Limita unei funcții într-un punct: lectură grafică și definiția cu șiruri

Un lift urcă spre etajul al treilea. Cu o secundă înainte de sosire e la $2,9$ etaje, cu o zecime de secundă înainte, la $2,99$, cu o sutime, la $2,999$. Chiar dacă ai opri filmarea exact înainte de oprire, tot ai putea spune fără ezitare unde se îndreaptă cabina: spre etajul $3$. Ce ai făcut, de fapt, este o trecere la limită — ai citit tendința valorilor fără să folosești valoarea din momentul final.

Exact acesta este obiectul lecției. Vom privi o funcție $f$ și un punct $x_0$, ne vom apropia de $x_0$ fără să-l atingem și vom urmări către ce se îndreaptă valorile $f(x)$. Începem, așa cum cere programa, cu ochiul liber, pe grafic; apoi transformăm observația într-o definiție riguroasă, folosind șirurile — singurul instrument de care avem nevoie, pentru că limitele de șiruri au fost deja construite complet. Vei descoperi două lucruri surprinzătoare la prima vedere: valoarea $f(x_0)$ nu joacă niciun rol, iar uneori limita pur și simplu nu există, iar acest lucru se poate demonstra cu două șiruri bine alese.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești de pe grafic limita unei funcții într-un punct și să deosebești limita de valoarea funcției în acel punct.
• Vei ști să enunți definiția limitei cu șiruri și să explici rolul condiției ca șirurile să evite punctul $x_0$.
• Vei ști să calculezi o limită din definiție, alegând un șir arbitrar $x_n\to x_0$ și folosind operațiile cu șiruri.
• Vei ști să demonstrezi că o limită nu există, punând în evidență două șiruri cu limite diferite ale valorilor.
• Vei ști să recunoști și să justifici limitele infinite într-un punct finit.
• Vei ști de ce, pentru funcțiile polinomiale, limita într-un punct al domeniului este chiar valoarea funcției acolo.

Hai să descoperim împreună

1. Lectura grafică: ce se vede înainte de a se demonstra

Începem cu un grafic desenat, al unei funcții alese arbitrar — fără formulă, ca să nu fim tentați să calculăm. Ne interesează un singur lucru: ce se întâmplă cu ordonata punctului de pe grafic atunci când abscisa alunecă spre $x_0$.

Citirea se face în trei mișcări, în această ordine: (1) alegi valori ale lui $x$ tot mai apropiate de $x_0$, din ambele părți; (2) urci la grafic și citești ordonatele; (3) observi către ce număr se strâng ordonatele. Dacă toate se strâng în jurul aceleiași valori $\ell$, spui că limita funcției în $x_0$ este $\ell$.

Sunt trei lucruri de remarcat în acest procedeu, și fiecare dintre ele se va regăsi, cuvânt cu cuvânt, în definiția riguroasă. Primul: nu ne uităm niciodată la punctul de pe grafic aflat deasupra lui $x_0$, ci numai la vecinii lui — degetul se plimbă pe curbă spre punct, dar nu se oprește pe el. Al doilea: apropierea se face din ambele părți, iar dacă cele două lecturi dau răspunsuri diferite, nu avem o limită, ci două tendințe care se contrazic. Al treilea: nu ne interesează cât de repede se strâng ordonatele, ci doar unde se strâng — un grafic care coboară abrupt și unul care coboară lin pot avea aceeași limită.

Aceeași citire funcționează și când răspunsul e „nu există": dacă ridici degetul de pe curbă dinspre stânga și ajungi la înălțimea $1$, iar dinspre dreapta ajungi la înălțimea $4$, atunci graficul are un salt în $x_0$ și nu se poate numi nicio valoare unică. Lectura grafică este așadar exactă ca intuiție, dar nu demonstrează nimic — la fel ca la șiruri, unde tabelul de valori din lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți sugera răspunsul, iar definiția îl garanta. Un desen poate fi imprecis, iar ochiul nu poate verifica „oricât de aproape". Ne trebuie deci o definiție, iar înainte de ea, o observație care schimbă tot.

