Limitele funcțiilor putere și radical

Un bec luminează cu atât mai slab cu cât te îndepărtezi de el: la distanța $d$, iluminarea unei suprafețe este proporțională cu $\frac{1}{d^2}$. Formula aceasta răspunde ușor la întrebări obișnuite — cât e la doi metri, cât e la trei —, dar întrebările interesante sunt tocmai cele la care nu poate răspunde direct. Ce se întâmplă când te lipești de bec, adică atunci când $d$ se apropie de zero? Și ce se întâmplă la capătul celălalt, când te îndepărtezi la nesfârșit? În ambele cazuri, o valoare a funcției nu există: în primul, pentru că $0$ nu este în domeniu; în al doilea, pentru că „infinit" nu e un număr la care să poți evalua ceva.

Exact aici intră limitele. Ai definit deja limita unei funcții într-un punct și ai învățat să o calculezi la capetele nemărginite ale domeniului. Lecția de față face pasul următor, cerut explicit de programă: trece în revistă funcțiile uzuale — puterea și radicalul — și stabilește, o dată pentru totdeauna, ce limită au ele în fiecare punct de acumulare al domeniului maxim. Rezultatul este un tabel scurt, pe care îl vei folosi apoi în fiecare exercițiu de limite din clasa a XI-a și de la Bacalaureat M1, așa cum folosești tabla înmulțirii fără să o mai redemonstrezi.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii domeniul maxim al unei funcții putere sau radical și să determini mulțimea punctelor ei de acumulare, inclusiv $-\infty$ și $+\infty$.
• Vei ști de ce, pentru o funcție uzuală și un punct $x_0$ din domeniu, limita este chiar $f(x_0)$, și vei ști să justifici acest lucru prin lectură grafică și prin criteriul cu șiruri.
• Vei ști limitele funcției putere $x^n$ și ale funcției $x^{-n}$ la $-\infty$, la $+\infty$ și în $0$, cu discuția după paritatea lui $n$.
• Vei ști limitele funcției putere cu exponent real neîntreg și pe cele ale radicalilor de ordin par și impar.
• Vei ști să deosebești situația în care limita există și este infinită de situația în care limita nu există, și să scrii corect fiecare concluzie.

Hai să descoperim împreună

1. Unde avem voie să punem întrebarea

Prima grijă, înaintea oricărui calcul, este să știi unde are sens întrebarea. Reia definiția din lecția Punct de acumulare și punct izolat: limita unei funcții $f:D\to \mathbb{R}$ se definește numai în punctele de acumulare ale mulțimii $D$, adică în punctele de care te poți apropia oricât de mult cu valori din $D$, diferite de punctul însuși. Mulțimea acestor puncte se notează $D^{\prime }$.

Două observații care se dovedesc, în practică, decisive:

• un punct de acumulare nu trebuie să fie în domeniu. Pentru $D={\mathbb{R}}^{\ast }$, punctul $0$ nu aparține domeniului, dar este punct de acumulare al lui: oricât de mică ai lua o vecinătate a lui $0$, ea conține numere nenule. Deci întrebarea „ce limită are $\frac{1}{x^2}$ în $0$?" este perfect legitimă, deși $\frac{1}{0^2}$ nu înseamnă nimic;
• printre punctele de acumulare punem și $-\infty$, și $+\infty$, atunci când domeniul este nemărginit în direcția respectivă. Sensul lor a fost fixat în lecția Dreapta reală încheiată și vecinătăți: o vecinătate a lui $+\infty$ conține un interval de forma $(a,+\infty ]$, iar dacă $D$ conține numere oricât de mari, atunci fiecare astfel de vecinătate conține puncte din $D$.

Cele patru domenii care apar în toată lecția, cu mulțimile lor de puncte de acumulare, sunt:

Observă rândul al treilea: capătul $0$ aparține domeniului $[0,+\infty )$, dar te poți apropia de el numai dinspre dreapta. În astfel de puncte, limita funcției este, prin definiție, chiar limita laterală care are sens acolo — regula a fost stabilită în lecția Limite laterale, de unde împrumutăm și notațiile compacte $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$, folosite mai jos în celulele tabelelor.

