Limita unei funcții la plus infinit și la minus infinit

Un rezervor pierde apă printr-o fisură, iar cantitatea rămasă după $x$ ore este dată de o formulă. Întrebarea inginerului nu este „cât mai e după trei ore", ci „pe termen lung, unde ajunge?". Un cont de economii cu depuneri constante, populația unui oraș, temperatura unei camere după oprirea caloriferului — toate pun aceeași întrebare, iar răspunsul nu se citește într-un punct anume, ci la capătul nemărginit al axei timpului.

Până acum ai studiat limita unei funcții într-un punct $x_0$ finit. În lecția de față punem aceeași întrebare cu $x_0=+\infty$ sau $x_0=-\infty$. Nu avem nevoie de nicio definiție nouă: dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}$ conține deja aceste două elemente, definiția cu șiruri se citește la fel, iar $\pm \infty$ pot fi puncte de acumulare ale domeniului, așa cum ai văzut în lecția despre punctele de acumulare. Vei descoperi și un fapt care surprinde la prima întâlnire: o funcție poate avea, la infinit, o limită finită — valorile ei se strâng în jurul unui număr, fără să-l atingă vreodată.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești de pe grafic comportarea unei funcții la capetele nemărginite ale domeniului.
• Vei ști să enunți definiția cu șiruri a limitei la $+\infty$ și la $-\infty$ și să verifici că punctul are sens, adică domeniul e nemărginit.
• Vei ști să calculezi limite la infinit reducându-le la limite de șiruri deja cunoscute.
• Vei ști să recunoști situațiile în care limita la infinit este finită și să descrii ce înseamnă asta pe grafic.
• Vei ști să folosești substituția $x=-t$ pentru a transforma o limită la $-\infty$ într-una la $+\infty$.
• Vei ști să dai exemplu de funcție care nu are limită la $+\infty$ și să justifici cu două șiruri.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se vede la capătul graficului

Privește graficul unei funcții desenat pe un interval din ce în ce mai lung spre dreapta. Trei comportări sunt posibile, și ele se recunosc dintr-o privire: curba urcă fără oprire, curba coboară fără oprire sau curba se așază lângă o dreaptă orizontală și nu mai părăsește vecinătatea ei. Această intuiție ai exersat-o deja, prin lectură grafică, în clasa a IX-a, la lecția Comportament asimptotic pe grafic; ce facem acum este să-i dăm o definiție și un aparat de calcul.

Merită observat de la început că cele trei comportări au înțelesuri foarte diferite în practică. Prima descrie o creștere fără plafon: dacă mărimea studiată este un cost, el devine oricât de mare, iar modelul își pierde utilitatea după un punct. A doua descrie o scădere fără fund, la fel de brutală. A treia, în schimb, descrie o saturație: mărimea se apropie de o valoare-limită și practic se stabilizează acolo, oricât ai aștepta. Tocmai a treia situație este cea mai interesantă pentru aplicații, pentru că ea răspunde la întrebarea „cât de mult, în cele din urmă?" cu un număr concret.

Mai e ceva de reținut din desen: la infinit nu se pune problema unei apropieri „din ambele părți". Către dreapta se merge într-un singur fel, prin valori tot mai mari, iar dinspre stânga graficului, adică spre $-\infty$, tot într-un singur fel. Cele două capete se studiază însă separat, pentru că răspunsurile pot fi complet diferite: aceeași funcție poate urca spre $+\infty$ la un capăt și coborî spre $-\infty$ la celălalt.

Ca și la limitele într-un punct, ochiul sugerează, dar nu demonstrează. Iar ca să putem întreba ceva la $+\infty$, avem nevoie de o condiție asupra domeniului — exact aceeași ca înainte.

2. Condiția asupra domeniului

Din lecția Punct de acumulare și punct izolat reținem propoziția care contează aici: $+\infty$ este punct de acumulare al mulțimii $D$ dacă și numai dacă $D$ este nemărginită superior; analog, $-\infty \in D^{\prime }$ exact când $D$ este nemărginită inferior.

