Limitele fundamentale cu exponențială și logaritm

Un depozit bancar crește cu $8\%$ pe an. Cât crește într-o zi? Răspunsul „$8\%$ împărțit la $365$" este greșit, pentru că dobânda se aplică unui capital care s-a mărit deja. Corect este să scriem factorul de creștere pe un interval de $x$ ani ca $1,08^x$, deci creșterea relativă pe acel interval este $1,08^x-1$, iar rata de creștere raportată la timp este $\frac{1,08^x-1}{x}$. Pentru $x=1$ ea dă $0,08$, pentru o lună $0,0772$, pentru o zi $0,0769692$, pentru o oră $0,0769614$. Valorile coboară și se strâng în jurul unui număr — care nu este nici $0,08$, nici altceva care să se vadă cu ochiul liber.

Numărul acela este $\ln 1,08=0,0769610\dots$, iar egalitatea $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ este a treia dintre cele cinci limite fundamentale ale programei. Aici trebuie spus din capul locului lucrul de care depinde jumătate din punctajul acestei lecții: valoarea limitei nu este $1$, ci $\ln a$. Confuzia e ușor de făcut, pentru că în cazul particular $a=e$ chiar iese $1$ — iar acel caz e cel mai des întâlnit în manuale. Împreună cu $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$, care se demonstrează prima, aceste două limite rezolvă întreaga familie de nedeterminări $\frac{0}{0}$ în care apar exponențiale și logaritmi.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști nedeterminarea $\frac{0}{0}$ la expresiile cu exponențială și logaritm și să explici de ce prelucrarea algebrică singură nu o rezolvă.
• Vei ști să demonstrezi limita $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$, pornind de la numărul $e$ și de la definiția limitei cu șiruri.
• Vei ști să demonstrezi limita $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ pentru orice $a>0$, prin substituția $t=a^x-1$, cu ambele ipoteze verificate.
• Vei ști de ce răspunsul este $\ln a$ și nu $1$, și în ce caz particular cele două coincid.
• Vei ști să folosești formele compuse ale ambelor limite și să justifici substituția în scris, așa cum cere baremul.
• Vei ști să combini aceste limite cu $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ în exerciții care amestecă cele două familii.

Hai să descoperim împreună

1. Nedeterminarea din spatele ratei de creștere

Fie $a>0$ fixat. Funcția $f(x)=\frac{a^x-1}{x}$ este definită pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar $0$ este punct de acumulare al acestui domeniu. Din limitele funcțiilor exponențială și logaritmică știi că $\underset{x\to 0}{\lim }{a}^x=a^0=1$, deci numărătorul tinde la $0$; numitorul, la fel. Suntem în cazul $\frac{0}{0}$, iar simplificarea nu e posibilă: $a^x-1$ nu se descompune într-un produs care să conțină factorul $x$.

Aceeași situație apare la logaritm: $\frac{\ln (1+x)}{x}$ are numărătorul $\to \ln 1=0$ și numitorul $\to 0$. Iată ce arată numerele:

Coloana a doua se apropie de $0,693147\dots$, adică de $\ln 2$ — nu de $1$. Coloana a treia se apropie de $1$. Observă și că cele două coloane vin spre valoarea lor din părți diferite, după semnul lui $x$: pentru $x>0$ prima coloană scade către $\ln 2$, iar pentru $x<0$ urcă spre el. Este exact motivul pentru care verificarea numerică se face întotdeauna din ambele părți: o singură parte poate ascunde o limită laterală care nu se potrivește cu cealaltă.

2. Puntea: de la numărul $e$ la funcții

Nu avem, deocamdată, nicio unealtă algebrică pentru aceste rapoarte. Avem în schimb un rezultat despre șiruri, obținut în lecția despre numărul $e$: dacă $(x_n)$ este un șir cu $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$ pentru orice $n$, atunci $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}=e.$$ Aceasta este chiar forma din programă a limitei fundamentale a numărului $e$, iar tu ai și demonstrat-o acolo: șirul ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ este strict crescător și mărginit, deci convergent prin teorema lui Weierstrass, iar limita lui se numește $e$.

Unealta a doua este definiția limitei unei funcții cu șiruri, din lecția Limita unei funcții într-un punct: pentru a arăta că $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ este suficient (și necesar) ca pentru orice șir $(x_n)$ din domeniu, cu $x_n\to x_0$ și $x_n\ne x_0$, să avem $f(x_n)\to \ell$. Cu aceste două unelte, drumul până la limitele de azi are trei rânduri.