2. Regula de bază: în punctele din domeniu, limita este valoarea

Toate funcțiile din această lecție au o proprietate comună, pe care programa cere să o evidențiem prin lectură grafică:

Dacă $f$ este una dintre funcțiile uzuale și $x_0$ este un punct din domeniul ei, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

Citit pe grafic, enunțul este aproape banal: graficul unei astfel de funcții este o curbă care se desenează „dintr-o singură trăsătură de creion", fără sărituri și fără găuri. Când te plimbi cu $x$ spre $x_0$, punctul de pe curbă alunecă spre punctul $(x_0,f(x_0))$ — deci ordonata lui se apropie de $f(x_0)$. Nu ai unde altundeva să ajungi.

Merită să vezi și justificarea riguroasă, măcar o dată, pentru că folosește exact definiția cu șiruri din lecția Limita unei funcții într-un punct. Fie $f(x)=x^2$ și $x_0=3$. Iau un șir oarecare $(x_n)$ de numere reale, diferite de $3$, cu $x_n\to 3$. Din operațiile cu șiruri convergente, studiate la operațiile cu șiruri, limita produsului este produsul limitelor, deci $$f(x_n)=x_n\cdot x_n\to 3\cdot 3=9.$$ Cum șirul $(x_n)$ a fost ales arbitrar, criteriul cu șiruri dă $\underset{x\to 3}{\lim }{x}^2=9=f(3)$. Același raționament, cu un produs de $n$ factori, arată că $\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n=x_0^n$ pentru orice $x_0\in \mathbb{R}$ și orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Reține cât acoperă demonstrația: numai puterile cu exponent natural, singurele scrise ca produs cu un număr fix de factori. Pentru celelalte funcții uzuale — exponent neîntreg, radicali și, mai târziu, exponențiala, logaritmul, funcțiile trigonometrice — regula din chenar se stabilește prin lectură grafică, așa cum cere programa.

Atenție la ce nu facem încă: nu avem voie să spunem „limita sumei este suma limitelor" pentru funcții — acela este subiectul lecției Operații cu limite de funcții, care vine imediat după acest capitol. Aici lucrăm cu funcția pură, fără coeficienți și fără sume, iar unealta de justificare sunt șirurile, nu operațiile cu limite de funcții.

Prin urmare, toată noutatea lecției se concentrează în punctele de acumulare care nu sunt în domeniu: $-\infty$, $+\infty$ și, acolo unde e cazul, $0$. Coloana a treia a tabelului de la §1 este, de fapt, lista lucrurilor pe care le ai de învățat.

3. Funcția putere cu exponent natural nenul

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$, cu $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Domeniul maxim este $\mathbb{R}$, deci punctele de acumulare noi sunt doar $-\infty$ și $+\infty$.

La $+\infty$ răspunsul e același pentru orice $n$: dacă $x$ crește nemărginit, atunci și $x^n$ crește nemărginit, pentru că înmulțești între ei factori din ce în ce mai mari. La $-\infty$ intervine paritatea: un produs de un număr par de factori negativi este pozitiv, iar unul de un număr impar de factori negativi este negativ. Comportarea aceasta se vede dintr-o privire pe grafic: pentru $n$ par, graficul are ambele ramuri urcând (parabola, la $n=2$), iar pentru $n$ impar are o ramură în jos și una în sus.

Verifică pe numere, ca să te convingi: pentru $n=3$ și $x=-1000$ obții $-10^9$; pentru $x=-10^6$ obții $-10^{18}$. Valorile coboară fără oprire, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$. Pentru $n=4$ și aceleași valori ale lui $x$ obții $10^{12}$, respectiv $10^{24}$ — de data aceasta urcă.

4. Funcția putere cu exponent întreg negativ

Fie acum $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-n}=\frac{1}{x^n}$, cu $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Domeniul maxim este ${\mathbb{R}}^{\ast }$ — este cazul funcției din povestea becului, cu $n=2$. Aici apare punctul de acumulare $0$, care nu aparține domeniului, și odată cu el, prima situație cu adevărat delicată din capitol.

La capete lucrurile sunt simple: dacă $x$ este foarte mare în valoare absolută, atunci $x^n$ este uriaș, deci $\frac{1}{x^n}$ este foarte aproape de zero. Așadar $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0.$$

În $0$ trebuie însă să calculezi separat cele două limite laterale, pentru că semnul numitorului se schimbă la trecerea prin origine. Dacă $x$ este pozitiv și foarte mic, $x^n$ este un număr pozitiv foarte mic, iar inversul lui este uriaș și pozitiv: $l_d(0)=+\infty$, indiferent de $n$. Dacă $x$ este negativ și foarte aproape de $0$, atunci $x^n$ este mic în valoare absolută, dar semnul lui depinde de paritate: pozitiv pentru $n$ par, negativ pentru $n$ impar. De aici:

Rândul al patrulea merită citit de două ori, pentru că el conține distincția cea mai des greșită din tot capitolul. Amintește-ți criteriul de existență a limitei într-un punct de acumulare bilateral: limita există dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale. Prin urmare:

• pentru $n$ par (de exemplu $f(x)=\frac{1}{x^2}$), ambele limite laterale sunt $+\infty$, deci sunt egale: limita în $0$ există și este $+\infty$. Faptul că nu e finită nu o face inexistentă — este exact aceeași convenție ca la șiruri, fixată în lecția Șiruri cu limită infinită;
• pentru $n$ impar (de exemplu $f(x)=\frac{1}{x}$), avem $l_s(0)=-\infty$ și $l_d(0)=+\infty$. Cele două limite laterale există, dar sunt diferite, deci limita funcției în $0$ nu există. Scrii, în litere: funcția nu are limită în $0$, și adaugi motivul.

5. Funcția putere cu exponent real neîntreg

Când exponentul nu mai este întreg, prima grijă este domeniul. Reia tabelul fixat în lecția Funcția putere cu exponent real — este singurul valabil, în lecții, în teste și în bareme:

Primele două rânduri au fost tratate în paragrafele precedente. Rămân ultimele două, în care funcția „trăiește" numai pe semiaxa pozitivă, deci punctele de acumulare noi sunt $0$ (accesibil doar dinspre dreapta) și $+\infty$.

Comportarea se citește din monotonie, stabilită în lecția Graficul funcției putere: pe $(0,+\infty )$, funcția $x^{\alpha }$ este strict crescătoare pentru $\alpha >0$ și strict descrescătoare pentru $\alpha <0$.

Un exemplu numeric pentru fiecare coloană. Pentru $\alpha =\frac{3}{2}$: la $x=10^{-6}$ valoarea este $10^{-9}$, iar la $x=10^6$ este $10^9$ — coboară spre $0$ la un capăt și urcă nemărginit la celălalt. Pentru $\alpha =-\frac{1}{2}$: la $x=10^{-6}$ valoarea este $10^3$, iar la $x=10^6$ este $10^{-3}$ — exact pe dos.

Observă și de ce, pentru $\alpha >0$ neîntreg, limita la dreapta în $0$ coincide cu valoarea funcției: convenția $0^{\alpha }=0$ pune punctul $(0,0)$ chiar pe curbă, deci suntem din nou în situația de la §2.

6. Funcțiile radical

Radicalul de ordin $n\ge 2$ se comportă după aceeași lege a parității, dar de data aceasta paritatea decide domeniul, nu doar semnul.

Ordin par ($n=2,4,6,\dots$): $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[n]{x}$. Nu poți extrage radicalul de ordin par dintr-un număr negativ, deci domeniul se oprește la $0$. Funcția este strict crescătoare și nemărginită superior, deci: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt[n]{x}=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{x}=+\infty .$$ Creșterea spre infinit este lentă, dar sigură: $\sqrt{10^{12}}=10^6$, iar $\sqrt[4]{10^{12}}=10^3$. Lent nu înseamnă mărginit — nu confunda cele două lucruri.

Ordin impar ($n=3,5,7,\dots$): $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[n]{x}$. Aici radicalul are sens și pentru numere negative, iar funcția este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[n]{x}=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{x}=+\infty .$$

Capcana de notație, de reținut pentru toată clasa a XI-a. Funcția putere $x^{1/3}$, definită pe $[0,+\infty )$ după tabelul de la §5, și funcția radical $\sqrt[3]{x}$, definită pe $\mathbb{R}$, sunt funcții diferite: ele coincid doar pe $[0,+\infty )$. Prin urmare, întrebarea „ce limită are funcția în $-\infty$?" are răspuns pentru $\sqrt[3]{x}$ (răspunsul este $-\infty$) și nu are sens pentru $x^{1/3}$, al cărei domeniu nu conține niciun număr negativ. Distincția a fost fixată în lecția Funcția radical de ordin 3 și se cere respectată în orice barem.

7. Cum scrii răspunsul

Pentru orice limită din această lecție, redactarea are trei rânduri, în această ordine — și fiecare dintre ele aduce puncte la Bacalaureat M1:

1. domeniul maxim și constatarea că punctul cerut este punct de acumulare al lui;
2. valoarea limitei, citită din tabel sau de pe grafic, cu justificarea într-o propoziție („funcția este strict crescătoare și nemărginită superior", „numitorul devine pozitiv și oricât de mic");
3. concluzia, cu formularea corectă: limita este $+\infty$ (limită infinită, care există) sau funcția nu are limită în acel punct (când cele două limite laterale diferă).