2. Valoarea $f(x_0)$ nu contează

Iată trei funcții și același punct, $x_0=1$:

Pentru toate trei, punctele vecine lui $1$ au aceleași ordonate: $h(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ pentru orice $x\ne 1$, iar $g$ coincide cu $f$ peste tot, mai puțin într-un singur punct. Prin urmare tendința este aceeași, deși valorile în $1$ sunt diferite sau inexistente.

Concluzia, care trebuie reținută ca principiu: limita descrie ce se întâmplă în jurul lui $x_0$, nu în $x_0$. De aceea, în definiția care urmează, punctul $x_0$ va fi scos explicit din joc. Și de aceea limita se poate cere și acolo unde funcția nu e definită — cu condiția, stabilită în lecția Punct de acumulare și punct izolat, ca $x_0$ să fie punct de acumulare al domeniului.

Cele trei rânduri ale tabelului acoperă, de altfel, toate situațiile posibile: ori funcția nu e definită în $x_0$, ori e definită și valoarea ei coincide cu tendința vecinilor, ori e definită și valoarea se abate de la tendință. Primul caz este cel mai frecvent la exerciții, pentru că apare de câte ori un numitor se anulează; al treilea pare artificial, dar el descrie exact ce se întâmplă la funcțiile definite pe ramuri, unde autorul enunțului fixează separat valoarea din punctul de racord.

3. Definiția cu șiruri

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție, $x_0\in D^{\prime }$ un punct de acumulare al domeniului și $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Spunem că $\ell$ este limita funcției $f$ în punctul $x_0$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ cu $$x_n\in D\setminus \{x_0\}\text{pentru orice }n,\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0,$$ șirul valorilor are limita $\ell$, adică $\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n)=\ell$. Scriem atunci $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell .$$

Trei precizări, fiecare corespunzând unei greșeli clasice:

1. Cuvântul „orice" este partea grea. Nu e suficient ca un șir să dea $\ell$; trebuie ca toate șirurile admisibile să dea aceeași valoare. De aici va veni, în secțiunea 5, metoda de a arăta că limita nu există.
2. Condiția $x_n\ne x_0$ face parte din definiție, nu e un amănunt de după. Fără ea, șirul constant $x_n=x_0$ ar fi admisibil, iar $f(x_n)=f(x_0)$ ar impune $\ell =f(x_0)$ — exact ce am arătat în secțiunea 2 că nu trebuie să se întâmple. Cu ea, funcțiile $f$, $g$ și $h$ din tabel au aceeași limită în $1$.
3. $\ell$ poate fi și $+\infty$ sau $-\infty$, pentru că lucrăm în $\overline{\mathbb{R}}$. Ca și la șiruri, în lecția Șiruri cu limită infinită. Operații, o limită infinită este o limită care există; „nu are limită" este o a treia situație, distinctă.

Limita este unică. Dacă ar exista două valori distincte ${\ell }_1\ne {\ell }_2$ care verifică definiția, atunci, luând un singur șir admisibil $(x_n)$ — el există, pentru că $x_0$ e punct de acumulare — șirul $(f(x_n))$ ar avea două limite diferite, ceea ce contrazice unicitatea limitei unui șir, demonstrată în lecția Șiruri convergente și șiruri divergente. Putem deci scrie liniștiți semnul egal și articolul hotărât: limita funcției în $x_0$.

4. Definiția la lucru

Să calculăm $\underset{x\to 3}{\lim }(2x+1)$ strict din definiție. Fie $(x_n)$ un șir oarecare cu $x_n\ne 3$ și $x_n\to 3$. Atunci, folosind operațiile cu șiruri convergente din lecția Operații cu șiruri convergente, $$f(x_n)=2x_n+1⟶2\cdot 3+1=7.$$ Cum șirul a fost arbitrar, concluzia se aplică tuturor: $\underset{x\to 3}{\lim }(2x+1)=7$.

Observă structura raționamentului, pentru că se repetă la fiecare limită calculată din definiție: iei un șir arbitrar, îl introduci în expresia funcției, aplici regulile de la șiruri, obții o valoare care nu depinde de alegerea șirului.

