Limita unei funcții într-un punct: pe scurt

Limita descrie ce se întâmplă în jurul lui $x_0$, nu în $x_0$.

Definiția cu șiruri. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D^{\prime }$. Spunem că $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ cu termeni în $D\setminus \{x_0\}$ și $x_n\to x_0$ avem $f(x_n)\to \ell$. Condiția $x_n\ne x_0$ face parte din definiție: fără ea, șirul constant ar impune $\ell =f(x_0)$.

Consecințe imediate: valoarea $f(x_0)$ nu intervine în calcul (poate să difere de $\ell$ sau să nu existe deloc), iar $x_0$ nici nu trebuie să aparțină domeniului — e de ajuns să fie punct de acumulare al lui. Limita, când există, este unică, unicitatea fiind moștenită de la șiruri.

Ca să arăți că limita nu există, dai două șiruri admisibile cu limite diferite ale valorilor: pentru $f(x)=\frac{|x|}{x}$ în $0$, șirul $\frac{1}{n}$ dă $1$, iar $-\frac{1}{n}$ dă $-1$. Atenție la distincția pe care baremele o urmăresc: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$ este o limită care există în $\overline{\mathbb{R}}$.

La funcțiile polinomiale, limita într-un punct este chiar valoarea funcției acolo.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2+5x+6}{x+2}$.

   • a) $-1$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $1$

   Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, iar $-2$ este punct de acumulare al lui. Cum $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ și șirurile din definiție au $x_n\ne -2$, simplificarea prin $x_n+2$ este legitimă: raportul devine $x_n+3\to 1$. Varianta d) ar rezulta din înlocuirea lui $x$ cu $2$ în loc de $-2$.

2. Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x-1$ pentru $x\ne 3$ și $g(3)=10$. Atunci $\underset{x\to 3}{\lim }g(x)$ este:

   • a) $10$
   • b) nu există
   • c) $3$
   • d) $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $5$

   Șirurile din definiție evită punctul $3$, deci pentru toate se folosește prima formulă: $g(x_n)=2x_n-1\to 5$. Limita este $5$, deși $g(3)=10$ — limita citește vecinătatea, valoarea citește punctul.

3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$, deci limita există în $\overline{\mathbb{R}}$
   • b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$
   • c) Dacă $f$ nu este definită în $x_0$, atunci $f$ nu are limită în $x_0$
   • d) Dacă un singur șir $x_n\to x_0$ dă $f(x_n)\to 4$, atunci limita este $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$, deci limita există în $\overline{\mathbb{R}}$

   La a), numitorul $x_n^2$ tinde la zero rămânând pozitiv din ambele părți, deci raportul tinde la $+\infty$: limita există în dreapta reală încheiată. La b), apropierile prin valori negative dau $-\infty$, deci limita nu există. c) e falsă ($\frac{x^2-4}{x-2}$ are limita $4$ în $2$), iar d) ignoră cuvântul „orice” din definiție.