Util este și obiceiul unei verificări rapide cu două-trei valori numerice: nu ține loc de justificare, dar prinde imediat o greșeală de semn sau o confuzie de paritate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Domeniu, puncte de acumulare, limite

Se consideră $f(x)=x^4$. Determinați domeniul maxim, punctele de acumulare ale acestuia și limitele funcției în punctele de acumulare care nu aparțin domeniului.

Rezolvare. Exponentul este natural nenul, deci domeniul maxim este $D=\mathbb{R}$, iar $D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$. Punctele de acumulare care nu sunt în domeniu sunt $-\infty$ și $+\infty$.

Cum $4$ este par, tabelul de la §3 dă $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4=+\infty .$$ Verificare: $(-10^3{)}^4=10^{12}$ și $(10^3{)}^4=10^{12}$ — valorile urcă în ambele direcții. În orice punct $x_0\in \mathbb{R}$, limita este $x_0^4$; de exemplu $\underset{x\to -2}{\lim }{x}^4=16$.

Exemplul 2 — Limitele laterale ale funcției $\frac{1}{x^3}$

Calculați $l_s(0)$ și $l_d(0)$ pentru $f: \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{1}{x^{3}}$,șiprecizațidac\breve{a}funcțiaarelimit\breve{a}\hat{ı}n$0$.*

Rezolvare. Punctul $0$ nu aparține domeniului, dar este punct de acumulare al lui ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deci întrebarea are sens.

Pentru $x<0$ apropiat de $0$, avem $x^3<0$ și $|x^3|$ oricât de mic, deci raportul este negativ și oricât de mare în valoare absolută: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x^3}=-\infty .$$ Pentru $x>0$ apropiat de $0$, avem $x^3>0$ și oricât de mic, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x^3}=+\infty .$$ Cele două limite laterale există, dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $0$.

Verificare: $f(-10^{-3})=-10^9$, $f(10^{-3})=10^9$; la $x=\pm 10^{-4}$ valorile sunt $\mp 10^{12}$.

Exemplul 3 — Aceeași întrebare, dar cu exponent par

Aceleași cerințe pentru $f: \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{1}{x^{4}}$.*

Rezolvare. Numitorul $x^4$ este strict pozitiv pentru orice $x\ne 0$ și devine oricât de mic când $x$ se apropie de $0$, indiferent din ce parte. Prin urmare $$l_s(0)=+\infty \text{și}{l}_d(0)=+\infty .$$ Cele două limite laterale sunt egale, deci limita funcției în $0$ există și $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^4}=+\infty .$$ Comparând cu Exemplul 2: aceeași formă a expresiei, aceeași apropiere de $0$, dar concluzii de tipuri diferite — singura deosebire este paritatea exponentului. La capete, $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^4}=0$.

Exemplul 4 — Putere cu exponent neîntreg

Determinați domeniul maxim al funcției $f(x)=x^{-3/2}$ și limitele ei în punctele de acumulare care nu aparțin domeniului.

Rezolvare. Exponentul $-\frac{3}{2}$ este neîntreg și negativ, deci, după tabelul de la §5, domeniul maxim este $D=(0,+\infty )$, iar $D^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$. Punctele care nu sunt în domeniu: $0$ și $+\infty$.

Funcția este strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{x}^{-3/2}=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{-3/2}=0.$$ În $0$ nu se cere limită la stânga: la stânga lui $0$ funcția nici nu este definită, deci limita în $0$ este chiar limita la dreapta.

Verificare: ${\left(10^{-6}\right)}^{-3/2}=10^9$ și ${\left(10^6\right)}^{-3/2}=10^{-9}$.

Exemplul 5 — Radical de ordin par și radical de ordin impar

Calculați, dacă există: a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}$; b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x}$; c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{x}$; d) $\underset{x\to -8}{\lim }\sqrt[3]{x}$.

