Limite laterale

Într-o parcare cu plata pe ore începute, tariful pentru $59$ de minute este $5$ lei, iar pentru $61$ de minute este $10$ lei. Dacă îți apropii timpul de staționare de exact o oră, răspunsul la întrebarea „cât plătesc?" depinde de direcția din care vii: dinspre timpi mai mici, suma se apropie de $5$ lei; dinspre timpi mai mari, de $10$ lei. Nu există o singură valoare către care să se îndrepte prețul — există două, câte una pentru fiecare parte.

În lecția precedentă ai văzut că, atunci când două apropieri dau răspunsuri diferite, funcția nu are limită în acel punct. Acum facem un pas mai departe și în loc să constatăm doar eșecul, îl măsurăm: separăm apropierea prin valori mai mici de apropierea prin valori mai mari și obținem două numere distincte, numite limite laterale. Ele sunt uneltele cu care se rezolvă, la Bacalaureat M1, aproape toate exercițiile cu funcții definite pe ramuri, iar criteriul care le leagă de limita propriu-zisă — „limita există exact când cele două laterale există și coincid" — este unul dintre cele mai folosite enunțuri din întreaga analiză de clasa a XI-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești limita la stânga și limita la dreapta cu ajutorul șirurilor și să le scrii cu notația corectă.
• Vei ști să folosești criteriul de existență a limitei: limita există dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale.
• Vei ști să calculezi limitele laterale ale unei funcții definite pe ramuri și să decizi dacă funcția are limită în punctul de racord.
• Vei ști să determini limite laterale infinite, studiind semnul numitorului la stânga și la dreapta punctului.
• Vei ști să recunoști punctele în care există o singură limită laterală, pentru că domeniul nu permite apropierea din cealaltă parte.
• Vei ști să determini un parametru din condiția ca funcția să aibă limită într-un punct dat.

Hai să descoperim împreună

1. Două apropieri, două răspunsuri

Reluăm funcția din lecția Limita unei funcții într-un punct, $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{|x|}{x}$. Ea ia valoarea $1$ pe toate numerele strict pozitive și $-1$ pe toate cele strict negative. Am arătat acolo că nu are limită în $0$, folosind șirurile $\frac{1}{n}$ și $-\frac{1}{n}$.

Constatarea este corectă, dar sărăcăcioasă: ea aruncă la gunoi informația că, de fapt, fiecare parte are un răspuns foarte clar. Dacă te apropii de $0$ numai prin valori pozitive, toate valorile funcției sunt $1$; dacă te apropii numai prin valori negative, toate sunt $-1$. Aceste două numere descriu complet comportamentul funcției în jurul originii, iar diferența dintre ele este exact motivul pentru care limita nu există.

Ideea lecției este deci simplă: restrângem definiția limitei la o singură parte a punctului. În loc să cerem ca toate șirurile care tind la $x_0$ să dea aceeași valoare, cerem asta numai șirurilor care se apropie dintr-o parte. Obținem astfel două afirmații separate, fiecare cu șansa ei de a fi adevărată, iar limita propriu-zisă devine cazul fericit în care cele două coincid.

Câștigul e dublu. Pe de o parte, avem un răspuns și acolo unde înainte nu aveam niciunul: în loc de „nu are limită", putem spune exact ce se întâmplă pe fiecare parte. Pe de altă parte, obținem o metodă: în loc să căutăm din intuiție două șiruri care se contrazic, calculăm sistematic două valori și le comparăm. Această a doua parte este cea care contează la examen, pentru că transformă un raționament ingenios într-o procedură care se poate aplica de fiecare dată, la fel.