Control numeric, pe trei șiruri concrete. Pentru $x_n=3+\frac{1}{n}$ obținem $f(x_n)=7+\frac{2}{n}$; pentru $x_n=3-\frac{1}{n}$, $f(x_n)=7-\frac{2}{n}$; pentru $x_n=3+\frac{(-1{)}^n}{n}$, $f(x_n)=7+\frac{2(-1{)}^n}{n}$. La $n=10^4$, toate trei sunt la distanța $2\cdot 10^{-4}$ de $7$, unele deasupra, altele dedesubt. Niciunul dintre șiruri nu atinge $3$ — condiția din definiție e respectată.

5. Cum se arată că limita NU există

Definiția cere ca toate șirurile să conducă la aceeași valoare. Prin urmare, ca să negi existența limitei, e de ajuns să găsești două șiruri admisibile care conduc la valori diferite.

Criteriu (de inexistență a limitei). Dacă există două șiruri $(x_n)$ și $(y_n)$, ambele cu termeni în $D\setminus \{x_0\}$ și ambele tinzând la $x_0$, astfel încât $\lim f(x_n)\ne \lim f(y_n)$ (sau una dintre limite nu există), atunci $f$ nu are limită în $x_0$.

Aplicație. Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, și $x_0=0$. Punctul $0$ este punct de acumulare al domeniului, deci întrebarea are sens. Luăm $$x_n=\frac{1}{n}⟶0,f(x_n)=n⟶+\infty ;y_n=-\frac{1}{n}⟶0,f(y_n)=-n⟶-\infty .$$ Cele două limite sunt diferite, deci $f$ nu are limită în $0$. Reține formularea exactă: nu spunem „limita este infinită", ci „limita nu există" — pentru că cele două apropieri dau răspunsuri opuse.

Metoda este exact aceeași cu cea de la subșiruri, din lecția Șiruri convergente și șiruri divergente: acolo comparai subșirul par cu cel impar, aici compari o apropiere prin valori mai mari cu una prin valori mai mici.

6. Limita infinită într-un punct

Definiția acceptă $\ell =\pm \infty$, iar acest caz apare des la funcțiile raționale.

Exemplu. Fie $f(x)=\frac{1}{(x-1{)}^2}$, definită pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, și $x_0=1$. Fie $(x_n)$ arbitrar, cu $x_n\ne 1$ și $x_n\to 1$. Atunci $(x_n-1{)}^2\to 0$ și, în plus, $(x_n-1{)}^2>0$ pentru orice $n$. Numitorul tinde la zero prin valori pozitive, deci — după tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$ din lecția Șiruri cu limită infinită. Operații — $$f(x_n)=\frac{1}{(x_n-1{)}^2}⟶+\infty .$$ Cum șirul a fost arbitrar, $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(x-1{)}^2}=+\infty$. Aici limita există (în $\overline{\mathbb{R}}$), spre deosebire de cazul lui $\frac{1}{x}$ în $0$, unde semnul numitorului se schimbă și cele două apropieri se contrazic.

Verificare numerică. Pentru $x=1\pm 10^{-3}$ obținem $f(x)=10^6$; pentru $x=1\pm 10^{-4}$, $f(x)=10^8$: valorile cresc peste orice prag, la fel din ambele părți.

7. Funcțiile polinomiale: limita este chiar valoarea

Pentru funcțiile cu care lucrezi zilnic, calculul se scurtează foarte mult.

Propoziție. Dacă $f$ este o funcție polinomială și $x_0\in \mathbb{R}$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

Justificare. Fie $(x_n)$ arbitrar, cu $x_n\to x_0$ și $x_n\ne x_0$. Din regula produsului pentru șiruri convergente rezultă $x_n^k\to x_0^k$ pentru orice $k$, iar din regulile sumei și înmulțirii cu o constantă, orice combinație de forma $a_k{x}_n^k+\cdots +a_1{x}_n+a_0$ tinde la $a_k{x}_0^k+\cdots +a_1{x}_0+a_0=f(x_0)$. $■$

Același lucru se vede pe grafic: graficul unei funcții polinomiale este o curbă „dintr-o singură trăsătură de creion", deci ordonatele punctelor vecine se strâng exact spre ordonata punctului $(x_0,f(x_0))$ — acesta este chiar argumentul prin lectură grafică pe care îl cere programa.

