Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică

O bacterie se divide la fiecare jumătate de oră, iar numărul de bacterii se dublează, se dublează iar, și tot așa. O substanță radioactivă face exact pe dos: la fiecare perioadă de înjumătățire rămâne jumătate din cantitatea de dinainte. Amândouă procesele sunt descrise de aceeași funcție, exponențiala, cu singura deosebire că baza este supraunitară în primul caz și subunitară în al doilea. Iar întrebările pe care ți le pui despre ele sunt, întotdeauna, întrebări la capăt: ce se întâmplă pe termen lung?

Întrebarea „pe termen lung" este, în limbaj matematic, o limită la $+\infty$. Simetric, întrebarea „cât de mic poate deveni argumentul înainte ca logaritmul să o ia razna?" este o limită la dreapta în $0$. Lecția de față stabilește, pentru funcția exponențială și pentru funcția logaritmică, limitele în toate punctele de acumulare ale domeniului maxim — cerință explicită a programei. Vei observa că întregul rezultat se reduce la o singură discuție, cea după bază, și că cele două funcții își oglindesc răspunsurile una alteia, exact cum își oglindesc și graficele.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii domeniul maxim și mulțimea punctelor de acumulare pentru $f(x)=a^x$ și pentru $f(x)={\log }_{a}x$.
• Vei ști limitele funcției exponențiale la $-\infty$ și la $+\infty$, cu discuția completă după bază ($a>1$ față de $0<a<1$).
• Vei ști limitele funcției logaritmice la dreapta în $0$ și la $+\infty$, cu aceeași discuție după bază.
• Vei ști să citești toate aceste rezultate direct de pe grafic și să le justifici prin monotonia funcției.
• Vei ști să folosești simetria dintre cele două funcții pentru a reține tabelul fără să-l memorezi rând cu rând.

Hai să descoperim împreună

1. Ce ai deja și ce se adaugă

Cele două funcții din această lecție îți sunt cunoscute din clasa a X-a. Din lecția Funcția exponențială: definiție și grafic știi că, pentru $a>0$ și $a\ne 1$, funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, este strict crescătoare când $a>1$ și strict descrescătoare când $0<a<1$, iar graficul ei trece prin punctul $(0,1)$ și rămâne în întregime deasupra axei $Ox$. Din lecția Funcția logaritmică: grafic și proprietăți știi că $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$, este inversa celei dintâi, cu aceeași monotonie, și că graficul ei trece prin $(1,0)$.

Ce se adaugă acum este singura întrebare pe care clasa a X-a nu a putut să o pună riguros: ce se întâmplă la capete. Ca la orice limită, primul pas este identificarea punctelor de acumulare, după definiția din lecția Punct de acumulare și punct izolat:

Reține de pe acum asimetria din rândul al doilea: $0$ este punct de acumulare al domeniului logaritmului, dar nu îi aparține, iar apropierea de el se poate face numai dinspre dreapta. Prin urmare, în $0$ vom calcula o singură limită laterală, iar ea va fi chiar limita funcției în acel punct — regula fixată în lecția Limite laterale, de unde folosim și notațiile compacte $l_s(x_0)$, $l_d(x_0)$.

2. În punctele din domeniu, limita este valoarea

Ca și la puterile și radicalii din lecția Limitele funcțiilor putere și radical, pentru orice punct $x_0$ din domeniu răspunsul este imediat și se citește pe grafic: curba se desenează fără sărituri, deci $$\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^x=a^{x_0}(x_0\in \mathbb{R}),\underset{x\to x_0}{\lim }{\log }_{a}x={\log }_a{x}_0(x_0>0).$$ Două cazuri particulare merită scrise separat, pentru că apar tot timpul: $\underset{x\to 0}{\lim }{a}^x=a^0=1$, oricare ar fi baza, și $\underset{x\to 1}{\lim }{\log }_{a}x=0$, tot pentru orice bază. Ele sunt exact punctele prin care trec obligatoriu cele două grafice.

