Limitele fundamentale care duc la numărul e. Nedeterminarea unu la infinit

Un geam tratat antireflex oprește $1\%$ din lumina care îl străbate, deci lasă să treacă $0,99$ din ea. Câtă lumină trece prin o sută de asemenea geamuri suprapuse? Răspunsul „niciuna, pentru că $100\times 1\%=100\%$" este greșit, pentru că fiecare strat oprește un procent din ce a mai rămas, nu din cantitatea inițială. Fracțiunea transmisă este $0,99^{100}=0,366032\dots$, adică peste o treime din lumină ajunge la capăt. Iar dacă am tăia stratul în bucăți tot mai subțiri — $n$ folii care opresc fiecare $\frac{1}{n}$ din lumină —, fracțiunea transmisă ar fi ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$ și nu ar coborî oricât de mult, ci s-ar opri la $\frac{1}{e}=0,367879\dots$

Recunoști competiția: o bază care se apropie de $1$ și un exponent care crește nemărginit, adică nedeterminarea $1^{\infty }$. La numărul $e$ ai arbitrat-o pentru șiruri, cu o rețetă în cinci pași; la cazurile de nedeterminare $0\cdot \infty$, $\frac{0}{0}$ și $1^{\infty }$ ai învățat să deosebești cazul autentic de cele două forme de „fals $1^{\infty }$". Lecția de față mută totul pe terenul funcțiilor: transferă limita fundamentală a lui $e$, adaugă a cincea limită fundamentală a programei — cea cu $(1+x{)}^r$ — și, cel mai important, demonstrează formula de lucru $\lim f^g=e^{\lim g\left(f-1\right)}$, care la șiruri fusese doar o procedură.

Ce vei învăța

• Vei ști să treci limita fundamentală ${\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}\to e$ de la șiruri la funcții și să scrii și forma ei cu exponent care tinde la infinit.
• Vei ști să demonstrezi a cincea limită fundamentală, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$, folosind limitele din lecția precedentă.
• Vei ști să demonstrezi formula de lucru pentru nedeterminarea $1^{\infty }$ la funcții și să enunți complet ipotezele ei.
• Vei ști să aplici rețeta în cinci pași și să deosebești cele trei rezultate posibile, după cum exponentul-cheie este finit, $+\infty$ sau $-\infty$.
• Vei ști să folosești formele compuse ale ambelor limite, justificând substituția de fiecare dată.
• Vei ști să așezi cele cinci limite fundamentale într-un singur tablou și să alegi rapid pe care dintre ele o cere un exercițiu dat.

Hai să descoperim împreună

1. Competiția din spatele lui $1^{\infty }$

Fie $f$ și $g$ două funcții definite pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, cu $f(x)>0$. Dacă $f(x)\to 1$ și $g(x)\to \pm \infty$, expresia $f(x{)}^{g(x)}$ este de tip $1^{\infty }$: baza împinge rezultatul spre $1$, exponentul amplifică orice abatere de la $1$, iar cine câștigă depinde de vitezele celor două tendințe.

Două verificări se fac înainte de orice calcul, iar ele au fost tratate pe larg în lecția despre cazurile de nedeterminare, așa că le reamintim doar în două rânduri, fără să le reluăm. Prima: baza trebuie să tindă chiar la $1$ — dacă tinde la $2$, răspunsul este $2^{+\infty }=+\infty$ și ai terminat; dacă tinde la $\frac{1}{3}$, răspunsul este $0$. A doua: exponentul trebuie să tindă la infinit — dacă rămâne mărginit, puterea se calculează direct. Numai când amândouă condițiile sunt îndeplinite ai o nedeterminare adevărată și abia atunci pornește lecția de față.

Reține și concluzia de la șiruri, valabilă identic aici: nu orice $1^{\infty }$ dă $e$. Rezultatul este o putere a lui $e$, iar exponentul se calculează; poate ieși $1$, poate ieși $+\infty$, poate ieși $0$.

Merită spus în cuvinte ce anume se măsoară. Abaterea bazei de la $1$ este o cantitate mică, pe care o notăm $u$; exponentul $g$ este o cantitate mare. Dacă ridicăm o cantitate „cu $u$ mai mare decât $1$" la o putere mare, efectul cumulat depinde de produsul $ug$, nu de fiecare factor în parte: dacă $u$ scade de o sută de ori, iar $g$ crește de o sută de ori, rezultatul rămâne neschimbat. Acesta este motivul profund pentru care întregul răspuns încape într-un singur număr, $c=\lim g\left(f-1\right)$ — și de ce el se calculează primul. Un elev care înțelege această idee nu mai are nevoie să memoreze rețeta; el o reconstruiește.

