Limita unui șir: definiția cu vecinătăți: pe scurt

Formularea „șirul se apropie de $\ell$” nu este o definiție: șirul $1+\frac{1}{n}$ se apropie de $0$ (distanța scade), dar limita lui este $1$. Definiția bună cere două lucruri deodată — oricât de strâmtă ar fi zona din jurul limitei, șirul intră în ea și nu mai iese.

Definiție. $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ este limita șirului $(a_n)$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $\ell$ există un rang $N$ cu $a_n\in V$ pentru orice $n\ge N$; se scrie $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$. Formularea echivalentă: în afara oricărei vecinătăți a lui $\ell$ rămân cel mult un număr finit de termeni.

Pentru $\ell$ finit, vecinătățile canonice dau forma de lucru: pentru orice $\epsilon >0$ există $N(\epsilon )$ cu $|a_n-\ell |<\epsilon$ pentru orice $n\ge N(\epsilon )$. Rețeta este mereu aceeași: calculezi distanța $|a_n-\ell |$, o simplifici și rezolvi inecuația în raport cu $n$. Rangul **depinde de $\epsilon$** și nu este unic — orice rang mai mare funcționează. Pentru $\ell =+\infty$: pentru orice prag $M$ există $N(M)$ cu $a_n>M$ de la rangul $N(M)$ încolo.

⚠️ Limita infinită EXISTĂ în $\overline{\mathbb{R}}$. „Șirul nu are limită” se spune numai când niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ nu verifică definiția — cazul-etalon fiind $\left((-1{)}^n\right)$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru șirul $a_n=\frac{4n+1}{n+2}$, cel mai mic rang $N$ pentru care $|a_n-4|<0,01$ este:

   • a) $N=698$
   • b) $N=699$
   • c) $N=700$
   • d) $N=702$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $N=699$

   Rescriem $a_n=\frac{4(n+2)-7}{n+2}=4-\frac{7}{n+2}$, deci $|a_n-4|=\frac{7}{n+2}$. Inecuația $\frac{7}{n+2}<0,01$ înseamnă $n+2>700$, adică $n>698$. Cel mai mic rang natural este $699$: pentru $n=698$ distanța este exact $0,01$, deci inegalitatea strictă încă nu are loc.

2. Afirmația $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$, cu $\ell \in \mathbb{R}$, înseamnă că:

   • a) pentru orice $\epsilon >0$ există un rang $N$ astfel încât $|a_n-\ell |<\epsilon$ pentru orice $n\ge N$
   • b) există $\epsilon >0$ și un rang $N$ astfel încât $|a_n-\ell |<\epsilon$ pentru orice $n\ge N$
   • c) toți termenii șirului aparțin intervalului $(\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon )$
   • d) există o infinitate de ranguri $n$ cu $|a_n-\ell |<\epsilon$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) pentru orice $\epsilon >0$ există un rang $N$ astfel încât $|a_n-\ell |<\epsilon$ pentru orice $n\ge N$

   Ordinea cuantificatorilor este totul. Varianta b) fixează un singur $\epsilon$ și e adevărată la orice șir mărginit; c) cere apartenența tuturor termenilor, pe când definiția vorbește doar despre cei de la rangul $N$ încolo; d) e prea slabă — o infinitate de termeni apropiați nu împiedică alți termeni să sară în altă parte, cum se vede la șirul care alternează $0$ și $1$.

3. Câți termeni ai șirului $a_n=\frac{1}{n}$ se află în afara vecinătății $(-0,05;0,05)$ a lui $0$?

   • a) niciunul
   • b) o infinitate
   • c) $19$
   • d) $20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $20$

   Termenul este în afara vecinătății exact când $\frac{1}{n}\ge 0,05$, adică $n\le 20$: sunt termenii $a_1,a_2,\dots ,a_{20}$, deci $20$ la număr. Faptul că sunt finit de mulți confirmă, prin formularea echivalentă a definiției, că limita este $0$. Atenție, $a_{20}=0,05$ nu aparține intervalului deschis, deci se numără și el.