Toată noutatea se concentrează, așadar, în ultima coloană a tabelului de la §1: două limite pentru exponențială și două pentru logaritm. În total, patru rezultate — fiecare cu discuția lui după bază.

3. Funcția exponențială la capete

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$.

Cazul $a>1$. Funcția este strict crescătoare. Când $x$ crește nemărginit, valorile cresc și ele nemărginit: pentru $a=2$, de pildă, $2^{10}=1024$, $2^{100}$ are $31$ de cifre, iar $2^{1000}$ are peste $300$. Când $x$ scade spre $-\infty$, valorile rămân pozitive (graficul nu atinge niciodată axa $Ox$), dar devin oricât de mici: $2^{-10}=\frac{1}{1024}$, iar $2^{-1000}$ este un număr cu peste $300$ de zerouri după virgulă. Așadar $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty (a>1).$$

Cazul $0<a<1$. Funcția este strict descrescătoare, iar rolurile se inversează: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=0(0<a<1).$$

Cele patru rezultate se strâng într-un tabel:

Două observații de reținut. Prima: limita la $-\infty$ este $0$ pentru $a>1$, dar niciodată o valoare negativă și niciodată exact $0$ pentru un $x$ concret — funcția se apropie de zero fără să-l atingă. A doua: baza $a=1$ este exclusă din definiție tocmai pentru că $1^x=1$ pentru orice $x$, adică am obține o funcție constantă, cu limita $1$ la ambele capete; ea nu este funcție exponențială.

Rezultatele de mai sus sunt versiunea pentru funcții a tabelului cunoscut din lecția Limitele șirurilor putere și geometric: șirul $(q^n)$ tinde la $0$ pentru $|q|<1$ și la $+\infty$ pentru $q>1$. Deosebirea este că, la funcții, baza este obligatoriu pozitivă, deci cazul $q\le -1$ — singurul în care limita șirului nu există — nu are corespondent aici.

Pentru baza $a=e$, adică pentru funcția $f(x)=e^x$, tabelul se citește pe prima coloană, fiindcă $e\approx 2,718>1$: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty .$$ Numărul $e$ a fost construit în lecția Numărul $e$ și va reveni, ca unealtă de calcul, în lecția Limitele fundamentale cu exponențială și logaritm.

4. Funcția logaritmică la capete

Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$.

Cazul $a>1$. Funcția este strict crescătoare. La $+\infty$, valorile cresc nemărginit — încet, dar sigur: ${\log }_{2}10^{12}\approx 39,86$, iar $\lg 10^{12}=12$. Creșterea este lentă, însă nicio barieră nu o oprește, pentru că pentru orice număr $M$ există $x=a^M$ cu ${\log }_{a}x=M$. La celălalt capăt, când $x$ se apropie de $0$ dinspre dreapta, valorile coboară nemărginit: $\lg 10^{-6}=-6$, $\lg 10^{-12}=-12$. Deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=+\infty (a>1).$$

Cazul $0<a<1$. Funcția este strict descrescătoare și, din nou, rolurile se schimbă: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{a}x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{a}x=-\infty (0<a<1).$$

Atenție la formulare, pentru că aici se pierd cele mai multe puncte: în $0$ nu se cere limită la stânga. Nu pentru că ar fi grea, ci pentru că la stânga lui $0$ funcția nu este definită deloc. Se scrie deci limita cu condiția $x>0$ scrisă dedesubt, iar concluzia se formulează „limita funcției în $0$ este $-\infty$", nu „limitele laterale sunt diferite".