Reține că ordinea în care le demonstrăm nu e arbitrară: întâi logaritmul, apoi exponențiala. Motivul este că a doua se reduce la prima printr-o substituție, în timp ce drumul invers ar cere ceva ce încă nu avem. Nu te grăbi să înveți formulele pe de rost înainte de a vedea această ordine — la Bacalaureat M1 se cere uneori chiar deducerea uneia din cealaltă.

Merită observat cât de neobișnuită este situația. Până acum, orice limită s-a calculat pornind de la expresia dată și prelucrând-o: dădeai factor comun, simplificai, amplificai cu conjugata. Aici nu există nicio prelucrare care să ducă undeva, pentru că nu funcția e complicată, ci numărul din răspuns este de un fel nou: el nu se obține din nimic algebric, ci a fost construit ca limită a unui șir. Cu alte cuvinte, nu aducem expresia la o formă cunoscută, ci aducem un rezultat deja demonstrat — cel despre numărul $e$ — de pe terenul șirurilor pe terenul funcțiilor. Puntea dintre cele două terenuri este chiar definiția limitei de funcție, care e formulată cu șiruri tocmai pentru ca astfel de treceri să fie posibile.

3. Limita fundamentală cu logaritm

Teoremă. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$.

Demonstrație. Expresia are sens pe $(-1,0)\cup (0,+\infty )$, mulțime pentru care $0$ este punct de acumulare. Fie $(x_n)$ un șir oarecare din acest domeniu, cu $x_n\to 0$ și $x_n\ne 0$. Din proprietățile logaritmilor — mai exact din regula logaritmului unei puteri — putem muta coeficientul $\frac{1}{x_n}$ în exponent: $$\frac{\ln \left(1+x_n\right)}{x_n}=\frac{1}{x_n}\cdot \ln \left(1+x_n\right)=\ln \left[{\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}\right].$$ Notăm $y_n={\left(1+x_n\right)}^{\frac{1}{x_n}}$. Din rezultatul reamintit la punctul 2, $y_n\to e$.

Mai rămâne un pas: din $y_n\to e$ să deducem $\ln y_n\to \ln e=1$. Aceasta este exact citirea cu șiruri a egalității $\underset{y\to e}{\lim }\ln y=\ln e$, adevărată pentru că $e$ este punct de acumulare al domeniului $(0,+\infty )$ al logaritmului natural, iar limitele funcției logaritmice în punctele de acumulare ale domeniului au fost stabilite în lecția Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică. (Dacă printre termeni ar exista unii cu $y_n=e$, ei dau chiar valoarea $1$, deci nu schimbă limita.)

Prin urmare $\frac{\ln (1+x_n)}{x_n}\to 1$. Cum șirul a fost arbitrar, limita funcției în $0$ este $1$. $■$

Forma compusă. Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)=0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left(1+u(x)\right)}{u(x)}=1.$$ Demonstrația repetă, cuvânt cu cuvânt, argumentul din lecția precedentă: pentru orice șir $x_n\to x_0$, $x_n\ne x_0$, punem $t_n=u(x_n)$, care tinde la $0$ și e nenul de la un rang încolo.

4. Limita fundamentală cu exponențială: valoarea este $\ln a$

Teoremă. Pentru orice $a>0$, $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a.$$

Demonstrație. Dacă $a=1$, atunci $a^x-1=0$ pentru orice $x$, deci expresia este constant $0$, iar $\ln 1=0$: egalitatea se verifică. Presupunem în continuare $a\ne 1$.

Facem substituția $t=a^x-1$ și verificăm cele două ipoteze necesare:

1. $t\to 0$ când $x\to 0$, pentru că $\underset{x\to 0}{\lim }{a}^x=a^0=1$ (lecția despre limitele funcției exponențiale);
2. $t\ne 0$ pentru $x\ne 0$, pentru că funcția exponențială de bază $a\ne 1$ este strict monotonă, deci injectivă: din $a^x=1=a^0$ rezultă $x=0$.