Un exemplu numeric o face vizibilă. La ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ produsul este $1$ și rezultatul $e$; la ${\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ produsul este $2$ și rezultatul $e^2\approx 7,39$; la ${\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}^n$ produsul tinde la $0$ și rezultatul este $1$. Trei expresii aproape identice ca formă, cu trei răspunsuri complet diferite — deosebirea nu se vede din formă, ci numai din produsul calculat.

2. A doua limită fundamentală, mutată la funcții

Teoremă. $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$.

Demonstrație. Expresia are sens pe $(-1,0)\cup (0,+\infty )$ — baza trebuie să fie strict pozitivă, pentru că exponentul $\frac{1}{x}$ nu este întreg —, iar $0$ este punct de acumulare al acestei mulțimi. Fie $(x_n)$ un șir oarecare din domeniu, cu $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$. Din lecția despre numărul $e$, unde ai demonstrat forma cerută de programă, ${\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}\to e$. Cum șirul a fost arbitrar, definiția limitei cu șiruri dă concluzia. $■$

Forma cu exponent infinit. Aceeași limită, citită prin substituția $y=\frac{1}{x}$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e,\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e.$$ Demonstrația repetă argumentul de mai sus, cu forma „cu exponent infinit" din aceeași lecție de șiruri.

Forma compusă. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)=0$, $u(x)\ne 0$ și $u(x)>-1$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $$\underset{x\to x_0}{\lim }{\left(1+u(x)\right)}^{\frac{1}{u(x)}}=e.$$ Ca la toate formele compuse din capitol, substituția se justifică în scris: „notăm $t=u(x)$; cum $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, obținem…". Condiția suplimentară $u(x)>-1$ apare aici pentru prima dată și are un motiv simplu: fără ea baza $1+u(x)$ ar putea fi negativă, iar puterea cu exponent neîntreg nu ar mai fi definită.

3. A cincea limită fundamentală: $\frac{(1+x{)}^r-1}{x}$

Teoremă. Pentru orice $r\in \mathbb{R}$, $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r.$$

Demonstrație. Dacă $r=0$, numărătorul este $1-1=0$ pentru orice $x$, deci limita este $0=r$. Fie $r\ne 0$ și $x\in (-1,0)\cup (0,+\infty )$. Din definiția puterii cu exponent real, dată la clasa a X-a în lecția despre funcția putere cu exponent real, avem $(1+x{)}^r=e^{r\ln (1+x)}$. Notăm $$u(x)=r\ln (1+x)$$ și verificăm cele două ipoteze ale formei compuse:

1. $u(x)\to 0$: din lecția precedentă, $\ln (1+x)=x\cdot \frac{\ln (1+x)}{x}\to 0\cdot 1=0$, deci $u(x)\to r\cdot 0=0$;
2. $u(x)\ne 0$ pentru $x\ne 0$: logaritmul este injectiv, deci $\ln (1+x)=0$ numai pentru $1+x=1$, adică $x=0$; cum $r\ne 0$, produsul este nenul.

Descompunem acum raportul în trei factori: $$\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=\frac{e^{u(x)}-1}{u(x)}\cdot \frac{u(x)}{x}=\frac{e^{u(x)}-1}{u(x)}\cdot r\cdot \frac{\ln (1+x)}{x}.$$ Primul factor tinde la $1$ — este forma compusă a limitei cu exponențială în cazul bazei $e$ —, al treilea tinde tot la $1$, iar factorul din mijloc este constant. Prin urmare limita este $1\cdot r\cdot 1=r$. $■$

Pentru $r\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ rezultatul se poate verifica și direct, cu dezvoltarea binomială: $(1+x{)}^r-1=rx+C_r^2{x}^2+\cdots$, iar după împărțirea cu $x$ toți termenii în afară de $r$ conțin cel puțin un factor $x$ și se sting.

Corolarele care apar cel mai des se obțin dând lui $r$ valori concrete: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2},\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{3},\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{1+x}-1}{x}=-1.$$ Observă că prima dintre ele se putea obține și prin amplificare cu conjugata, așa cum ai făcut la nedeterminările cu radicali; a doua, cu conjugata de ordinul trei, ar cere deja un calcul lung, iar pentru $r=\sqrt{2}$ metoda veche nu mai există deloc. Aceasta e valoarea limitei fundamentale: acoperă dintr-o dată toți exponenții reali.

