2}{2}$ — nu e nicio nedeterminare acolo, deci nu se aplică nimic din lecția aceasta.

Numitorul comun al celor trei situații este că limita fundamentală nu este o proprietate a simbolului $\sin$, ci a unei combinații precise: sinusul unei mărimi care tinde la zero, împărțit la exact acea mărime, cu unghiul în radiani. Schimbă oricare dintre cele trei elemente și rezultatul se schimbă. De aceea, înainte de a scrie „limita fundamentală dă $1$", verifică-le pe toate trei — durează cinci secunde și te scutește de cea mai frecventă greșeală a capitolului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un factor sub sinus

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{x}$.

Rezolvare. Sub sinus stă $5x$, deci la numitor trebuie să apară tot $5x$; amplificăm cu $5$: $$\frac{\sin 5x}{x}=5\cdot \frac{\sin 5x}{5x}.$$ Notăm $u(x)=5x$: avem $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pentru $x\ne 0$, deci forma compusă se aplică și $\frac{\sin 5x}{5x}\to 1$. Limita este $5\cdot 1=5$.

Amplificarea cu $5$ pare un truc, dar nu este: ea nu schimbă valoarea expresiei, ci doar forma în care o citim. Ideea de reținut e că numitorul trebuie construit, nu așteptat; iar factorul scos în față este exact ceea ce lipsea.

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $5,0000000$. ✓

Exemplul 2 — Raport de două sinusuri

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\sin 7x}$.

Rezolvare. Construim ambele rapoarte fundamentale, amplificând cu $3x$ sus și cu $7x$ jos: $$\frac{\sin 3x}{\sin 7x}=\frac{3x}{7x}\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{7x}{\sin 7x}=\frac{3}{7}\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{1}{\frac{\sin 7x}{7x}}.$$ Ambele rapoarte tind la $1$ (substituțiile $t=3x$ și $t=7x$ sunt legitime: fiecare tinde la $0$ și se anulează doar în $0$), iar al doilea are limita $1\ne 0$, deci câtul are sens. Limita este $\frac{3}{7}=0,428571\dots$

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ raportul dă $0,4285714285714$. ✓

Exemplul 3 — Amestec de sinus și cosinus

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\sin x}$.

Rezolvare. Împărțim numărătorul și numitorul cu $x^2$, ca să apară două expresii cunoscute: $$\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\frac{\frac{1-\cos x}{x^2}}{\frac{\sin x}{x}}.$$ Numărătorul tinde la $\frac{1}{2}$ (Corolarul 2), numitorul la $1\ne 0$, deci limita este $\frac{1}{2}$.

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $0,5000000$. ✓

Exemplul 4 — Punctul nu este $0$

Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sin (x-2)}{x^2-4}$.

Rezolvare. Descompunem numitorul: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Atunci $$\frac{\sin (x-2)}{x^2-4}=\frac{\sin (x-2)}{x-2}\cdot \frac{1}{x+2}.$$ Notăm $u(x)=x-2$: când $x\to 2$ avem $u(x)\to 0$, iar $u(x)\ne 0$ pe orice vecinătate redusă a lui $2$, deci primul factor tinde la $1$. Al doilea tinde la $\frac{1}{4}$. Limita este $\frac{1}{4}$.

Verificare numerică: la $x=2+10^{-8}$ expresia dă $0,25000000$. ✓

Exemplul 5 — Un exercițiu cu grad mai mare

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{x^3}$.

Rezolvare. Dăm factor comun $\sin x$ la numărător, după ce scriem tangenta ca raport: $$\mathrm{tg}x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\sin x\cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}.$$ Prin urmare $$\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{x^3}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}⟶1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.$$ Observă cum se împart cele trei puteri ale lui $x$ de la numitor: una merge la sinus, două la $1-\cos x$. Acesta e reflexul de căpătat — numeri gradele înainte de a începe.