2. Definiția limitelor laterale

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0$ punct de acumulare la stânga pentru $D$ (adică punct de acumulare al mulțimii $D\cap (-\infty ,x_0)$). Spunem că ${\ell }_1\in \overline{\mathbb{R}}$ este limita la stânga a lui $f$ în $x_0$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ cu termeni în $D$, cu $x_n<x_0$ pentru orice $n$ și $x_n\to x_0$, avem $f(x_n)\to {\ell }_1$. Scriem $$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)={\ell }_1.$$

Analog, dacă $x_0$ este punct de acumulare la dreapta pentru $D$, spunem că ${\ell }_2$ este limita la dreapta a lui $f$ în $x_0$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ cu termeni în $D$, cu $x_n>x_0$ și $x_n\to x_0$, avem $f(x_n)\to {\ell }_2$; scriem $$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)={\ell }_2.$$

Comparând cu definiția din lecția precedentă, singura modificare este înlocuirea condiției $x_n\ne x_0$ cu una mai tare: $x_n<x_0$, respectiv $x_n>x_0$. Restul rămâne identic, inclusiv faptul că valorile pot fi infinite și că unicitatea se moștenește de la șiruri.

Aplicare imediată. Pentru $f(x)=\frac{|x|}{x}$ și $x_0=0$: orice șir cu $x_n<0$ dă $f(x_n)=-1$, deci limita la stânga este $-1$; orice șir cu $x_n>0$ dă $f(x_n)=1$, deci limita la dreapta este $1$.

3. Notațiile — o formă de bază și o prescurtare

Forma definițională, cea pe care ai văzut-o mai sus și pe care o folosim în enunțuri de teoreme, în formule afișate și în rezolvări, este cea cu condiția scrisă sub semnul limitei: $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)$ pentru limita la stânga și $\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)$ pentru cea la dreapta.

Uneori însă forma aceasta pur și simplu nu încape: într-o celulă de tabel, într-o variantă scurtă de răspuns, într-un rând de barem. Pentru asemenea locuri introducem aici, o singură dată, prescurtările $$l_s(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x),l_d(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x).$$ Ele sunt simple abrevieri ale formelor de deasupra, nu notații noi, iar litera $s$ vine de la „stânga", litera $d$ de la „dreapta". Egalitățile de mai sus sunt chiar definiția lor: ori de câte ori întâlnești $l_s(x_0)$ sau $l_d(x_0)$ — în această lecție sau în cele care urmează — le poți înlocui mental cu limitele scrise complet, fără nicio schimbare de sens. Forma definițională rămâne cea principală, iar prescurtările se folosesc numai acolo unde spațiul o cere.

Observație (o singură dată, ca informație). În cărțile străine și în programele de calculator vei întâlni notațiile $x\to x_0^{-}$ și $x\to x_0^{+}$ pentru aceleași două limite. Noi nu le folosim: în subiectele de Bacalaureat M1 apare forma cu condiția scrisă sub limită, iar amestecul de notații creează confuzie cu simbolurile $0^{+}$ și $0^{-}$ pe care le vom folosi, în secțiunea 6, într-un cu totul alt scop — acela de a descrie semnul unei expresii care tinde la zero.

4. Criteriul de existență a limitei

Iată enunțul care leagă totul și pe care îl vei folosi la fiecare exercițiu cu funcții pe ramuri.

Teoremă (criteriul cu limite laterale). Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0$ punct de acumulare bilateral pentru $D$. Funcția $f$ are limită în $x_0$ dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale; în acest caz, limita este valoarea lor comună: $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell ⟺\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)=\ell .$$

Demonstrație. „$\Rightarrow$" Dacă $f$ are limita $\ell$ în $x_0$, atunci condiția din definiție se aplică în particular șirurilor cu $x_n<x_0$ și celor cu $x_n>x_0$, care sunt și ele șiruri din $D\setminus \{x_0\}$ tinzând la $x_0$. Deci ambele limite laterale există și sunt egale cu $\ell$.

„$\Leftarrow$" Presupunem că ambele laterale sunt egale cu $\ell$ și luăm un șir arbitrar $(x_n)$ din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$. Vrem $f(x_n)\to \ell$. Fie $V$ o vecinătate a lui $\ell$. Din ipoteza pe stânga, există un rang de la care toți termenii mai mici decât $x_0$ au imaginile în $V$; din ipoteza pe dreapta, la fel pentru termenii mai mari. Luând maximul celor două ranguri, obținem un rang de la care toți termenii au imaginile în $V$, deoarece fiecare termen este ori mai mic, ori mai mare decât $x_0$ (egal nu poate fi). Deci $f(x_n)\to \ell$. $■$

Reține forma de lucru a criteriului, cea folosită în bareme: se calculează $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$; dacă sunt egale, limita există și este valoarea comună; dacă diferă sau una dintre ele nu există, funcția nu are limită în $x_0$.