Forma compusă. Dacă $u(x)\to 0$, $u(x)\ne 0$ și $u(x)>-1$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{{\left(1+u(x)\right)}^r-1}{u(x)}=r$.

4. Formula de lucru pentru $1^{\infty }$ — cu demonstrație

Teoremă. Fie $x_0\in \overline{\mathbb{R}}$ punct de acumulare al domeniului comun al funcțiilor $f$ și $g$, cu $f(x)>0$ și $f(x)\ne 1$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$. Presupunem că $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=1,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\pm \infty ,$$ și că există $$c=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)\left(f(x)-1\right)\in \overline{\mathbb{R}}.$$ Atunci $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=e^c,$$ cu convențiile $e^{+\infty }=+\infty$ și $e^{-\infty }=0$ din dreapta reală încheiată.

Demonstrație. Notăm $u(x)=f(x)-1$. Pe vecinătatea redusă din ipoteză avem $u(x)\ne 0$ și $1+u(x)=f(x)>0$, iar $u(x)\to 0$. Folosind regulile de calcul cu puteri de exponent real, scriem $$f(x{)}^{g(x)}={\left(1+u(x)\right)}^{g(x)}={\left[{\left(1+u(x)\right)}^{\frac{1}{u(x)}}\right]}^{u(x)g(x)}.$$ Paranteza dreaptă tinde la $e$, prin forma compusă de la punctul 2. Exponentul este exact $u(x)g(x)=g(x)\left(f(x)-1\right)$, care tinde la $c$ prin ipoteză. Din regula limitei unei puteri cu bază și exponent variabili — rândul $(f(x){)}^{g(x)}$ cu $f>0$ din tabelul teoremei operațiilor, vezi operațiile cu limite de funcții — obținem $e^c$. Când $c$ este infinit, folosim rândurile $a^{+\infty }$ și $a^{-\infty }$ din tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$, cu $a=e>1$. Este exact regula invocată și la șiruri, în lecția despre numărul $e$. $■$

Trei observații care fac diferența la lucrare.

Ipoteza $f(x)\ne 1$ nu e decorativă. Dacă $f$ ar lua valoarea $1$ în puncte oricât de apropiate de $x_0$, atunci $u(x)$ s-ar anula acolo, iar expresia ${\left(1+u\right)}^{1/u}$ nici nu ar fi definită. Se verifică din ochi: pentru un raport de polinoame, $f(x)=1$ înseamnă o ecuație cu un număr finit de soluții, deci în afara lor condiția e îndeplinită.

Cele trei rezultate posibile. Dacă $c$ este un număr real, limita este $e^c$, finit și strict pozitiv. Dacă $c=+\infty$, limita este $+\infty$. Dacă $c=-\infty$, limita este $0$. Toată informația stă, așadar, într-un singur număr — motiv pentru care el se calculează primul, nu ultimul.

Ce s-a schimbat față de șiruri. La numărul $e$ rețeta era o procedură corectă, dar justificată pas cu pas doar pentru șiruri. Aici ai o teoremă, cu ipoteze scrise complet, valabilă și când $x_0$ este finit — iar acesta e cazul pe care șirurile nici nu îl pot atinge. Un șir are un singur „capăt", indicele care crește la infinit; o funcție poate fi privită în orice punct de acumulare al domeniului ei, la stânga, la dreapta sau la ambele capete. De aceea enunțul de mai sus vorbește despre o vecinătate redusă a lui $x_0$, o formulare care acoperă deodată toate aceste situații, inclusiv pe cea în care $x_0$ este $+\infty$ sau $-\infty$.

5. Rețeta în cinci pași

1. Confirmi nedeterminarea: calculezi $\lim f$ și $\lim g$; trebuie să iasă $1$ și $\pm \infty$. Dacă nu, folosești tabelul din lecția despre cazurile de nedeterminare și te oprești aici.
2. Scrii baza ca $1+u$, cu $u=f-1$; verifici $u\to 0$ și $u\ne 0$ pe o vecinătate redusă.
3. Construiești exponentul $\frac{1}{u}$, adică scrii $f^g={\left[{\left(1+u\right)}^{1/u}\right]}^{ug}$.
4. Calculezi $c=\lim g\left(f-1\right)$ — de obicei o limită simplă, de tip raport de polinoame sau produs cu o limită fundamentală deja cunoscută.
5. Răspunzi $e^c$, cu cazul potrivit dintre cele trei.