Cazurile particulare de care ai nevoie cel mai des: logaritmul natural $\ln x$ (baza $e>1$) și logaritmul zecimal $\lg x$ (baza $10>1$) se citesc amândouă pe prima coloană, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty .$$

5. De ce cele două tabele se oglindesc

Nu ai nevoie să memorezi cele opt rezultate ca pe opt fapte separate. Ele sunt același fapt, văzut de două ori, iar motivul este că funcția logaritmică este inversa celei exponențiale: graficele lor sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta $y=x$. Reflexia aceasta schimbă între ele axele, deci schimbă între ele și rolurile:

• „valorile se apropie de $0$ când $x\to -\infty$" (exponențiala, $a>1$) devine, după reflexie, „valorile coboară spre $-\infty$ când $x$ se apropie de $0$" (logaritmul, $a>1$);
• „valorile urcă spre $+\infty$ când $x\to +\infty$" rămâne, după reflexie, tot „valorile urcă spre $+\infty$ când $x\to +\infty$", pentru că această situație este simetrică în raport cu bisectoarea.

Iar trecerea de la $a>1$ la $0<a<1$ se face, în ambele tabele, printr-o singură operație: schimbi între ele cele două rezultate de la capete. Motivul e tot geometric: graficul lui ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ este simetricul graficului lui $a^x$ față de axa $Oy$, iar proprietatea ${\log }_{1/a}x=-{\log }_{a}x$, cunoscută din lecția Proprietățile logaritmilor, schimbă semnul tuturor valorilor logaritmului.

6. Cum arăți riguros că valorile scapă spre infinit

Lectura grafică este justificarea cerută de programă, dar merită să vezi, măcar o dată, cum se leagă ea de definiția cu șiruri, învățată în lecția Limita unei funcții într-un punct.

Iau $f(x)=2^x$ și vreau să arăt că $\underset{x\to +\infty }{\lim }{2}^x=+\infty$. Fie $(x_n)$ un șir oarecare de numere reale cu $x_n\to +\infty$. Pentru orice număr $M>0$, alegerea $x>{\log }_{2}M$ dă $2^x>M$, pentru că funcția este strict crescătoare; cum $x_n\to +\infty$, de la un rang încolo toți termenii depășesc ${\log }_{2}M$, deci toate valorile $2^{x_n}$ depășesc $M$. Prin urmare $2^{x_n}\to +\infty$, iar șirul fiind arbitrar, limita funcției este $+\infty$.

Observă rolul monotoniei în acest raționament: ea este cea care transformă o inegalitate între argumente într-o inegalitate între valori. Același mecanism, cu inegalitățile inversate, funcționează pentru baza subunitară și pentru logaritm.

7. Cum scrii răspunsul

Redactarea are, ca în toată această unitate, trei pași — și fiecare aduce puncte la Bacalaureat M1:

1. domeniul maxim și constatarea că punctul cerut este punct de acumulare al lui (pentru logaritm, precizarea că $0$ se atinge numai dinspre dreapta);
2. discuția după bază — chiar dacă baza e dată numeric, spune într-o propoziție dacă e supraunitară sau subunitară și că funcția este, deci, crescătoare sau descrescătoare;
3. valoarea limitei, citită din tabel, urmată de concluzia în cuvinte.

Un avertisment de scop: în această lecție limitele se citesc, nu se prelucrează. Expresii de tipul „exponențială împărțită la putere" sau „logaritm împărțit la $x$" duc la cazuri de nedeterminare și au nevoie de unelte care se învață mai târziu, în lecțiile Operații cu limite de funcții și Limitele fundamentale cu exponențială și logaritm. Aici construiești repertoriul; prelucrarea vine după.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Exponențială cu bază supraunitară

Determinați domeniul maxim al funcției $f(x)=3^x$, punctele lui de acumulare și limitele funcției în cele care nu aparțin domeniului.

Rezolvare. Baza $3$ este pozitivă și diferită de $1$, deci $D=\mathbb{R}$ și $D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$; punctele de acumulare care nu aparțin domeniului sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Cum $3>1$, funcția este strict crescătoare, deci $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{3}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{3}^x=+\infty .$$ Verificare: $3^{-20}\approx 2,87\cdot 10^{-10}$, iar $3^{20}\approx 3,49\cdot 10^9$. Valorile coboară spre zero într-o direcție și urcă nemărginit în cealaltă. În orice punct $x_0\in \mathbb{R}$, limita este $3^{x_0}$; de exemplu $\underset{x\to -2}{\lim }{3}^x=\frac{1}{9}$.

