Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți

Scrie pe o foaie aproximările zecimale ale numărului $\sqrt{2}$: $1$; $1,4$; $1,41$; $1,414$; $1,4142$; și așa mai departe. Ai construit un șir de numere raționale care se apropie de un număr irațional. Niciun termen nu este egal cu $\sqrt{2}$ — nici nu are cum, pentru că $\sqrt{2}$ nu se poate scrie ca fracție. Și totuși, orice om ar spune că șirul „tinde spre $\sqrt{2}$". Ce înseamnă exact asta?

Întrebarea nu e retorică. Tot ce urmează în analiza matematică a acestui an — limitele de funcții, continuitatea, derivatele — se sprijină pe un singur cuvânt: limită. Iar cuvântul acesta trebuie definit atât de precis încât două persoane care îl folosesc să nu poată ajunge la concluzii diferite. Lecția face exact drumul recomandat de programă: pornim de la intuiție, pe șiruri a căror comportare se vede cu ochiul liber, și ajungem la o definiție riguroasă, formulată cu vecinătăți.

Ce vei învăța

• Vei ști să intuiești limita unui șir dintr-un tabel de valori și să explici de ce formularea „se apropie de" nu este o definiție acceptabilă.
• Vei ști definiția limitei cu vecinătăți, valabilă deopotrivă pentru limite finite și infinite, și echivalentul ei: în afara oricărei vecinătăți a limitei se află cel mult un număr finit de termeni.
• Vei ști să traduci definiția în limbajul $\epsilon$–$N$ și să calculezi efectiv rangul $N(\epsilon )$ pentru șiruri date.
• Vei ști să scrii definiția limitelor $+\infty$ și $-\infty$ și să determini rangul $N(M)$ de la care șirul depășește un prag dat.
• Vei ști că, în limbajul folosit la noi, o limită infinită este o limită care există — și când se spune, corect, că un șir nu are limită.
• Vei ști să arăți, direct din definiție, că un șir oscilant precum $\left((-1{)}^n\right)$ nu are limită.

Hai să descoperim împreună

1. Patru șiruri și un tabel

Începem cu observația. Iată patru șiruri și primii lor termeni, calculați exact:

Citirea este imediată: $a_n$ pare să tindă spre $0$, $b_n$ spre $3$, $c_n$ crește peste orice prag, iar $d_n$ sare la nesfârșit între $-1$ și $1$, fără să se hotărască. Aceasta e intuiția, și e corectă. Problema e că nu se poate demonstra nimic cu ea.

2. De ce „se apropie de" nu poate fi o definiție

Ia șirul $e_n=1+\frac{1}{n}$, cu termenii $2$; $1,5$; $1,333\dots$; $1,25$; … Distanța de la $e_n$ la $0$ este chiar $1+\frac{1}{n}$, și ea scade la fiecare pas: $2>1,5>1,333>\dots$. Deci șirul „se apropie de $0$" — și totuși nimeni nu ar spune că limita lui este $0$. Concluzie: „distanța scade" nu e destul; distanța trebuie să devină oricât de mică, nu doar mai mică.

Ia acum șirul $f_n$ care este $0$ pentru $n$ par și $1$ pentru $n$ impar. Distanța de la $f_n$ la $0$ este chiar $0$ pentru o infinitate de ranguri — mai aproape de atât nu se poate. Și totuși șirul nu tinde la $0$, pentru că sare mereu înapoi. Concluzie: „ajunge oricât de aproape" nu e nici el destul; trebuie ca șirul să intre lângă limită și să rămână acolo.

Definiția bună trebuie deci să spună două lucruri simultan: oricât de strâmtă ar fi zona din jurul limitei, șirul intră în ea și nu mai iese. Instrumentul care exprimă „zonă din jurul unui punct" există deja și se numește vecinătate.

3. Vecinătățile, pe scurt

Reamintim, din lecția Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți, instrumentele de care avem nevoie. Lucrăm pe dreapta reală încheiată $$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \},$$ pe care ordinea se prelungește prin $-\infty <x<+\infty$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

• O mulțime $V\subseteq \mathbb{R}$ este vecinătate a punctului $x_0\in \mathbb{R}$ dacă există un interval deschis $(a,b)$ cu $x_0\in (a,b)\subseteq V$. Vecinătatea canonică, cea folosită în demonstrații, este $V=(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$, cu $\epsilon >0$.
• Vecinătățile lui $+\infty$ sunt mulțimile care conțin un interval de forma $(a,+\infty ]$; vecinătățile lui $-\infty$, cele care conțin un interval $[-\infty ,a)$.