5. Funcții definite pe ramuri: procedura completă

Aici se folosește criteriul aproape de fiecare dată, pentru că fiecare punct de racord dintre două ramuri cere o discuție separată.

Procedura, în patru pași:

1. identifici punctul de racord $x_0$ și verifici că e punct de acumulare bilateral pentru domeniu;
2. calculezi $l_s(x_0)$, folosind numai ramura valabilă pentru $x<x_0$;
3. calculezi $l_d(x_0)$, folosind numai ramura valabilă pentru $x>x_0$;
4. compari cele două valori și tragi concluzia.

Exemplu complet. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $$f(x)=x^2\text{ pentru }x<2,f(x)=4x-4\text{ pentru }x\ge 2.$$ Punctul de racord este $2$. Pentru $x<2$ lucrăm cu $x^2$, funcție polinomială, deci pentru orice șir $x_n\to 2$ cu $x_n<2$ avem $f(x_n)=x_n^2\to 4$; așadar $l_s(2)=4$. Pentru $x>2$ lucrăm cu $4x-4$, tot polinomială: $f(x_n)=4x_n-4\to 4$, deci $l_d(2)=4$. Cele două coincid, prin urmare $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4.$$

Capcana numărul unu: ramura care conține egalitatea (aici $x\ge 2$) nu are niciun rol special în calculul limitelor laterale, pentru că șirurile din definiție evită punctul. Faptul că $f(2)=4$ este o informație suplimentară, care nu intră în calcul.

Capcana numărul doi: ordinea pașilor nu este decorativă. Mulți elevi calculează o singură limită laterală, o compară cu valoarea funcției în punct și trag o concluzie — răspunsul iese uneori corect, din întâmplare, dar raționamentul e greșit și baremul nu îl acceptă. Criteriul cere două valori laterale comparate între ele, nu cu $f(x_0)$.

O ultimă observație despre economia de efort: pe fiecare parte, funcția coincide cu o expresie obișnuită, așa că tot ce ai învățat despre limite se aplică acolo fără modificări. Practic, un exercițiu cu ramuri se reduce la două exerciții simple, rezolvate independent, plus o comparație.

Verificare numerică: $f(1,999)=3,996\dots$ și $f(2,001)=4,004$ — ambele lângă $4$.

6. Limite laterale infinite și semnul numitorului

Fie $f(x)=\frac{1}{x-2}$, definită pe $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, și $x_0=2$. Numitorul tinde la $0$, dar cu semne diferite pe cele două părți, iar de aici vine toată diferența.

Pentru $x<2$ avem $x-2<0$: numitorul tinde la zero rămânând negativ, situație pe care o notăm $0^{-}$. Din tabelul operațiilor în $\overline{\mathbb{R}}$, dat în lecția Șiruri cu limită infinită. Operații, obținem $\frac{1}{0^{-}}=-\infty$. Pentru $x>2$ avem $x-2>0$, deci numitorul tinde la $0^{+}$ și $\frac{1}{0^{+}}=+\infty$. Așadar $$\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }\frac{1}{x-2}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty .$$ Cele două laterale există (în $\overline{\mathbb{R}}$), dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $2$.

Atenție la notațiile $0^{+}$ și $0^{-}$: ele nu sunt notații de limită laterală, ci descriu semnul unei expresii care tinde la zero. Se folosesc exclusiv în acest context, ca să decidem semnul rezultatului infinit.

Contrastul util: pentru $g(x)=\frac{x-1}{(x-2{)}^2}$, numitorul este un pătrat, deci tinde la $0^{+}$ din ambele părți, iar numărătorul tinde la $1>0$. Prin urmare ambele limite laterale sunt $+\infty$, ele coincid și limita există: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{(x-2{)}^2}=+\infty .$$ Verificare: pentru $x=2\pm 10^{-3}$ valorile depășesc $10^6$, în ambele cazuri pozitive.