Prin urmare, întrebarea „care este limita lui $f$ la $+\infty$?" are sens exact atunci când domeniul conține valori oricât de mari. Pentru $D=\mathbb{R}$, $D=(3,+\infty )$ sau $D=\mathbb{R}\setminus \{1,2\}$ răspunsul e da; pentru $D=(0,5)$ sau $D=[-2,7]$, nu — acolo nu există niciun șir din domeniu care să tindă la $+\infty$, deci nu există nimic de calculat.

Verificarea aceasta se scrie într-o singură propoziție, la începutul rezolvării, și e prima linie pe care o cere baremul.

3. Definiția cu șiruri

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ cu $D$ nemărginită superior și $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Spunem că $\ell$ este limita lui $f$ la $+\infty$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ cu termeni în $D$ și $x_n\to +\infty$ avem $f(x_n)\to \ell$. Scriem $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell .$$ Analog, pentru $D$ nemărginită inferior, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\ell$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ din $D$ cu $x_n\to -\infty$ avem $f(x_n)\to \ell$.

Comparând cu definiția din lecția Limita unei funcții într-un punct, observi două diferențe și o asemănare:

• condiția $x_n\ne x_0$ dispare, pentru că $+\infty$ nu este un număr real și niciun termen al șirului nu poate fi egal cu el — cerința se verifică automat;
• nu există limite laterale la infinit: la $+\infty$ te poți apropia doar „dinspre stânga", adică prin valori din ce în ce mai mari, deci apropierea e unică;
• restul e identic: cuvântul „orice", posibilitatea ca $\ell$ să fie infinit și unicitatea limitei, moștenită de la șiruri.

Această din urmă asemănare este cheia întregii lecții: orice limită la infinit se transformă, prin definiție, într-o limită de șir, iar limitele de șiruri le știi deja calcula. Toată munca depusă în unitatea precedentă — operațiile în dreapta reală încheiată, tabelul cazurilor de nedeterminare, tehnica termenului dominant — se transferă acum fără nicio pierdere. Nu înveți metode noi, ci le muți pe cele vechi într-un context puțin mai larg.

O observație de limbaj, ca să nu apară neînțelegeri în bareme: scrierea $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ afirmă că limita există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este $+\infty$; ea nu înseamnă că funcția „nu are limită". Distincția a fost fixată la șiruri și rămâne valabilă cuvânt cu cuvânt și aici.

4. Primele limite, direct din definiție

Exemplul cel mai simplu. Fie $f(x)=\frac{1}{x}$, definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, mulțime nemărginită în ambele sensuri. Fie $(x_n)$ un șir arbitrar din domeniu cu $x_n\to +\infty$. Din tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$, discutat în lecția Șiruri cu limită infinită. Operații, avem $\frac{a}{\pm \infty }=0$, deci $f(x_n)=\frac{1}{x_n}\to 0$. Șirul fiind arbitrar, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0,\text{și, la fel,}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0.$$

Un exemplu cu rezultat infinit. Fie $f(x)=2x+1$ pe $\mathbb{R}$. Pentru orice șir $x_n\to +\infty$ avem $2x_n\to +\infty$ și, adunând $1$, tot $+\infty$; deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }(2x+1)=+\infty$. Pentru $x_n\to -\infty$ obținem, la fel, $\underset{x\to -\infty }{\lim }(2x+1)=-\infty$.

Un exemplu cu prelucrare. Fie $f(x)=x^2-3x$ și $x\to +\infty$. Scriind direct, am obține $+\infty -\infty$, care nu este un rezultat, ci unul dintre cele șapte cazuri de nedeterminare. Prelucrăm ca la șiruri, scoțând factor forțat termenul dominant, exact tehnica din lecția Cazurile de nedeterminare infinit minus infinit și infinit supra infinit: $$f(x_n)=x_n^2\left(1-\frac{3}{x_n}\right).$$ Primul factor tinde la $+\infty$, al doilea la $1$, deci produsul tinde la $+\infty$. Pentru $x_n\to -\infty$, primul factor tinde tot la $+\infty$ (pătratul unui număr negativ mare e pozitiv mare), iar al doilea tot la $1$: aceeași concluzie.

5. Limita finită la infinit

Cazul care surprinde este cel în care valorile nu explodează, ci se strâng în jurul unui număr.