Exemplul 2 — Exponențială cu bază subunitară

Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.

Rezolvare. Baza este $\frac{1}{2}\in (0,1)$, deci funcția este strict descrescătoare și se citește pe coloana a doua a tabelului de la §3: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=0.$$ Verificare: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-20}=2^{20}=1048576$, iar ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{20}\approx 9,54\cdot 10^{-7}$.

Compară cu Exemplul 1: aceeași funcție ca formă, rezultate schimbate între ele — singura deosebire este poziția bazei față de $1$. De aceea pasul „discuția după bază" nu se sare niciodată.

Exemplul 3 — Logaritm în punctul $0$

Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{2}x$. Arătați că $0$ este punct de acumulare al domeniului și calculați limita funcției în $0$.

Rezolvare. Orice vecinătate a lui $0$ conține un interval de forma $(-\epsilon ,\epsilon )$, iar acesta conține numere strict pozitive, adică puncte din domeniu diferite de $0$. Deci $0\in D^{\prime }$, deși $0\notin D$.

Apropierea se face numai dinspre dreapta. Baza este $2>1$, deci funcția este strict crescătoare, iar valorile coboară nemărginit: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{2}x=-\infty .$$ Cum la stânga lui $0$ funcția nu este definită, aceasta este limita funcției în $0$.

Verificare: ${\log }_{2}10^{-3}\approx -9,97$; ${\log }_{2}10^{-6}\approx -19,93$; ${\log }_{2}10^{-12}\approx -39,86$.

Exemplul 4 — Logaritm cu bază subunitară

Calculați $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{\log }_{1/3}x$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{1/3}x$.

Rezolvare. Baza $\frac{1}{3}$ este subunitară, deci funcția este strict descrescătoare, iar tabelul de la §4 se citește pe coloana a doua: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{1/3}x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{1/3}x=-\infty .$$ O verificare independentă vine din proprietatea ${\log }_{1/3}x=-{\log }_{3}x$: schimbând semnul rezultatelor pentru baza $3$ (care sunt $-\infty$ și $+\infty$), obții exact valorile de mai sus.

Exemplul 5 — Punct din domeniu, cu răspuns imediat

Calculați: a) $\underset{x\to 4}{\lim }{2}^x$; b) $\underset{x\to 8}{\lim }{\log }_{2}x$; c) $\underset{x\to 0}{\lim }{5}^x$; d) $\underset{x\to 1}{\lim }\ln x$.

Rezolvare. În toate cele patru cazuri punctul aparține domeniului, deci limita este valoarea funcției acolo:

a) $\underset{x\to 4}{\lim }{2}^x=2^4=16$; b) $\underset{x\to 8}{\lim }{\log }_{2}x=3$, pentru că $2^3=8$; c) $\underset{x\to 0}{\lim }{5}^x=5^0=1$; d) $\underset{x\to 1}{\lim }\ln x=0$.

Punctele c) și d) sunt cele două „ancore" ale graficelor: exponențiala trece prin $(0,1)$, logaritmul prin $(1,0)$, oricare ar fi baza.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$. a) Determinați punctele de acumulare ale domeniului care nu aparțin domeniului. b) Calculați limitele funcției în aceste puncte. c) Precizați, pentru fiecare, dacă limita este finită sau infinită și dacă ea există. d) Comparați rezultatele cu limitele funcției $g(x)=e^x$ la $-\infty$ și la $+\infty$ și explicați legătura dintre ele.