Verificare numerică: la $x=10^{-4}$ expresia dă $0,50000000$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{x\sin x}$. a) Arătați că $f(x)=\frac{2\sin x}{x}$ pentru orice $x$ din domeniu în care $\sin x\ne 0$. b) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. c) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

Rezolvare.

a) Din formula unghiului dublu, $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, deci $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$. Atunci $$f(x)=\frac{2{\sin }^{2}x}{x\sin x}=\frac{2\sin x}{x}.$$

b) $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=2\cdot 1=2$.

c) La $+\infty$ nu mai avem nedeterminare: $\left|2\sin x\right|\le 2$, deci $\left|f(x)\right|\le \frac{2}{x}\to 0$, iar prin criteriul majorării $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$.

Subpunctele b) și c) sunt tocmai contrastul pe care îl testează examenul: aceeași expresie, două comportări opuse, după punctul în care se ia limita.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare substituție, scrie explicit propoziția de justificare — este pas de barem, nu formalitate.

1. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{x}$.

2. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{5x}$.

3. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin 7x}$.

4. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{\sin 5x}$.

5. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}3x}{x}$.

6. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{\mathrm{tg}5x}$.

7. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 3x}{x^2}$.

8. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{1-\cos x}$.

9. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x^2\right)}{x}$ și explică de ce răspunsul nu este $1$.

10. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x\mathrm{tg}x}$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$, pentru că aceasta este limita fundamentală."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x^{\circ }}{x}=1$, unde $x^{\circ }$ înseamnă $x$ grade."

13. Calculează $\underset{x\to \pi }{\lim }\frac{\sin x}{x-\pi }$.

14. Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sin (x-3)}{x^2-9}$.

15. (Problemă aplicată.) O curbă de șosea este un arc de cerc cu unghiul la centru de $6^{\circ }$. Raportul dintre lungimea coardei și lungimea arcului este $\frac{2R\sin t}{2Rt}$, unde $t=3^{\circ }$ exprimat în radiani. Calculează acest raport și spune cu ce procent este coarda mai scurtă decât arcul; apoi explică, folosind limita fundamentală, de ce raportul se apropie de $1$ când unghiul scade.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sin 3x-\sin x}{x}$. Arătați că $f(x)=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}-\frac{\sin x}{x}$, calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$, apoi calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\mathrm{tg}x/x}$.

17. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{x^3}$ refăcând singur descompunerea din Exemplul 5.

18. (Provocare.) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\sin x)}{x}$, justificând amănunțit substituția: de ce este $u(x)=\sin x$ nenulă pe o vecinătate redusă a lui $0$?

Răspunsuri și explicații

Notă de redactare. Justificarea substituției este scrisă integral la primul răspuns; în cele care urmează ea se subînțelege, ca să nu se repete de optsprezece ori. Pe caiet și la lucrare se scrie însă de fiecare dată — este pas de barem.

1. Amplificăm cu $4$: $\frac{\sin 4x}{x}=4\cdot \frac{\sin 4x}{4x}$. Notăm $t=4x$; cum $4x\to 0$ când $x\to 0$ și $4x\ne 0$ pentru $x\ne 0$ (deci pe orice vecinătate redusă a lui $0$), forma compusă dă $\frac{\sin 4x}{4x}\to 1$. Prin urmare limita este $4\cdot 1=4$.

2. $\frac{\sin 3x}{5x}=\frac{3}{5}\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\to \frac{3}{5}=0,6$.

3. $\frac{x}{\sin 7x}=\frac{1}{7}\cdot \frac{7x}{\sin 7x}\to \frac{1}{7}$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $0,142857142857$. ✓

4. $\frac{\sin 2x}{\sin 5x}=\frac{2}{5}\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{5x}{\sin 5x}\to \frac{2}{5}=0,4$.

5. $\frac{\mathrm{tg}3x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{1}{\cos 3x}\to 3\cdot 1\cdot 1=3$.

6. $\frac{\sin 2x}{\mathrm{tg}5x}=\frac{2}{5}\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{5x}{\sin 5x}\cdot \cos 5x\to \frac{2}{5}\cdot 1\cdot 1\cdot 1=\frac{2}{5}$.