7. Când există o singură limită laterală

Uneori domeniul nu permite apropierea din ambele părți. Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, și $x_0=0$. Punctul $0$ este punct de acumulare numai la dreapta pentru domeniu, deci limita la stânga nici nu se poate formula: nu există niciun șir din domeniu cu $x_n<0$.

În asemenea situații, limita funcției în $x_0$ coincide cu singura limită laterală care are sens. Aici, cum numitorul tinde la $0^{+}$, $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty .$$ Criteriul din secțiunea 4 nu se contrazice: el a fost enunțat pentru puncte de acumulare bilaterale, iar acesta nu e.

Situația apare des la capetele intervalelor: pentru o funcție definită pe $[1,5]$, în $1$ se cere doar limita la dreapta, iar în $5$ doar cea la stânga.

8. Tabloul de decizie

Punând totul cap la cap, la întrebarea „are $f$ limită în $x_0$?" se răspunde astfel:

Tabloul acesta va reveni, aproape neschimbat, în lecția Puncte de discontinuitate, unde cele patru situații primesc și nume de clasificare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcția cu două paliere

Fie $f : \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{\lvert x \rvert}{x}$.Calculațilimitelelaterale\hat{ı}n$0$ și precizați dacă funcția are limită acolo.*

Rezolvare. Punctul $0$ este punct de acumulare bilateral pentru ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Pentru $x<0$ avem $|x|=-x$, deci $f(x)=\frac{-x}{x}=-1$; funcția fiind constantă pe această parte, orice șir dă valori egale cu $-1$ și $l_s(0)=-1$. Pentru $x>0$ avem $|x|=x$, deci $f(x)=1$ și $l_d(0)=1$.

Cum $-1\ne 1$, prin criteriul cu limite laterale funcția nu are limită în $0$.

Exemplul 2 — Funcție pe ramuri, cu limită

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+1$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=x^2+3$ pentru $x>1$. Studiați existența limitei în $1$.

Rezolvare. Pentru $x<1$ folosim prima ramură: pentru orice șir $x_n\to 1$ cu $x_n<1$, $f(x_n)=3x_n+1\to 4$, deci $l_s(1)=4$. Pentru $x>1$ folosim a doua: $f(x_n)=x_n^2+3\to 1+3=4$, deci $l_d(1)=4$.

Cele două coincid, deci limita există și $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=4.$$ Verificare: $f(0,999)=3,997$ și $f(1,001)=4,002$. ✓ (Valoarea $f(1)=4$ nu a intervenit în calcul, deși se întâmplă să fie egală cu limita.)

Exemplul 3 — Funcție pe ramuri, fără limită

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ pentru $x<1$ și $f(x)=3x-2$ pentru $x\ge 1$. Studiați existența limitei în $1$.

Rezolvare. Pe stânga: $f(x_n)=x_n+1\to 2$, deci $l_s(1)=2$. Pe dreapta: $f(x_n)=3x_n-2\to 1$, deci $l_d(1)=1$.

Cum $2\ne 1$, funcția nu are limită în $1$. Diferența $l_d(1)-l_s(1)=-1$ măsoară cât de mult „coboară" graficul la trecerea prin $1$.

Verificare: $f(0,999)=1,999$, aproape de $2$; $f(1,001)=1,003$, aproape de $1$. ✓

Exemplul 4 — Limite laterale infinite, cu semne opuse

Calculați limitele laterale ale funcției $f(x)=\frac{3}{x-4}$ în punctul $4$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{4\}$, iar $4$ este punct de acumulare bilateral. Numărătorul este constant, $3>0$; studiem semnul numitorului.