Rezolvare.

a) Domeniul lui $\sqrt{x}$ este $[0,+\infty )$, iar $+\infty$ este punct de acumulare al lui. Funcția este strict crescătoare și nemărginită superior, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$.

b) Întrebarea nu are sens: $-\infty$ nu este punct de acumulare al mulțimii $[0,+\infty )$, pentru că nicio vecinătate a lui $-\infty$ nu conține numere din domeniu. Răspunsul corect nu este „nu există limită", ci „limita nu se pune în discuție în acest punct".

c) Domeniul lui $\sqrt[3]{x}$ este $\mathbb{R}$, deci $-\infty$ este punct de acumulare. Funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și nemărginită inferior, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{x}=-\infty$.

d) Punctul $-8$ aparține domeniului, deci limita este valoarea funcției: $\underset{x\to -8}{\lim }\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-8}=-2$.

Compară b) cu c): aceeași întrebare, două funcții radical, două răspunsuri complet diferite — pentru că domeniile lor sunt diferite. Aceasta este utilitatea practică a primului pas din redactare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f: \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{1}{x}$.* a) Determinați punctele de acumulare ale domeniului care nu aparțin domeniului. b) Calculați limitele laterale ale funcției în $0$. c) Arătați, folosind criteriul cu șiruri, că funcția nu are limită în $0$. d) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

Rezolvare.

a) Domeniul este ${\mathbb{R}}^{\ast }$, iar $D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$. Punctele de acumulare care nu aparțin domeniului sunt $0$, $-\infty$ și $+\infty$.

b) Pentru $x$ negativ și apropiat de $0$, raportul $\frac{1}{x}$ este negativ și oricât de mare în valoare absolută, deci $l_s(0)=-\infty$; pentru $x$ pozitiv și apropiat de $0$, $l_d(0)=+\infty$.

c) Aleg două șiruri din ${\mathbb{R}}^{\ast }$ care tind la $0$: $$x_n=\frac{1}{n}\to 0,y_n=-\frac{1}{n}\to 0.$$ Atunci $f(x_n)=n\to +\infty$, iar $f(y_n)=-n\to -\infty$. Cele două șiruri de imagini au limite diferite, deci, prin definiția cu șiruri a limitei, funcția nu are limită în $0$.

d) Când $|x|$ crește nemărginit, raportul $\frac{1}{x}$ se apropie de $0$ (negativ la stânga, pozitiv la dreapta), deci $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0\text{și}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0.$$

Observație de barem: punctul c) cere metoda, nu doar rezultatul. Un răspuns care spune numai „limitele laterale sunt diferite" rezolvă punctul b), nu și pe c); la c) trebuie scrise efectiv cele două șiruri și limitele imaginilor lor.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie întâi domeniul maxim și punctele de acumulare, apoi limita — în această ordine se acordă și punctele la examen.

1. Determină domeniul maxim și punctele de acumulare pentru $f(x)=x^6$, apoi calculează limitele la $-\infty$ și la $+\infty$.

2. Aceleași cerințe pentru $f(x)=x^7$.

3. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^5}$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^5}$.

4. Pentru $f(x)=\frac{1}{x^2}$, calculează $l_s(0)$ și $l_d(0)$ și precizează dacă funcția are limită în $0$.

5. Pentru $f(x)=\frac{1}{x^5}$, calculează $l_s(0)$ și $l_d(0)$ și precizează dacă funcția are limită în $0$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă cele două limite laterale ale unei funcții într-un punct sunt infinite, atunci funcția are limită în acel punct."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $x^{1/3}$ și funcția $\sqrt[3]{x}$ sunt una și aceeași funcție."

8. Determină domeniul maxim al funcției $f(x)=x^{5/2}$ și calculează limitele ei în punctele de acumulare care nu aparțin domeniului.

9. Determină domeniul maxim al funcției $f(x)=x^{-1/2}$ și calculează limitele ei în punctele de acumulare care nu aparțin domeniului.

10. Calculează $\underset{x\to 16}{\lim }\sqrt[4]{x}$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[4]{x}$.

11. Calculează $\underset{x\to -32}{\lim }\sqrt[5]{x}$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[5]{x}$.

12. Explică de ce întrebarea „cât este $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[6]{x}$?" nu are sens, iar întrebarea „cât este $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[7]{x}$?" are.

13. (Problemă aplicată.) Iluminarea unei suprafețe aflate la distanța $d$ de un bec este dată, în unități potrivit alese, de $E(d)=\frac{1}{d^2}$, cu $d>0$. Ce se întâmplă cu iluminarea când $d$ se apropie de $0$ și când $d$ crește nemărginit? Formulează răspunsurile ca limite și interpretează-le în cuvinte.

