Calculul limitelor unor șiruri cu sume Riemann

Există limite de șiruri pe care nicio tehnică de clasa a XI-a nu le poate calcula. Suma $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$ are $n$ termeni, deci regula sumei nu se aplică; fiecare termen tinde la zero, dar numărul lor crește, deci nu se poate spune nimic imediat; criteriul cleștelui dă doar $\frac{1}{2}\le a_n\le 1$, o încadrare care nu se închide. Și totuși limita există și este $\ln 2$. La clasa a 12-a, instrumentul care o găsește este integrala definită. Calculul unei limite de șir cu sume Riemann înseamnă a recunoaște în termenul general suma Riemann a unei funcții continue, pe o diviziune echidistantă, și a înlocui limita cu integrala definită a acelei funcții.

Ideea este de o eleganță rară: sumele acestea sunt sume Riemann, adică exact obiectele din care s-a construit integrala. Dacă recunoști funcția și diviziunea, limita nu mai trebuie calculată — ea este, prin definiția integrabilității, o integrală definită. Drumul se parcurge, așadar, invers față de unitatea de până acum: acolo porneam de la o funcție și ajungeam la un număr, aici pornim de la un șir de sume și îl recunoaștem ca fiind pe drumul spre acel număr.

Este, totodată, ultima piesă a unei povești începute cu mult înainte. La șirurile de integrale integrala era obiectul, iar limita se obținea prin încadrare; aici limita este obiectul, iar integrala este instrumentul care o dă. Aceleași două noțiuni, în roluri schimbate.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști un șir care se poate scrie ca sumă Riemann pentru o funcție continuă dată.
• Vei ști să parcurgi cei patru pași ai sumei Riemann: scoaterea factorului $\frac{1}{n}$, identificarea funcției, recunoașterea diviziunii, calculul integralei.
• Vei ști de ce justificarea prin integrabilitatea funcțiilor continue este obligatorie și de ce fără ea exercițiul este incomplet.
• Vei ști să tratezi și cazul în care punctele intermediare sunt $\frac{k-1}{n}$, nu $\frac{k}{n}$.
• Vei ști să transformi o sumă asociată unui interval $[a,b]$ oarecare, nu doar lui $[0,1]$.
• Vei ști să calculezi limite de radicali de ordinul $n$ din produse, prin logaritmare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o sumă Riemann ascunsă într-un șir?

O sumă Riemann este numărul ${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$, asociat unei funcții $f$, unei diviziuni $\Delta$ a intervalului $[a,b]$ și unui sistem $\xi$ de puncte intermediare. Când diviziunea este echidistantă și intervalul este $[0,1]$, toate lungimile $x_i-x_{i-1}$ sunt egale cu $\frac{1}{n}$, iar suma capătă forma $${\sigma }_{\Delta }(f,\xi )=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right).$$ Aceasta este forma pe care trebuie să înveți să o recunoști. Un șir scris astfel nu se calculează: el este o sumă Riemann și, dacă $f$ este continuă, are ca limită integrala lui $f$ pe $[0,1]$.

Cu punctele intermediare luate la dreapta fiecărei bucăți, aceasta este chiar suma notată ${\sigma }_{\text{dr}}$ în lecția despre sumele Riemann; cu punctele luate la stânga se obține ${\sigma }_{\text{st}}$, iar cu cele de la mijloc, ${\sigma }_{\text{mij}}$.

Motivul stă chiar în definiția integrabilității. O funcție $f$ este integrabilă pe $[a,b]$ dacă sumele ei Riemann tind la același număr pentru orice șir de diviziuni cu norma tinzând la zero și orice alegere a punctelor intermediare. Diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ are norma $\Vert \Delta \Vert =\frac{1}{n}\to 0$, iar punctele ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ aparțin fiecare intervalului său, $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$. Prin urmare, dacă $f$ este integrabilă, $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx.$$

Exemplul cel mai simplu, cu care se verifică toată construcția, îl cunoști deja: pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$, suma ${\sigma }_{\text{dr}}$ a fost calculată exact la lecția despre sumele Riemann și este $\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$, adică $\frac{1^2+2^2+\cdots +n^2}{n^3}$ — o consecință a formulei $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, demonstrată prin inducție matematică. Limita ei este $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, adică exact ${\int }_0^1{x}^{2}dx$. Diferența de perspectivă este toată lecția de față: acolo limita s-a obținut printr-o formulă închisă a sumei, aici o vom obține fără nicio formulă închisă, direct din integrală.

2. Cum recunoști o sumă Riemann într-un șir?

Procedeul are patru pași și îl vom numi, ca să-l putem cita, cei patru pași ai sumei Riemann.

Pasul 1 — scoți factorul $\frac{1}{n}$. Aduci termenul general la forma $\frac{1}{n}\cdot (\text{ceva})$. Uneori factorul se vede, alteori trebuie fabricat: de pildă $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, prin împărțirea numitorului cu $n$.