Exemplu-etalon. Fie $f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$, definită pe $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Fie $(x_n)$ arbitrar cu $x_n\to +\infty$. Împărțim numărătorul și numitorul la $x_n$, ceea ce e permis pentru $x_n\ne 0$: $$f(x_n)=\frac{3-\frac{1}{x_n}}{1+\frac{2}{x_n}}⟶\frac{3-0}{1+0}=3.$$ Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-1}{x+2}=3$. Același calcul, cuvânt cu cuvânt, dă $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-1}{x+2}=3$.

Recunoști, poate, expresia: este chiar șirul $b_n=\frac{3n-1}{n+2}$ studiat în lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți, unde limita $3$ a fost verificată cu praguri explicite. Nu e o coincidență: șirul acela este exact restricția funcției noastre la numerele naturale, iar definiția cu șiruri spune că funcția se comportă la fel pe toate drumurile spre infinit, nu doar pe cel prin numerele naturale.

Verificare numerică: $f(10)=\frac{29}{12}\approx 2,4167$; $f(100)=\frac{299}{102}\approx 2,9314$; $f(1000)=\frac{2999}{1002}\approx 2,9930$. Valorile urcă spre $3$ fără să-l atingă.

Ce înseamnă asta pe grafic: oricât de îngustă ai lua o bandă orizontală în jurul înălțimii $3$, graficul intră în bandă de la un moment încolo și nu mai iese — curba se lipește de dreapta $y=3$, apropiindu-se oricât de mult de ea. Studiul sistematic al acestei situații, cu numele consacrat și cu folosirea ei la desenarea graficului, se face în clasa a XII-a; aici ne oprim la calculul limitei și la descrierea comportării.

Două precizări care previn confuziile obișnuite. Prima: „se apropie oricât de mult" nu înseamnă „atinge". Funcția noastră nu ia niciodată valoarea $3$, pentru că egalitatea $\frac{3x-1}{x+2}=3$ ar duce la $3x-1=3x+6$, adică la $-1=6$, imposibil. Există însă și funcții care își ating valoarea-limită de o infinitate de ori, deci nici această imposibilitate nu e o regulă generală. A doua: apropierea nu trebuie să fie „dintr-o singură direcție". Aici valorile urcă spre $3$ rămânând sub el, dar dacă privim la $-\infty$, ele coboară spre $3$ rămânând deasupra — același număr, două drumuri diferite.

De ce e util calculul acesta dincolo de examen: în modelele din fizică, economie sau biologie, o limită finită la infinit înseamnă că procesul descris are un regim stabil. Cantitatea nu mai crește semnificativ după un timp, iar valoarea limită este exact numărul pe care îl caută inginerul sau economistul atunci când proiectează sistemul.

6. Substituția $x=-t$

Limitele la $-\infty$ se pot calcula direct, dar uneori e mai comod să le transformi în limite la $+\infty$, unde ai mai multă experiență.

Procedeul. Dacă $x\to -\infty$, notăm $t=-x$; atunci $t\to +\infty$ și $x=-t$. Calculăm limita expresiei în care $x$ a fost înlocuit cu $-t$, cu $t\to +\infty$. Justificarea, în limbajul definiției: dacă $(x_n)$ e un șir din domeniu cu $x_n\to -\infty$, atunci $t_n=-x_n\to +\infty$, iar valorile funcției sunt aceleași — doar am schimbat numele variabilei.

Exemplu. Calculăm $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2+1}$. Cu $x=-t$, $t\to +\infty$: $$\frac{-t+1}{t^2+1}=\frac{t\left(-1+\frac{1}{t}\right)}{t^2\left(1+\frac{1}{t^2}\right)}=\frac{1}{t}\cdot \frac{-1+\frac{1}{t}}{1+\frac{1}{t^2}}⟶0\cdot (-1)=0.$$ Deci limita este $0$. Verificare: $f(-10)=\frac{-9}{101}\approx -0,089$; $f(-1000)\approx -0,000999$.

Atenție unde chiar contează substituția: la expresii în care semnul lui $x$ schimbă rezultatul. Pentru $f(x)=x^3$, limita la $+\infty$ este $+\infty$, iar la $-\infty$ este $-\infty$; scrierea $x=-t$ face vizibil semnul minus, pentru că $(-t{)}^3=-t^3$.

7. Când limita la infinit nu există

Ca și în punct finit, limita la $+\infty$ poate lipsi, iar dovada se face tot cu două șiruri.