Așa obținem, dintr-o singură privire, $\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2-3x+2\right)=4-6+2=0$ sau $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^3+2x\right)=-3$. Atenție: proprietatea nu se extinde automat la orice funcție. Lista completă a funcțiilor pentru care „limita este valoarea" — putere, radical, exponențială, logaritmică, trigonometrice — se stabilește în lecțiile Limitele funcțiilor putere și radical și următoarele, iar regulile generale de calcul, în lecția Operații cu limite de funcții. Până acolo, unealta ta este definiția.

8. Ce urmează și ce nu spune definiția

Definiția nu spune nimic despre ce se întâmplă în $x_0$ și nu garantează că limita există. Ea nu spune nici că apropierea trebuie făcută din ambele părți: uneori domeniul permite o singură parte (de pildă $x_0=0$ pentru o funcție definită pe $(0,+\infty )$), iar atunci se folosesc doar șirurile disponibile.

Tocmai această observație deschide lecția următoare, Limite laterale: dacă separăm șirurile care se apropie prin valori mai mici de cele care se apropie prin valori mai mari, obținem două limite, iar existența limitei propriu-zise devine o chestiune de egalitate între ele. Pentru $\frac{1}{x}$ în $0$, cele două vor fi $-\infty$ și $+\infty$ — de unde, încă o dată, inexistența limitei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Limita unei funcții de gradul întâi, din definiție

Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }(3x-5)$, folosind definiția cu șiruri.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}$, iar $2\in {\mathbb{R}}^{\prime }$, deci întrebarea are sens. Fie $(x_n)$ un șir arbitrar cu $x_n\ne 2$ și $x_n\to 2$. Din operațiile cu șiruri convergente, $$3x_n-5⟶3\cdot 2-5=1.$$ Șirul fiind arbitrar, $\underset{x\to 2}{\lim }(3x-5)=1$.

Verificare numerică: pentru $x=1,999$ obținem $0,997$, iar pentru $x=2,001$, $1,003$ — valorile se strâng simetric în jurul lui $1$. ✓

Exemplul 2 — Funcție nedefinită în punctul cerut

Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$.

Rezolvare. Domeniul maxim este $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, iar $2\in D^{\prime }$ (orice vecinătate a lui $2$ conține puncte din $D$), deci limita se poate cere, deși funcția nu e definită în $2$.

Fie $(x_n)$ arbitrar, cu $x_n\in D$, deci $x_n\ne 2$, și $x_n\to 2$. Cum $x_n-2\ne 0$, putem simplifica: $$f(x_n)=\frac{x_n^2-4}{x_n-2}=\frac{(x_n-2)(x_n+2)}{x_n-2}=x_n+2⟶4.$$ Prin urmare $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=4$.

Observă unde s-a folosit ipoteza: simplificarea prin $x_n-2$ este legitimă exact pentru că definiția impune $x_n\ne 2$. Verificare: $f(1,999)=3,999$ și $f(2,001)=4,001$. ✓

Exemplul 3 — Limita nu ține cont de valoarea funcției

Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+1$ pentru $x\ne 1$ și $g(1)=5$. Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)$ și comparați cu $g(1)$.

Rezolvare. Fie $(x_n)$ arbitrar, cu $x_n\ne 1$ și $x_n\to 1$. Pentru toți acești termeni funcția este dată de prima ramură, deci $$g(x_n)=x_n+1⟶2.$$ Așadar $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=2$, în timp ce $g(1)=5$. Cele două numere sunt diferite, și nu e nicio contradicție: limita citește vecinătatea, valoarea citește punctul.

Verificare pe două șiruri concrete: $g\left(1+\frac{1}{10^4}\right)=2,0001$ și $g\left(1-\frac{1}{10^4}\right)=1,9999$ — ambele lângă $2$, niciunul lângă $5$. Situația se va numi, în lecția Puncte de discontinuitate, discontinuitate.

Exemplul 4 — O limită care nu există

Arătați că funcția $f : \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{\lvert x \rvert}{x}$,nuarelimit\breve{a}\hat{ı}n$0$.*

Rezolvare. Punctul $0$ este punct de acumulare pentru ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deci întrebarea are sens. Alegem două șiruri admisibile: $$x_n=\frac{1}{n}>0\Rightarrow f(x_n)=\frac{1/n}{1/n}=1;y_n=-\frac{1}{n}<0\Rightarrow f(y_n)=\frac{1/n}{-1/n}=-1.$$ Ambele șiruri tind la $0$ și evită $0$, dar $\lim f(x_n)=1\ne -1=\lim f(y_n)$. Prin criteriul de inexistență, $f$ nu are limită în $0$. $■$

(Funcția aceasta ia valoarea $1$ pe toate numerele pozitive și $-1$ pe toate cele negative, deci graficul ei are un salt în origine.)