Pașii se scriu toți, în această ordine. La Bacalaureat M1 subiectul apare de regulă chiar decupat astfel: subpunctul a) cere limita bazei, b) cere numărul $c$, c) cere rezultatul — semn că baremul plătește separat fiecare etapă.

6. Tiparele de lucru

Ultimul rând merită privit: acolo $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}$, adică tocmai corolarul limitei cu sinus, cu semn schimbat. Exercițiile bune amestecă mereu două dintre cele cinci limite fundamentale — de aceea ele se învață ca un tot, nu una câte una.

Al treilea rând al tabelului este cel mai des întâlnit la examen și merită o observație de calcul. Când baza este un raport de polinoame de același grad și cu aceiași coeficienți dominanți, aducerea la forma $1+u$ se face prin împărțire cu rest, nu prin ochi: scrii numărătorul ca „numitor plus rest" și obții direct $u=\frac{\text{rest}}{\text{numitor}}$. Apoi $c$ iese ca un raport de polinoame, adică o limită pe care o știi calcula de la prima lecție a nedeterminărilor. Toată dificultatea aparentă a acestor exerciții stă, de fapt, în primele două rânduri de calcul.

7. Cele cinci limite fundamentale, la un loc

Acesta este tabloul complet cerut de programă. Toate se citesc pentru $x\to 0$ și toate au formă compusă, cu ipotezele $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă.

⚠️ Atenție la a treia: valoarea este $\ln a$, nu $1$; egalitatea cu $1$ are loc doar pentru $a=e$.

Privind tabloul întreg, se vede și logica lui internă. Prima limită vine dintr-un argument geometric și stă singură; celelalte patru se sprijină, toate, pe numărul $e$: a doua îl transportă de la șiruri la funcții, a patra îl întoarce pe dos prin logaritm, a treia se reduce la a patra printr-o substituție, iar a cincea le combină pe a treia și pe a patra. Cu alte cuvinte, ai de reținut două idei — cleștele geometric și numărul $e$ —, restul fiind consecințe. Așa se și învață cel mai bine: reconstruind lanțul, nu memorând cinci egalități fără legătură între ele.

Mai rămân, din lista celor șapte nedeterminări, cazurile ${\infty }^0$ și $0^0$. Ele se tratează tot prin logaritmare, dar cu unelte care se învață mai târziu, în lecția despre nedeterminările rezolvate cu regulile lui L'Hôpital; până acolo, singura nedeterminare cu exponent pe care o rezolvi complet este $1^{\infty }$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Forma directă

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+3x\right)}^{\frac{1}{x}}$.

Rezolvare. Baza tinde la $1$, exponentul la $\pm \infty$: caz $1^{\infty }$. Punem $u(x)=3x$, care tinde la $0$, este nenul pentru $x\ne 0$ și depășește $-1$ lângă $0$. Scriem $${\left(1+3x\right)}^{\frac{1}{x}}={\left[{\left(1+3x\right)}^{\frac{1}{3x}}\right]}^3.$$ Paranteza tinde la $e$, exponentul este constant $3$, deci limita este $e^3\approx 20,085537$. Cu rețeta: $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot 3x=3$.

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $20,085536$. ✓

Exemplul 2 — Raport de expresii de gradul întâi, la infinit

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)}^x$.

Rezolvare. Baza tinde la $1$ (grade egale, coeficienți dominanți egali), exponentul la $+\infty$: caz $1^{\infty }$. Aducem baza la forma $1+u$ prin împărțire cu rest: $$\frac{x+2}{x-1}=\frac{(x-1)+3}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}.$$ Deci $u(x)=\frac{3}{x-1}\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pentru orice $x>1$. Calculăm $$c=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \frac{3}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{x-1}=3,$$ deci limita este $e^3$.

Verificare numerică: la $x=10^8$ expresia dă $20,0855366$, iar $e^3=20,0855369$. ✓

Exemplul 3 — A cincea limită fundamentală, cu radicali

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+\sin x}-1}{x}$.

Rezolvare. Prima: cu $r=\frac{1}{2}$ și $u(x)=2x$, $$\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}=2\cdot \frac{{\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{2}}-1}{2x}⟶2\cdot \frac{1}{2}=1.$$ A doua: cu $r=\frac{1}{3}$ și $u(x)=\sin x$ — care tinde la $0$ și este nenulă pe $(-\pi ,\pi )\setminus \{0\}$, deci substituția e legitimă —, $$\frac{\sqrt[3]{1+\sin x}-1}{x}=\frac{{\left(1+\sin x\right)}^{\frac{1}{3}}-1}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}⟶\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.$$

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ cele două expresii dau $1,0000000$ și $0,33333333$. ✓

Exemplul 4 — Bază construită cu o altă limită fundamentală

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+\sin x\right)}^{\frac{1}{x}}$.

