Limitele fundamentale cu exponențială și logaritm: pe scurt

Rapoartele $\frac{a^x-1}{x}$ și $\frac{\ln (1+x)}{x}$ dau în $0$ nedeterminarea $\frac{0}{0}$, iar nicio prelucrare algebrică nu ajunge: rezultatul nu e un număr algebric, ci vine de la numărul $e$. Puntea este definiția limitei cu șiruri.

Se demonstrează întâi limita cu logaritm: din $\frac{\ln (1+x_n)}{x_n}=\ln \left[{\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}\right]$ și ${\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}\to e$ rezultă $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1.$$ Apoi, cu substituția $t=a^x-1$ (justificată: $t\to 0$, iar $t\ne 0$ pentru $x\ne 0$, exponențiala fiind injectivă), se obține $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a,a>0.$$ ⚠️ Valoarea este $\ln a$, nu $1$; ele coincid doar pentru $a=e$. Corolare: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}$ și rapoartele răsturnate.

Toate spun, de fapt, un singur lucru: lângă zero, exponențiala și logaritmul se comportă ca funcții de gradul întâi, cu coeficientul $\ln a$, respectiv $\frac{1}{\ln a}$. Pentru baza $e$ coeficientul devine $1$ și dispare din formule. Valori de control: $\ln 2\approx 0,693$, $\ln 10\approx 2,303$.

Formele compuse cer, ca la sinus, ca $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă, iar substituția se justifică în scris. Tehnica: dacă la exponent sau în logaritm stă $u$, la numitor se construiește tot $u$, prin amplificare. Atenție: $\ln x$ nu este $\ln (1+x)$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5^x-1}{x}$.

   • a) $\ln 5$
   • b) $1$
   • c) $5$
   • d) $\frac{1}{\ln 5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\ln 5$

   Este chiar limita fundamentală cu exponențială, pentru $a=5$: valoarea este $\ln 5\approx 1,609$. Varianta b) este greșeala clasică a lecției — răspunsul $1$ e corect numai pentru baza $e$; varianta d) este limita corolarului cu ${\log }_a$.

2. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+4x)}{6x}$.

   • a) $1$
   • b) $\frac{3}{2}$
   • c) $4$
   • d) $\frac{2}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{2}{3}$

   În logaritm stă $4x$, la numitor avem $6x$; scriem $6x=\frac{6}{4}\cdot 4x$, deci expresia devine $\frac{4}{6}\cdot \frac{\ln (1+4x)}{4x}\to \frac{4}{6}\cdot 1=\frac{2}{3}$. Varianta b) răstoarnă raportul coeficienților.

3. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{5x}-1}{x}$.

   • a) $1$
   • b) $\ln 5$
   • c) $5$
   • d) $e^5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $5$

   Amplificăm cu $5$: $\frac{e^{5x}-1}{x}=5\cdot \frac{e^{5x}-1}{5x}$. Cu $u(x)=5x$, care tinde la $0$ și se anulează doar în $0$, forma compusă dă $\frac{e^u-1}{u}\to \ln e=1$, deci limita este $5$. Varianta a) uită coeficientul de la exponent.