Ideea decisivă este că aceste trei tipuri de vecinătăți permit o singură definiție a limitei, care acoperă și cazul finit, și cele două cazuri infinite.

4. Definiția limitei unui șir

Definiție. Fie $(a_n{)}_{n\ge 1}$ un șir de numere reale și $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Spunem că $\ell$ este limita șirului $(a_n)$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $\ell$ există un rang $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ astfel încât $$a_n\in V\text{pentru orice }n\ge N.$$ Scriem atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell$ sau, prescurtat, $a_n\to \ell$.

Formulare echivalentă, mai plastică și foarte utilă în demonstrații: $\ell$ este limita șirului dacă în afara oricărei vecinătăți a lui $\ell$ se află cel mult un număr finit de termeni ai șirului. Echivalența e imediată: termenii din afara lui $V$ au ranguri mai mici decât $N$, deci sunt cel mult $N-1$; reciproc, dacă în afara lui $V$ sunt finit de mulți termeni, luăm $N$ cu un rang mai mare decât cel mai mare dintre rangurile lor.

Observă cum definiția rezolvă exact cele două probleme din secțiunea 2. „Pentru orice vecinătate" acoperă oricât de strâmtă; „pentru orice $n\ge N$" acoperă și rămâne acolo. La șirul $f_n$ din secțiunea 2, vecinătatea $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ a lui $0$ lasă în afară o infinitate de termeni (toți cei de rang impar), deci $0$ nu este limita lui.

5. Traducerea cu $\epsilon$ și calculul pragului $N(\epsilon )$

Când $\ell$ este un număr real, e de ajuns să lucrăm cu vecinătățile canonice, iar apartenența $a_n\in (\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon )$ se scrie cu modul:

Definiția cu $\epsilon$. $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell \in \mathbb{R}$ dacă și numai dacă pentru orice $\epsilon >0$ există un rang $N(\epsilon )\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ astfel încât $$|a_n-\ell |<\epsilon \text{pentru orice }n\ge N(\epsilon ).$$

Să o punem la lucru pe $a_n=\frac{1}{n}$, despre care bănuim că are limita $0$. Calculăm distanța și rezolvăm inecuația în $n$: $$|a_n-0|=\frac{1}{n}<\epsilon ⟺n>\frac{1}{\epsilon }.$$ Un astfel de rang natural există întotdeauna (proprietatea lui Arhimede), iar cel mai mic dintre ele este $$N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1.$$ Iată-l calculat, cu verificare:

Ultima coloană arată că pragul e cel mai mic posibil: la rangul $N-1$ inegalitatea strictă încă nu are loc. Reține însă că definiția nu cere rangul minim — orice $N$ mai mare funcționează la fel de bine. Reține și că $N$ depinde de $\epsilon$: cu cât ceri o precizie mai bună, cu atât trebuie să aștepți mai mult.

Un al doilea prag, calculat complet. Fie $b_n=\frac{3n-1}{n+2}$, despre care tabelul de la începutul lecției sugerează limita $3$. Calculăm distanța, prelucrând ca la lecția precedentă: $$|b_n-3|=\left|\frac{3n-1-3(n+2)}{n+2}\right|=\frac{7}{n+2}.$$ Inecuația $\frac{7}{n+2}<\epsilon$ se scrie $n>\frac{7}{\epsilon }-2$, deci putem lua, comod, $N(\epsilon )=\lfloor \frac{7}{\epsilon }\rfloor$, care este sigur mai mare decât $\frac{7}{\epsilon }-2$:

Compară ultimele două coloane: pragul nostru nu este cel minim, și nu e nicio problemă — definiția cere doar existența unui rang. A căuta cu orice preț rangul minim este o pierdere de timp la examen; a găsi repede un rang care funcționează este exact ce se cere.

Concret, pentru $\epsilon =0,1$: în afara benzii $(2,9;3,1)$ se află exact $68$ de termeni ai șirului, cei cu $n\le 68$. Un număr finit — exact ce spune formularea echivalentă din secțiunea 4.

6. Limita infinită

Aceeași definiție, cu vecinătățile lui $+\infty$, dă:

Definiție. $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$ dacă pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există un rang $N(M)\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ astfel încât $a_n>M$ pentru orice $n\ge N(M)$. Analog, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-\infty$ dacă pentru orice $M\in \mathbb{R}$ există $N(M)$ cu $a_n<M$ pentru orice $n\ge N(M)$.