Pasul 2 — identifici funcția $f$. În paranteza rămasă, tot ce depinde de $k$ trebuie să apară numai prin raportul $\frac{k}{n}$. Înlocuiești formal $\frac{k}{n}$ cu $x$ și obții $f$. Dacă rămâne un $k$ sau un $n$ singur, nu ai o sumă Riemann și trebuie altă metodă.

Pasul 3 — recunoști diviziunea și inviți teorema. Scrii explicit: „diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$, $x_k=\frac{k}{n}$, cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$; funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă". Aceasta este veriga fără de care rezolvarea nu este completă.

Pasul 4 — calculezi integrala. Aplici formula Leibniz–Newton și scrii răspunsul.

Pe exemplul din deschidere: $a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$. Pasul 1: $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, deci $a_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$. Pasul 2: $f(x)=\frac{1}{1+x}$. Pasul 3: $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, iar suma este suma Riemann asociată diviziunii echidistante cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. Pasul 4: $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln |1+x|{|}_0^1=\ln 2\approx 0,693.$$ Control numeric: pentru $n=100$ suma este $0,6907$, pentru $n=1000$ este $0,6929$, pentru $n=10000$ este $0,69312$ — se apropie, într-adevăr, de $\ln 2$.

Merită văzut și de ce celelalte metode eșuează, ca să înțelegi de ce e nevoie de una nouă. Regula sumei de la limite de șiruri cere un număr fix de termeni, iar aici numărul lor crește odată cu $n$. Criteriul cleștelui, aplicat brut, dă doar $n\cdot \frac{1}{2n}\le a_n\le n\cdot \frac{1}{n+1}$, adică $\frac{1}{2}\le a_n\le 1$ — o încadrare adevărată, dar care nu se închide, pentru că marginile au limite diferite. Iar formula închisă a sumei $\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n}$ pur și simplu nu există. Suma Riemann este singurul drum, și e un drum scurt.

Un al doilea avertisment, la fel de important: rețeta funcționează numai când numărul de termeni ai sumei este exact numărul de bucăți ale diviziunii. Dacă suma are $2n$ termeni, diviziunea trebuie luată tot cu $2n$ bucăți, sau suma trebuie rescrisă. Verificarea se face numărând, la propriu, câți termeni are suma din enunț.

3. De ce este obligatorie justificarea prin integrabilitate?

Pentru că fără ea, egalitatea dintre limită și integrală rămâne o afirmație nesusținută. Teorema care leagă cele două obiecte are o ipoteză precisă — funcția trebuie să fie integrabilă pe intervalul închis —, iar la clasa a XII-a criteriul care se folosește este cel din lecția despre clasele de funcții integrabile: orice funcție continuă pe un interval compact este integrabilă. Acest rezultat se admite fără demonstrație, dar se invocă obligatoriu.

Nu este o formalitate. Iată de ce contează: funcția $f(x)=\ln x$ pare a se comporta bine pe $(0,1]$ și un elev grăbit ar scrie $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\ln \frac{k}{n}\to {\int }_0^1\ln xdx$. Dar $\ln x$ nu este definită în $0$, deci nu este continuă pe intervalul închis $[0,1]$ și nu i se poate aplica direct criteriul; scrierea ${\int }_0^1\ln xdx$ nu este o integrală definită în sensul acestei unități. Rețeta nu se aplică aici, iar exercițiul iese din programa clasei a XII-a.

Prin contrast, funcția $g(x)=\ln (1+x)$ este continuă pe tot $[0,1]$, cu valori între $0$ și $\ln 2$, deci criteriul se aplică fără rezerve. De aceea, la secțiunea $7$, vom putea calcula fără nicio grijă limita sumei $\frac{1}{n}\sum \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$. Diferența dintre cele două situații este exact grija cerută de barem: verifică întotdeauna că funcția pe care ai identificat-o este continuă pe intervalul închis.

Redactarea completă a unui asemenea exercițiu are, prin urmare, patru rânduri: transformarea termenului, identificarea funcției, propoziția de continuitate și integrabilitate, calculul integralei. Lipsa rândului al treilea costă puncte la fiecare examen.

4. Ce faci când factorul $\frac{1}{n}$ nu se vede?

Cele mai multe enunțuri nu îți dau suma gata pregătită. Ele arată așa: $\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ sau $\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}$ sau $\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$. Tehnica este întotdeauna aceeași: împarți numărătorul și numitorul cu puterea potrivită a lui $n$, astfel încât să rămână doar rapoarte $\frac{k}{n}$.

Pentru $\frac{n}{n^2+k^2}$, împărțim sus și jos cu $n^2$: $$\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{\frac{1}{n}}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}.$$ Deci $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, continuă pe $[0,1]$, iar limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}\approx 0,785$.

Pentru $\frac{k}{n^2+k^2}$, tot cu $n^2$: numărătorul devine $\frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}$, deci $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$ și limita este ${\int }_0^1\frac{xdx}{1+x^2}=\frac{1}{2}\ln (1+x^2){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,347$.