Exemplu. Fie $d:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, unde $d(x)$ este distanța de la $x$ la cel mai apropiat număr întreg. Valorile ei sunt cuprinse între $0$ și $\frac{1}{2}$. Luăm două șiruri care tind la $+\infty$: $$x_n=n\Rightarrow d(x_n)=0\to 0;y_n=n+\frac{1}{2}\Rightarrow d(y_n)=\frac{1}{2}\to \frac{1}{2}.$$ Cele două limite diferă, deci $d$ nu are limită la $+\infty$, deși rămâne mărginită tot timpul. Reține contrastul cu funcția $\frac{1}{x}$: și acolo valorile erau mici, dar se strângeau spre o singură valoare; aici oscilează la nesfârșit între două comportări.

Situația se întâlnește tipic la funcțiile care se repetă periodic; exemplele clasice folosesc funcțiile trigonometrice și se discută la lecția Limitele funcțiilor trigonometrice.

Merită reținută structura demonstrației, pentru că este singura metodă de a arăta că o limită nu există și se repetă identic în punct finit și la infinit: alegi două șiruri care se îndreaptă spre același loc, arăți că valorile funcției pe cele două șiruri se stabilizează la înălțimi diferite și invoci cuvântul „orice" din definiție. Un singur șir nu ajunge niciodată: el poate cel mult să sugereze un răspuns, nu să elimine toate celelalte. Iar alegerea celor două șiruri nu e o chestiune de noroc — le citești din felul în care funcția se repetă, luând câte un reprezentant din fiecare comportare.

8. Ce urmează

Ai observat probabil că, la exemplele cu rapoarte, calculele au avut un tipar: se scoate factor forțat termenul dominant, se simplifică, restul tinde la zero. Tiparul acesta se poate transforma într-o metodă completă, cu discuție pe cazuri, dar pentru asta e nevoie mai întâi de operațiile cu limite de funcții, care se stabilesc în lecția Operații cu limite de funcții. Metoda sistematică pentru rapoarte de polinoame, cu toate cazurile, vine imediat după, în lecția Nedeterminările zero supra zero și infinit supra infinit la funcții raționale.

Până acolo, unealta ta rămâne definiția: iei un șir arbitrar care tinde la infinit, îl introduci în expresie și folosești ce știi despre șiruri. Este mai lent, dar e singurul drum care justifică fiecare pas — și este exact drumul pe care îl cere programa la introducerea noțiunii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Limita funcției inverse

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x}$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x}$.

Rezolvare. Domeniul este ${\mathbb{R}}^{\ast }$, nemărginit în ambele sensuri, deci ambele întrebări au sens. Fie $(x_n)$ arbitrar cu $x_n\to +\infty$. Din regula $\frac{a}{\pm \infty }=0$ obținem $\frac{2}{x_n}\to 0$; la fel pentru $x_n\to -\infty$. Așadar ambele limite sunt $0$.

Verificare: $f(1000)=0,002$ și $f(-1000)=-0,002$ — valorile se apropie de zero, pe deasupra într-un caz, pe dedesubt în celălalt.

Exemplul 2 — Funcție polinomială

Calculați limitele funcției $f(x)=-x^3+2x$ la $+\infty$ și la $-\infty$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}$. Scoatem factor forțat termenul dominant: pentru orice șir $x_n$ cu $|x_n|\to \infty$, $$f(x_n)=x_n^3\left(-1+\frac{2}{x_n^2}\right).$$ Al doilea factor tinde la $-1$.

Pentru $x_n\to +\infty$: $x_n^3\to +\infty$, iar produsul cu un factor care tinde la $-1$ dă $-\infty$. Pentru $x_n\to -\infty$: $x_n^3\to -\infty$, iar produsul cu $-1$ dă $+\infty$. Deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty .$$ Verificare: $f(1000)=-999998000$ și $f(-1000)=999998000$. ✓

Exemplul 3 — Limită finită, cu numărător și numitor de același grad

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+1}{x^2+x+1}$.

Rezolvare. Numitorul nu se anulează niciodată (are discriminantul negativ), deci $D=\mathbb{R}$. Fie $(x_n)$ arbitrar cu $x_n\to +\infty$; pentru $n$ mare, $x_n\ne 0$, deci putem împărți sus și jos la $x_n^2$: $$f(x_n)=\frac{2+\frac{1}{x_n^2}}{1+\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n^2}}⟶\frac{2+0}{1+0+0}=2.$$ Deci limita este $2$; același calcul dă tot $2$ la $-\infty$.

