Limitele care duc la e. Nedeterminarea 1 la infinit: pe scurt

O expresie $f(x{)}^{g(x)}$ este de tip $1^{\infty }$ numai dacă baza tinde chiar la $1$ și exponentul la $\pm \infty$; altfel se calculează direct. Nu orice $1^{\infty }$ dă $e$ — rezultatul este o putere a lui $e$, iar exponentul se calculează.

Limita fundamentală, mutată la funcții: $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$, cu formele $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$. Forma compusă cere $u(x)\to 0$, $u(x)\ne 0$ și, în plus, $u(x)>-1$ pe o vecinătate redusă (altfel baza ar fi negativă).

A cincea limită fundamentală: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$, pentru orice $r$ real; corolare: $\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\to \frac{1}{2}$ și $\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}\to \frac{1}{3}$.

Formula de lucru pentru $1^{\infty }$: dacă $f(x)\to 1$, $g(x)\to \pm \infty$ și există $c=\lim g(x)\left(f(x)-1\right)$, atunci $\lim f(x{)}^{g(x)}=e^c$. Toată informația stă într-un singur număr: $c$ finit dă $e^c$, $c=+\infty$ dă $+\infty$, $c=-\infty$ dă $0$. De aceea $c$ se calculează primul, iar rețeta are cinci pași, toți scriși: confirmi nedeterminarea, scrii baza ca $1+u$, construiești exponentul $\frac{1}{u}$, calculezi $c$ și răspunzi $e^c$.

Ideea de fond este că efectul cumulat depinde de produsul dintre abaterea bazei de la $1$ și exponent: la ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ produsul e $1$ și rezultatul $e$; la ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ produsul e $2$ și rezultatul $e^2$; la ${\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^n$ produsul tinde la $0$ și rezultatul e $1$. Trei expresii aproape identice ca formă, trei răspunsuri diferite — deosebirea nu se vede din formă, ci numai din numărul $c$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+5x\right)}^{\frac{1}{x}}$.

   • a) $e$
   • b) $5e$
   • c) $e^5$
   • d) $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $e^5$

   Baza tinde la $1$, exponentul la $\pm \infty$: caz $1^{\infty }$. Scriem ${\left(1+5x\right)}^{\frac{1}{x}}={\left[{\left(1+5x\right)}^{\frac{1}{5x}}\right]}^5$; paranteza tinde la $e$ (forma compusă cu $u(x)=5x$), exponentul este constant $5$, deci limita este $e^5\approx 148,41$. Cu rețeta: $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot 5x=5$. Varianta d) ar rezulta din a citi $1^{\infty }$ ca $1$.

2. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{2x}$.

   • a) $e^6$
   • b) $e^3$
   • c) $e^2$
   • d) $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $e^6$

   Caz $1^{\infty }$. Numărul-cheie este $c=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x\cdot \frac{3}{x}=6$, deci limita este $e^6$. Efectul cumulat depinde de produsul dintre abaterea bazei de la $1$ și exponent, nu de fiecare factor separat — de aceea $a$ și $b$ se înmulțesc.

3. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^7-1}{x}$.

   • a) $1$
   • b) $7$
   • c) $0$
   • d) $e^7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $7$

   Este a cincea limită fundamentală, cu $r=7$: valoarea este $r=7$. Pentru exponent natural se vede și direct, cu binomul lui Newton: $(1+x{)}^7-1=7x+C_7^2{x}^2+\cdots$, iar după împărțirea cu $x$ toți termenii în afară de $7$ mai conțin un factor $x$ și se sting.