Limite de șiruri cu sume Riemann: pe scurt

Un șir de forma $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$, cu $f$ continuă pe $[0,1]$, este suma Riemann a lui $f$ pe diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$, cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$; limita lui este ${\int }_0^{1}f(x)dx$. Cei patru pași ai sumei Riemann sunt: scoaterea factorului $\frac{1}{n}$, identificarea funcției $f$ din raportul $\frac{k}{n}$, recunoașterea diviziunii împreună cu invocarea integrabilității funcției continue, apoi calculul integralei. Al treilea pas nu este o formalitate: propoziția „funcția este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă” este punctată separat în baremele de Bacalaureat M1, iar fără ea rezolvarea rămâne incompletă. Alegerea punctelor intermediare — capătul din stânga sau cel din dreapta al fiecărui subinterval — nu schimbă limita, tocmai pentru că definiția integrabilității cere independența de această alegere. Pe un interval $[a,b]$ oarecare, factorul din față devine $\frac{b-a}{n}$, adică lungimea unui subinterval, iar argumentul funcției pornește din $a$: $a+k\cdot \frac{b-a}{n}$. Produsele și radicalii de ordinul $n$ se aduc la această formă prin logaritmare. Greșelile tipice sunt pierderea factorului $\frac{1}{n}$ și confundarea lui $\frac{k}{n}$ cu $\frac{k}{n^2}$, care duce la o limită complet diferită.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^4$.

   • a) $\frac{1}{4}$
   • b) $\frac{1}{5}$
   • c) $\frac{1}{6}$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{1}{5}$

   Suma este suma Riemann a funcției $f(x)=x^4$, continuă deci integrabilă pe $[0,1]$, cu diviziunea echidistantă și ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. Limita este ${\int }_0^1{x}^{4}dx=\frac{x^5}{5}{|}_0^1=\frac{1}{5}$. Varianta $\frac{1}{4}$ vine din integrarea lui $x^3$, iar $0$ apare dacă se crede că fiecare termen tinde la zero — trecerea la limită termen cu termen nu este permisă aici.

2. La un exercițiu de tipul $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$, ce propoziție trebuie scrisă obligatoriu în rezolvare?

   • a) șirul sumelor este monoton
   • b) funcția $f$ este derivabilă pe $[0,1]$
   • c) funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă
   • d) funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă

   Trecerea de la sumă la integrală se sprijină pe integrabilitatea funcției, iar la clasa a XII-a ea se obține din continuitatea pe intervalul închis. Fără această propoziție, subpunctul se punctează parțial. Derivabilitatea și existența primitivelor sunt adevărate aici, dar nu sunt ipoteza folosită, iar monotonia sumelor nu intervine deloc în raționament.

3. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{2}{n}{\left(1+\frac{2k}{n}\right)}^2$.

   • a) $\frac{13}{3}$
   • b) $9$
   • c) $\frac{8}{3}$
   • d) $\frac{26}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{26}{3}$

   Factorul $\frac{2}{n}$ este lungimea unui subinterval al lui $[1,3]$, iar $1+\frac{2k}{n}$ sunt punctele diviziunii echidistante. Funcția $f(x)=x^2$ fiind continuă pe $[1,3]$, deci integrabilă, limita este ${\int }_1^3{x}^{2}dx=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}$. Varianta $\frac{13}{3}$ apare dacă se uită factorul $2$ din față, iar $\frac{8}{3}$ dacă se integrează pe $[0,2]$.