Pentru $\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$, scoatem $n$ de sub radical: $\sqrt{n^2+k^2}=n\sqrt{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$, deci $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ și limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right){|}_0^1=\ln \left(1+\sqrt{2}\right)\approx 0,881$, prin rândul $13$ al tabelului canonic al primitivelor.

Reține criteriul de alegere: puterea cu care împarți este cea care face ca $n$ să dispară complet. Dacă după împărțire mai rămâne un $n$ singur, ai ales greșit sau șirul nu este o sumă Riemann.

5. Ce se schimbă dacă punctele intermediare sunt $\frac{k-1}{n}$?

Nimic esențial, iar motivul este chiar în definiția integrabilității: ea cere ca limita să fie aceeași pentru orice alegere a punctelor intermediare. Punctele ${\xi }_k=\frac{k-1}{n}$ sunt capetele din stânga ale subintervalelor, la fel de legitime ca cele din dreapta, deci $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k-1}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$ pentru orice $f$ continuă pe $[0,1]$. Aceeași sumă se scrie și $\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)$, prin schimbarea indicelui.

Cele două sume sunt exact ${\sigma }_{\text{dr}}$ și ${\sigma }_{\text{st}}$ din lecția despre sumele Riemann. Ele diferă foarte puțin: una conține $f(0)$ și nu conține $f(1)$, cealaltă invers, iar diferența lor este ${\sigma }_{\text{dr}}-{\sigma }_{\text{st}}=\frac{f(1)-f(0)}{n}$, care tinde la zero; în valoare absolută, ea este chiar lățimea benzii care prinde toate sumele Riemann ale unei funcții monotone pe diviziunea cu $n$ bucăți. Pentru $f(x)=\frac{1}{1+x}$, la $n=100$, avem ${\sigma }_{\text{dr}}=0,6907$ și ${\sigma }_{\text{st}}=0,6957$ — amândouă spre $\ln 2$, una de sub, cealaltă de deasupra, fiindcă funcția este descrescătoare.

Practic, la examen enunțul îți spune ce sumă ai. Dacă vezi $\sum _{k=0}^{n-1}$ sau termeni de forma $f\left(\frac{k-1}{n}\right)$, scrii aceeași propoziție de justificare, cu precizarea că punctele intermediare sunt capetele din stânga.

6. Cum lucrezi pe un interval $[a,b]$ oarecare?

Diviziunea echidistantă a lui $[a,b]$ are punctele $x_k=a+k\cdot \frac{b-a}{n}$, iar fiecare subinterval are lungimea $\frac{b-a}{n}$. Suma Riemann cu punctele intermediare ${\xi }_k=x_k$ devine $$\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+k\cdot \frac{b-a}{n}\right)\underset{n\to \infty }{\to }{\int }_a^{b}f(x)dx.$$ Semnul de recunoaștere este că factorul din față nu este $\frac{1}{n}$, ci $\frac{b-a}{n}$, iar argumentul funcției începe de la $a$.

Un exemplu pe $[1,3]$, deci cu $b-a=2$: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{2k}{n}}$. Aici $a=1$, $b=3$, iar argumentul $1+\frac{2k}{n}$ este exact $x_k$; funcția este $f(x)=\frac{1}{x}$, continuă pe $[1,3]$. Limita este $${\int }_1^3\frac{dx}{x}=\ln |x|{|}_1^3=\ln 3\approx 1,099.$$ Verificare numerică: la $n=1000$ suma dă $1,0979$, la $n=10000$ dă $1,09855$ — se apropie de $\ln 3$.

În practică, orice sumă pe $[a,b]$ se poate aduce și pe $[0,1]$, printr-o schimbare de variabilă; drumul direct este însă mai scurt și e cel așteptat în barem.

Cum recunoști intervalul, când enunțul nu ți-l spune? Din primul și din ultimul argument al funcției. Pentru $k=1$ argumentul este $a+\frac{b-a}{n}$, care tinde la $a$; pentru $k=n$ el este exact $b$. Așadar: capătul din dreapta se citește punând $k=n$, iar capătul din stânga se citește punând $k=0$, chiar dacă termenul respectiv nu apare în sumă. Pe exemplul de mai sus, $1+\frac{2\cdot 0}{n}=1$ și $1+\frac{2n}{n}=3$, deci intervalul este $[1,3]$ — iar factorul din față, $\frac{2}{n}$, confirmă că lungimea lui este $2$.

Cele două verificări trebuie să fie coerente: dacă factorul din față este $\frac{c}{n}$, atunci capetele citite din argument trebuie să difere exact prin $c$. Când nu se potrivesc, undeva s-a strecurat o greșeală de rescriere — cel mai adesea o putere greșită a lui $n$ scoasă în față.

7. Cum se calculează limita unui radical de ordinul $n$?

Când în enunț apare un produs sau un radical de ordinul $n$, suma Riemann nu se vede. Trucul este să logaritmezi: logaritmul transformă produsul în sumă, iar radicalul de ordinul $n$ în factorul $\frac{1}{n}$ — exact ce ne trebuie.