Din $a^x=1+t$ obținem $x={\log }_a(1+t)$, iar formula de schimbare a bazei dă $x=\frac{\ln (1+t)}{\ln a}$ (avem $\ln a\ne 0$ tocmai pentru că $a\ne 1$). Înlocuim: $$\frac{a^x-1}{x}=\frac{t}{\frac{\ln (1+t)}{\ln a}}=\ln a\cdot \frac{1}{\frac{\ln (1+t)}{t}}.$$ Cu $u(x)=a^x-1$, forma compusă de la punctul 3 dă $\frac{\ln (1+u(x))}{u(x)}\to 1\ne 0$, deci raportul de mai sus tinde la $\ln a\cdot \frac{1}{1}=\ln a$. $■$

⚠️ Aici este greșeala clasică a capitolului. Valoarea limitei este $\ln a$, nu $1$. Motivul pentru care greșeala se face atât de des: în cazul $a=e$ avem $\ln e=1$, deci $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1,$$ iar acest caz particular, fiind cel mai frecvent, se lipește în minte ca și cum ar fi regula generală. Verifică mereu baza: pentru $a=2$ răspunsul este $0,693147\dots$, pentru $a=10$ este $2,302585\dots$, iar pentru $a=\frac{1}{2}$ este $-0,693147\dots$ — negativ, pentru că baza e subunitară. Un răspuns egal cu $1$ la o bază diferită de $e$ este, automat, greșit.

Există și o cale de a-ți da singur seama, fără să reții nimic: dacă răspunsul ar fi $1$ pentru orice bază, atunci $2^x-1$ și $10^x-1$ ar trebui să se apropie de zero cu aceeași viteză, ceea ce e vizibil fals — la $x=0,001$ prima diferență este de aproximativ $0,000693$, iar a doua de $0,002305$, adică de peste trei ori mai mare. Baza mai mare produce o creștere mai rapidă, iar limita trebuie să înregistreze această diferență. Numărul care o măsoară este exact $\ln a$; el este, dacă vrei, „viteza de pornire" a exponențialei din punctul $0$, iar faptul că apare tocmai logaritmul natural este prima dovadă serioasă că baza $e$ nu e o convenție, ci alegerea care face formulele cele mai simple.

Reține și forma echivalentă, foarte comodă la verificări: teorema spune că $a^x-1$ și $x\ln a$ se apropie de zero „la fel de repede", adică $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x\ln a}=1$ pentru $a\ne 1$.

Forma compusă. Dacă $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{a^{u(x)}-1}{u(x)}=\ln a.$$

5. Corolare și cazuri particulare

Corolarul 1 (baza $e$). $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ — cazul $a=e$ al teoremei.

Corolarul 2 (logaritm în bază oarecare). Pentru $a>0$, $a\ne 1$, $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}.$$ Se obține imediat: ${\log }_a(1+x)=\frac{\ln (1+x)}{\ln a}$, deci raportul este $\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{\ln (1+x)}{x}\to \frac{1}{\ln a}$. Pentru baza $10$ valoarea este $\frac{1}{\ln 10}\approx 0,434294$, iar pentru baza $2$ este $\frac{1}{\ln 2}\approx 1,442695$.

Corolarul 3 (rapoartele răsturnate). Din faptul că cele două limite sunt nenule rezultă imediat $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\ln (1+x)}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{a^x-1}=\frac{1}{\ln a}(a\ne 1).$$ Sunt de folos ori de câte ori expresia „fundamentală" apare la numitor, ca în Exemplul 6.

Merită să reții și valorile numerice care revin cel mai des, pentru că ele apar ca răspuns final: $\ln 2=0,693147$, $\ln 3=1,098612$, $\ln 10=2,302585$, $\ln \frac{3}{2}=0,405465$. Nu se învață pe de rost, dar dacă răspunsul tău la un exercițiu cu baza $2$ nu e prin apropierea lui $0,69$, ai greșit undeva.

Privite împreună, cele patru corolare arată că nu ai de reținut patru rezultate independente, ci unul singur, citit în patru feluri. Toate spun același lucru: lângă zero, exponențiala și logaritmul se comportă ca funcții de gradul întâi, iar coeficientul acelei funcții este $\ln a$, respectiv $\frac{1}{\ln a}$. Când baza este $e$, coeficientul devine $1$ și dispare din formule — motivul pentru care întreaga analiză matematică preferă baza $e$ oricărei alteia. Această idee unică e mai ușor de ținut minte decât patru egalități și, mai important, îți spune la ce să te aștepți înainte de a face calculul.

6. Formele compuse și justificarea substituției

Cele două teoreme se folosesc, în exerciții, aproape numai în formă compusă. Le adunăm aici, împreună cu regula de redactare.