Exemplu complet. Fie $c_n=3n-5$. Din $3n-5>M$ obținem $n>\frac{M+5}{3}$, deci putem lua $N(M)=\lfloor \frac{M}{3}\rfloor +3$:

Deci $\underset{n\to \infty }{\lim }(3n-5)=+\infty$.

⚠️ Un punct de limbaj care se cere știut exact. În școala românească, scrierea $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=+\infty$ este o afirmație despre o limită care există — există în $\overline{\mathbb{R}}$, unde $+\infty$ este un element cu drepturi depline. Un asemenea șir nu are limită finită, dar are limită. Formularea „șirul nu are limită" înseamnă cu totul altceva și se folosește numai când e adevărat, adică atunci când niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ nu verifică definiția. Denumirile oficiale ale celor două situații (convergent și divergent) le fixăm în lecția Șiruri convergente și șiruri divergente. Unicitatea limitei și subșiruri.

7. Un șir care chiar nu are limită

Fie $d_n=(-1{)}^n$. Arătăm, direct din definiție, că niciun $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ nu este limita lui.

Cazul $\ell \in \mathbb{R}$. Luăm vecinătatea $V=\left(\ell -\frac{1}{2},\ell +\frac{1}{2}\right)$, un interval de lungime $1$. Dacă $\ell$ ar fi limita, ar exista $N$ cu $d_n\in V$ pentru orice $n\ge N$. Dar printre rangurile $\ge N$ există și ranguri pare, și impare, deci $V$ ar trebui să conțină și $1$, și $-1$. Imposibil: distanța dintre ele este $2$, iar $V$ are lungimea $1$.

Cazurile $\ell =\pm \infty$. Șirul este mărginit, $|d_n|=1$ (vezi Mărginirea unui șir), deci nu poate depăși pragul $M=2$ de la niciun rang încolo și nici nu poate coborî sub $M=-2$. $■$

Prin urmare $\left((-1{)}^n\right)$ nu are limită. O metodă generală, care rezolvă dintr-o mișcare toate șirurile oscilante, vine în lecția următoare, cu ajutorul subșirurilor.

8. Trei lucruri pe care definiția NU le spune

1. Limita nu trebuie să fie un termen al șirului. Șirul $2+\frac{1}{n}$ are limita $2$, dar niciun termen nu este egal cu $2$. Așa este și cu aproximările lui $\sqrt{2}$ din deschiderea lecției.
2. Limita poate fi termen, chiar de o infinitate de ori. Șirul constant $a_n=7$ are limita $7$: orice vecinătate a lui $7$ îl conține pe $7$, deci merge $N=1$.
3. Primii termeni nu contează. Definiția vorbește numai despre ce se întâmplă „de la un rang încolo", deci poți schimba oricâți termeni de la început fără să afectezi limita. Este o observație atât de utilă încât o vom transforma, în lecția următoare, într-o proprietate enunțată.

Iar despre valorile de la care pornește totul: comportarea unui șir la ranguri mari este ruda apropiată a comportamentului asimptotic al unui grafic, pe care l-ai citit în clasa a IX-a la Comportament asimptotic pe grafic — numai că acolo aveai o curbă continuă, iar aici doar puncte izolate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculul pragului $N(\epsilon )$

Arătați, folosind definiția, că $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{n}\right)=2$ și determinați cel mai mic rang $N$ pentru $\epsilon =0,1$, $\epsilon =0,02$ și $\epsilon =0,005$.

Rezolvare. Distanța până la $2$ este $\left|2+\frac{1}{n}-2\right|=\frac{1}{n}$. Inecuația $\frac{1}{n}<\epsilon$ dă $n>\frac{1}{\epsilon }$, deci cel mai mic rang este $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1$. Pentru cele trei valori: $$N(0,1)=11,N(0,02)=51,N(0,005)=201.$$ Verificare pentru $\epsilon =0,02$: $a_{51}-2=\frac{1}{51}\approx 0,0196<0,02$ ✓, iar $a_{50}-2=\frac{1}{50}=0,02$, care nu este strict mai mic decât $\epsilon$ ✓. Cum pentru orice $\epsilon >0$ am găsit un rang, limita este $2$.