Exemplul canonic: $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!n^n}}$. Observăm întâi că $$\frac{(2n)!}{n!n^n}=\frac{(n+1)(n+2)\cdots (2n)}{n^n}=\prod _{k=1}^n\frac{n+k}{n}=\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right),$$ pentru că $\frac{(2n)!}{n!}$ este produsul numerelor de la $n+1$ la $2n$, adică $n$ factori, iar $n^n$ îi împarte pe fiecare cu $n$. Notând $u_n$ șirul din radical, avem $$\ln \sqrt[n]{u_n}=\frac{1}{n}\ln u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{k}{n}\right),$$ care este o sumă Riemann pentru funcția $f(x)=\ln (1+x)$, continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă. Prin urmare $$\underset{n\to \infty }{\lim }\ln \sqrt[n]{u_n}={\int }_0^1\ln (1+x)dx=((1+x)\ln (1+x)-(1+x)){|}_0^1=2\ln 2-1.$$ Cum funcția exponențială este continuă, limita căutată este $e^{2\ln 2-1}=\frac{e^{\ln 4}}{e}=\frac{4}{e}\approx 1,472$. Control numeric: la $n=10000$, radicalul dă $1,47157$, iar $\frac{4}{e}=1,47152$.

Integrala lui $\ln (1+x)$ s-a calculat prin părți, cu $f(x)=\ln (1+x)$ și $g^{\prime }(x)=1$; alegerea $g(x)=1+x$ în loc de $g(x)=x$ scurtează mult calculul, pentru că simplifică numitorul derivatei.

Procedeul are trei pași, care se repetă identic la orice exercițiu de acest tip. Întâi transformi produsul într-o formă în care fiecare factor depinde de $\frac{k}{n}$; aici, împărțirea cu $n^n$ a fost tocmai ce trebuia, pentru că a distribuit câte un $n$ fiecăruia dintre cei $n$ factori. Apoi logaritmezi și obții o sumă Riemann, de care te ocupi cu cei patru pași obișnuiți. La final revii, aplicând exponențiala — pas legitim pentru că funcția exponențială este continuă, deci comută cu limita.

O capcană merită semnalată. Dacă factorii ar fi fost $\frac{k}{n}$ în loc de $1+\frac{k}{n}$, adică dacă produsul ar fi fost $\frac{n!}{n^n}$, funcția obținută prin logaritmare ar fi fost $\ln x$ — care nu este definită în $0$ și, prin urmare, nu este continuă pe intervalul închis $[0,1]$. Rețeta nu i se aplică, iar exercițiul iese din programa clasei a 12-a. Diferența dintre cele două enunțuri este de un singur caracter, dar schimbă complet situația: verifică întotdeauna capătul $x=0$.

8. Când un șir NU este o sumă Riemann?

Testul este simplu: dacă după scoaterea unui factor $\frac{1}{n}$ mai rămâne un $n$ care nu apare prin raportul $\frac{k}{n}$, șirul nu este o sumă Riemann și trebuie altă metodă.

Contraexemplul de reținut este $b_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}$. Aparent seamănă cu $\sum \frac{1}{n+k}$, dar numitorul are $n^2$, nu $n$. Împărțind cu $n^2$ obținem $\frac{1}{n^2}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n^2}}$ — și aici $k$ apare prin $\frac{k}{n^2}$, nu prin $\frac{k}{n}$. Nu este o sumă Riemann. În schimb, cleștele o rezolvă imediat: $$\frac{n}{n^2+n}\le b_n\le \frac{n}{n^2+1},$$ pentru că suma are $n$ termeni, fiecare cuprins între cel mai mic și cel mai mare dintre ei. Ambele margini tind la $0$, deci $\lim b_n=0$. Numeric: la $n=1000$, $b_n\approx 0,00100$.

Regula practică, de reținut: $\frac{k}{n}$ înseamnă sumă Riemann, $\frac{k}{n^2}$ înseamnă clește. Prima duce la o integrală, a doua la zero. Când numărul de termeni nu este $n$, ci de pildă $2n$ sau $n^2$, se rescrie mai întâi suma astfel încât indicele să parcurgă exact atâtea valori câte subintervale are diviziunea.

Există și un al treilea caz, în care șirul nu este nici sumă Riemann, nici rezolvabil cu cleștele direct: cel al sumelor în care termenii nu sunt toți de același ordin de mărime. Acolo se separă suma în bucăți și se tratează fiecare cu unealta ei. Asemenea exerciții depășesc însă tipul cerut la Bacalaureat M1, unde structura este întotdeauna cea din secțiunile $2$–$7$: un factor $\frac{b-a}{n}$ în față și o funcție continuă evaluată în punctele unei diviziuni echidistante.