14. Fie $f(x)=\frac{1}{x^3}$. Scrie două șiruri $(x_n)$ și $(y_n)$ din domeniu, ambele cu limita $0$, pentru care șirurile imaginilor au limite diferite. Ce concluzie tragi?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^{-5/2}$. Determină punctele de acumulare ale domeniului, calculează limitele funcției în cele care nu aparțin domeniului și precizează, pentru fiecare, dacă limita este finită sau infinită.

16. Calculează valorile funcțiilor $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x}$ și $x^2$ în $x=10^6$ și ordonează-le crescător. Ce limită are fiecare dintre cele trei funcții la $+\infty$?

17. Un coleg scrie: „$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=\infty$, pentru că numitorul devine oricât de mic". Corectează-i afirmația și explică unde e greșeala de raționament.

18. (Provocare.) Fie $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^n}$. Arată, folosind numai criteriul cu șiruri, că funcția are limită în $0$ dacă și numai dacă $n$ este par, și determină valoarea limitei în acest caz.

Răspunsuri și explicații

1. $D=\mathbb{R}$, $D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$. Exponentul $6$ este par, deci ambele limite sunt $+\infty$.

2. $D=\mathbb{R}$, $D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$. Exponentul $7$ este impar, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^7=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^7=+\infty$.

3. Ambele sunt $0$: numitorul crește nemărginit în valoare absolută, deci raportul se apropie de $0$ (prin valori negative la $-\infty$, pozitive la $+\infty$).

4. $l_s(0)=l_d(0)=+\infty$, pentru că $x^2>0$ oricare ar fi $x\ne 0$. Limitele laterale fiind egale, limita există și este $+\infty$.

5. $l_s(0)=-\infty$ (numitor negativ), $l_d(0)=+\infty$ (numitor pozitiv). Fiind diferite, funcția nu are limită în $0$.

6. Fals. Trebuie ca ele să fie și egale. Contraexemplu: $\frac{1}{x}$ are $l_s(0)=-\infty$ și $l_d(0)=+\infty$, deci nu are limită în $0$.

7. Fals. Domeniile diferă: $x^{1/3}$ este definită pe $[0,+\infty )$ (exponent neîntreg pozitiv), iar $\sqrt[3]{x}$ pe $\mathbb{R}$. Ele coincid numai pe $[0,+\infty )$.

8. Exponentul $\frac{5}{2}$ este neîntreg și pozitiv, deci $D=[0,+\infty )$ și $D^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$. Singurul punct de acumulare care nu e în domeniu este $+\infty$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{5/2}=+\infty$. (În $0$ limita este $0$, egală cu valoarea funcției.)

9. Exponentul $-\frac{1}{2}$ este neîntreg și negativ, deci $D=(0,+\infty )$ și $D^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$. Punctele care nu sunt în domeniu: $0$ și $+\infty$. Limitele: $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{x}^{-1/2}=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{-1/2}=0$.

10. $16$ aparține domeniului $[0,+\infty )$, deci limita este valoarea: $\sqrt[4]{16}=2$. La $+\infty$: $+\infty$ (creștere lentă, dar nemărginită).

11. Radicalul de ordin impar este definit pe $\mathbb{R}$, deci $\underset{x\to -32}{\lim }\sqrt[5]{x}=\sqrt[5]{-32}=-2$, iar $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[5]{x}=-\infty$.

12. Domeniul lui $\sqrt[6]{x}$ este $[0,+\infty )$, mulțime pentru care $-\infty$ nu este punct de acumulare — deci limita nu se pune în discuție acolo. Domeniul lui $\sqrt[7]{x}$ este $\mathbb{R}$, deci $-\infty$ este punct de acumulare, iar limita este $-\infty$.

13. $\underset{d\to 0,d>0}{\lim }\frac{1}{d^2}=+\infty$: lipit de bec, iluminarea crește peste orice valoare (modelul își pierde sensul fizic, becul nefiind un punct). $\underset{d\to +\infty }{\lim }\frac{1}{d^2}=0$: departe de bec, iluminarea se apropie oricât de mult de zero, fără să fie vreodată nulă.

14. De exemplu $x_n=\frac{1}{n}$, cu $f(x_n)=n^3\to +\infty$, și $y_n=-\frac{1}{n}$, cu $f(y_n)=-n^3\to -\infty$. Cele două limite fiind diferite, funcția nu are limită în $0$.

15. $D=(0,+\infty )$, $D^{\prime }=[0,+\infty )\cup \{+\infty \}$; punctele care nu aparțin domeniului sunt $0$ și $+\infty$. Exponentul este neîntreg și negativ, deci $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }{x}^{-5/2}=+\infty$ (limită infinită) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{-5/2}=0$ (limită finită).