Rezolvare.

a) Domeniul este $(0,+\infty )$, iar $D^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$. Punctele de acumulare care nu aparțin domeniului sunt $0$ și $+\infty$.

b) Baza logaritmului natural este $e\approx 2,718>1$, deci funcția este strict crescătoare și $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty .$$

c) Ambele limite sunt infinite, dar amândouă există în dreapta reală încheiată — este exact distincția fixată în lecția Șiruri cu limită infinită. Nu suntem în situația în care limita nu există, pentru că în niciunul dintre cele două puncte nu apar două limite laterale diferite: în $0$ există o singură parte accesibilă, iar $+\infty$ se atinge tot dintr-o singură direcție.

d) Pentru $g(x)=e^x$ avem $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$. Cele două funcții fiind inverse una alteia, graficele lor sunt simetrice față de dreapta $y=x$; simetria transformă comportarea „valorile tind la $0$ când $x\to -\infty$" în comportarea „valorile tind la $-\infty$ când $x\to 0$ dinspre dreapta", iar comportarea la $+\infty$ rămâne neschimbată.

Observație de barem: la punctul c), formularea „limita nu există pentru că este infinită" se depunctează. Limita infinită există în $\overline{\mathbb{R}}$; ceea ce nu există este limita finită.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie domeniul, apoi poziția bazei față de $1$, apoi limita — în această ordine se acordă punctele.

1. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }{5}^x$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{5}^x$.

2. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^x$.

3. Calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x$.

4. Determină domeniul maxim și punctele de acumulare pentru $f(x)={\log }_{5}x$, apoi calculează limitele în punctele care nu aparțin domeniului.

5. Calculează $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{\log }_{0,2}x$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{0,2}x$.

6. Calculează, folosind faptul că punctul aparține domeniului: $\underset{x\to 3}{\lim }{2}^x$, $\underset{x\to -1}{\lim }{4}^x$, $\underset{x\to 100}{\lim }\lg x$, $\underset{x\to e}{\lim }\ln x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice bază $a>0$, $a\ne 1$, avem $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția logaritmică are limită la stânga în $0$."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Limita $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ înseamnă că funcția nu are limită la $+\infty$."

10. Explică de ce $\underset{x\to -\infty }{\lim }{2}^x=0$, dar $2^x>0$ pentru orice $x$ real. Există vreo contradicție?

11. Fie $a>1$. Arată, folosind monotonia, că pentru orice $M>0$ există $x_M$ astfel încât $a^x>M$ pentru orice $x>x_M$. Ce limită ai demonstrat astfel?

12. (Problemă aplicată.) Într-un model de dezintegrare radioactivă, cantitatea rămasă după $t$ perioade de înjumătățire este, în unități potrivit alese, $N(t)={\left(\frac{1}{2}\right)}^t$, cu $t\ge 0$. Calculează $\underset{t\to +\infty }{\lim }N(t)$ și interpretează rezultatul: dispare vreodată complet substanța?

13. (Problemă aplicată.) Aciditatea unei soluții se măsoară prin logaritmul zecimal al concentrației de ioni de hidrogen. Calculează $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\lg x$ și explică, în cuvinte, ce se întâmplă cu scara de măsură când concentrația devine oricât de mică.

14. Un coleg scrie: „$\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$, deci limitele laterale în $0$ sunt diferite". Corectează-i afirmația.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$. Determină punctele de acumulare ale domeniului, calculează limitele funcției în cele care nu aparțin domeniului și precizează pentru fiecare dacă limita este finită sau infinită.

16. Completează tabelul pentru $f(x)={\log }_{a}x$, scriind pe rânduri cele două limite de la capete, iar pe coloane cele două cazuri de bază. Verifică apoi că schimbarea bazei din $a$ în $\frac{1}{a}$ interschimbă rândurile.

17. Calculează $\lg 10^{-8}$, $\lg 10^{-16}$ și $\lg 10^{-32}$ și explică ce sugerează șirul acestor valori despre limita logaritmului zecimal în $0$.

18. (Provocare.) Fie $a>1$ și $(x_n)$ un șir oarecare de numere strict pozitive cu $x_n\to 0$. Arată, folosind monotonia funcției logaritmice, că ${\log }_a{x}_n\to -\infty$, și explică de ce acest raționament demonstrează limita din tabel.