Rezolvare. Baza tinde la $1$, exponentul la $\pm \infty$: caz $1^{\infty }$. Aici $u(x)=\sin x$, nenul pe $(-\pi ,\pi )\setminus \{0\}$. Rețeta cere $$c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\cdot \sin x=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$$ adică chiar prima limită fundamentală. Prin urmare limita este $e^1=e$.

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $2,7182818$. ✓

Exemplul 5 — Sinteza a două limite fundamentale

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\cos x\right)}^{\frac{1}{x^2}}$.

Rezolvare. Baza tinde la $1$ și este strict pozitivă lângă $0$; exponentul tinde la $+\infty$: caz $1^{\infty }$. Condiția $\cos x\ne 1$ e îndeplinită pe $(-\pi ,\pi )\setminus \{0\}$, unde cosinusul ia valoarea $1$ doar în $0$. Calculăm $$c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\left(\cos x-1\right)=-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=-\frac{1}{2},$$ folosind corolarul limitei cu sinus. Limita este $e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\approx 0,606531$.

Verificare numerică: la $x=10^{-4}$ expresia dă $0,60653066$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+x+2}\right)}^x$. a) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+3x+1}{x^2+x+2}=1$. b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{x^2+3x+1}{x^2+x+2}-1\right)$. c) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

Rezolvare.

a) Raport de polinoame de același grad: limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{1}{1}=1$.

b) Calculăm întâi diferența, aducând la același numitor: $$\frac{x^2+3x+1}{x^2+x+2}-1=\frac{\left(x^2+3x+1\right)-\left(x^2+x+2\right)}{x^2+x+2}=\frac{2x-1}{x^2+x+2}.$$ Înmulțind cu $x$ obținem $\frac{2x^2-x}{x^2+x+2}$, raport de polinoame de gradul al doilea, cu limita $2$.

c) Din a) și b) suntem în cazul $1^{\infty }$, cu $c=2$; baza este strict pozitivă pentru $x>0$ și diferită de $1$ pentru $x\ne \frac{1}{2}$, deci ipotezele teoremei sunt îndeplinite pe o vecinătate a lui $+\infty$. Prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=e^2\approx 7,389056$.

Verificare numerică: la $x=10^8$ expresia dă $7,3890557$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită de tip $1^{\infty }$, scrie toți cei cinci pași, mai ales calculul separat al numărului $c$.

1. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{x}}$.

2. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{3}{x}}$.

3. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1-x\right)}^{\frac{1}{x}}$.

4. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ și precizează care formă a limitei fundamentale ai folosit.

5. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{5x}$.

6. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3x+1}{3x-2}\right)}^x$.

7. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)}^{x+4}$.

8. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^5-1}{x}$.

9. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}$.

10. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}$.

11. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{-2}-1}{x}$.

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice limită de tip $1^{\infty }$ este egală cu $e$."

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „${\left(\frac{2x+1}{x+3}\right)}^x$ este, la $+\infty$, un caz de nedeterminare $1^{\infty }$."

14. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{x^2}}$.

15. (Problemă aplicată.) Un geam tratat oprește $1\%$ din lumină. Calculează fracțiunea de lumină care trece prin $100$ de astfel de geamuri, adică $0,99^{100}$, și compară-o cu $\frac{1}{e}$. Apoi, dacă fiecare dintre cele $n$ straturi oprește $\frac{c}{n}$ din lumină, arată că fracțiunea transmisă tinde la $e^{-c}$ când $n$ crește și calculează valorile pentru $c=1$ și $c=2$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)={\left(\frac{x^2+2x+3}{x^2+4x+1}\right)}^x$, $x>0$. Arătați că baza tinde la $1$ când $x\to +\infty$, calculați $c=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\text{baza}-1\right)$ și deduceți $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

17. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+\mathrm{tg}x\right)}^{\frac{1}{x}}$.

18. (Provocare.) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}}{x}$, aducând mai întâi expresia la o diferență de două rapoarte fundamentale.

Răspunsuri și explicații

Notă de redactare. Justificarea substituției este scrisă integral la primul răspuns; în cele care urmează ea se subînțelege, ca să nu se repete de optsprezece ori. Pe caiet și la lucrare se scrie de fiecare dată — este pas de barem.