Un ultim test, foarte rapid, care prinde majoritatea confuziilor: estimează ordinul de mărime. O sumă Riemann pe $[0,1]$ are ca limită media valorilor funcției, deci un număr de mărimea valorilor lui $f$ — dacă $f$ ia valori între $\frac{1}{2}$ și $1$, limita este între $\frac{1}{2}$ și $1$. Dacă rezultatul tău iese $0$ sau infinit, aproape sigur nu era o sumă Riemann; iar dacă recunoașterea a dat o funcție care ia valori uriașe, verifică din nou împărțirea cu puterea lui $n$. Legătura cu lecția următoare, despre integralele funcțiilor pare, impare și periodice, este tot un fel de economie de calcul: acolo simetria scurtează integrala, aici recunoașterea scurtează limita.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Suma Riemann a lui $e^x$, calculată exact

Lecția despre sumele Riemann s-a încheiat cu o întrebare deschisă: pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$, tabelul de valori arăta că sumele ${\sigma }_{\text{st}}$, ${\sigma }_{\text{mij}}$ și ${\sigma }_{\text{dr}}$ se apropie toate de aproximativ $1,7183$, iar banda dintre cea mai mică și cea mai mare, de lățime $\Vert \Delta \Vert (f(1)-f(0))$, se strânge la zero — dar valoarea exactă rămăsese necalculată. O calculăm acum.

Pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$, cu punctele intermediare la dreapta, $${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\left(e^{\frac{1}{n}}+e^{\frac{2}{n}}+\cdots +e^{\frac{n}{n}}\right).$$ Paranteza este suma primilor $n$ termeni ai unei progresii geometrice cu primul termen $e^{\frac{1}{n}}$ și rația $q=e^{\frac{1}{n}}$. Cum $q\ne 1$, formula sumei dă $${\sigma }_{\text{dr}}=\frac{1}{n}\cdot e^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=\frac{1}{n}\cdot \frac{e^{\frac{1}{n}}(e-1)}{e^{\frac{1}{n}}-1},$$ pentru că $q^n={\left(e^{\frac{1}{n}}\right)}^n=e$. Notăm $t=\frac{1}{n}$, deci $t\to 0$ când $n\to \infty$, și rescriem: $${\sigma }_{\text{dr}}=(e-1)\cdot e^t\cdot \frac{t}{e^t-1}.$$ Primul factor este constant, al doilea tinde la $e^0=1$, iar al treilea la $1$, prin limita fundamentală $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$ (cazul $a=e$ al limitei $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{a^t-1}{t}=\ln a$). Prin urmare $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\sigma }_{\text{dr}}=e-1\approx 1,718,$$ adică exact ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1=e-1$. Numărul care se ghicea din tabel are, așadar, un nume: este $e-1$.

Merită oprit o clipă asupra a ceea ce s-a întâmplat. Aici am putut calcula suma exact, printr-un truc — progresia geometrică —, iar apoi am regăsit integrala. În toate exemplele care urmează, trucul nu mai există: sumele nu au formă închisă. Tocmai de aceea drumul se parcurge invers, iar rețeta din secțiunea $2$ înlocuiește complet calculul.

Exemplul 2 — Rezultat cu $\pi$

Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2}\right)$.

Termenul general al sumei este $\frac{n}{n^2+k^2}$. Împărțind numărătorul și numitorul cu $n^2$, obținem $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$, deci suma este suma Riemann a funcției $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$, cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. Funcția este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, prin urmare $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}\approx 0,785.$$

Exemplul 3 — Funcție trigonometrică

Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi }{n}+\sin \frac{2\pi }{n}+\cdots +\sin \frac{n\pi }{n}\right)$.

Factorul $\frac{1}{n}$ este deja scos, iar argumentul $\frac{k\pi }{n}$ se scrie $\pi \cdot \frac{k}{n}$, deci $f(x)=\sin (\pi x)$, continuă pe $[0,1]$ și, prin urmare, integrabilă. Atunci $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}={\int }_0^1\sin (\pi x)dx=\left(-\frac{\cos (\pi x)}{\pi }\right){|}_0^1=\frac{2}{\pi }\approx 0,637.$$ Interpretare: $\frac{2}{\pi }$ este valoarea medie a funcției $\sin (\pi x)$ pe $[0,1]$, iar suma din enunț este chiar media aritmetică a $n$ valori ale ei, luate în puncte egal depărtate.

Exemplul 4 — Radical la numitor

Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$.

Termenul general este $\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$. Scoatem $n$ de sub radical: $\sqrt{n^2+k^2}=n\sqrt{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$, deci termenul devine $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}}$. Funcția $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, iar $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right){|}_0^1=\ln \left(1+\sqrt{2}\right)\approx 0,881.$$

Exemplul 5 — Sumă pe un interval oarecare

Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{n}\left(\sqrt{1+\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{6}{n}}+\cdots +\sqrt{1+\frac{3n}{n}}\right)$.