Pentru $x<4$: $x-4<0$, deci numitorul tinde la $0^{-}$ și raportul tinde la $-\infty$. Pentru $x>4$: $x-4>0$, numitorul tinde la $0^{+}$ și raportul tinde la $+\infty$. Așadar $$\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x<4\end{array}}{\lim }\frac{3}{x-4}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x>4\end{array}}{\lim }\frac{3}{x-4}=+\infty ,$$ iar funcția nu are limită în $4$. Verificare: $f(3,999)=-3000$ și $f(4,001)=3000$.

Exemplul 5 — Limită infinită care există

Calculați $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{5}{(x-3{)}^2}$.

Rezolvare. Numitorul $(x-3{)}^2$ este strict pozitiv pentru orice $x\ne 3$ și tinde la $0$, deci tinde la $0^{+}$ din ambele părți. Cum numărătorul este $5>0$, obținem $$l_s(3)=+\infty ,l_d(3)=+\infty .$$ Cele două laterale există și sunt egale, deci limita există și $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{5}{(x-3{)}^2}=+\infty$.

Reține formularea corectă: limita există și este $+\infty$. Nu se scrie „nu există limită", pentru că în dreapta reală încheiată $+\infty$ este o valoare cu drepturi depline — exact distincția fixată la șiruri, în lecția Șiruri convergente și șiruri divergente.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+1$ pentru $x<1$ și $f(x)=x^2+2$ pentru $x\ge 1$, unde $a$ este un număr real. a) Calculați $l_s(1)$ și $l_d(1)$ în funcție de $a$. b) Determinați $a$ pentru care $f$ are limită în $1$. c) Pentru valoarea găsită, calculați $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ și comparați cu $f(1)$.

Rezolvare.

a) Pe stânga lucrăm cu prima ramură: pentru orice șir $x_n\to 1$ cu $x_n<1$, $f(x_n)=a{x}_n+1\to a+1$, deci $l_s(1)=a+1$. Pe dreapta, a doua ramură: $f(x_n)=x_n^2+2\to 3$, deci $l_d(1)=3$.

b) Prin criteriul cu limite laterale, $f$ are limită în $1$ dacă și numai dacă $a+1=3$, adică $$a=2.$$

c) Pentru $a=2$, limita este valoarea comună, $3$. Pe de altă parte $f(1)=1^2+2=3$, deci limita coincide cu valoarea funcției — situație care va primi un nume în lecția Funcții continue definite pe ramuri. Determinarea parametrilor.

Verificare numerică: pentru $a=2$, $f(0,999)=2,998$ și $f(1,001)=3,002$ — ambele lângă $3$. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie separat cele două calcule laterale, chiar dacă îți dai seama repede de răspuns — baremele acordă punctaj pentru fiecare dintre ele.

1. Calculează limitele laterale în $0$ pentru $f(x)=\frac{|x|}{x}$ și precizează dacă funcția are limită.

2. Fie $f(x)=2x$ pentru $x<3$ și $f(x)=x+3$ pentru $x\ge 3$. Studiază existența limitei în $3$.

3. Fie $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=2x$ pentru $x>1$. Studiază existența limitei în $1$.

4. Calculează limitele laterale ale funcției $f(x)=\frac{1}{x}$ în $0$.

5. Calculează limitele laterale ale funcției $f(x)=\frac{2}{x-5}$ în $5$.

6. Calculează $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4}{(x-1{)}^2}$, justificând de ce limita există.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ambele limite laterale există, atunci funcția are limită în acel punct."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă limita la stânga și limita la dreapta sunt amândouă egale cu $+\infty$, funcția nu are limită în acel punct."

9. Fie $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=0$. Calculează $l_s(1)$ și $l_d(1)$ și precizează dacă limita există.

10. Determină numărul real $a$ pentru care funcția $f(x)=ax-1$ pentru $x<2$ și $f(x)=x+1$ pentru $x\ge 2$ are limită în $2$.

11. Fie $f:[2,7]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$. Ce limite laterale au sens în $2$ și în $7$? Calculează-le.

12. Calculează limitele laterale ale funcției $f(x)=\frac{x}{x-3}$ în $3$.

13. (Problemă aplicată.) Tariful unei parcări este $5$ lei pentru orice durată din prima oră și $10$ lei pentru orice durată din a doua oră. Scrie funcția tarifului pe ramuri, calculează limitele laterale în momentul $t=1$ oră și explică rezultatul în cuvintele problemei.