Exemplul 5 — Limită infinită

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}$.

Rezolvare. Domeniul este ${\mathbb{R}}^{\ast }$, iar $0$ este punct de acumulare al lui. Fie $(x_n)$ arbitrar, cu $x_n\ne 0$ și $x_n\to 0$. Atunci $x_n^2\to 0$ și $x_n^2>0$ pentru orice $n$, deci numitorul tinde la zero rămânând pozitiv. Din tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$, $$\frac{1}{x_n^2}⟶+\infty .$$ Rezultatul nu depinde de șir, deci $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$.

Verificare: $f(\pm 0,1)=100$, $f(\pm 0,01)=10^4$, $f(\pm 0,001)=10^6$. ✓ Contrastul cu Exemplul 4 e instructiv: acolo semnul se schimba, aici nu — de aceea aici limita există.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}$. a) Determinați domeniul maxim de definiție $D$ și arătați că $2\in D^{\prime }$. b) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$. c) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$ și comparați rezultatul cu $f(0)$.

Rezolvare.

a) Numitorul se anulează doar pentru $x=2$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Șirul $x_n=2+\frac{1}{n}$ are termenii în $D$, este diferit de $2$ și tinde la $2$, deci $2\in D^{\prime }$.

b) Folosim descompunerea $x^3-8=(x-2)\left(x^2+2x+4\right)$. Fie $(x_n)$ arbitrar în $D$, cu $x_n\to 2$; cum $x_n\ne 2$, simplificăm: $$f(x_n)=\frac{(x_n-2)\left(x_n^2+2x_n+4\right)}{x_n-2}=x_n^2+2x_n+4⟶4+4+4=12.$$ Deci $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=12$. Verificare: $f(1,999)=11,994\dots$ și $f(2,001)=12,006\dots$ ✓

c) În $0$ funcția este definită, iar pentru orice șir $x_n\to 0$ cu $x_n\ne 0$ avem, tot din simplificarea de mai sus, $f(x_n)=x_n^2+2x_n+4\to 4$. Pe de altă parte $f(0)=\frac{-8}{-2}=4$. Cele două coincid, spre deosebire de Exemplul 3 — o coincidență care nu e întâmplătoare și care va căpăta un nume în lecția Continuitatea unei funcții într-un punct.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită, scrie mai întâi domeniul și verifică într-o propoziție că punctul este de acumulare pentru el — este pasul pentru care baremele de la Bacalaureat M1 acordă punct separat.

1. Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }(4x-3)$, folosind definiția cu șiruri.

2. Calculează $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+3x\right)$.

3. Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}$, precizând unde folosești faptul că $x_n\ne 3$.

4. Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x-3}$.

5. Fie $g(x)=2x$ pentru $x\ne 4$ și $g(4)=100$. Calculează $\underset{x\to 4}{\lim }g(x)$.

6. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x}$ și explică de ce, aici, răspunsul coincide cu valoarea funcției.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ nu este definită în $x_0$, atunci $f$ nu are limită în $x_0$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un singur șir $x_n\to x_0$ dă $f(x_n)\to 5$, atunci limita funcției în $x_0$ este $5$."

9. Arată că funcția $f(x)=\frac{1}{x-1}$ nu are limită în $1$, folosind două șiruri potrivite.

10. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{(x-2{)}^2}$.

11. Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}$.

12. Fie $f(x)=x+1$ pentru $x<0$ și $f(x)=x-1$ pentru $x>0$. Arată că $f$ nu are limită în $0$.

13. (Problemă aplicată.) Concentrația unei substanțe, la $t$ minute de la începutul reacției, este $c(t)=\frac{t^2-1}{t-1}$ grame pe litru, pentru $t\ne 1$. Către ce valoare tinde concentrația la apropierea de minutul $1$? Ce înseamnă că funcția nu e definită exact în acel moment?

14. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+3x}{x}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)=\frac{x^2-x-6}{x-3}$. Determinați domeniul maxim de definiție și calculați $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$.

16. Determină numărul real $a$ pentru care $\underset{x\to 1}{\lim }\left(a{x}^2+3\right)=8$.

17. Fie $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=7$. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ și compară cu $f(2)$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dată de $f(x)=0$ dacă $x$ este rațional și $f(x)=1$ dacă $x$ este irațional. Arată că $f$ nu are limită în niciun punct.

Răspunsuri și explicații

1. Domeniul e $\mathbb{R}$. Pentru orice șir $x_n\to 1$, $x_n\ne 1$, avem $4x_n-3\to 4-3=1$. Deci limita este $1$.

2. Funcția fiind polinomială, limita este valoarea: $(-2{)}^2+3(-2)=4-6=-2$.

3. $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Pentru $x_n\ne 3$: $\frac{(x_n-3)(x_n+3)}{x_n-3}=x_n+3\to 6$. Simplificarea prin $x_n-3$ este permisă tocmai pentru că $x_n\ne 3$, adică pentru că numitorul e nenul. Limita este $6$.

4. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, deci pentru $x_n\ne 3$ raportul devine $x_n-2\to 1$. Limita este $1$. Verificare: la $x=3,001$ valoarea e $1,001$.

5. Șirurile din definiție evită $4$, deci pentru toate $g(x_n)=2x_n\to 8$. Limita este $8$, deși $g(4)=100$.

6. $D={\mathbb{R}}^{\ast }$, iar $2\in D^{\prime }$. Pentru $x_n\to 2$ cu $x_n\ne 0$, din regula câtului la șiruri convergente (numitorul are limita $2\ne 0$) obținem $\frac{1}{x_n}\to \frac{1}{2}$. Coincide cu $f(2)=\frac{1}{2}$ pentru că numitorul nu se anulează în punct.

7. Fals. Exemplul 2 arată contrariul: $\frac{x^2-4}{x-2}$ nu e definită în $2$ și are limita $4$. Ce se cere nu e ca $x_0$ să fie în domeniu, ci să fie punct de acumulare al domeniului.

8. Fals. Definiția cere toate șirurile. Pentru $f(x)=\frac{|x|}{x}$ în $0$, șirul $\frac{1}{n}$ dă valori care tind la $1$, dar șirul $-\frac{1}{n}$ dă $-1$, deci limita nu există.

9. $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Pentru $x_n=1+\frac{1}{n}$ avem $f(x_n)=n\to +\infty$; pentru $y_n=1-\frac{1}{n}$, $f(y_n)=-n\to -\infty$. Limitele diferă, deci limita nu există.

10. Pentru orice $x_n\to 2$, $x_n\ne 2$, numitorul $(x_n-2{)}^2$ tinde la $0$ rămânând pozitiv, deci raportul tinde la $+\infty$. Limita este $+\infty$; spre deosebire de exercițiul 9, aici semnul nu se schimbă.

11. Numitorul are limita $3-1=2\ne 0$, deci din regula câtului la șiruri: $\frac{2\cdot 3+1}{3-1}=\frac{7}{2}$. Verificare: la $x=3,001$ valoarea e $3,4993\dots$, aproape de $3,5$.

12. Pentru $x_n=-\frac{1}{n}<0$: $f(x_n)=1-\frac{1}{n}\to 1$. Pentru $y_n=\frac{1}{n}>0$: $f(y_n)=\frac{1}{n}-1\to -1$. Cele două limite diferă, deci $f$ nu are limită în $0$.

13. Pentru $t\ne 1$, $c(t)=\frac{(t-1)(t+1)}{t-1}=t+1$, deci $\underset{t\to 1}{\lim }c(t)=2$ grame pe litru. Faptul că formula nu e definită exact în minutul $1$ nu împiedică prezicerea: valoarea „către care se îndreaptă" procesul este $2$, iar aceasta e chiar informația utilă în practică.

14. $D={\mathbb{R}}^{\ast }$. Pentru $x_n\ne 0$: $\frac{x_n\left(x_n+3\right)}{x_n}=x_n+3\to 3$. Limita este $3$.