Verificare: $f(10)\approx 1,8108$; $f(100)\approx 1,9801$; $f(1000)\approx 1,9980$. Valorile se strâng spre $2$, rămânând sub el.

Exemplul 4 — Numitor de grad mai mare

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x^2+1}$.

Rezolvare. $D=\mathbb{R}$, nemărginit superior. Împărțim sus și jos la $x_n^2$, puterea cea mai mare din numitor: $$f(x_n)=\frac{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n^2}}{1+\frac{1}{x_n^2}}⟶\frac{0+0}{1+0}=0.$$ Limita este $0$. Verificare: $f(100)\approx 0,0101$ și $f(10^4)\approx 0,0001$. ✓

Compară cu Exemplul 3: acolo gradele erau egale și limita a ieșit raportul coeficienților dominanți; aici numitorul crește mai repede și „învinge", trăgând raportul la zero.

Exemplul 5 — Numărător de grad mai mare

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x+1}$.

Rezolvare. $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, nemărginit superior. Scoatem factor forțat termenul dominant din fiecare parte: $$f(x_n)=\frac{x_n^2\left(1+\frac{1}{x_n^2}\right)}{x_n\left(1+\frac{1}{x_n}\right)}=x_n\cdot \frac{1+\frac{1}{x_n^2}}{1+\frac{1}{x_n}}.$$ Primul factor tinde la $+\infty$, al doilea la $1$, deci produsul tinde la $+\infty$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{x+1}=+\infty .$$ Verificare: $f(1000)\approx 999,00$, deci valorile cresc aproximativ ca $x$ însuși. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$. a) Determinați domeniul maxim de definiție și arătați că $+\infty$ și $-\infty$ sunt puncte de acumulare ale acestuia. b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. c) Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$, folosind substituția $x=-t$.

Rezolvare.

a) Numitorul se anulează pentru $x=-2$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Mulțimea este nemărginită superior (conține toate numerele mai mari decât $0$) și nemărginită inferior (conține toate numerele mai mici decât $-3$), deci ambele elemente $\pm \infty$ sunt puncte de acumulare pentru $D$.

b) Fie $(x_n)$ arbitrar din $D$ cu $x_n\to +\infty$. Împărțim sus și jos la $x_n$: $$f(x_n)=\frac{3-\frac{1}{x_n}}{1+\frac{2}{x_n}}⟶\frac{3}{1}=3.$$ Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=3$.

c) Cu $x=-t$ și $t\to +\infty$: $$f(-t)=\frac{-3t-1}{-t+2}=\frac{3t+1}{t-2}=\frac{3+\frac{1}{t}}{1-\frac{2}{t}}⟶3.$$ Deci și $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=3$: la ambele capete ale axei valorile se strâng în jurul aceluiași număr.

Verificare numerică: $f(1000)\approx 2,9930$ și $f(-1000)\approx 3,0070$ — una dintre valori sub $3$, cealaltă peste, ambele foarte aproape. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie domeniul și verifică într-o propoziție că punctul cerut ($+\infty$ sau $-\infty$) este punct de acumulare al lui.

1. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x}$.

2. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^2}$.

3. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }(3x-7)$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }(3x-7)$.

4. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2-5x\right)$.

5. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+x\right)$.

6. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+3}{x-1}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Limita unei funcții la $+\infty$ este întotdeauna infinită sau inexistentă."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă domeniul unei funcții este intervalul $(0,4)$, se poate cere limita ei la $+\infty$."

9. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+5}{x^2-1}$.

10. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4x-1}{2x+3}$, folosind substituția $x=-t$.

11. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3+2}{x^2+1}$.

12. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{7}{x}\right)$ și descrie ce se întâmplă cu graficul la dreapta.

13. (Problemă aplicată.) Cantitatea de substanță rămasă într-un vas, după $x$ ore, este $c(x)=\frac{100x}{x+5}$ miligrame. Calculează limita la $+\infty$ și interpretează rezultatul în contextul problemei.