⚠️ Substituția se justifică de fiecare dată, în scris, exact ca la limita cu sinus: „notăm $t=u(x)$; cum $u(x)\to 0$ când $x\to x_0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, obținem…". Cele două condiții se verifică amândouă. Pentru $u(x)=3x$, $u(x)=x^2$ sau $u(x)=x-2$ verificarea e imediată; pentru $u(x)=\sin x$ se invocă poziția zerourilor sinusului; pentru $u(x)=a^x-1$ s-a folosit injectivitatea exponențialei, ca în demonstrația de la punctul 4. Baremele de Bacalaureat M1 acordă acestui pas punctaj separat, iar o rezolvare fără el rămâne incompletă chiar dacă rezultatul final e corect.

7. Tiparele de lucru și capcanele

Ca și la limita cu sinus, tot secretul este să construiești raportul fundamental: dacă la exponent (sau în logaritm) stă expresia $u$, la numitor trebuie să apară tot $u$. Diferența față de lecția precedentă este că aici apar două familii de expresii, iar exercițiile le combină des; de aceea merită să reții tabelul de mai jos ca pe o listă de tipare, nu ca pe o listă de formule.

Trei capcane de evitat.

Baza contează. Răspunsul $1$ e corect numai pentru $a=e$. La orice altă bază, răspunsul conține $\ln a$.

$\ln x$ nu este $\ln (1+x)$. Limita fundamentală privește $\ln (1+x)$ în $0$. Expresia $\frac{\ln x}{x}$ în $0$ nu este nedeterminare: numitorul tinde la $0$, iar numărătorul la $-\infty$, deci limita la dreapta este $-\infty$ (la stânga nici nu are sens, pentru că $\ln x$ nu e definit acolo). Când vezi $\ln x$ într-un punct diferit de $1$, verifică întâi dacă ai într-adevăr o nedeterminare.

Numitorul trebuie să fie de același „grad". $\frac{\ln (1+x)}{x^2}=\frac{\ln (1+x)}{x}\cdot \frac{1}{x}$, iar al doilea factor are limite laterale diferite: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x^2}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x^2}=+\infty ,$$ deci limita în $0$ nu există.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un factor la exponent

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^{3x}-1}{x}$.

Rezolvare. La exponent stă $3x$, deci la numitor trebuie să apară tot $3x$; amplificăm cu $3$: $$\frac{2^{3x}-1}{x}=3\cdot \frac{2^{3x}-1}{3x}.$$ Notăm $u(x)=3x$: avem $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pentru $x\ne 0$, deci forma compusă dă $\frac{2^{3x}-1}{3x}\to \ln 2$. Limita este $3\ln 2=\ln 8\approx 2,079442$.

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $2,0794416$, iar $3\ln 2=2,0794415$. ✓

Exemplul 2 — Logaritm cu coeficienți diferiți sus și jos

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+3x)}{5x}$.

Rezolvare. În logaritm stă $3x$, la numitor avem $5x$. Scriem $5x=\frac{5}{3}\cdot 3x$: $$\frac{\ln (1+3x)}{5x}=\frac{3}{5}\cdot \frac{\ln (1+3x)}{3x}⟶\frac{3}{5}\cdot 1=\frac{3}{5}.$$

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $0,6000000$. ✓

Exemplul 3 — Diferență de două exponențiale

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3^x-2^x}{x}$.

Rezolvare. Nu putem trece la limită pe bucăți (fiecare raport în parte ar fi nedeterminat), dar putem scădea și aduna $1$ la numărător, ca să obținem două rapoarte fundamentale: $$\frac{3^x-2^x}{x}=\frac{\left(3^x-1\right)-\left(2^x-1\right)}{x}=\frac{3^x-1}{x}-\frac{2^x-1}{x}⟶\ln 3-\ln 2=\ln \frac{3}{2}.$$ Valoarea este $\ln 1,5\approx 0,405465$.

Pasul care contează este primul, iar el merită o justificare explicită: nu avem voie să scriem direct $\frac{3^x}{x}-\frac{2^x}{x}$, pentru că fiecare dintre cele două fracții ar avea numărătorul tinzând la $1$ și numitorul la $0$, deci niciuna nu ar avea limită finită. Adunând și scăzând $1$, transformăm o singură nedeterminare într-o diferență de două expresii care au fiecare limită finită — și abia atunci regula limitei diferenței se poate aplica. Aceasta e o mișcare tipică pentru tot capitolul: nu se împarte o nedeterminare în bucăți decât după ce fiecare bucată a fost adusă la o formă cu limită.