Factorul din față este $\frac{3}{n}$, iar argumentul este $1+k\cdot \frac{3}{n}$, deci recunoaștem diviziunea echidistantă a intervalului $[1,4]$, cu $b-a=3$ și ${\xi }_k=x_k$. Funcția este $f(x)=\sqrt{x}$, continuă pe $[1,4]$, prin urmare integrabilă. Atunci $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\frac{3k}{n}}={\int }_1^4\sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_1^4=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}=\frac{14}{3}\approx 4,667.$$ Verificare numerică: la $n=10000$ suma dă $4,66682$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$, $a_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$.

a) Arată că $a_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ și calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$.

Termenul general al sumei este $\frac{1}{n+k}$, cu $k$ de la $1$ la $n$. Împărțind numitorul cu $n$, $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, ceea ce dă exact scrierea cerută. Recunoaștem suma Riemann a funcției $f(x)=\frac{1}{1+x}$ pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$, cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. Funcția este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, prin urmare $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2\approx 0,693.$$

b) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.

Este suma Riemann a funcției $g(x)=\ln (1+x)$, continuă pe $[0,1]$ și, prin urmare, integrabilă. Integrala se calculează prin părți, cu $g(x)=\ln (1+x)$ și primitiva $1+x$ pentru factorul $1$: $${\int }_0^1\ln (1+x)dx=(1+x)\ln (1+x){|}_0^1-{\int }_0^{1}dx=2\ln 2-1\approx 0,386.$$

c) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!n^n}}$.

Scriem întâi produsul: $\frac{(2n)!}{n!}=(n+1)(n+2)\cdots (2n)$, un produs de $n$ factori, deci $$\frac{(2n)!}{n!n^n}=\prod _{k=1}^n\frac{n+k}{n}=\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right).$$ Logaritmând radicalul de ordinul $n$ obținem exact suma de la b), deci logaritmul limitei este $2\ln 2-1$. Cum funcția exponențială este continuă, limita este $$e^{2\ln 2-1}=\frac{4}{e}\approx 1,472.$$

Să exersăm

1. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+2+\cdots +n}{n^2}$, în ambele feluri.

2. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^3$.

3. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$.

4. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$.

5. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$.

6. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}$.

7. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$.

8. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{2+\frac{k}{n}}$.

9. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin \frac{k\pi }{n}$.

10. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{(n+k{)}^2}$.

11. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^3}$.

12. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k-1}{n}}$ și compară rezultatul cu exercițiul $4$.

13. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{2k}{n}}$.

14. Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{1+\frac{3k}{n}}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)$.

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Șirul $b_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}$ este o sumă Riemann pentru $f(x)=\frac{1}{1+x}$, deci limita lui este $\ln 2$."

17. (Problemă aplicată.) Temperatura unei încăperi, măsurată pe parcursul unei ore normalizate la $[0,1]$, este $T(t)=20+10\sin (\pi t)$ grade Celsius. Se fac $n$ măsurători în momentele $\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,1$ și se calculează media lor aritmetică. Spre ce valoare tinde această medie când $n$ crește?

18. (Provocare.) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!n^n}}$.

Răspunsuri și explicații

1. Cu suma Riemann: termenul este $\frac{1}{n}\sum \frac{k}{n}$, deci $f(x)=x$, continuă pe $[0,1]$, iar limita este ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$. Cu formula sumei: $\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}\to \frac{1}{2}$.

2. $f(x)=x^3$, continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă; limita este ${\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$.

3. $f(x)=\sqrt{x}$, continuă pe $[0,1]$; limita este ${\int }_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_0^1=\frac{2}{3}\approx 0,667$.

4. $\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, deci $f(x)=\frac{1}{1+x}$, continuă pe $[0,1]$; limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2\approx 0,693$.

5. După împărțirea cu $n^2$, $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$; limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}\approx 0,785$.

6. După împărțirea cu $n^2$, $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$; limita este $\frac{1}{2}\ln (1+x^2){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,347$.

7. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, continuă pe $[0,1]$; limita este $\ln \left(1+\sqrt{2}\right)\approx 0,881$.

8. $f(x)=\frac{1}{2+x}$, continuă pe $[0,1]$; limita este $\ln |2+x|{|}_0^1=\ln 3-\ln 2=\ln \frac{3}{2}\approx 0,405$.

9. $f(x)=\sin (\pi x)$, continuă pe $[0,1]$; limita este $\frac{2}{\pi }\approx 0,637$.

10. $\frac{n}{(n+k{)}^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^2}$, deci $f(x)=\frac{1}{(1+x{)}^2}$; limita este $\left(-\frac{1}{1+x}\right){|}_0^1=\frac{1}{2}$.

11. $f(x)=\frac{1}{(1+x{)}^3}$, continuă pe $[0,1]$; limita este $\left(-\frac{1}{2(1+x{)}^2}\right){|}_0^1=-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$.

12. Punctele intermediare sunt capetele din stânga, ${\xi }_k=\frac{k-1}{n}$, la fel de legitime prin definiția integrabilității. Limita este tot ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2$, adică aceeași ca la exercițiul $4$.