14. Arată că funcția $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$ are limita $+\infty$ la $+\infty$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)=\frac{5x^2-x}{x^2+3}$. Determinați domeniul maxim de definiție și calculați limitele funcției la $+\infty$ și la $-\infty$.

16. Determină numărul real $a$ pentru care $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{ax+1}{x+4}=6$.

17. Compară limitele la $+\infty$ ale funcțiilor $\frac{x}{x^2+1}$ și $\frac{x^2}{x+1}$ și explică diferența dintre ele.

18. (Provocare.) Dă exemplu de funcție definită pe $\mathbb{R}$, mărginită, care nu are limită la $+\infty$, și justifică folosind două șiruri.

Răspunsuri și explicații

1. $D={\mathbb{R}}^{\ast }$, nemărginit superior. Pentru orice $x_n\to +\infty$, $\frac{5}{x_n}\to 0$. Limita este $0$.

2. $D={\mathbb{R}}^{\ast }$. Pentru $x_n\to -\infty$, $x_n^2\to +\infty$, deci raportul tinde la $0$. Limita este $0$.

3. $3x_n-7\to +\infty$ pentru $x_n\to +\infty$ și $\to -\infty$ pentru $x_n\to -\infty$.

4. Scoatem factor forțat: $x_n^2\left(1-\frac{5}{x_n}\right)$; primul factor tinde la $+\infty$, al doilea la $1$, deci limita este $+\infty$.

5. $x_n^3\left(1+\frac{1}{x_n^2}\right)$; primul factor tinde la $-\infty$, al doilea la $1$, deci limita este $-\infty$.

6. Împărțim la $x_n$: $\frac{2+\frac{3}{x_n}}{1-\frac{1}{x_n}}\to 2$. Verificare: $f(1000)\approx 2,005$.

7. Fals. Exemplul 3 din lecție arată o limită finită la $+\infty$, egală cu $2$; la fel, $\frac{1}{x}$ are limita $0$.

8. Fals. Intervalul $(0,4)$ este mărginit superior, deci $+\infty$ nu este punct de acumulare al lui și nu există niciun șir din domeniu care să tindă la $+\infty$.

9. Împărțim sus și jos la $x_n^2$: $\frac{\frac{1}{x_n}+\frac{5}{x_n^2}}{1-\frac{1}{x_n^2}}\to \frac{0}{1}=0$.

10. Cu $x=-t$, $t\to +\infty$: $\frac{-4t-1}{-2t+3}=\frac{4t+1}{2t-3}=\frac{4+\frac{1}{t}}{2-\frac{3}{t}}\to 2$. Limita este $2$.

11. $\frac{x_n^3\left(1+\frac{2}{x_n^3}\right)}{x_n^2\left(1+\frac{1}{x_n^2}\right)}=x_n\cdot \frac{1+\frac{2}{x_n^3}}{1+\frac{1}{x_n^2}}\to +\infty$.

12. $\frac{7}{x_n}\to 0$, deci limita este $2$. Pe grafic: valorile coboară spre înălțimea $2$, rămânând deasupra ei, iar curba se lipește de dreapta $y=2$ fără să o atingă.

13. Împărțim numărătorul și numitorul la $x_n$ și obținem $c(x_n)=\frac{100}{1+\frac{5}{x_n}}\to 100$. Interpretare: pe termen lung, cantitatea din vas se apropie de $100$ mg fără să depășească această valoare — $100$ mg este plafonul procesului, iar după un timp suficient de lung, diferența față de plafon devine imperceptibilă la măsurare. Verificare: $c(100)\approx 95,24$ și $c(1000)\approx 99,50$, deci după circa o mie de ore lipsesc mai puțin de cinci zecimi de miligram până la plafon.

14. $\frac{x_n^2}{x_n+1}=x_n\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x_n}}$; primul factor tinde la $+\infty$, al doilea la $1$, deci limita este $+\infty$.

15. Numitorul $x^2+3$ nu se anulează, deci $D=\mathbb{R}$, nemărginit în ambele sensuri. Împărțind sus și jos la $x_n^2$: $$\frac{5-\frac{1}{x_n}}{1+\frac{3}{x_n^2}}⟶5.$$ Ambele limite, la $+\infty$ și la $-\infty$, sunt egale cu $5$. Verificare: $f(1000)\approx 4,9990$ și $f(-1000)\approx 5,0010$.