Exemplul 2 — Câți termeni rămân în afara vecinătății

Pentru șirul $b_n=\frac{3n-1}{n+2}$, câți termeni se află în afara vecinătății $(2,9;3,1)$ a lui $3$?

Rezolvare. Am calculat $|b_n-3|=\frac{7}{n+2}$. Termenul $b_n$ este în afara vecinătății exact când $\frac{7}{n+2}\ge 0,1$, adică $n+2\le 70$, adică $n\le 68$.

Sunt deci exact $68$ de termeni în afară: $b_1,b_2,\dots ,b_{68}$. Un număr finit — ceea ce confirmă, prin formularea echivalentă a definiției, că $3$ este limita șirului. Verificare: $b_{68}=\frac{203}{70}=2,9$ (chiar pe margine, deci în afara intervalului deschis), iar $b_{69}=\frac{206}{71}\approx 2,9014>2,9$ ✓.

Exemplul 3 — Limita $+\infty$

Arătați că $\underset{n\to \infty }{\lim }(5n+1)=+\infty$ și găsiți primul rang de la care termenii depășesc $10^4$.

Rezolvare. Fie $M\in \mathbb{R}$ oarecare. Din $5n+1>M$ obținem $n>\frac{M-1}{5}$, iar un asemenea rang natural există întotdeauna. Deci pentru orice $M$ avem un rang $N(M)$ de la care $a_n>M$, adică limita este $+\infty$.

Pentru $M=10^4$: $n>\frac{9999}{5}=1999,8$, deci $N=2000$. Verificare: $a_{2000}=10001>10^4$ ✓, iar $a_{1999}=9996<10^4$ ✓.

Exemplul 4 — Limita $-\infty$

Arătați că șirul $a_n=7-2n$ are limita $-\infty$ și determinați rangul de la care $a_n<-1000$.

Rezolvare. Fie $M\in \mathbb{R}$. Din $7-2n<M$ obținem $2n>7-M$, adică $n>\frac{7-M}{2}$ — rang care există pentru orice $M$. Deci $\underset{n\to \infty }{\lim }(7-2n)=-\infty$.

Pentru $M=-1000$: $n>\frac{1007}{2}=503,5$, deci $N=504$. Verificare: $a_{504}=7-1008=-1001<-1000$ ✓, iar $a_{503}=-999>-1000$ ✓.

Exemplul 5 — Șirul constant

Arătați, cu definiția, că șirul constant $a_n=-4$ are limita $-4$.

Rezolvare. Fie $V$ o vecinătate oarecare a lui $-4$. Prin definiția vecinătății, $-4\in V$. Cum $a_n=-4$ pentru orice $n$, avem $a_n\in V$ pentru orice $n\ge 1$, deci rangul $N=1$ funcționează, oricare ar fi $V$.

Așadar $\underset{n\to \infty }{\lim }(-4)=-4$. Cu $\epsilon$: $|a_n-(-4)|=0<\epsilon$ pentru orice $\epsilon >0$ și orice $n$. Este singurul caz în care rangul nu depinde deloc de precizia cerută.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $a_n=\frac{3n+1}{n+1}$, $n\ge 1$. a) Calculați $a_1$ și $a_2$. b) Arătați că $a_n=3-\frac{2}{n+1}$ pentru orice $n\ge 1$. c) Demonstrați, folosind definiția, că $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=3$ și determinați cel mai mic rang $N$ pentru care toți termenii de la $a_N$ încolo se află în vecinătatea $(2,99;3,01)$.

Rezolvare.

a) $a_1=\frac{4}{2}=2$, $a_2=\frac{7}{3}$.

b) $3n+1=3(n+1)-2$, deci $a_n=\frac{3(n+1)-2}{n+1}=3-\frac{2}{n+1}$.

c) Distanța până la $3$ este $|a_n-3|=\frac{2}{n+1}$. Fie $\epsilon >0$ arbitrar; inecuația $\frac{2}{n+1}<\epsilon$ este echivalentă cu $n>\frac{2}{\epsilon }-1$, iar un astfel de rang natural există. Deci pentru orice $\epsilon >0$ există $N(\epsilon )$ cu $|a_n-3|<\epsilon$ pentru orice $n\ge N$: limita este $3$.