16. Valorile în $x=10^6$ sunt: $\sqrt[3]{x}=10^2$, $\sqrt{x}=10^3$, $x^2=10^{12}$, deci ordinea este $\sqrt[3]{x}<\sqrt{x}<x^2$. Cu toate acestea, limita la $+\infty$ este $+\infty$ pentru toate trei: valorile pot fi foarte diferite într-un punct dat, dar niciuna dintre cele trei funcții nu are un plafon.

17. Afirmația este greșită de două ori. Întâi, limita în $0$ nu există pentru $\frac{1}{x}$, pentru că cele două limite laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$. Apoi, chiar dacă ar exista, nu se scrie „$\infty$" fără semn: în dreapta reală încheiată există $-\infty$ și $+\infty$, distincte. Motivul greșelii este că raționamentul privește doar mărimea numitorului, nu și semnul lui.

18. Notează $x_k=\frac{1}{k}$ și $y_k=-\frac{1}{k}$, două șiruri din ${\mathbb{R}}^{\ast }$ cu limita $0$. Atunci $f(x_k)=k^n$ și $f(y_k)=(-1{)}^n{k}^n$. Dacă $n$ este impar, $f(x_k)\to +\infty$ și $f(y_k)\to -\infty$: cele două limite fiind diferite, funcția nu are limită în $0$. Dacă $n$ este par, ia un șir oarecare $(z_k)$ din ${\mathbb{R}}^{\ast }$ cu $z_k\to 0$; atunci $z_k^n=|z_k{|}^n>0$ și $|z_k{|}^n\to 0$, deci $f(z_k)=\frac{1}{|z_k{|}^n}\to +\infty$. Șirul fiind arbitrar, limita există și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^n}=+\infty$.

De reținut

• Limita se pune numai în punctele de acumulare ale domeniului maxim; primul pas al oricărei rezolvări este scrierea lui $D$ și a lui $D^{\prime }$.
• Pentru funcțiile uzuale și $x_0$ din domeniu, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ — se justifică prin lectură grafică sau prin criteriul cu șiruri.
• Puterea $x^n$ tinde la $+\infty$ la $+\infty$; la $-\infty$ tinde la $+\infty$ dacă $n$ este par și la $-\infty$ dacă $n$ este impar.
• Pentru $\frac{1}{x^n}$: limita la $\pm \infty$ este $0$; în $0$, limita există și este $+\infty$ dacă $n$ e par, dar nu există dacă $n$ e impar.
• Radicalul de ordin par are domeniul $[0,+\infty )$, cel de ordin impar are domeniul $\mathbb{R}$; ambele au limita $+\infty$ la $+\infty$, iar cel de ordin impar are și limita $-\infty$ la $-\infty$.

Greșeli frecvente

• Calculezi limita într-un punct care nu e de acumulare. Pentru $\sqrt{x}$, întrebarea la $-\infty$ nu are sens; răspunsul corect este „punctul nu este de acumulare al domeniului", nu „nu există limita".
• Confunzi „limita este infinită" cu „limita nu există". Pentru $\frac{1}{x^2}$ limita în $0$ există și este $+\infty$; pentru $\frac{1}{x}$ ea nu există. Diferența o face egalitatea limitelor laterale.
• Scrii $\infty$ fără semn. În dreapta reală încheiată există două simboluri, $-\infty$ și $+\infty$; a le confunda înseamnă a pierde tocmai informația pentru care ai făcut calculul.
• Uiți discuția după paritate. La $x^n$ paritatea decide semnul limitei la $-\infty$; la $\frac{1}{x^n}$ ea decide dacă limita în $0$ există; la $\sqrt[n]{x}$ ea decide domeniul.
• Identifici $x^{1/3}$ cu $\sqrt[3]{x}$. Prima este definită pe $[0,+\infty )$, a doua pe $\mathbb{R}$; ele coincid doar pe semiaxa pozitivă, iar întrebările la $-\infty$ le despart.

Aplică acasă

1. Tabelul de valori, făcut de mână. Alege funcția $f(x)=\frac{1}{x^3}$ și completează pe caiet valorile în $x=\pm 0,1$; $\pm 0,01$; $\pm 0,001$, apoi în $x=\pm 10$; $\pm 100$; $\pm 1000$. Privind cele două coloane, spune cu voce tare ce limită ai obținut în fiecare dintre cele trei puncte de acumulare care nu sunt în domeniu.