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $0,4054651$. ✓

Exemplul 4 — Punctul nu este $0$

Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}$.

Rezolvare. Substituim $t=x-1$: când $x\to 1$ avem $t\to 0$, iar $t\ne 0$ pe orice vecinătate redusă a lui $1$. Atunci $x=1+t$ și $$\frac{\ln x}{x-1}=\frac{\ln (1+t)}{t}⟶1.$$ Deci limita este $1$. Observă că fără substituție nu se vedea nimic: forma $\frac{\ln x}{x-1}$ nu seamănă cu nicio limită fundamentală, deși este chiar ea, deghizată.

Verificare numerică: la $x=1+10^{-8}$ expresia dă $0,999999995$. ✓

Exemplul 5 — Amestec cu limita din lecția precedentă

Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{\sin 3x}$.

Rezolvare. Împărțim și numărătorul, și numitorul cu $x$, ca să obținem două expresii cunoscute: $$\frac{e^{2x}-1}{\sin 3x}=\frac{\frac{e^{2x}-1}{x}}{\frac{\sin 3x}{x}}=\frac{2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}}{3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}}.$$ Numărătorul tinde la $2\cdot 1=2$, numitorul la $3\cdot 1=3\ne 0$, deci limita este $\frac{2}{3}$. Aici se vede de ce cele cinci limite fundamentale se învață împreună: exercițiile le amestecă fără nicio ezitare.

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$ expresia dă $0,66666667$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5^x-1}{2^x-1}$. a) Arătați că $f(x)=\frac{\frac{5^x-1}{x}}{\frac{2^x-1}{x}}$ pentru orice $x\ne 0$. b) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. c) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{2^x-1}$.

Rezolvare.

a) Numitorul $2^x-1$ este nenul pentru $x\ne 0$ (injectivitatea exponențialei), deci putem amplifica fracția cu $\frac{1}{x}$, sus și jos — o operație permisă pentru $x\ne 0$.

b) Numărătorul tinde la $\ln 5$, numitorul la $\ln 2\ne 0$, deci $$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\frac{\ln 5}{\ln 2}={\log }_{2}5\approx 2,321928.$$

c) Aceeași tehnică, cu limita cu logaritm sus: $$\frac{\ln (1+x)}{2^x-1}=\frac{\frac{\ln (1+x)}{x}}{\frac{2^x-1}{x}}⟶\frac{1}{\ln 2}\approx 1,442695.$$

Verificare numerică: la $x=10^{-8}$, subpunctul b) dă $2,3219281$, iar c) dă $1,4426950$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare substituție, scrie propoziția de justificare cu ambele condiții.

1. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3^x-1}{x}$.

2. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{10^x-1}{x}$.

3. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$ și explică de ce aici, și numai aici, răspunsul este $1$.

4. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4^x-1}{x}$ și scrie rezultatul și sub forma unui multiplu al lui $\ln 2$.

5. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^{5x}-1}{x}$.

6. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+7x)}{x}$.

7. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{3x}$.

8. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{x^2}$.

9. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-3^x}{x}$.

10. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{5^x-1}{2^x-1}$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $a>0$ avem $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=1$, pentru că numărătorul și numitorul tind amândouă la $0$ la fel de repede."

12. (Adevărat/Fals cu motivare.) „$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln x}{x}=1$, prin limita fundamentală cu logaritm."

13. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{\sin 5x}$.

14. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3^{x-2}-1}{x-2}$.

15. (Problemă aplicată.) Un depozit crește cu $8\%$ pe an, deci factorul de creștere pe $x$ ani este $1,08^x$. Calculează raportul $\frac{1,08^x-1}{x}$ pentru $x=1$ (un an), $x=\frac{1}{12}$ (o lună) și $x=\frac{1}{365}$ (o zi), compară cu $\ln 1,08=0,0769610$ și explică ce înseamnă acest număr pentru bancher.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)=\frac{\ln (1+2x)}{3^x-1}$, definită pe o vecinătate redusă a lui $0$. Arătați că $f(x)=\frac{\ln (1+2x)}{2x}\cdot \frac{2x}{3^x-1}$, calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$, apoi calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+2x)}{\sin 3x}$.

17. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\sin x)}{x}$.

18. (Provocare.) Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin x}-1}{x}$, justificând amănunțit substituția: de ce este $u(x)=\sin x$ nenulă pe o vecinătate redusă a lui $0$ și de unde știm că tinde la $0$?