14. Fie $f(x)=\frac{1}{x-2}$ pentru $x<2$ și $f(x)=x$ pentru $x>2$. Studiază existența limitei în $2$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+a$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=3x+5$ pentru $x>0$. Determinați $a$ pentru care $f$ are limită în $0$ și calculați această limită.

16. Fie $f(x)=\frac{x-4}{|x-4|}$, definită pentru $x\ne 4$. Calculează cele două limite laterale în $4$.

17. Arată că funcția $f(x)=\frac{x+1}{(x-2{)}^2}$ are limită în $2$ și determin-o.

18. (Provocare.) Găsește o funcție definită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ pentru care limita la stânga în $0$ este $-\infty$, iar limita la dreapta este $3$. Justifică ambele valori.

Răspunsuri și explicații

1. $l_s(0)=-1$ (funcția e constant $-1$ pentru $x<0$), $l_d(0)=1$. Fiind diferite, limita nu există.

2. $l_s(3)=2\cdot 3=6$, $l_d(3)=3+3=6$. Egale, deci limita există și este $6$.

3. $l_s(1)=1^2=1$, $l_d(1)=2\cdot 1=2$. Diferite, deci limita nu există. Verificare: $f(0,999)=0,998$, $f(1,001)=2,002$.

4. Pentru $x<0$, numitorul tinde la $0^{-}$, deci $l_s(0)=-\infty$; pentru $x>0$, la $0^{+}$, deci $l_d(0)=+\infty$. Limita nu există.

5. $l_s(5)=-\infty$ și $l_d(5)=+\infty$, după semnul lui $x-5$. Limita nu există. Verificare: $f(4,999)=-2000$, $f(5,001)=2000$.

6. Numitorul $(x-1{)}^2$ tinde la $0^{+}$ din ambele părți, iar numărătorul este $4>0$, deci ambele limite laterale sunt $+\infty$. Limita există și este $+\infty$.

7. Fals. Trebuie și să fie egale. La $\frac{|x|}{x}$ în $0$ ambele există ($-1$ și $1$), dar limita nu există.

8. Fals. Ambele laterale fiind egale cu $+\infty$, criteriul spune că limita există și este $+\infty$. „Limită infinită" nu înseamnă „fără limită".

9. Pentru $x\ne 1$, $f(x)=x+1$, deci $l_s(1)=l_d(1)=2$: limita există și este $2$, deși $f(1)=0$. Valoarea din punct nu intră în calculul limitelor laterale.

10. $l_s(2)=2a-1$, $l_d(2)=3$. Din $2a-1=3$ obținem $a=2$. Verificare: pentru $a=2$, $f(1,999)=2,998$ și $f(2,001)=3,001$.

11. În $2$ are sens numai limita la dreapta, pentru că $2$ e punct de acumulare doar la dreapta pentru $[2,7]$; ea este $3\cdot 2-1=5$. În $7$, numai limita la stânga: $3\cdot 7-1=20$. În fiecare caz, limita funcției coincide cu unica limită laterală care are sens.

12. Numărătorul tinde la $3>0$. Pentru $x<3$, numitorul tinde la $0^{-}$, deci $l_s(3)=-\infty$; pentru $x>3$, la $0^{+}$, deci $l_d(3)=+\infty$. Limita nu există.

13. Tariful este $T(t)=5$ pentru $t\in (0,1]$ și $T(t)=10$ pentru $t\in (1,2]$. Atunci $l_s(1)=5$ și $l_d(1)=10$, deci limita nu există în $t=1$. În cuvintele problemei: prețul „citit" venind dinspre durate mai scurte este $5$ lei, iar cel citit dinspre durate mai lungi este $10$ lei — exact saltul de tarif la trecerea în ora a doua.

14. Pe stânga, $x-2\to 0^{-}$, deci $l_s(2)=-\infty$. Pe dreapta, $f(x)=x\to 2$, deci $l_d(2)=2$. Fiind diferite, limita nu există.

