Limitele exponențialei și ale logaritmului: pe scurt

Pentru $f(x)=a^x$, cu $a>0$, $a\ne 1$: $D=\mathbb{R}$, iar punctele de acumulare noi sunt $-\infty$ și $+\infty$. Pentru $f(x)={\log }_{a}x$: $D=(0,+\infty )$, iar punctele noi sunt $0$ — accesibil numai dinspre dreapta — și $+\infty$.

Totul se decide prin poziția bazei față de $1$, pentru că ea dă monotonia.

Exponențiala. Pentru $a>1$ (funcție strict crescătoare): $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$. Pentru $0<a<1$ cele două rezultate se schimbă între ele. Valorile rămân strict pozitive oricare ar fi $x$: limita $0$ descrie o apropiere, nu o valoare atinsă.

Logaritmul. Pentru $a>1$: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=+\infty$. Pentru $0<a<1$, din nou, rezultatele se schimbă între ele. În $0$ nu se cere limită la stânga, pentru că acolo funcția nu e definită.

În orice punct din domeniu limita este valoarea; în particular $\underset{x\to 0}{\lim }{a}^x=1$ și $\underset{x\to 1}{\lim }{\log }_{a}x=0$, pentru orice bază. Cele două tabele se oglindesc, funcțiile fiind inverse una alteia.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{5}\right)}^x$.

   • a) $+\infty$
   • b) $\frac{2}{5}$
   • c) $1$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $0$

   Baza $\frac{2}{5}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar la $+\infty$ limita este $0$ (valorile rămân pozitive și devin oricât de mici). Varianta a) ar fi corectă la $-\infty$, iar c) confundă limita cu valoarea din $0$.

2. Calculați $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{1/4}x$.

   • a) $-\infty$
   • b) $0$
   • c) $+\infty$
   • d) nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $+\infty$

   Baza $\frac{1}{4}$ este subunitară, deci funcția logaritmică este strict descrescătoare și, apropiindu-ne de $0$ dinspre dreapta, valorile cresc nemărginit. O verificare independentă: ${\log }_{1/4}x=-{\log }_{4}x$, iar ${\log }_{4}x\to -\infty$, deci opusul tinde la $+\infty$. Varianta a) e răspunsul pentru bază supraunitară.

3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{7}^x=0$, deși $7^x>0$ pentru orice $x$ real
   • b) Funcția logaritmică are limită la stânga în $0$
   • c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x$ nu există, fiind infinită
   • d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$ pentru orice bază $a>0$, $a\ne 1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{7}^x=0$, deși $7^x>0$ pentru orice $x$ real

   Nu există nicio contradicție: limita descrie tendința, nu o valoare atinsă — graficul se lipește de axa $Ox$ fără să o atingă. La b), la stânga lui $0$ funcția nici nu e definită. La c), o limită infinită există în $\overline{\mathbb{R}}$. La d), pentru bază subunitară limita la $+\infty$ este $0$.