Răspunsuri și explicații

Notă de redactare. Primele patru răspunsuri sunt aplicări directe ale teoremei, fără substituție. La al cincilea, unde apare prima dată o expresie compusă, justificarea este scrisă integral; în cele care urmează ea se subînțelege. Pe caiet și la lucrare se scrie de fiecare dată — este pas de barem.

1. $\ln 3\approx 1,098612$. Este chiar teorema, cu $a=3$.

2. $\ln 10\approx 2,302585$.

3. $\ln e=1$. Este singura bază pentru care limita iese $1$: din $\ln a=1$ rezultă $a=e$, pentru că logaritmul este injectiv.

4. $\ln 4=\ln 2^2=2\ln 2\approx 1,386294$.

5. Amplificăm cu $5$: $\frac{2^{5x}-1}{x}=5\cdot \frac{2^{5x}-1}{5x}$. Notăm $t=5x$; cum $5x\to 0$ când $x\to 0$ și $5x\ne 0$ pentru $x\ne 0$ (deci pe orice vecinătate redusă a lui $0$), forma compusă dă $\frac{2^{5x}-1}{5x}\to \ln 2$. Prin urmare limita este $5\ln 2\approx 3,465736$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $3,465736$. ✓

6. $\frac{\ln (1+7x)}{x}=7\cdot \frac{\ln (1+7x)}{7x}\to 7$.

7. $\frac{\ln (1+x)}{3x}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\ln (1+x)}{x}\to \frac{1}{3}$.

8. Substituția $u(x)=x^2$ este legitimă: $x^2\to 0$ și $x^2\ne 0$ pentru $x\ne 0$. Limita este $1$.

9. $\frac{\left(2^x-1\right)-\left(3^x-1\right)}{x}\to \ln 2-\ln 3=\ln \frac{2}{3}\approx -0,405465$. Rezultatul este negativ, pentru că $2<3$.

10. Împărțim sus și jos cu $x$: limita este $\frac{\ln 5}{\ln 2}={\log }_{2}5\approx 2,321928$.

11. Fals. Limita este $\ln a$. Valoarea $1$ se obține numai pentru $a=e$. De pildă, pentru $a=2$ limita este $0,693147\dots$, iar pentru $a=\frac{1}{2}$ este $-0,693147\dots$ Afirmația „tind la fel de repede" e chiar ceea ce trebuie măsurat, iar măsura este $\ln a$.

12. Fals, din două motive. Întâi, limita fundamentală privește $\ln (1+x)$, nu $\ln x$. Al doilea, în $0$ nici nu avem nedeterminare: $\ln x\to -\infty$ când $x\to 0$, $x>0$, iar numitorul tinde la $0$ prin valori pozitive, deci limita la dreapta este $-\infty$; la stânga expresia nici nu e definită.

13. $\frac{2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}}{5\cdot \frac{\sin 5x}{5x}}\to \frac{2}{5}=0,4$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $0,40000000$. ✓

14. Substituția $t=x-2$ dă $\frac{3^t-1}{t}\to \ln 3\approx 1,098612$.

15. $x=1$: $0,0800000$; $x=\frac{1}{12}$: $0,0772084$; $x=\frac{1}{365}$: $0,0769692$. Valorile coboară spre $\ln 1,08=0,0769610$. Pentru bancher, acest număr este rata instantanee de creștere: procentul cu care ar trebui să crească depozitul „în fiecare clipă" pentru ca, la capătul anului, totul să se adune exact la $8\%$. De aceea formulele de capitalizare continuă conțin logaritmul natural, iar în ele apare $e$: creșterea repetată de foarte multe ori, cu o rată foarte mică, este exact procesul din care s-a născut numărul $e$.

16. Amplificarea este permisă pentru $x\ne 0$, unde $2x\ne 0$ și $3^x-1\ne 0$. Primul factor tinde la $1$, al doilea la $\frac{2}{\ln 3}$, deci $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\frac{2}{\ln 3}\approx 1,820478$. Pentru a doua limită, împărțim sus și jos cu $x$: $\frac{2\cdot \frac{\ln (1+2x)}{2x}}{3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}}\to \frac{2}{3}$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $1,8204784$ și $0,6666667$. ✓

17. $\frac{\ln (1+\sin x)}{x}=\frac{\ln (1+\sin x)}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}$. Primul factor tinde la $1$ (formă compusă cu $u=\sin x$), al doilea tot la $1$. Limita este $1$.