7. Amplificăm cu $1+\cos 3x$: $\frac{1-\cos 3x}{x^2}=9\cdot {\left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos 3x}\to 9\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{9}{2}=4,5$. (Regula din tabel: $\frac{a^2}{2}$ cu $a=3$.)

8. Este inversul Corolarului 2: limita numitorului împărțit la $x^2$ este $\frac{1}{2}\ne 0$, deci $\frac{x^2}{1-\cos x}\to \frac{1}{1/2}=2$.

9. $\frac{\sin \left(x^2\right)}{x}=x\cdot \frac{\sin \left(x^2\right)}{x^2}\to 0\cdot 1=0$. Nu iese $1$ pentru că sub sinus stă $x^2$, iar la numitor doar $x$: raportul fundamental cere aceeași expresie sus și jos, iar ce rămâne pe dinafară ($x$) tinde la $0$.

10. $\frac{1-\cos x}{x\mathrm{tg}x}=\frac{\frac{1-\cos x}{x^2}}{\frac{\mathrm{tg}x}{x}}\to \frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$.

11. Fals. Limita fundamentală se referă la $x\to 0$, unde avem nedeterminarea $\frac{0}{0}$. La $+\infty$ numărătorul rămâne mărginit între $-1$ și $1$, numitorul crește nemărginit, deci raportul tinde la $0$ (criteriul majorării, cu $\left|\frac{\sin x}{x}\right|\le \frac{1}{x}$).

12. Fals. În grade, $x^{\circ }=\frac{\pi x}{180}$ radiani, deci limita este $\frac{\pi }{180}\approx 0,0174533$. Limita fundamentală este adevărată doar cu argumentul în radiani.

13. Substituim $t=x-\pi$, deci $t\to 0$ și $t\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $\pi$. Din formulele de reducere, $\sin x=\sin (t+\pi )=-\sin t$, deci $\frac{\sin x}{x-\pi }=-\frac{\sin t}{t}\to -1$. Numeric, la $x=\pi +10^{-8}$: $-1,00000000$. ✓

14. $\frac{\sin (x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{\sin (x-3)}{x-3}\cdot \frac{1}{x+3}\to 1\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$.

15. $t=3^{\circ }=\frac{\pi }{60}\approx 0,05235988$ radiani, iar $\sin t\approx 0,05233596$. Raportul $\frac{\sin t}{t}\approx 0,99954314$: coarda este cu circa $0,046\%$ mai scurtă decât arcul — sub o jumătate de milimetru la fiecare metru. Când unghiul scade, $t\to 0$, iar raportul tinde la $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$: pe arce foarte scurte, coarda și arcul devin practic imposibil de deosebit, ceea ce justifică măsurătorile în linie dreaptă din topografie.

16. Din $\frac{\sin 3x-\sin x}{x}=\frac{\sin 3x}{x}-\frac{\sin x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}-\frac{\sin x}{x}$ obținem $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=3\cdot 1-1=2$. Cum $\frac{\mathrm{tg}x}{x}\to 1\ne 0$, raportul cerut tinde la $\frac{2}{1}=2$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $f(x)=2,0000000$. ✓

17. $\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{x^3}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$.

18. Scriem $\frac{\sin (\sin x)}{x}=\frac{\sin (\sin x)}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}$. Pentru primul factor luăm $u(x)=\sin x$: avem $u(x)\to 0$ și, în plus, $\sin x\ne 0$ pentru orice $x\in (-\pi ,\pi )\setminus \{0\}$ — adică pe o vecinătate redusă a lui $0$ —, pentru că singurele zerouri ale sinusului sunt $k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Deci forma compusă se aplică și primul factor tinde la $1$; al doilea tinde tot la $1$. Limita este $1$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $0,99999999999999997$. ✓