16. Împărțind la $x_n$: $\frac{a+\frac{1}{x_n}}{1+\frac{4}{x_n}}\to a$. Din $a=6$ obținem răspunsul $a=6$. Verificare: pentru $a=6$, $f(1000)\approx 5,98$.

17. Prima are limita $0$: numitorul, de gradul al doilea, crește mult mai repede decât numărătorul, de gradul întâi, deci raportul se face tot mai mic. A doua are limita $+\infty$: aici numărătorul este cel de grad mai mare, iar raportul crește aproximativ proporțional cu $x$. Diferența stă, așadar, în care dintre cele două părți „domină" la valori mari ale lui $x$ — ideea care va deveni metodă la lecția Nedeterminările zero supra zero și infinit supra infinit la funcții raționale.

18. Funcția $d(x)$ = distanța de la $x$ la cel mai apropiat număr întreg ia valori în $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, deci e mărginită. Pentru $x_n=n$ avem $d(x_n)=0\to 0$, iar pentru $y_n=n+\frac{1}{2}$ avem $d(y_n)=\frac{1}{2}\to \frac{1}{2}$. Cele două limite diferă, deci funcția nu are limită la $+\infty$.

De reținut

• Definiția este aceeași, citită cu $x_0=\pm \infty$: pentru orice șir $(x_n)$ din domeniu cu $x_n\to +\infty$, valorile $f(x_n)$ tind la $\ell$. Condiția $x_n\ne x_0$ dispare, iar limite laterale nu există.
• Întrebarea are sens doar dacă domeniul este nemărginit superior (pentru $+\infty$), respectiv inferior (pentru $-\infty$) — adică dacă $\pm \infty$ sunt puncte de acumulare ale domeniului.
• Limita la infinit poate fi finită: valorile se strâng în jurul unui număr, iar graficul se lipește de dreapta orizontală corespunzătoare, fără să o atingă.
• Tehnica de bază este scoaterea factorului forțat, adică a termenului dominant, exact ca la șiruri; ce rămâne tinde la zero și iese din calcul.
• Substituția $x=-t$ transformă o limită la $-\infty$ într-una la $+\infty$; e utilă mai ales acolo unde semnul lui $x$ influențează rezultatul, ca la puterile impare.

Greșeli frecvente

• Ceri limita la $+\infty$ pe un domeniu mărginit. Pentru o funcție definită pe $(0,4)$, întrebarea nu are sens: nu există șiruri din domeniu care să tindă la $+\infty$.
• Scrii $\infty -\infty =0$. La $x^2-3x$, diferența nu se „simplifică": este un caz de nedeterminare și cere scoaterea termenului dominant, exact ca la șiruri.
• Crezi că limita la infinit e mereu infinită. Funcțiile de tipul $\frac{3x-1}{x+2}$ au limită finită la ambele capete; comportamentul se citește și pe grafic.
• Uiți semnul la $-\infty$. Pentru $x^3$, limita la $-\infty$ este $-\infty$, nu $+\infty$: puterile impare păstrează semnul, cele pare îl pierd. Substituția $x=-t$ te ferește de această confuzie.
• Confunzi „mărginită" cu „are limită". Funcția din exercițiul 18 rămâne între $0$ și $\frac{1}{2}$, dar nu are limită la $+\infty$, pentru că oscilează la nesfârșit.

Aplică acasă

1. Tabelul de la capăt. Alege funcția $f(x)=\frac{4x+3}{x+1}$ și calculează valorile ei pentru $x=10$, $100$, $1000$, $10000$. Notează câte zecimale se stabilizează la fiecare pas: vei vedea, cifră cu cifră, cum se apropie valorile de limita $4$.

2. Modele de saturație. Caută trei mărimi care cresc, dar nu peste orice limită (viteza unui corp care cade prin aer, încărcarea unei baterii, numărul de utilizatori ai unei aplicații într-un oraș). Pentru fiecare, spune care ar fi „plafonul" și de ce limita la infinit e finită, nu infinită.

3. Compară două creșteri. Pe aceeași foaie, calculează valorile funcțiilor $\frac{x^2}{x+1}$ și $\frac{x}{x^2+1}$ pentru $x=10$, $100$, $1000$. Observă cum prima crește nemărginit, iar a doua se apropie de zero, deși ambele au aceleași ingrediente — un polinom de gradul întâi și unul de gradul al doilea, așezate invers.

