Limitele funcțiilor putere și radical: pe scurt

Primul pas la orice limită este domeniul maxim $D$ și mulțimea punctelor lui de acumulare $D^{\prime }$. Pentru funcțiile uzuale și un punct $x_0$ din domeniu, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ — se justifică prin lectură grafică sau prin criteriul cu șiruri. Toată noutatea stă în punctele de acumulare care nu sunt în domeniu: $-\infty$, $+\infty$ și, uneori, $0$.

Puterea $x^n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ($D=\mathbb{R}$): la $+\infty$ limita este $+\infty$; la $-\infty$ este $+\infty$ pentru $n$ par și $-\infty$ pentru $n$ impar.

Puterea $\frac{1}{x^n}$ ($D={\mathbb{R}}^{\ast }$): la $\pm \infty$ limita este $0$. În $0$ decide paritatea: pentru $n$ par ambele laterale sunt $+\infty$, deci limita există și este $+\infty$; pentru $n$ impar, $l_s(0)=-\infty$ și $l_d(0)=+\infty$, deci limita nu există.

Exponent real neîntreg: $D=[0,+\infty )$ pentru $\alpha >0$ și $D=(0,+\infty )$ pentru $\alpha <0$; funcția crește pentru $\alpha >0$ și scade pentru $\alpha <0$.

Radicalii: cel de ordin par are $D=[0,+\infty )$, cel de ordin impar are $D=\mathbb{R}$; ambii tind la $+\infty$ la $+\infty$, iar cel impar tinde la $-\infty$ la $-\infty$. Atenție: $x^{1/3}$ și $\sqrt[3]{x}$ sunt funcții diferite.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^6}$. Despre limita lui $f$ în $0$ se poate spune că:

   • a) nu există, pentru că $0$ nu aparține domeniului
   • b) există și este $+\infty$
   • c) există și este $0$
   • d) nu există, pentru că $l_s(0)=-\infty$ și $l_d(0)=+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) există și este $+\infty$

   Exponentul $6$ este par, deci $x^6>0$ pentru orice $x\ne 0$: numitorul tinde la $0^{+}$ din ambele părți. Prin urmare $l_s(0)=l_d(0)=+\infty$, cele două laterale sunt egale și limita există, fiind $+\infty$. Apartenența la domeniu nu contează — contează doar ca $0$ să fie punct de acumulare, ceea ce este.

2. Calculați $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^7$.

   • a) $-\infty$
   • b) $+\infty$
   • c) $0$
   • d) nu există
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-\infty$

   Exponentul $7$ este impar, deci un produs de $7$ factori negativi rămâne negativ, iar valoarea absolută crește nemărginit: $(-10^3{)}^7=-10^{21}$. Așadar limita este $-\infty$. Varianta b) ar fi corectă pentru un exponent par.

3. Se consideră funcția $f(x)=x^{-3/4}$. Domeniul maxim și limita funcției în $0$ sunt:

   • a) $[0,+\infty )$ și limita $0$
   • b) ${\mathbb{R}}^{\ast }$ și limita nu există
   • c) $(0,+\infty )$ și limita $+\infty$
   • d) $(0,+\infty )$ și limita $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(0,+\infty )$ și limita $+\infty$

   Exponentul $-\frac{3}{4}$ este neîntreg și negativ, deci domeniul maxim este $(0,+\infty )$. Funcția este strict descrescătoare acolo, iar apropierea de $0$ se face numai dinspre dreapta: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^{-3/4}=+\infty$, iar aceasta este limita funcției în $0$. Verificare: ${\left(10^{-8}\right)}^{-3/4}=10^6$.