13. Factorul $\frac{2}{n}$ și argumentul $1+\frac{2k}{n}$ arată diviziunea echidistantă a lui $[1,3]$, cu $f(x)=\frac{1}{x}$, continuă acolo; limita este ${\int }_1^3\frac{dx}{x}=\ln 3\approx 1,099$.

14. Diviziunea echidistantă a lui $[1,4]$, cu $f(x)=\sqrt{x}$ continuă; limita este ${\int }_1^4\sqrt{x}dx=\frac{14}{3}\approx 4,667$.

15. $f(x)=\ln (1+x)$, continuă pe intervalul închis $[0,1]$, deci integrabilă; prin părți, ${\int }_0^1\ln (1+x)dx=2\ln 2-1\approx 0,386$.

16. Fals. După împărțirea cu $n^2$, indicele $k$ apare prin raportul $\frac{k}{n^2}$, nu prin $\frac{k}{n}$, deci suma nu este o sumă Riemann pe diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$. Încadrarea $\frac{n}{n^2+n}\le b_n\le \frac{n}{n^2+1}$ și criteriul cleștelui dau $\lim b_n=0$.

17. Media este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}T\left(\frac{k}{n}\right)$, adică o sumă Riemann pentru funcția $T$, continuă pe $[0,1]$. Limita este ${\int }_0^1(20+10\sin (\pi t))dt=20+\frac{20}{\pi }\approx 26,37$ grade Celsius.

18. Din $\frac{(2n)!}{n!n^n}={\prod }_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)$, logaritmul radicalului este $\frac{1}{n}\sum \ln \left(1+\frac{k}{n}\right)\to 2\ln 2-1$, deci limita este $e^{2\ln 2-1}=\frac{4}{e}\approx 1,472$.

De reținut

• Un șir de forma $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$, cu $f$ continuă pe $[0,1]$, are ca limită integrala ${\int }_0^{1}f(x)dx$ — este suma Riemann a lui $f$ pe diviziunea echidistantă, cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$.
• Cei patru pași ai sumei Riemann sunt: scoaterea factorului $\frac{1}{n}$, identificarea funcției din raportul $\frac{k}{n}$, recunoașterea diviziunii cu invocarea integrabilității funcției continue, calculul integralei.
• Justificarea prin integrabilitatea funcției continue pe intervalul închis este obligatorie; fără ea rezolvarea este incompletă și se punctează parțial.
• Punctele intermediare pot fi capetele din stânga sau din dreapta ale subintervalelor — limita este aceeași, pentru că definiția integrabilității cere independența de alegerea lor.
• Pe un interval $[a,b]$ oarecare, factorul din față devine $\frac{b-a}{n}$, iar argumentul funcției este $a+k\cdot \frac{b-a}{n}$; produsele și radicalii de ordinul $n$ se aduc la această formă prin logaritmare.

Greșeli frecvente

• Se uită factorul $\frac{1}{n}$. Fără el, suma nu este o sumă Riemann, ci un șir cu limita infinită. Corect: se scoate întâi factorul, apoi se caută funcția.
• Se confundă $\frac{k}{n}$ cu $\frac{k}{n^2}$. Prima duce la o integrală, a doua la zero. Corect: se verifică explicit că indicele apare numai prin raportul $\frac{k}{n}$; altfel se folosește criteriul cleștelui.
• Se sare peste justificarea integrabilității. A scrie direct „limita este ${\int }_0^{1}f$" fără a spune că $f$ este continuă, deci integrabilă, lasă rezolvarea fără ipoteza-cheie. Corect: propoziția de continuitate și integrabilitate se scrie de fiecare dată.
• Se aplică rețeta unei funcții care nu e continuă pe intervalul închis. O funcție care nu este definită într-un capăt nu îndeplinește ipoteza criteriului, deci procedeul nu se poate folosi. Corect: se verifică întâi continuitatea pe tot intervalul închis.
• Se uită factorul $b-a$ la intervale generale. Pe $[1,3]$, lungimea unui subinterval este $\frac{2}{n}$, nu $\frac{1}{n}$. Corect: factorul din față trebuie să fie exact lungimea subintervalului, iar argumentul funcției trebuie să pornească de la $a$.

Aplică acasă

1. Calculează cu ajutorul unui calculator sumele $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$ pentru $n=10$, $n=100$ și $n=1000$ și compară-le cu $\ln 2$. Vei observa că eroarea se împarte, aproximativ, la zece de fiecare dată — apropierea este de tip $\frac{1}{n}$, nu mai rapidă.
2. Scrie ca sumă Riemann și calculează limita șirului $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{3n}$. Atenție: aici suma are $2n$ termeni, nu $n$, deci trebuie mai întâi rescrisă cu un indice care parcurge exact atâtea valori câte subintervale are diviziunea; rezultatul va fi $\ln 3$.
3. Ia o funcție continuă la alegere pe $[0,1]$, de pildă $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$, și compară numeric suma cu capetele din dreapta cu cea cu capetele din stânga, pentru $n=100$. Verifică faptul că diferența lor este exact $\frac{f(1)-f(0)}{n}$ și explică de ce.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică o competență explicit cerută de programă: recunoașterea unui șir care poate fi scris ca sumă Riemann pentru o funcție continuă dată și calculul limitei lui cu ajutorul integralei definite. Este singurul loc din liceu în care integrala este folosită ca instrument pentru limite de șiruri, deci un punct de întâlnire între analiza de clasa a XI-a și cea de clasa a XII-a.