15. $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$ și, pentru $x_n\ne 3$, raportul devine $x_n+2\to 5$. Limita este $5$. Verificare: $f(2,999)=4,999$ și $f(3,001)=5,001$. ✓

16. Funcția fiind polinomială, limita este valoarea în $1$: $a+3$. Din $a+3=8$ rezultă $a=5$. Verificare: $\underset{x\to 1}{\lim }\left(5x^2+3\right)=8$. ✓

17. Șirurile evită $2$, deci $f(x_n)=x_n+2\to 4$: limita este $4$, deși $f(2)=7$. Este exact tiparul din Exemplul 3.

18. Fie $x_0$ un număr real oarecare. Prin densitatea numerelor raționale în $\mathbb{R}$, există un șir de raționale $r_n\to x_0$ cu $r_n\ne x_0$, iar $f(r_n)=0\to 0$. Există și un șir de iraționale $s_n\to x_0$ cu $s_n\ne x_0$ (de pildă $s_n=x_0+\frac{\sqrt{2}}{n}$, care e irațional dacă $x_0$ e rațional; dacă $x_0$ e irațional, luăm $s_n=x_0+\frac{1}{n}$), iar $f(s_n)=1\to 1$. Cum $0\ne 1$, limita nu există în niciun punct.

De reținut

• Definiția cu șiruri: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$ avem $f(x_n)\to \ell$. Condiția $x_n\ne x_0$ face parte din definiție.
• Limita nu depinde de $f(x_0)$, iar $x_0$ nici nu trebuie să fie în domeniu — trebuie doar să fie punct de acumulare al domeniului.
• Ca să arăți că limita nu există, dai două șiruri admisibile cu limite diferite ale valorilor; este metoda standard, cerută ca atare în bareme.
• Limita poate fi infinită, și atunci ea există în $\overline{\mathbb{R}}$; „nu are limită" este o afirmație diferită, care se scrie doar când e adevărată.
• La funcțiile polinomiale, limita într-un punct este chiar valoarea funcției acolo — se justifică cu regulile de la șiruri și se vede pe grafic.

Greșeli frecvente

• Înlocuiești direct $x$ cu $x_0$, oricare ar fi funcția. La $\frac{x^2-4}{x-2}$ în $2$ obții $\frac{0}{0}$, care nu e un rezultat, ci un caz de nedeterminare. Procedeul e legitim doar acolo unde a fost justificat — deocamdată, la funcțiile polinomiale.
• Uiți condiția $x_n\ne x_0$ și „demonstrezi" că limita este întotdeauna $f(x_0)$. Exemplul 3 arată că e fals: limita e $2$, iar valoarea, $5$.
• Verifici un singur șir și tragi concluzia. Un șir dovedește cel mult ce nu poate fi limita; pentru a o stabili, ai nevoie de un șir arbitrar sau de o pereche de șiruri care se contrazic, pentru inexistență.
• Confunzi „limita nu există" cu „limita este infinită". La $\frac{1}{x}$ în $0$ limita nu există (apropierile dau $+\infty$ și $-\infty$); la $\frac{1}{x^2}$ în $0$ limita există și este $+\infty$.
• Ceri limita într-un punct izolat. Pentru o funcție definită pe $[0,1]\cup \{5\}$, limita în $5$ nu are sens: nu există niciun șir din domeniu, diferit de $5$, care să tindă la $5$.

Aplică acasă

1. Tabelul de apropiere. Alege funcția $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ și completează un tabel cu valorile ei pentru $x=2,9$; $2,99$; $2,999$ și apoi $3,001$; $3,01$; $3,1$. Observă cum cele două coloane se strâng spre același număr, deși funcția nu are nicio valoare în $3$.

2. Limita ca predicție. Cronometrează, de trei ori, timpul în care un obiect ușor cade de la un metru. Calculează media parțială după fiecare încercare și observă cum se stabilizează: ai făcut, empiric, exact ce face limita — ai citit tendința, nu o valoare izolată.

3. Vânătoare de salturi. Caută trei situații din viața de zi cu zi în care o mărime „sare" brusc (tariful unei parcări la trecerea unei ore, prețul unui bilet la împlinirea unei vârste, treapta unui impozit). Pentru fiecare, spune ce se întâmplă la apropierea din stânga și ce se întâmplă la apropierea din dreapta: sunt exact situațiile în care limita nu există.