Pentru părinți și profesori

Lecția extinde noțiunea de limită la capetele nemărginite ale domeniului, respectând ordinea cerută de programă: mai întâi lectura grafică, apoi definiția cu șiruri, apoi calculul. Ideea centrală pe care elevul trebuie să o poată formula singur este că nu apare nimic nou — se folosește aceeași definiție, cu $x_0=\pm \infty$, iar calculele se reduc la limite de șiruri deja studiate.

Ce verifică lecția: (1) verificarea faptului că domeniul este nemărginit, înainte de orice calcul; (2) folosirea unui șir arbitrar, nu a unuia particular; (3) scoaterea corectă a termenului dominant, cu justificarea pașilor; (4) recunoașterea limitelor finite la infinit și descrierea lor grafică; (5) tratarea semnului la $-\infty$. Întrebări bune de control: „Poate o funcție să aibă limită finită la infinit?", „De ce nu există limite laterale la $+\infty$?", „Ce se schimbă în calcul când trecem de la $+\infty$ la $-\infty$?".

La BAC M1, limitele la infinit apar în aproape fiecare variantă, cel mai des la funcții raționale, iar în clasa a XII-a ele devin instrumentul principal pentru reprezentarea grafică a funcțiilor. Semne că elevul a înțeles: nu se sperie de rezultate finite la infinit și nu aplică mecanic aceeași concluzie la ambele capete, ci verifică semnul.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă limita unei funcții la plus infinit? Înseamnă valoarea către care se îndreaptă $f(x)$ atunci când $x$ ia valori din ce în ce mai mari, fără margine. Riguros: pentru orice șir $(x_n)$ din domeniu cu $x_n\to +\infty$, șirul valorilor $f(x_n)$ tinde la aceeași valoare $\ell$, finită sau infinită.

Când are sens să cer limita la infinit? Doar dacă domeniul este nemărginit în acea direcție: nemărginit superior pentru $+\infty$, nemărginit inferior pentru $-\infty$. Altfel nu există niciun șir din domeniu care să tindă acolo, iar întrebarea rămâne fără obiect.

Poate limita la infinit să fie un număr finit? Da, și este o situație foarte frecventă. De exemplu $\frac{3x-1}{x+2}$ are limita $3$ la ambele capete: valorile se strâng în jurul lui $3$, iar graficul se lipește de dreapta orizontală de la înălțimea $3$, fără să o atingă vreodată.

Există limite laterale la $+\infty$? Nu. Către $+\infty$ te poți îndrepta într-un singur fel, prin valori tot mai mari, deci nu are ce să fie „la stânga" sau „la dreapta". Limitele laterale au sens numai în puncte finite.

Cum calculez o limită la infinit pentru un raport de polinoame? Împarți numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$ care apare (sau scoți factor forțat termenul dominant din fiecare), apoi folosești faptul că expresii de forma $\frac{1}{x^k}$ tind la zero. Metoda completă, cu discuție pe toate cazurile, se sistematizează în lecția despre nedeterminări la funcții raționale.

La ce folosește substituția $x=-t$? Transformă o limită la $-\infty$ într-una la $+\infty$, unde calculele sunt mai familiare. Se scrie $x=-t$, se înlocuiește peste tot și se calculează limita pentru $t\to +\infty$; procedeul e legitim pentru că fiecare șir $x_n\to -\infty$ corespunde șirului $t_n=-x_n\to +\infty$.

O funcție mărginită are neapărat limită la infinit? Nu. Funcția care asociază fiecărui număr distanța până la cel mai apropiat întreg ia valori doar între $0$ și $\frac{1}{2}$, dar oscilează la nesfârșit: pe șirul numerelor întregi dă $0$, iar pe șirul lor plus o jumătate dă $\frac{1}{2}$. Deci nu are limită la $+\infty$.

De ce se lucrează cu șiruri și aici? Pentru că definiția limitei unei funcții este dată cu șiruri, iar limitele de șiruri sunt deja complet studiate, cu toate operațiile și cazurile de nedeterminare. Fiecare limită de funcție la infinit devine astfel un exercițiu de șiruri, rezolvat cu unelte cunoscute.