Limite laterale: pe scurt

Limitele laterale se obțin restrângând definiția cu șiruri la o singură parte a punctului: la stânga se iau doar șirurile cu $x_n<x_0$, la dreapta doar cele cu $x_n>x_0$. Se scriu $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)$, iar prescurtat, acolo unde spațiul nu permite forma completă, $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$.

Criteriul de existență a limitei. Într-un punct de acumulare bilateral, $f$ are limită în $x_0$ dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale; limita este valoarea lor comună. Dacă ele diferă, sau dacă una dintre ele nu există, funcția nu are limită. Dacă amândouă sunt $+\infty$ (sau amândouă $-\infty$), limita există și este infinită.

La funcțiile definite pe ramuri, fiecare laterală se calculează cu ramura valabilă pe partea respectivă; valoarea $f(x_0)$ nu intră în niciunul dintre cele două calcule. La limitele infinite decide semnul numitorului: pentru $a>0$, $\frac{a}{0^{+}}=+\infty$ și $\frac{a}{0^{-}}=-\infty$, iar $0^{+}$ și $0^{-}$ descriu doar felul în care o expresie tinde la zero.

Când domeniul permite apropierea dintr-o singură parte — de pildă în capătul unui interval — limita funcției coincide cu unica limită laterală care are sens.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f(x)=\frac{-3}{x+1}$, limitele laterale $l_s(-1)$ și $l_d(-1)$ sunt, în această ordine:

   • a) $-\infty$ și $+\infty$
   • b) $+\infty$ și $+\infty$
   • c) $-\infty$ și $-\infty$
   • d) $+\infty$ și $-\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $+\infty$ și $-\infty$

   Numărătorul este constant, $-3<0$; decide semnul numitorului. Pentru $x<-1$ avem $x+1<0$, deci numitorul tinde la $0^{-}$ și $\frac{-3}{0^{-}}=+\infty$. Pentru $x>-1$, numitorul tinde la $0^{+}$ și $\frac{-3}{0^{+}}=-\infty$. Cele două diferă, deci funcția nu are limită în $-1$.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$ pentru $x<2$ și $f(x)=4x-3$ pentru $x\ge 2$. Despre limita lui $f$ în $2$ se poate spune că:

   • a) nu există, deoarece cele două ramuri sunt date de formule diferite
   • b) există și este egală cu $5$
   • c) există și este egală cu $4$
   • d) nu există, deoarece $l_s(2)=5$ și $l_d(2)=8$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) există și este egală cu $5$

   Pe stânga lucrăm cu $x^2+1$: $l_s(2)=2^2+1=5$. Pe dreapta lucrăm cu $4x-3$: $l_d(2)=4\cdot 2-3=5$. Fiind egale, limita există și este $5$. Varianta d) uită scăderea lui $3$, iar a) confundă forma expresiei cu comportarea ei.

3. Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f(x)=ax+3$ pentru $x<-1$ și $f(x)=x^2-2$ pentru $x\ge -1$ are limită în $-1$.

   • a) $a=-4$
   • b) $a=2$
   • c) $a=4$
   • d) $a=-2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a=4$

   Avem $l_s(-1)=-a+3$ (ramura $ax+3$) și $l_d(-1)=(-1{)}^2-2=-1$ (ramura $x^2-2$). Criteriul cere $-a+3=-1$, deci $a=4$. Verificare: pentru $a=4$, $f(-1,001)=-1,004$ și $f(-0,999)=-1,002$, ambele lângă $-1$.