Pentru părinți și profesori

Lecția face saltul de la limite de șiruri la limite de funcții, iar programa prescrie explicit drumul: mai întâi intuitiv, prin lectură grafică pe o funcție aleasă arbitrar, apoi riguros, prin definiția cu șiruri. Ideea pe care elevul trebuie să o poată formula singur: limita descrie comportamentul în vecinătatea punctului, iar valoarea funcției în punct este o informație complet separată.

Ce verifică lecția: (1) scrierea domeniului și verificarea faptului că punctul este de acumulare; (2) folosirea unui șir arbitrar, nu a unuia particular, atunci când se calculează o limită; (3) simplificarea corectă, cu menționarea motivului ($x_n\ne x_0$); (4) demonstrarea inexistenței limitei prin două șiruri. Întrebări bune de control: „Poate limita să difere de valoarea funcției?", „De ce nu e destul un singur șir?", „Care e diferența dintre «limita nu există» și «limita este infinită»?".

La BAC M1, definiția cu șiruri apare direct în cerințele teoretice și în exercițiile în care se cere să se arate că o funcție nu are limită într-un punct; indirect, ea susține absolut toate calculele de limite din subiectele de examen. Semne că elevul a înțeles: nu înlocuiește mecanic $x$ cu $x_0$ și știe să explice de ce are voie să simplifice.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă limita unei funcții într-un punct? Înseamnă valoarea către care se îndreaptă $f(x)$ atunci când $x$ se apropie oricât de mult de $x_0$, fără să fie egal cu $x_0$. Riguros: pentru orice șir $x_n\to x_0$ cu $x_n$ în domeniu și $x_n\ne x_0$, șirul valorilor $f(x_n)$ tinde la aceeași valoare $\ell$.

De ce se cere ca șirurile să evite punctul $x_0$? Pentru că limita descrie vecinătatea punctului, nu punctul. Dacă șirul constant $x_n=x_0$ ar fi permis, limita ar fi obligată să fie $f(x_0)$, iar noțiunea nu ar mai putea descrie situațiile în care funcția nu e definită în $x_0$ sau are acolo o valoare „ruptă" de restul graficului.

Limita poate fi diferită de valoarea funcției în punct? Da. Dacă $g(x)=x+1$ pentru $x\ne 1$ și $g(1)=5$, atunci limita în $1$ este $2$, iar valoarea este $5$. Cazul în care cele două coincid este special și primește un nume aparte, la lecția despre continuitate.

Cum arăt că o funcție nu are limită într-un punct? Alegi două șiruri care tind la acel punct, ambele din domeniu și diferite de el, și arăți că șirurile valorilor au limite diferite. Exemplul standard este $\frac{|x|}{x}$ în $0$, unde apropierea prin valori pozitive dă $1$, iar cea prin valori negative, $-1$.

Ce înseamnă că limita unei funcții este $+\infty$? Înseamnă că pentru orice șir admisibil $x_n\to x_0$, valorile $f(x_n)$ depășesc orice prag, adică au limita $+\infty$. Este o limită care există în dreapta reală încheiată, chiar dacă nu este un număr real; exemplul tipic este $\frac{1}{x^2}$ în $0$.

Pot cere limita într-un punct în care funcția nu este definită? Da, și este chiar situația cea mai interesantă. Singura condiție este ca punctul să fie punct de acumulare al domeniului, adică să existe puncte ale domeniului oricât de aproape de el.

De ce, la funcțiile polinomiale, limita este chiar valoarea? Pentru că orice șir $x_n\to x_0$ dă, prin regulile de calcul cu șiruri convergente, $x_n^k\to x_0^k$, iar sumele și produsele cu constante se comportă la fel; rezultatul este exact expresia polinomului calculată în $x_0$. Grafic, curba se desenează dintr-o singură trăsătură, fără salturi.

Care e legătura dintre limitele de șiruri și limitele de funcții? Este chiar definiția: limita unei funcții se citește prin toate șirurile care se apropie de punct. De aceea, toate rezultatele de la șiruri — operații, criterii, cazuri de nedeterminare — se transferă direct la funcții și devin uneltele de calcul din lecțiile următoare.