Vecinătatea din enunț are raza $\epsilon =0,01$, deci $n>200-1=199$, adică $N=200$. Verificare: $|a_{200}-3|=\frac{2}{201}\approx 0,00995<0,01$ ✓, iar $|a_{199}-3|=\frac{2}{200}=0,01$, care nu este strict mai mic ✓.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La orice cerință de tip „arătați cu definiția", scrie întâi distanța $|a_n-\ell |$, apoi rezolvă inecuația în raport cu $n$ — este ordinea pe care o cer baremele de la Bacalaureat M1.

1. Completează un tabel cu valorile șirului $a_n=\frac{1}{n+1}$ pentru $n=1,10,100,1000$ și spune care pare să fie limita.

2. Pentru $a_n=\frac{2n+3}{n}$, arată că $|a_n-2|=\frac{3}{n}$ și găsește cel mai mic rang $N$ pentru $\epsilon =0,01$.

3. Pentru $a_n=4+\frac{2}{n}$, determină cel mai mic rang $N$ pentru care $|a_n-4|<0,001$.

4. Câți termeni ai șirului $a_n=\frac{1}{n}$ se află în afara vecinătății $(-0,02;0,02)$ a lui $0$?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=3$, atunci toți termenii șirului aparțin intervalului $(2,9;3,1)$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Rangul $N$ din definiția limitei este unic determinat de $\epsilon$."

7. Arată că șirul $a_n=(-1{)}^n+1$ (care ia doar valorile $0$ și $2$) nu are limită.

8. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }(4n-3)=+\infty$ și găsește primul rang de la care termenii depășesc $10^3$.

9. Arată că $\underset{n\to \infty }{\lim }(5-3n)=-\infty$ și găsește primul rang de la care termenii sunt mai mici decât $-10^4$.

10. Pentru $a_n=\frac{4n-3}{2n+1}$, arată că $|a_n-2|=\frac{5}{2n+1}$ și determină cel mai mic rang $N$ pentru $\epsilon =0,01$.

11. Arată, cu definiția, că $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(-1{)}^n}{n}=0$.

12. (Problemă aplicată.) Un atelier are o cheltuială fixă de $500$ de lei pe lună și cheltuiește $20$ de lei pentru fiecare obiect produs. Costul mediu pe obiect, la $n$ obiecte, este $C_n=\frac{500+20n}{n}$. Arată că $C_n=20+\frac{500}{n}$, spune spre ce valoare tinde costul mediu și află de la ce producție lunară costul mediu scade sub $20,50$ lei.

13. Arată că limita $2$ a șirului $a_n=2+\frac{1}{n}$ nu este egală cu niciun termen al șirului. Contrazice asta definiția?

14. Determină formula lui $N(\epsilon )$ pentru șirul $a_n=\frac{1}{2n}$ cu limita $0$ și calculează $N(0,05)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră șirul $a_n=\frac{2n-1}{n+1}$. a) Calculați $a_1$ și $a_2$. b) Arătați că $a_n=2-\frac{3}{n+1}$. c) Demonstrați cu definiția că $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$ și determinați cel mai mic rang $N$ pentru $\epsilon =0,01$.

16. Arată că, dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$, atunci și $\underset{n\to \infty }{\lim }|a_n|=0$.

17. Scrie, cu $\epsilon$ și $N$, ce înseamnă afirmația $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=-5$.

18. (Provocare.) Arată că șirul $a_n=(-1{)}^n\cdot n$ nu are limită: nici finită, nici $+\infty$, nici $-\infty$.

Răspunsuri și explicații

1. $a_1=\frac{1}{2}$, $a_{10}=\frac{1}{11}\approx 0,0909$, $a_{100}=\frac{1}{101}\approx 0,0099$, $a_{1000}=\frac{1}{1001}\approx 0,000999$. Valorile scad spre $0$, deci limita pare a fi $0$ (și chiar este: $\left|\frac{1}{n+1}\right|<\epsilon$ pentru $n>\frac{1}{\epsilon }-1$).

2. $\frac{2n+3}{n}=2+\frac{3}{n}$, deci $|a_n-2|=\frac{3}{n}$. Din $\frac{3}{n}<0,01$ rezultă $n>300$, deci $N=301$. Verificare: $\frac{3}{301}\approx 0,00997<0,01$, iar $\frac{3}{300}=0,01$ nu este strict mai mic.

3. $\frac{2}{n}<0,001⟺n>2000$, deci $N=2001$.

4. Termenul este în afară când $\frac{1}{n}\ge 0,02$, adică $n\le 50$: exact $50$ de termeni. Toți ceilalți, într-un număr infinit, sunt înăuntru.