15. $l_s(0)=0^2+a=a$, iar $l_d(0)=3\cdot 0+5=5$. Din $a=5$ obținem că limita există și $$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=5.$$ Verificare: pentru $a=5$, $f(-0,001)=5,000001$ și $f(0,001)=5,003$. ✓

16. Pentru $x<4$, $|x-4|=4-x$, deci $f(x)=-1$ și $l_s(4)=-1$; pentru $x>4$, $f(x)=1$ și $l_d(4)=1$. Este aceeași structură ca la exercițiul 1, translatată în $4$.

17. Numitorul $(x-2{)}^2\to 0^{+}$ din ambele părți, iar numărătorul $\to 3>0$. Deci ambele laterale sunt $+\infty$, limita există și este $+\infty$.

18. De exemplu $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x<0$ și $f(x)=x+3$ pentru $x>0$. Pe stânga, numitorul tinde la $0^{-}$, deci $l_s(0)=-\infty$; pe dreapta, funcția fiind polinomială, $l_d(0)=3$. Cele două fiind diferite, funcția nu are limită în $0$ — dar fiecare parte are un răspuns bine determinat.

De reținut

• Limitele laterale se obțin din definiția cu șiruri, restrângând șirurile la $x_n<x_0$ (la stânga), respectiv $x_n>x_0$ (la dreapta); se scriu cu condiția sub semnul limitei, iar prescurtat $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$.
• Criteriul de existență: într-un punct de acumulare bilateral, limita există dacă și numai dacă cele două laterale există și sunt egale; valoarea comună este limita.
• La funcțiile pe ramuri, fiecare limită laterală se calculează cu ramura corespunzătoare părții respective; valoarea $f(x_0)$ nu intervine.
• Semnul numitorului decide rezultatul infinit: notațiile $0^{+}$ și $0^{-}$ descriu felul în care o expresie tinde la zero, iar $\frac{a}{0^{+}}$ și $\frac{a}{0^{-}}$ au semne opuse pentru $a>0$.
• Dacă ambele laterale sunt $+\infty$ (sau ambele $-\infty$), limita există și este infinită; dacă diferă, limita nu există.

Greșeli frecvente

• Folosești ramura greșită. La $f(x)=x+1$ pentru $x<1$ și $f(x)=3x-2$ pentru $x\ge 1$, limita la stânga se calculează cu $x+1$, nu cu ramura care conține semnul de egalitate.
• Confunzi limita cu valoarea. Faptul că $f(x_0)$ e definit printr-una dintre ramuri nu influențează niciuna dintre limitele laterale: șirurile din definiție evită punctul.
• Spui „limita nu există" când ambele laterale sunt infinite și egale. Dacă $l_s=l_d=+\infty$, limita există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este $+\infty$; „nu există" se scrie doar când cele două diferă.
• Uiți să studiezi semnul numitorului. Scrii $\frac{1}{x-2}\to \infty$ fără semn și pierzi jumătate din informație: pe stânga limita e $-\infty$, pe dreapta $+\infty$, iar concluzia depinde de asta.
• Ceri o limită laterală acolo unde domeniul nu o permite. Pentru o funcție definită pe $[2,7]$, în $2$ nu se poate vorbi despre limita la stânga; limita funcției în $2$ este chiar limita la dreapta.

Aplică acasă

1. Tabelul cu două coloane. Alege funcția $f(x)=\frac{1}{x-3}$ și completează două coloane de valori: pentru $x=2,9$; $2,99$; $2,999$ și pentru $x=3,1$; $3,01$; $3,001$. Observă cum o coloană coboară fără oprire, iar cealaltă urcă — chiar aceasta este diferența dintre cele două limite laterale.

2. Grafice cu salt din viața reală. Caută trei tarife sau reguli cu prag (transport public după o anumită oră, comision bancar peste o sumă, reducere de la un anumit număr de bucăți). Pentru fiecare, scrie funcția pe ramuri și calculează cele două limite laterale în punctul de prag.