Răspunsuri și explicații

1. Baza $5>1$, deci funcția e strict crescătoare: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{5}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{5}^x=+\infty$.

2. Baza $\frac{1}{4}$ este subunitară, deci funcția e strict descrescătoare: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^x=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^x=0$.

3. Cum $e\approx 2,718>1$: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$.

4. $D=(0,+\infty )$, $D^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$; punctele care nu aparțin domeniului sunt $0$ și $+\infty$. Baza $5>1$, deci $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{\log }_{5}x=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{5}x=+\infty$.

5. Baza $0,2=\frac{1}{5}$ este subunitară, deci $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{\log }_{0,2}x=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{0,2}x=-\infty$.

6. $2^3=8$; $4^{-1}=\frac{1}{4}$; $\lg 100=2$; $\ln e=1$.

7. Fals. Rezultatul este valabil numai pentru $a>1$. Pentru $0<a<1$ limita la $+\infty$ este $0$; contraexemplu: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\to 0$.

8. Fals. La stânga lui $0$ funcția logaritmică nu este definită, deci întrebarea nu se pune. În $0$ se calculează doar limita la dreapta, iar ea este limita funcției în acel punct.

9. Fals. Limita există în dreapta reală încheiată și este $+\infty$. Ce nu există este o limită finită. Confuzia dintre „limită infinită" și „limită inexistentă" este una dintre greșelile clasice.

10. Nu există nicio contradicție. Limita descrie tendința valorilor, nu o valoare atinsă: valorile $2^x$ rămân strict pozitive pentru orice $x$, dar devin oricât de mici, adică se apropie oricât de mult de $0$. Graficul se lipește de axa $Ox$ fără să o atingă.

11. Cum $a>1$, funcția ${\log }_a$ este definită și crescătoare, iar inegalitatea $a^x>M$ este echivalentă cu $x>{\log }_{a}M$. Deci alegerea $x_M={\log }_{a}M$ funcționează. Ai demonstrat astfel că $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$ pentru $a>1$.

12. Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, deci $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^t=0$. Interpretare: cantitatea rămasă se apropie oricât de mult de zero, dar în model nu devine niciodată exact zero — matematic, substanța „nu dispare complet", chiar dacă fizic numărul de atomi este finit și modelul își pierde sensul la valori foarte mici.

13. $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\lg x=-\infty$: pe măsură ce concentrația devine oricât de mică, logaritmul ei coboară nemărginit. Practic, scara logaritmică transformă înmulțiri cu $10$ în adunări de $1$, deci „foarte mic" devine „foarte negativ", fără o valoare minimă.

14. Afirmația este greșită: în $0$ funcția logaritmică are o singură limită laterală, cea la dreapta, pentru că domeniul este $(0,+\infty )$. Scrierea corectă este $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\ln x=-\infty$, iar aceasta este chiar limita funcției în $0$.

15. $D=\mathbb{R}$, $D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$; punctele care nu aparțin domeniului sunt $-\infty$ și $+\infty$. Baza $\frac{1}{3}$ este subunitară, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^x=+\infty$ (limită infinită) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{3}\right)}^x=0$ (limită finită).

16. Tabelul are pe primul rând limita în $0$ (la dreapta): $-\infty$ pentru $a>1$, $+\infty$ pentru $0<a<1$; pe al doilea rând limita la $+\infty$: $+\infty$ pentru $a>1$, $-\infty$ pentru $0<a<1$. Schimbarea bazei din $a$ în $\frac{1}{a}$ schimbă semnul tuturor valorilor, deci interschimbă cele două coloane, iar în fiecare coloană interschimbă rândurile față de cazul inițial.

17. Valorile sunt $-8$, $-16$ și $-32$. Argumentul s-a micșorat de fiecare dată, iar valoarea a coborât de fiecare dată cu tot atâta: nu există o valoare minimă, deci limita în $0$ este $-\infty$. (Un tabel de valori sugerează, dar nu demonstrează; justificarea rămâne monotonia.)