1. Baza tinde la $1$, exponentul la $\pm \infty$: caz $1^{\infty }$. Notăm $u(x)=2x$; cum $2x\to 0$ când $x\to 0$, $2x\ne 0$ pentru $x\ne 0$ și $2x>-1$ lângă $0$, forma compusă dă ${\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{2x}}\to e$. Atunci $${\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{x}}={\left[{\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{2x}}\right]}^2\to e^2\approx 7,389056.$$ Cu rețeta: $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{x}=2$, deci răspunsul este $e^2$.

2. ${\left(1+x\right)}^{\frac{3}{x}}={\left[{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}\right]}^3\to e^3\approx 20,085537$.

3. Cu $u(x)=-x$: $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x}{x}=-1$, deci limita este $e^{-1}=\frac{1}{e}\approx 0,367879$.

4. Este chiar forma cu exponent infinit a limitei fundamentale, cu $x\to +\infty$: limita este $e$.

5. $c=\underset{x\to +\infty }{\lim }5x\cdot \frac{2}{x}=10$, deci limita este $e^{10}\approx 22026,466$.

6. $\frac{3x+1}{3x-2}=1+\frac{3}{3x-2}$, iar $c=\lim x\cdot \frac{3}{3x-2}=\lim \frac{3x}{3x-2}=1$. Limita este $e$. Numeric, la $x=10^8$: $2,7182818$. ✓

7. $\frac{2x+3}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}$, iar $c=\lim (x+4)\cdot \frac{2}{2x+1}=\lim \frac{2x+8}{2x+1}=1$. Limita este $e$.

8. Este a cincea limită fundamentală cu $r=5$: răspunsul este $5$. (Se verifică și cu binomul lui Newton.)

9. $2\cdot \frac{(1+2x{)}^{1/2}-1}{2x}\to 2\cdot \frac{1}{2}=1$.

10. A cincea limită fundamentală cu $r=\frac{1}{3}$: răspunsul este $\frac{1}{3}$.

11. A cincea limită fundamentală cu $r=-2$: răspunsul este $-2$. Verificare prin calcul direct: $\frac{\frac{1}{(1+x{)}^2}-1}{x}=\frac{-2-x}{(1+x{)}^2}\to -2$. ✓

12. Fals. Limita este $e^c$, cu $c=\lim g\left(f-1\right)$. Dacă $c=0$, limita este $1$; dacă $c=-\infty$, limita este $0$; dacă $c=+\infty$, limita este $+\infty$. Exemplu în care nu iese $e$: ${\left(1+2x\right)}^{\frac{1}{x}}\to e^2$.

13. Fals. Baza tinde la $2$, nu la $1$, deci nu avem nedeterminare: limita este $2^{+\infty }=+\infty$. Este exact capcana „falsului $1^{\infty }$" tratată la cazurile de nedeterminare — de aceea primul pas al rețetei este calculul limitei bazei.

14. Cu $u(x)=x^2$, care tinde la $0$ și e nenul pentru $x\ne 0$: expresia este chiar forma compusă, deci limita este $e$.

15. $0,99^{100}=0,36603234$, foarte aproape de $\frac{1}{e}=0,36787944$. În cazul general, fracțiunea transmisă prin $n$ straturi este ${\left(1-\frac{c}{n}\right)}^n$; cu $c^{\ast }=\lim n\left(-\frac{c}{n}\right)=-c$, limita este $e^{-c}$. Pentru $c=1$ obținem $e^{-1}=0,367879$ (trece $36,8\%$), iar pentru $c=2$, $e^{-2}=0,135335$ (trece $13,5\%$). Concluzia practică: oricâte straturi ai suprapune, atenuarea totală nu depinde de numărul lor, ci doar de „grosimea totală" $c$ — aceasta este legea de atenuare exponențială folosită în optică și în fizica radiațiilor.

16. Baza: grade egale, coeficienți dominanți egali, deci limita este $1$. Diferența: $\frac{x^2+2x+3}{x^2+4x+1}-1=\frac{-2x+2}{x^2+4x+1}$, iar înmulțită cu $x$ dă $\frac{-2x^2+2x}{x^2+4x+1}\to -2$. Prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=e^{-2}\approx 0,135335$. Numeric, la $x=10^8$: $0,13533529$. ✓

17. $c=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ (corolarul limitei cu sinus), iar $\mathrm{tg}x\ne 0$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\setminus \{0\}$. Limita este $e$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $2,7182818$. ✓

18. Scădem și adunăm $1$, ca la diferențele de exponențiale: $$\frac{\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}}{x}=\frac{\sqrt[3]{1+3x}-1}{x}-\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}⟶3\cdot \frac{1}{3}-2\cdot \frac{1}{2}=1-1=0.$$ Numeric, la $x=10^{-8}$: $-5\cdot 10^{-9}$, adică practic $0$. ✓ Reține procedeul: o diferență de două expresii fundamentale se sparge numai după ce fiecare bucată a primit un $-1$ care îi dă limită finită.