5. Fals. Definiția cere apartenența la vecinătate doar de la un rang încolo. Contraexemplu: $a_n=3+\frac{1}{n}$ are limita $3$, dar $a_1=4\notin (2,9;3,1)$. Doar un număr finit de termeni pot fi în afară — dar pot fi.

6. Fals. Dacă rangul $N$ funcționează, atunci funcționează și $N+1$, $N+2$ și așa mai departe, pentru că cerința privește toate rangurile $\ge N$. Se poate vorbi despre cel mai mic rang care funcționează, dar definiția nu îl cere.

7. Presupunem că ar avea limita $\ell \in \mathbb{R}$ și luăm $V=\left(\ell -\frac{1}{2},\ell +\frac{1}{2}\right)$, de lungime $1$. De la un rang încolo, $V$ ar trebui să conțină și valoarea $0$ (rangurile impare), și valoarea $2$ (cele pare) — imposibil, distanța dintre ele fiind $2$. Limite infinite nu poate avea, pentru că șirul este mărginit: $0\le a_n\le 2$. Deci nu are limită.

8. Fie $M$ oarecare: $4n-3>M⟺n>\frac{M+3}{4}$, rang care există mereu, deci limita este $+\infty$. Pentru $M=10^3$: $n>250,75$, deci primul rang este $251$, cu $a_{251}=1001$ (iar $a_{250}=997$).

9. $5-3n<M⟺n>\frac{5-M}{3}$, deci limita este $-\infty$. Pentru $M=-10^4$: $n>3335$, deci primul rang este $3336$, cu $a_{3336}=-10003$ (iar $a_{3335}=-10000$, care nu este strict mai mic decât $-10^4$).

10. $|a_n-2|=\left|\frac{4n-3-2(2n+1)}{2n+1}\right|=\frac{5}{2n+1}$. Din $\frac{5}{2n+1}<0,01$ rezultă $2n+1>500$, adică $n>249,5$, deci $N=250$.

11. $\left|\frac{(-1{)}^n}{n}-0\right|=\frac{1}{n}$, iar $\frac{1}{n}<\epsilon$ pentru $n>\frac{1}{\epsilon }$. Deci rangul $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1$ funcționează și limita este $0$. Semnul alternant nu contează: în definiție intervine doar modulul.

12. $\frac{500+20n}{n}=\frac{500}{n}+20$. Costul mediu tinde la $20$ de lei — cheltuiala fixă se împarte la tot mai multe obiecte. Condiția $\frac{500}{n}<0,5$ dă $n>1000$, deci de la $1001$ de obiecte pe lună. Verificare: $C_{1001}\approx 20,4995$ lei.

13. $2+\frac{1}{n}>2$ pentru orice $n$, deci niciun termen nu este $2$. Nu contrazice nimic: definiția nu cere ca limita să fie atinsă, ci doar ca orice vecinătate a ei să conțină toți termenii de la un rang încolo.

14. $\left|\frac{1}{2n}\right|<\epsilon ⟺n>\frac{1}{2\epsilon }$, deci $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{2\epsilon }\rfloor +1$. Pentru $\epsilon =0,05$: $\frac{1}{0,1}=10$, deci $N=11$ (într-adevăr $a_{10}=0,05$ nu este strict mai mic decât $0,05$, iar $a_{11}=\frac{1}{22}\approx 0,0455$ este).

15. a) $a_1=\frac{1}{2}$, $a_2=1$. b) $2n-1=2(n+1)-3$, deci $a_n=2-\frac{3}{n+1}$. c) $|a_n-2|=\frac{3}{n+1}<\epsilon ⟺n>\frac{3}{\epsilon }-1$, rang care există pentru orice $\epsilon >0$; deci limita este $2$. Pentru $\epsilon =0,01$: $n>299$, deci $N=300$.

16. Fie $\epsilon >0$. Din ipoteză există $N$ cu $|a_n-0|<\epsilon$ pentru $n\ge N$. Dar $||a_n|-0|=|a_n|=|a_n-0|$, deci aceeași inegalitate spune că $||a_n|-0|<\epsilon$ pentru $n\ge N$. Același rang funcționează, deci $|a_n|\to 0$.

17. Pentru orice $\epsilon >0$ există un rang $N(\epsilon )\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ astfel încât $|a_n+5|<\epsilon$ pentru orice $n\ge N(\epsilon )$; echivalent, $a_n\in (-5-\epsilon ,-5+\epsilon )$ pentru orice $n\ge N(\epsilon )$.