18. Fie $M>0$ oarecare. Cum $a>1$, inegalitatea ${\log }_{a}x<-M$ este echivalentă cu $0<x<a^{-M}$. Șirul $(x_n)$ fiind format din numere strict pozitive cu limita $0$, de la un rang încolo toți termenii lui sunt mai mici decât $a^{-M}$, deci ${\log }_a{x}_n<-M$ de la acel rang. Cum $M$ a fost arbitrar, ${\log }_a{x}_n\to -\infty$. Șirul fiind și el arbitrar, criteriul cu șiruri dă $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{\log }_{a}x=-\infty$.

De reținut

• Pentru $f(x)=a^x$: $D=\mathbb{R}$, iar punctele de acumulare noi sunt $-\infty$ și $+\infty$. Pentru $f(x)={\log }_{a}x$: $D=(0,+\infty )$, iar punctele noi sunt $0$ (accesibil doar dinspre dreapta) și $+\infty$.
• Exponențiala: pentru $a>1$, limitele sunt $0$ la $-\infty$ și $+\infty$ la $+\infty$; pentru $0<a<1$, ele se schimbă între ele.
• Logaritmul: pentru $a>1$, limita în $0$ este $-\infty$, iar la $+\infty$ este $+\infty$; pentru $0<a<1$, ele se schimbă între ele.
• În orice punct din domeniu, limita este valoarea funcției; în particular $\underset{x\to 0}{\lim }{a}^x=1$ și $\underset{x\to 1}{\lim }{\log }_{a}x=0$, pentru orice bază.
• Cele două tabele se oglindesc, pentru că funcțiile sunt inverse una alteia: reține unul singur și deduce-l pe celălalt.

Greșeli frecvente

• Sari discuția după bază. „Exponențiala tinde la infinit" e adevărat numai pentru $a>1$; pentru bază subunitară limita la $+\infty$ este $0$. Poziția bazei față de $1$ se scrie explicit în rezolvare.
• Ceri limita la stânga în $0$ pentru logaritm. Funcția nu e definită acolo, deci nu există nimic de calculat; se scrie limita cu condiția $x>0$ și se spune că aceasta este limita funcției în $0$.
• Confunzi „limită infinită" cu „limită inexistentă". $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ este o limită care există în dreapta reală încheiată.
• Crezi că exponențiala atinge valoarea $0$. Ea rămâne strict pozitivă pentru orice $x$ real; limita $0$ descrie o apropiere, nu o valoare atinsă.
• Uiți condițiile bazei. Formulele au sens numai pentru $a>0$ și $a\ne 1$; pentru $a=1$ funcția este constantă, deci nu e exponențială, iar logaritmul în baza $1$ nici nu se definește.

Aplică acasă

1. Tabelul de dublări. Scrie pe caiet valorile lui $2^x$ pentru $x=0,1,2,\dots ,10$, apoi pentru $x=-1,-2,\dots ,-10$. Privește cele două coloane și spune cu voce tare cele două limite de la capete. Estimează apoi, fără calculator, câte cifre are $2^{100}$.

2. Graficele oglindite, într-o aplicație. Desenează în același reper $y=3^x$, $y={\log }_{3}x$ și dreapta $y=x$. Verifică vizual simetria, apoi mărește imaginea lângă axa $Oy$ pentru logaritm și lângă axa $Ox$ pentru exponențială — vei vedea, cu ochii, cele două limite infinite.