De reținut

• A doua limită fundamentală, la funcții: $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=e$, echivalent $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$. Se obține din rezultatul demonstrat la șiruri, prin definiția limitei cu șiruri.
• A cincea limită fundamentală: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$ pentru orice $r\in \mathbb{R}$; se demonstrează scriind $(1+x{)}^r=e^{r\ln (1+x)}$ și folosind limitele cu exponențială și logaritm.
• Formula de lucru pentru $1^{\infty }$: dacă $f\to 1$, $g\to \pm \infty$ și $c=\lim g\left(f-1\right)$, atunci $\lim f^g=e^c$. Ea se demonstrează, nu se dă ca rețetă, iar ipotezele $f>0$ și $f\ne 1$ pe o vecinătate redusă fac parte din enunț.
• Rezultatul nu e automat $e$: după cum $c$ este finit, $+\infty$ sau $-\infty$, limita este $e^c$, $+\infty$ sau $0$.
• Cele cinci limite fundamentale se folosesc împreună și fiecare are formă compusă, cu ipotezele $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă, scrise de fiecare dată.

Greșeli frecvente

• Sari peste verificarea bazei. Aplici rețeta la ${\left(\frac{2x+1}{x+3}\right)}^x$, unde baza tinde la $2$: pierzi zece minute pentru un răspuns care se citea într-un rând, $2^{+\infty }=+\infty$.
• Răspunzi „$e$" fără să calculezi $c$. La ${\left(1+3x\right)}^{1/x}$ răspunsul este $e^3$, nu $e$. Numărul $c$ se calculează întotdeauna separat; el conține toată informația.
• Uiți ipoteza $f(x)\ne 1$. Fără ea, scrierea ${\left[{\left(1+u\right)}^{1/u}\right]}^{ug}$ nu are sens în punctele unde $u$ se anulează. Se verifică rezolvând ecuația $f(x)=1$ și constatând că are un număr finit de soluții.
• Confunzi exponentul $r$ cu exponentul $\frac{1}{u}$. A cincea limită fundamentală privește $\frac{(1+x{)}^r-1}{x}$, cu $r$ fix; a doua privește $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$, unde exponentul variază. Sunt limite diferite, cu răspunsuri diferite: $r$, respectiv $e$.
• Spargi o diferență prea devreme. La $\sqrt[3]{1+3x}-\sqrt{1+2x}$ nu poți separa în două fracții înainte de a adăuga și scădea $1$, altfel obții două expresii fără limită finită.

Aplică acasă

1. Straturile de folie. Calculează cu telefonul ${\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$ pentru $n=10$, $100$, $1000$, $100000$ (obții $0,348678$; $0,366032$; $0,367695$; $0,367878$) și compară cu $\frac{1}{e}=0,367879$. Notează câte zecimale se câștigă la fiecare pas și explică de ce convergența este atât de lentă.

2. Dobânda pe intervale tot mai scurte. O rată de $12\%$ pe an aplicată de $n$ ori pe an, cu $\frac{12}{n}\%$ de fiecare dată, dă factorul ${\left(1+\frac{0,12}{n}\right)}^n$. Calculează-l pentru $n=1$, $12$, $365$ și compară cu $e^{0,12}=1,127497$. Cu cât diferă capitalizarea lunară de cea „continuă", la un depozit de $10000$ de lei?

3. Tabloul celor cinci. Scrie pe o singură pagină cele cinci limite fundamentale, fiecare cu forma simplă, forma compusă și un exemplu de exercițiu rezolvat de tine. Ascunde apoi coloana valorilor și verifică-te singur — este exact felul în care le vei folosi la Bacalaureat M1, unde nu ai timp să le redescoperi.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie seria celor cinci limite fundamentale și este locul în care numărul $e$, construit la capitolul de șiruri, devine unealtă de calcul pentru funcții. Noutatea principală față de lecția despre numărul $e$ nu este rețeta — pe aceea elevul o are —, ci faptul că aici ea primește statut de teoremă demonstrată, cu ipoteze complete, valabilă și în puncte finite.