Întrebări de control: „Ce trebuie să apară în paranteza funcției?" (numai raportul $\frac{k}{n}$); „De ce trebuie spus că funcția este continuă?" (pentru că integrabilitatea, care justifică trecerea la limită, se obține din continuitate); „Ce faci când vezi un produs sau un radical de ordinul $n$?" (logaritmezi).

Semne că a înțeles: scoate factorul $\frac{1}{n}$ înainte de orice; scrie propoziția de integrabilitate fără să i se ceară; deosebește $\frac{k}{n}$ de $\frac{k}{n^2}$; nu se sperie de sume pe intervale diferite de $[0,1]$.

La BAC, tipul acesta apare fie ca subpunct final al unei probleme din Subiectul al III-lea, fie ca problemă de sine stătătoare. Baremele acordă puncte separate pentru scrierea sumei sub forma cu $\frac{1}{n}$, pentru identificarea funcției și pentru calculul integralei, iar lipsa justificării continuității se sancționează.

Întrebări frecvente

Cum recunoști o sumă Riemann într-un șir?

Scoți mai întâi factorul $\frac{1}{n}$ din termenul general, împărțind numărătorul și numitorul cu puterea potrivită a lui $n$. Apoi verifici că indicele $k$ apare numai prin raportul $\frac{k}{n}$; înlocuind formal acest raport cu $x$, obții funcția $f$. Dacă rămâne vreun $n$ izolat, șirul nu este o sumă Riemann și trebuie altă metodă.

Care este formula limitei unei sume Riemann?

Dacă $f$ este continuă pe $[0,1]$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$. Pe un interval $[a,b]$ oarecare, formula devine $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b-a}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)={\int }_a^{b}f(x)dx$. În ambele cazuri, factorul din față este lungimea unui subinterval al diviziunii echidistante.

De ce trebuie spus că funcția este continuă?

Pentru că egalitatea dintre limita sumelor Riemann și integrală este valabilă numai pentru funcții integrabile, iar criteriul folosit la clasa a XII-a este acela că orice funcție continuă pe un interval compact este integrabilă. Fără această verigă, rezolvarea afirmă ceva ce nu a justificat. La examen, propoziția respectivă este punctată separat în barem.

Ce se schimbă dacă punctele intermediare sunt capetele din stânga?

Nu se schimbă limita. Definiția integrabilității cere ca sumele Riemann să tindă la același număr pentru orice alegere a punctelor intermediare, iar capetele din stânga, ${\xi }_k=\frac{k-1}{n}$, sunt o alegere la fel de legitimă ca cele din dreapta. Cele două sume diferă printr-o cantitate care tinde la zero, anume $\frac{f(1)-f(0)}{n}$.

Cum calculezi limita unui radical de ordinul $n$ dintr-un produs?

Logaritmezi. Logaritmul transformă produsul în sumă, iar radicalul de ordinul $n$ în factorul $\frac{1}{n}$, deci obții exact forma unei sume Riemann. Calculezi limita logaritmului ca integrală definită, apoi revii la limita inițială aplicând exponențiala, ceea ce este permis pentru că funcția exponențială este continuă.

Când un șir NU este o sumă Riemann?

Când indicele $k$ nu apare prin raportul $\frac{k}{n}$, ci prin $\frac{k}{n^2}$ sau altă combinație. Exemplul tipic este ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}$, care seamănă cu o sumă Riemann, dar are limita $0$. În astfel de cazuri se folosește criteriul cleștelui, încadrând suma între numărul de termeni înmulțit cu cel mai mic, respectiv cu cel mai mare dintre ei.

De ce nu se poate folosi regula sumei de la limite de șiruri?

Pentru că regula sumei se aplică unui număr fix de șiruri, iar aici numărul termenilor crește odată cu $n$. Fiecare termen tinde la zero, dar suma lor nu: sunt tot mai mulți termeni tot mai mici, iar rezultatul depinde de echilibrul dintre cele două tendințe. Exact acest echilibru îl măsoară integrala definită.

Ce legătură are suma Riemann cu media aritmetică?

Suma $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ este chiar media aritmetică a valorilor funcției în $n$ puncte egal depărtate din $[0,1]$. Limita ei, ${\int }_0^{1}f(x)dx$, este valoarea medie a funcției pe interval, în sensul teoremei de medie. De aceea problemele aplicate cu medii de măsurători se rezolvă natural cu această tehnică.