Limite la plus și la minus infinit: pe scurt

La $+\infty$ și la $-\infty$ se folosește aceeași definiție cu șiruri, citită cu $x_0=\pm \infty$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ cu termeni în $D$ și $x_n\to +\infty$ avem $f(x_n)\to \ell$. Condiția $x_n\ne x_0$ dispare, pentru că niciun termen real nu poate fi $+\infty$, iar limite laterale nu există: spre infinit se merge într-un singur fel. Cele două capete se studiază însă separat, pentru că răspunsurile pot fi diferite.

Întrebarea are sens doar dacă domeniul este nemărginit superior (pentru $+\infty$), respectiv nemărginit inferior (pentru $-\infty$) — adică dacă $\pm \infty$ sunt puncte de acumulare ale lui $D$; verificarea se scrie într-o propoziție, la începutul rezolvării.

Tehnica de bază este scoaterea factorului forțat, adică a termenului dominant, exact ca la șiruri: $x^2-3x=x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)\to +\infty$. Limita la infinit poate fi finită: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-1}{x+2}=3$, iar graficul se lipește de dreapta $y=3$ fără să o atingă. Substituția $x=-t$, cu $t\to +\infty$, e utilă acolo unde semnul lui $x$ schimbă rezultatul. O funcție mărginită poate să nu aibă limită la $+\infty$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x^2-x+1}{2x^2+5}$.

   • a) $2$
   • b) $0$
   • c) $+\infty$
   • d) $\frac{1}{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2$

   Împărțim numărătorul și numitorul la $x^2$, puterea dominantă: $\frac{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}\to \frac{4}{2}=2$. Gradele fiind egale, limita este raportul coeficienților dominanți. Verificare: la $x=1000$ valoarea este $\approx 1,9995$.

2. Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-4x\right)$.

   • a) $+\infty$
   • b) $0$
   • c) $-\infty$
   • d) $-4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-\infty$

   Scoatem factor forțat termenul dominant: $x^3-4x=x^3\left(1-\frac{4}{x^2}\right)$. Pentru $x\to -\infty$, primul factor tinde la $-\infty$, al doilea la $1$, deci produsul tinde la $-\infty$. Puterile impare păstrează semnul, spre deosebire de cele pare.

3. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+7}{x^3+1}$.

   • a) $2$
   • b) $0$
   • c) $+\infty$
   • d) $7$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $0$

   Împărțim sus și jos la $x^3$: $\frac{\frac{2}{x^2}+\frac{7}{x^3}}{1+\frac{1}{x^3}}\to \frac{0}{1}=0$. Numitorul crește mult mai repede decât numărătorul și „învinge”, trăgând raportul la zero.