De reținut

• Prima limită fundamentală: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$, cu argumentul în radiani. Ea rezolvă nedeterminarea $\frac{0}{0}$ acolo unde algebra nu poate simplifica nimic.
• Demonstrația este un clește geometric pe cercul trigonometric: din $△OAM\subset$ sector $\subset △OAT$ ies $\sin t<t<\mathrm{tg}t$, deci $\cos t<\frac{\sin t}{t}<1$, iar ambele margini tind la $1$.
• Corolarele obligatorii: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$; a doua se obține prin amplificare cu $1+\cos x$.
• Forma compusă: dacă $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $\frac{\sin u(x)}{u(x)}\to 1$. Ambele ipoteze se scriu explicit la fiecare folosire.
• Tehnica de lucru: amplifici ca sub sinus și la numitor să apară aceeași expresie; ce rămâne pe dinafară se calculează separat.

Greșeli frecvente

• Aplici limita la $+\infty$. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$ este $0$, nu $1$: acolo nu există nedeterminare, ci un numărător mărginit împărțit la ceva care crește nemărginit. Verifică întâi unde se ia limita.
• Lucrezi în grade. $\frac{\sin x^{\circ }}{x}\to \frac{\pi }{180}$, nu $1$. Toate limitele fundamentale trigonometrice presupun radiani; dacă enunțul dă grade, transformi înainte de orice calcul.
• Nu potrivești expresia de sub sinus cu numitorul. Scrii „$\frac{\sin 5x}{x}\to 1$" pentru că „seamănă". Corect este $5\cdot \frac{\sin 5x}{5x}\to 5$: raportul fundamental cere exact aceeași expresie sus și jos.
• Omiți justificarea substituției. Scrii direct „$t=u(x)$, deci limita e $1$", fără să verifici că $u(x)\to 0$ și că $u$ nu se anulează pe o vecinătate redusă. La Bacalaureat M1 acesta e un pas punctat separat, iar fără el rezolvarea rămâne incompletă.
• Confunzi $\frac{1-\cos x}{x^2}$ cu $\frac{1-\cos x}{x}$. Prima are limita $\frac{1}{2}$, a doua are limita $0$ (se scrie $x\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}$). Numără puterile lui $x$ înainte de a decide.

Aplică acasă

1. Calculatorul pe radiani. Comută aplicația de calculator a telefonului în modul „RAD" și completează un tabel cu $x$, $\sin x$ și $\frac{\sin x}{x}$ pentru $x=0,5$; $0,1$; $0,01$; $0,001$. Notează câte zecimale ale raportului sunt egale cu $1$ la fiecare pas — vei vedea că se câștigă câte două zecimale de fiecare dată când $x$ se împarte la $10$.

2. Poligoanele lui Arhimede, de la capătul celălalt. Perimetrul poligonului regulat cu $n$ laturi înscris în cercul de rază $1$ este $2n\sin \frac{\pi }{n}$. Calculează $n\sin \frac{\pi }{n}$ pentru $n=6$, $12$, $24$, $96$ (obții $3$; $3,105829$; $3,132629$; $3,141032$) și compară cu $\pi =3,141593$. Explică de ce apropierea este exact afirmația limitei fundamentale, cu substituția $t=\frac{\pi }{n}$.

3. Măsurarea unui unghi mic. Ține un creion vertical la distanță de braț ($d\approx 60$ cm) și măsoară-i lungimea $h$. Unghiul sub care îl vezi satisface $\mathrm{tg}\alpha =\frac{h}{d}$, dar pentru unghiuri mici se folosește direct $\alpha \approx \frac{h}{d}$ radiani. Calculează ambele valori și diferența dintre ele; apoi repetă pentru un obiect de zece ori mai mic și vezi cum diferența aproape dispare.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima dintre cele cinci limite fundamentale ale programei și este prima din tot capitolul în care rezultatul nu se obține prin prelucrare algebrică, ci printr-un argument geometric. Ideea pe care elevul trebuie să o poată reproduce singur este lanțul: incluziune de figuri $\to$ inegalitate între arii $\to$ încadrare $\cos t<\frac{\sin t}{t}<1$ $\to$ criteriul cleștelui.