3. Reglarea unui parametru. Alege singur două ramuri, una liniară și una pătratică, cu un parametru $a$ în prima. Determină valoarea lui $a$ pentru care funcția are limită în punctul de racord, apoi verifică numeric, calculând valorile în $x_0\pm 0,001$.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce instrumentul cu care se rezolvă majoritatea exercițiilor de analiză din subiectele de examen: descompunerea comportamentului în jurul unui punct pe cele două părți. Ideea pe care elevul trebuie să o poată formula singur este că limita nu „dispare" când cele două apropieri diferă — ea pur și simplu nu există, dar fiecare parte are în continuare un răspuns precis, iar acesta e cel care se calculează.

Ce verifică lecția: (1) alegerea ramurii corecte pentru fiecare parte; (2) enunțarea criteriului cu ambele condiții — existența și egalitatea; (3) studiul semnului numitorului la limitele infinite; (4) formularea corectă a concluziei, cu distincția dintre „limita este infinită" și „limita nu există". Întrebări bune de control: „Ce se schimbă în definiție față de lecția precedentă?", „De ce nu contează $f(x_0)$?", „Când poate exista o singură limită laterală?".

La BAC M1, limitele laterale apar în aproape fiecare variantă: la funcțiile definite pe ramuri, la determinarea unui parametru, la studiul comportamentului în punctele în care se anulează un numitor. Semne că elevul a înțeles: scrie cele două calcule separat, fără să sară pași, și nu confundă o limită infinită cu absența limitei.

Întrebări frecvente

Ce sunt limitele laterale ale unei funcții? Sunt cele două valori către care se îndreaptă $f(x)$ atunci când $x$ se apropie de $x_0$ numai prin valori mai mici (limita la stânga), respectiv numai prin valori mai mari (limita la dreapta). Se definesc exact ca limita obișnuită, dar cu șiruri restrânse la o singură parte a punctului.

Cum se notează limita la stânga și limita la dreapta? Cu condiția scrisă sub semnul limitei: $x\to x_0$ și, dedesubt, $x<x_0$ pentru limita la stânga, respectiv $x>x_0$ pentru cea la dreapta. Prescurtat, acolo unde spațiul nu permite forma completă, se scriu $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$.

Când are o funcție limită într-un punct? Într-un punct de acumulare bilateral, exact atunci când ambele limite laterale există și sunt egale; limita este atunci valoarea lor comună. Dacă una lipsește sau dacă cele două diferă, funcția nu are limită în acel punct.

Ce fac dacă limitele laterale sunt amândouă $+\infty$? Atunci ele sunt egale, deci limita există și este $+\infty$. Este cazul funcțiilor de tipul $\frac{1}{(x-a{)}^2}$, unde numitorul este un pătrat și păstrează semnul pozitiv pe ambele părți.

Cum calculez limitele laterale la o funcție definită pe ramuri? Folosești, pentru fiecare parte, exclusiv ramura valabilă acolo: pentru limita la stânga, formula valabilă pentru $x<x_0$; pentru cea la dreapta, formula valabilă pentru $x>x_0$. Valoarea funcției chiar în $x_0$ nu intră în niciunul dintre cele două calcule.

Ce înseamnă notațiile $0^{+}$ și $0^{-}$? Ele arată cum tinde o expresie la zero: prin valori strict pozitive, respectiv strict negative. Le folosim numai ca să decidem semnul unui rezultat infinit, de pildă $\frac{1}{0^{+}}=+\infty$ și $\frac{1}{0^{-}}=-\infty$; ele nu sunt notații de limită laterală.

Poate exista o singură limită laterală într-un punct? Da, atunci când domeniul nu permite apropierea din cealaltă parte — de exemplu în capătul unui interval. În acest caz limita funcției în acel punct este chiar unica limită laterală care are sens.

La ce îmi folosesc limitele laterale la examen? La determinarea parametrilor pentru care o funcție are limită într-un punct, la studiul funcțiilor definite pe ramuri și la analiza comportamentului în punctele în care se anulează un numitor. Sunt, practic, primul pas al oricărei discuții despre comportarea unei funcții într-un punct-problemă.