18. Limită finită nu poate avea: șirul nu este mărginit, iar dacă ar avea limita $\ell$ finită, luând $\epsilon =1$ toți termenii de la un rang încolo ar fi în $(\ell -1,\ell +1)$, deci mărginiți — contradicție cu faptul că $|a_n|=n$ crește peste orice prag. Limita $+\infty$ nu poate avea, pentru că termenii de rang impar sunt negativi, deci nu depășesc pragul $M=0$ de la niciun rang încolo. Limita $-\infty$ nu poate avea, simetric, din cauza termenilor de rang par. Deci nu are limită.

De reținut

• Definiția (cu vecinătăți): $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ dacă pentru orice vecinătate $V$ a lui $\ell$ există un rang $N$ cu $a_n\in V$ pentru orice $n\ge N$; echivalent, în afara oricărei vecinătăți a lui $\ell$ rămân cel mult un număr finit de termeni.
• Pentru $\ell$ finit: pentru orice $\epsilon >0$ există $N(\epsilon )$ cu $|a_n-\ell |<\epsilon$ pentru orice $n\ge N(\epsilon )$. Rangul depinde de $\epsilon$ și nu este unic.
• Pentru $\ell =+\infty$: pentru orice $M$ există $N(M)$ cu $a_n>M$ pentru orice $n\ge N(M)$; pentru $-\infty$, cu $a_n<M$.
• Limita infinită EXISTĂ (în $\overline{\mathbb{R}}$). „Șirul nu are limită" se spune numai când niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ nu verifică definiția — cazul tipic fiind $\left((-1{)}^n\right)$.
• Rețeta de lucru: calculezi $|a_n-\ell |$, o simplifici, rezolvi inecuația $|a_n-\ell |<\epsilon$ în raport cu $n$ și citești rangul.

Greșeli frecvente

• Ceri ca toți termenii să fie în vecinătate. Definiția spune „de la un rang încolo". Un șir cu limita $3$ poate începe cu $a_1=100$ — contează doar coada lui.
• Uiți că $N$ depinde de $\epsilon$. Un rang care merge pentru $\epsilon =0,1$ nu are de ce să meargă pentru $\epsilon =0,001$. Scrie întotdeauna $N(\epsilon )$, nu doar $N$.
• Cauți cu orice preț rangul minim. Definiția cere existența unui rang. Dacă majorezi grosier și obții un $N$ mai mare, demonstrația e la fel de corectă și mult mai scurtă.
• Spui „nu are limită" despre un șir cu limita infinită. $a_n=3n-5$ are limită, anume $+\infty$. Confuzia costă puncte la Bacalaureat M1, pentru că schimbă complet concluzia unei probleme.
• Confunzi „limita este $\ell$" cu „șirul atinge valoarea $\ell$". Șirul $2+\frac{1}{n}$ nu ia niciodată valoarea $2$; aproximările zecimale ale lui $\sqrt{2}$ nu îl ating niciodată pe $\sqrt{2}$. Limita este o valoare-țintă, nu neapărat o valoare atinsă.

Aplică acasă

1. Cursa spre limită. Pe telefon sau pe calculator, calculează termenii șirului $a_n=\frac{3n-1}{n+2}$ pentru $n=5,50,500,5000$. Notează de fiecare dată câte zecimale coincid cu $3$ și verifică regula pe care ai dedus-o: pentru încă o zecimală corectă, rangul trebuie înmulțit cam cu $10$.

2. Fabrica de praguri. Alege trei șiruri de forma $\frac{an+b}{n+c}$ cu numere la alegere, adu-le la forma „constantă plus rest", ghicește limita și calculează pragul $N$ pentru $\epsilon =0,01$. Verifică apoi numeric că termenul $a_N$ chiar intră în bandă, iar $a_{N-1}$ nu.