Ce verifică lecția: (1) demonstrația încadrării $\sin t<t<\mathrm{tg}t$, cu toate cele trei arii scrise corect; (2) trecerea de la șiruri la funcții, conform definiției limitei cu șiruri; (3) folosirea formei compuse cu justificarea celor două ipoteze — limita zero și nenularea pe o vecinătate redusă; (4) cele două corolare, mai ales $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$, obținut prin amplificare cu conjugata.

Întrebări bune de control: „De ce nu putem simplifica prin $x$, așa cum făceam la funcțiile raționale?", „De ce este esențial ca unghiul să fie în radiani?", „Ce se schimbă dacă limita se ia la $+\infty$ în loc de $0$?". Semn că elevul a înțeles: la o expresie de tip $\frac{\sin 7x}{3x}$ începe prin a amplifica, nu prin a ghici. Semn de alarmă: scrie „$\to 1$" ori de câte ori vede un sinus la numărător.

La BAC M1 tiparul cel mai frecvent este un subiect cu trei subpuncte, în care a) cere o transformare trigonometrică (formula unghiului dublu, de regulă), b) limita în $0$, iar c) o limită la infinit sau într-un alt punct — tocmai ca să separe elevii care aplică o rețetă de cei care se uită întâi unde se ia limita. Continuarea firească este lecția despre limitele fundamentale cu exponențială și logaritm.

Întrebări frecvente

Cât este limita din sin x supra x când x tinde la zero? Este exact $1$: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$, cu $x$ măsurat în radiani. Este prima dintre cele cinci limite fundamentale din programa clasei a XI-a și rezolvă nedeterminarea $\frac{0}{0}$ la expresiile trigonometrice.

Cum se demonstrează limita sin x pe x? Pe cercul trigonometric se compară ariile a trei figuri incluse una în alta: triunghiul $OAM$, sectorul de cerc $OAM$ și triunghiul $OAT$. Rezultă $\sin t<t<\mathrm{tg}t$, de unde $\cos t<\frac{\sin t}{t}<1$. Cum $\cos t\to 1$, criteriul cleștelui dă limita $1$. Trecerea de la șiruri la funcții se face prin definiția limitei cu șiruri.

De ce trebuie unghiul măsurat în radiani? Pentru că în demonstrație lungimea arcului de pe cercul de rază $1$ este chiar numărul $t$ — ceea ce e adevărat numai în radiani. Dacă se lucrează în grade, apare factorul $\frac{\pi }{180}$ și limita devine $\frac{\pi }{180}\approx 0,0175$, nu $1$.

Cât este limita din tg x supra x? Tot $1$, pentru că $\frac{\mathrm{tg}x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}$, iar cei doi factori tind la $1$, respectiv la $1$. Este primul corolar al limitei fundamentale și se cere la fel de des ca ea.

Cât este limita din 1 minus cos x supra x la pătrat? Este $\frac{1}{2}$. Se obține amplificând cu $1+\cos x$: $\frac{1-\cos x}{x^2}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\to 1\cdot \frac{1}{2}$. Atenție la numitor: cu $x$ în loc de $x^2$, limita ar fi $0$.

Cum calculez limita din sin ax supra sin bx? Amplifici astfel încât sub fiecare sinus și la numitorul corespunzător să apară aceeași expresie: $\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\cdot \frac{\sin ax}{ax}\cdot \frac{bx}{\sin bx}$. Ambele rapoarte tind la $1$, deci limita este $\frac{a}{b}$.

Ce trebuie scris obligatoriu la substituție, ca să iau punctajul? Propoziția care verifică cele două ipoteze: „notăm $t=u(x)$; cum $u(x)\to 0$ când $x\to x_0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, obținem $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1$". Baremele de Bacalaureat M1 punctează separat acest pas.

Se poate calcula limita aceasta mai simplu, cu derivate? Există o regulă care se învață mai târziu, la lecția despre regulile lui L'Hôpital, dar ea nu ajută aici: derivata lui $\sin x$ se calculează folosind tocmai limita din lecția de față, deci raționamentul ar fi circular. Demonstrația geometrică rămâne singura corectă la acest nivel.