3. Scara magnitudinilor. Caută valorile magnitudinii Richter pentru trei cutremure cunoscute și energia eliberată de fiecare. Fiindcă magnitudinea este o mărime logaritmică, o diferență mică de magnitudine înseamnă o diferență uriașă de energie. Discută cu un adult de ce scările logaritmice sunt folosite tocmai acolo unde mărimile variază pe mai multe ordine de mărime.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează inventarul limitelor funcțiilor uzuale, cerut explicit de nota din programa de matematică-informatică, cu cele două funcții inverse una alteia: exponențiala și logaritmul. Ea nu introduce tehnici de calcul — limitele fundamentale în care apar aceste funcții se studiază câteva lecții mai târziu —, ci stabilește rezultatele de bază și le justifică prin lectură grafică și prin monotonie, exact cum recomandă sugestiile metodologice ale programei.

Ce verifică lecția: (1) determinarea corectă a domeniului și a punctelor de acumulare, cu accent pe faptul că $0$ este punct de acumulare al domeniului logaritmului fără să îi aparțină; (2) discuția după bază, făcută explicit; (3) distincția dintre limită infinită și limită inexistentă; (4) capacitatea de a citi rezultatul de pe grafic. Întrebări bune de control: „Ce se schimbă dacă baza devine subunitară?", „De ce nu se cere limita la stânga în zero pentru logaritm?", „De ce cele două tabele se oglindesc?".

La BAC M1, aceste limite apar aproape în fiecare subiect de analiză, ca pas final al unui calcul mai lung sau ca element al unui tabel de variație. Semne că elevul a înțeles: scrie poziția bazei față de $1$ înainte de a da răspunsul și nu spune niciodată „limita nu există" despre o limită infinită. Continuarea este lecția Limitele funcțiilor trigonometrice, care încheie inventarul funcțiilor uzuale.

Întrebări frecvente

Care este limita funcției exponențiale la minus infinit? Depinde de bază. Pentru $a>1$ limita este $0$: valorile rămân pozitive, dar devin oricât de mici. Pentru $0<a<1$ limita este $+\infty$, pentru că funcția este descrescătoare și valorile cresc spre stânga.

Cât este limita lui $\ln x$ când $x$ tinde la zero? Este $-\infty$, iar apropierea de $0$ se face numai dinspre dreapta, pentru că domeniul logaritmului este $(0,+\infty )$. Se scrie cu condiția $x>0$ sub semnul limitei, iar rezultatul este chiar limita funcției în $0$.

De ce nu se calculează limita la stânga în zero pentru logaritm? Pentru că la stânga lui zero funcția nu este definită. Limita laterală se pune numai acolo unde punctul este punct de acumulare al domeniului „dinspre acea parte"; aici, doar partea dreaptă îndeplinește condiția.

Ce se schimbă când baza este subunitară? Se schimbă între ele cele două rezultate de la capete, atât la exponențială, cât și la logaritm. Motivul este monotonia: pentru bază subunitară funcția este strict descrescătoare, deci comportarea la stânga și cea la dreapta își schimbă rolurile.

Exponențiala atinge vreodată valoarea zero? Nu. Pentru orice $x$ real, $a^x>0$. Limita $0$ la unul dintre capete înseamnă doar că valorile se apropie oricât de mult de zero; graficul se lipește de axa $Ox$ fără să o atingă.

Limita infinită înseamnă că limita nu există? Nu. În dreapta reală încheiată, $+\infty$ și $-\infty$ sunt rezultate legitime, iar o limită infinită există. „Nu există limită" se spune doar când cele două limite laterale sunt diferite sau când nici măcar ele nu există.

De ce tabelele exponențialei și logaritmului seamănă atât de mult? Pentru că cele două funcții sunt inverse una alteia, deci graficele lor sunt simetrice față de dreapta $y=x$. Simetria schimbă între ele rolurile axelor, adică transformă comportarea la capetele domeniului uneia în comportarea la capetele domeniului celeilalte.

Pot compara viteza cu care cresc exponențiala și logaritmul? Intuitiv da — exponențiala explodează, logaritmul urcă foarte încet —, dar comparația riguroasă înseamnă calculul unei limite de tip nedeterminat, care se face cu unelte din capitolul de derivate. La acest moment al programei, reții doar valorile limitelor, nu și raportul dintre viteze.