Ce verifică lecția: (1) transferul corect de la șiruri la funcții, prin definiția limitei cu șiruri; (2) demonstrația celei de-a cincea limite fundamentale, cu scrierea $(1+x{)}^r=e^{r\ln (1+x)}$; (3) aplicarea rețetei în cinci pași, cu calculul explicit al numărului $c$; (4) verificarea prealabilă a bazei și a exponentului, adică deosebirea cazului autentic de „falsul $1^{\infty }$".

Întrebări bune de control: „De ce nu putem trece la limită doar în bază?", „Ce se schimbă dacă $c$ iese $0$?", „De ce este nevoie de ipoteza că baza nu ia valoarea $1$?". Semn că elevul a înțeles: începe rezolvarea calculând limita bazei și abia apoi scrie $f=1+u$. Semn de alarmă: scrie „$=e$" imediat ce vede un exponent care tinde la infinit.

La BAC M1, tiparul standard este un subiect cu trei subpuncte pe un raport de polinoame ridicat la o putere — a) limita bazei, b) numărul $c$, c) rezultatul —, iar baremul acordă puncte separat pentru fiecare. Merită exersate și exercițiile mixte, în care $c$ se calculează cu o altă limită fundamentală (Exemplele 4 și 5 din lecție). Continuarea firească a capitolului este studiul continuității într-un punct, unde limitele calculate aici se compară cu valorile funcției.

Întrebări frecvente

Cât este limita din (1+x) la puterea 1 supra x, când x tinde la zero? Este numărul $e\approx 2,718$. Este a doua dintre cele cinci limite fundamentale din programa clasei a XI-a și se obține din rezultatul demonstrat la șiruri, prin definiția limitei de funcție cu șiruri. Forma echivalentă, cu exponent care tinde la infinit, este $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$.

Cum rezolv o nedeterminare de tip 1 la infinit? În cinci pași: confirmi că baza tinde la $1$ și exponentul la infinit; scrii baza ca $1+u$; construiești exponentul $\frac{1}{u}$; calculezi $c=\lim g\left(f-1\right)$; răspunzi $e^c$. Toți pașii se scriu, pentru că baremul de Bacalaureat M1 îi punctează separat.

Orice nedeterminare 1 la infinit dă numărul e? Nu. Dă $e^c$, unde $c=\lim g\left(f-1\right)$. Dacă $c=0$, limita este $1$; dacă $c$ este finit nenul, limita este o putere a lui $e$; dacă $c=+\infty$, limita este $+\infty$; dacă $c=-\infty$, limita este $0$.

Cât este limita din (1+x) la puterea r, minus 1, supra x? Este chiar $r$, pentru orice număr real $r$. Cazurile particulare cele mai folosite sunt $r=\frac{1}{2}$ (radical de ordinul doi, limita $\frac{1}{2}$), $r=\frac{1}{3}$ (radical de ordinul trei, limita $\frac{1}{3}$) și $r=-1$ (limita $-1$).

Cum calculez limita din radical de ordinul trei din (1+x), minus 1, supra x? Este cazul $r=\frac{1}{3}$ al celei de-a cincea limite fundamentale, deci răspunsul este $\frac{1}{3}$. Dacă sub radical stă o expresie $u(x)$, folosești forma compusă și amplifici, ca la numitor să apară exact $u(x)$.

De ce se cere ca baza să nu ia valoarea 1? Pentru că demonstrația trece prin scrierea ${\left[{\left(1+u\right)}^{1/u}\right]}^{ug}$, iar acolo se împarte la $u=f-1$. Dacă $f$ ar lua valoarea $1$ în puncte oricât de apropiate de $x_0$, expresia nu ar fi definită pe nicio vecinătate redusă și întrebarea despre limită și-ar pierde sensul.

Ce se întâmplă cu nedeterminările infinit la puterea zero și zero la puterea zero? Ele se reduc tot prin logaritmare, folosind scrierea $f^g=e^{g\ln f}$, dar calculul cere unelte care se studiază mai târziu, la lecția despre nedeterminările rezolvate cu regulile lui L'Hôpital. La acest nivel, dintre nedeterminările cu exponent, doar $1^{\infty }$ se rezolvă complet.

Care sunt, pe scurt, cele cinci limite fundamentale? Pentru $x\to 0$: $\frac{\sin x}{x}\to 1$; $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}\to e$; $\frac{a^x-1}{x}\to \ln a$ (pentru $a>0$); $\frac{\ln (1+x)}{x}\to 1$; $\frac{(1+x{)}^r-1}{x}\to r$. Toate au formă compusă și se folosesc cel mai des amestecate între ele.