3. Costul mediu real. Ia o cheltuială fixă din viața ta (abonamentul lunar la ceva) și o cheltuială pe utilizare. Scrie costul mediu pe utilizare ca șir, calculează limita lui și explică-i cuiva din familie de ce costul mediu nu poate coborî niciodată sub costul pe utilizare, oricât ai folosi serviciul.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția-cheie a întregii analize matematice de liceu: prima definiție cu doi cuantificatori imbricați pe care elevul trebuie să o poată folosi, nu doar recita. Programa cere explicit drumul „întâi intuitiv, apoi riguros, prin definiția cu vecinătăți", iar lecția îl urmează pas cu pas: tabel de valori, critica formulării naive, vecinătăți, definiție unică pentru cazul finit și cel infinit, praguri calculate efectiv.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea corectă a definiției, cu ordinea „pentru orice vecinătate există un rang"; (2) capacitatea de a calcula $N(\epsilon )$ dintr-o inecuație; (3) definiția limitei infinite, cu prag $M$; (4) distincția dintre limită infinită și lipsa limitei; (5) faptul că limita nu trebuie atinsă. Întrebări bune de control: „Ce se schimbă în rang dacă micșorezi $\epsilon$ de zece ori?", „Poate un șir cu limita $5$ să aibă termeni în afara intervalului $(4,9;5,1)$?", „De ce $(-1{)}^n$ nu are limită, dar $3n-5$ are?".

La BAC M1, cerințele explicite cu $\epsilon$ sunt rare, dar înțelegerea corectă a definiției decide toate problemele cu șiruri și, mai târziu, cu limite de funcții — în special formulările „arătați că șirul este convergent" sau „precizați limita". Semne că elevul a înțeles: scrie spontan distanța $|a_n-\ell |$ înainte de orice altceva și nu spune niciodată „nu are limită" despre un șir care tinde la infinit.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă limita unui șir, explicat simplu? Înseamnă o valoare $\ell$ de care șirul se apropie atât de mult încât, oricât de îngustă ai alege o zonă în jurul lui $\ell$, șirul intră în ea de la un moment dat și nu mai iese niciodată. Riguros: pentru orice vecinătate $V$ a lui $\ell$ există un rang $N$ astfel încât toți termenii cu $n\ge N$ să fie în $V$.

De ce nu e suficient să spunem că șirul „se apropie de" limită? Pentru că formularea e ambiguă. Șirul $1+\frac{1}{n}$ se apropie de $0$ în sensul că distanța până la $0$ scade — dar limita lui este $1$, nu $0$. Definiția corectă cere ca distanța să devină mai mică decât orice număr pozitiv dat dinainte, nu doar să scadă.

Ce este rangul $N(\epsilon )$ și cum îl calculez? Este rangul de la care toți termenii se află la distanță mai mică decât $\epsilon$ de limită. Îl afli scriind $|a_n-\ell |<\epsilon$ și rezolvând inecuația în raport cu $n$. De exemplu, pentru $a_n=\frac{1}{n}$ și $\ell =0$ obții $n>\frac{1}{\epsilon }$, deci $N(\epsilon )=\lfloor \frac{1}{\epsilon }\rfloor +1$.

Un șir cu limita $+\infty$ are sau nu are limită? Are limită, în dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}$: scrierea $\lim a_n=+\infty$ este o afirmație adevărată despre o limită care există. Ce nu are un asemenea șir este o limită finită. Formularea „nu are limită" este rezervată șirurilor pentru care niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ nu verifică definiția.

Poate un șir să aibă termeni în afara vecinătății limitei? Da, dar numai un număr finit de termeni. Aceasta este chiar formularea echivalentă a definiției. De exemplu, la șirul $\frac{3n-1}{n+2}$, în afara vecinătății $(2,9;3,1)$ a limitei $3$ se află exact $68$ de termeni.

Limita trebuie să fie unul dintre termenii șirului? Nu. Șirul $2+\frac{1}{n}$ are limita $2$ fără să ia vreodată valoarea $2$, iar aproximările zecimale ale lui $\sqrt{2}$ sunt toate raționale, deși limita lor este irațională. Pe de altă parte, un șir constant își atinge limita la fiecare rang — ambele situații sunt permise.

De ce nu are limită șirul $(-1{)}^n$? Pentru că valorile lui sunt mereu $-1$ și $1$, iar orice interval de lungime $1$ în jurul unui presupus $\ell$ nu le poate conține pe amândouă. Limite infinite nu poate avea, fiind mărginit. Deci nu există niciun element din $\overline{\mathbb{R}}$ care să verifice definiția.

Ce înseamnă că un rang „funcționează"? Înseamnă că toți termenii de la el încolo respectă condiția cerută. Dacă $N$ funcționează, atunci și orice rang mai mare funcționează — de aceea rangul nu este unic și nu este obligatoriu să găsești cel mai mic dintre ele.