18. Scriem $\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\frac{e^{\sin x}-1}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}$. Pentru $u(x)=\sin x$: tinde la $0$ conform limitelor funcțiilor trigonometrice, iar zerourile sinusului sunt numerele $k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, deci $\sin x\ne 0$ pe $(-\pi ,\pi )\setminus \{0\}$ — o vecinătate redusă a lui $0$. Ambele ipoteze fiind verificate, primul factor tinde la $\ln e=1$, al doilea la $1$, iar limita cerută este $1$. Numeric, la $x=10^{-8}$: $1,0000000$. ✓

De reținut

• A patra limită fundamentală: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$. Se demonstrează scriind raportul ca $\ln \left[(1+x{)}^{1/x}\right]$ și folosind numărul $e$ împreună cu definiția limitei cu șiruri.
• A treia limită fundamentală: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ pentru orice $a>0$ — nu $1$. Se obține din precedenta, cu substituția $t=a^x-1$.
• Cazul $a=e$ este singurul în care valoarea este $1$: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$. Verifică întotdeauna baza înainte de a scrie răspunsul.
• Formele compuse cer, amândouă, $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă; ambele condiții se scriu explicit, pentru că baremul le punctează.
• Tehnica de lucru: construiești raportul fundamental amplificând cu ce lipsește; la diferențe de exponențiale, scazi și aduni $1$; la rapoarte de două expresii fundamentale, împarți sus și jos cu $x$.

Greșeli frecvente

• Răspunzi $1$ la orice bază. $\frac{a^x-1}{x}\to \ln a$; valoarea $1$ apare numai pentru $a=e$. Un răspuns $1$ la baza $2$ sau $10$ e greșit din start.
• Confunzi $\ln (1+x)$ cu $\ln x$. Limita fundamentală se referă la $\ln (1+x)$ în $0$; $\frac{\ln x}{x}$ în $0$ nu e nici măcar nedeterminare. Dacă vezi $\ln x$, caută substituția care aduce argumentul la forma $1+t$ (de obicei $t=x-1$).
• Nu potrivești exponentul cu numitorul. Scrii „$\frac{2^{5x}-1}{x}\to \ln 2$". Corect este $5\cdot \frac{2^{5x}-1}{5x}\to 5\ln 2$: la numitor trebuie să apară exact expresia de la exponent.
• Treci la limită pe bucăți la o diferență. La $\frac{3^x-2^x}{x}$ nu poți separa în două fracții înainte de a scădea și aduna $1$ — altfel obții două nedeterminări în loc de una. Scrierea corectă este $\frac{(3^x-1)-(2^x-1)}{x}$.
• Omiți justificarea substituției. Mai ales condiția $u(x)\ne 0$: la $u(x)=\sin x$ ea cere un cuvânt despre zerourile sinusului, iar la $u(x)=a^x-1$ un cuvânt despre injectivitatea exponențialei.

Aplică acasă

1. Dobânda pe intervale tot mai mici. Ia o rată anuală de $5\%$ și calculează cu telefonul $\frac{1,05^x-1}{x}$ pentru $x=1$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{12}$; $\frac{1}{365}$. Compară valorile cu $\ln 1,05=0,048790$ și notează câte zecimale coincid la fiecare pas. Vei vedea „cu ochiul liber" cum rata anuală declarată se transformă în rată instantanee.

2. Timpul de înjumătățire. Un izotop se înjumătățește în $T$ ani, deci cantitatea rămasă după $x$ ani este ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x/T}$ din cea inițială. Calculează $\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^x-1}{x}$ pentru $x$ tot mai mic și verifică numeric că valorile tind la $\ln \frac{1}{2}=-0,693147$. Explică de ce semnul este negativ.

3. Tabelul celor două limite. Reface tabelul din punctul 1 al lecției pentru baza $3$ în loc de $2$ (adică pentru $\frac{3^x-1}{x}$), cu $x=0,5$; $0,1$; $0,01$; $0,001$ și cu valorile negative corespunzătoare. Verifică din ambele părți apropierea de $\ln 3=1,098612$ și notează care parte se apropie de sus și care de jos.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce a treia și a patra dintre cele cinci limite fundamentale ale programei și este locul în care numărul $e$, construit la capitolul de șiruri, își arată pentru prima dată utilitatea în calculul cu funcții. Ordinea demonstrațiilor nu e negociabilă: întâi limita cu logaritm (care se obține direct din definiția lui $e$), apoi cea cu exponențială (care se reduce la prima printr-o substituție).

Ce verifică lecția: (1) reproducerea demonstrației cu șiruri pentru $\frac{\ln (1+x)}{x}\to 1$, inclusiv pasul în care coeficientul $\frac{1}{x}$ trece în exponent; (2) substituția $t=a^x-1$, cu ambele ipoteze verificate — tinde la zero și e nenulă; (3) reținerea corectă a valorii $\ln a$, nu $1$; (4) combinarea cu limita cu sinus în exerciții mixte, prin împărțirea numărătorului și numitorului cu $x$.

Întrebări bune de control: „Cât este limita pentru $a=2$ și cât pentru $a=e$?", „De ce nu putem separa $\frac{3^x-2^x}{x}$ în două fracții?", „Ce s-ar schimba dacă baza ar fi subunitară?". Semn că elevul a înțeles: la orice bază diferită de $e$ scrie răspunsul cu $\ln$ fără să ezite, și verifică semnul când baza e subunitară. Semn de alarmă: răspunde $1$ mecanic, indiferent de bază — este chiar greșeala pe care baremele o urmăresc.

La BAC M1, tiparul obișnuit este un raport de două expresii fundamentale (una la numărător, alta la numitor), rezolvat prin împărțirea ambelor cu $x$. Continuarea firească este lecția despre limitele fundamentale care duc la numărul e, unde aceleași unelte rezolvă nedeterminarea $1^{\infty }$.

Întrebări frecvente

Cât este limita din a la puterea x minus 1, supra x? Este $\ln a$, pentru orice $a>0$: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$. Nu este $1$, decât în cazul particular $a=e$, când $\ln e=1$. Aceasta este a treia dintre cele cinci limite fundamentale din programa clasei a XI-a.

De ce mulți răspund greșit $1$ la această limită? Pentru că exemplul cel mai des întâlnit este $\frac{e^x-1}{x}$, unde răspunsul chiar este $1$. Cazul particular se lipește în minte ca regulă generală. Antidotul e simplu: uită-te întâi la bază și scrie răspunsul ca $\ln a$; abia apoi verifică dacă $a$ este $e$.

Cât este limita din ln(1+x) supra x? Este $1$. Se demonstrează scriind $\frac{\ln (1+x)}{x}=\ln \left[(1+x{)}^{\frac{1}{x}}\right]$ și folosind faptul că $(1+x_n{)}^{1/x_n}\to e$ pentru orice șir $x_n\to 0$, $x_n\ne 0$, împreună cu limita funcției logaritmice în punctul $e$.

Cum calculez limita când sub logaritm este o expresie, nu doar x? Folosești forma compusă: dacă $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă, atunci $\frac{\ln (1+u(x))}{u(x)}\to 1$. În practică amplifici, ca la numitor să apară exact $u(x)$: de pildă $\frac{\ln (1+7x)}{x}=7\cdot \frac{\ln (1+7x)}{7x}\to 7$.

Cum se rezolvă o diferență de tipul 3 la x minus 2 la x, supra x? Scazi și aduni $1$ la numărător: $\frac{(3^x-1)-(2^x-1)}{x}=\frac{3^x-1}{x}-\frac{2^x-1}{x}\to \ln 3-\ln 2=\ln \frac{3}{2}$. Fără acest pas ai două nedeterminări în loc de una.

Ce fac dacă limita se ia într-un punct diferit de zero? Substitui, ca punctul să devină $0$: la $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}$ pui $t=x-1$ și obții $\frac{\ln (1+t)}{t}\to 1$; la $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3^{x-2}-1}{x-2}$ pui $t=x-2$ și obții $\ln 3$. Substituția se justifică în scris, cu ambele condiții.

Ce înseamnă, practic, numărul ln a? Este rata instantanee de creștere a unui proces care se înmulțește cu $a$ pe unitatea de timp. Dacă un depozit crește cu $8\%$ pe an, rata lui instantanee este $\ln 1,08\approx 7,696\%$ — mai mică decât $8\%$, pentru că dobânda aplicată continuu se acumulează asupra ei înseși. Vezi și lecția despre modelarea proceselor de creștere și de descreștere.

Aceste limite se pot obține mai repede cu derivate? Se pot, cu regulile care se învață la lecția despre regulile lui L'Hôpital, dar raționamentul ar fi circular: derivatele funcțiilor $a^x$ și $\ln x$ se calculează folosind exact limitele de față. La acest nivel, demonstrația corectă este cea din lecție, cu numărul $e$ și definiția limitei cu șiruri.