2. Graficele, desenate cu un instrument digital. Într-o aplicație de grafice (sau într-o foaie de calcul), desenează în același reper $y=x^2$, $y=x^3$ și $y=\sqrt{x}$, apoi mărește imaginea în jurul originii și micșoreaz-o până vezi capetele. Notează, pentru fiecare curbă, ce se întâmplă la stânga și la dreapta — este exact lectura grafică pe care ți-o cere programa.

3. Becul din camera ta. Măsoară distanța de la bec la birou, apoi la podea, apoi la ușă. Calculează $\frac{1}{d^2}$ pentru fiecare și compară raporturile. Discută cu un adult de ce iluminarea scade atât de repede când te îndepărtezi și de ce, matematic, nu ajunge niciodată exact la zero.

Pentru părinți și profesori

Lecția face inventarul limitelor funcțiilor putere și radical în toate punctele de acumulare ale domeniului maxim — cerință explicită a programei de matematică-informatică, formulată în nota de la capitolul „Limite de funcții. Continuitate". Ea nu introduce tehnici de calcul (operațiile cu limite și cazurile de nedeterminare vin în lecțiile următoare), ci construiește repertoriul de rezultate fără de care acele tehnici nu au ce prelucra. Justificarea se face, așa cum cere programa, prin lectură grafică, sprijinită de criteriul cu șiruri deja studiat.

Ce verifică lecția: (1) determinarea corectă a domeniului maxim, în special pentru exponenți neîntregi și pentru radicali de ordin par; (2) identificarea punctelor de acumulare, inclusiv a celor care nu aparțin domeniului; (3) discuția după paritate; (4) distincția dintre limită infinită și limită inexistentă. Întrebări bune de control: „Unde are sens să întrebi de limită?", „De ce $\frac{1}{x^2}$ are limită în zero, iar $\frac{1}{x}$ nu?", „Ce domeniu are radicalul de ordin par?".

La BAC M1, rezultatele acestei lecții apar rareori singure, dar sunt folosite în aproape fiecare subiect de analiză: ele sunt pasul final al oricărui calcul de limită și, mai târziu, al oricărui tabel de variație. Semne că elevul a înțeles: scrie domeniul înainte de a calcula, tratează limitele laterale separat când punctul nu e în domeniu și formulează concluzia în cuvinte, nu doar cu simboluri. Continuarea firească sunt lecțiile Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică și Limitele funcțiilor trigonometrice.

Întrebări frecvente

Ce sunt punctele de acumulare ale domeniului maxim? Sunt punctele de care te poți apropia oricât de mult folosind numere din domeniu, diferite de punctul însuși. Ele pot aparține domeniului sau nu, iar printre ele se numără și $-\infty$ sau $+\infty$, când domeniul este nemărginit în direcția respectivă. Limita unei funcții se definește numai în astfel de puncte.

Cât este limita lui $x^n$ la minus infinit? Depinde de paritatea lui $n$: pentru $n$ par limita este $+\infty$, iar pentru $n$ impar este $-\infty$. La plus infinit, limita este $+\infty$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

De ce funcția $\frac{1}{x}$ nu are limită în zero? Pentru că limitele ei laterale sunt diferite: la stânga lui zero valorile coboară spre $-\infty$, iar la dreapta urcă spre $+\infty$. Criteriul de existență cere ca cele două limite laterale să existe și să fie egale, ceea ce aici nu se întâmplă.

Dar $\frac{1}{x^2}$ are limită în zero? Da. Ambele limite laterale sunt $+\infty$, deci sunt egale, iar limita există și este $+\infty$. Este un exemplu de limită care există fără a fi finită — situație perfect corectă în dreapta reală încheiată.

Care este domeniul funcției putere cu exponent neîntreg? Pentru exponent neîntreg pozitiv, domeniul maxim este $[0,+\infty )$, cu convenția $0^{\alpha }=0$; pentru exponent neîntreg negativ, este $(0,+\infty )$. Pentru exponent natural nenul domeniul este $\mathbb{R}$, iar pentru exponent întreg negativ este ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

Radicalul de ordin par și cel de ordin impar au aceleași limite? La $+\infty$ da, ambele au limita $+\infty$. La $-\infty$ însă doar radicalul de ordin impar are ce răspunde — limita lui este $-\infty$ —, pentru că radicalul de ordin par nu este definit pentru numere negative.

Cum arăt riguros că o funcție nu are limită într-un punct? Alegi două șiruri din domeniu care tind la acel punct și pentru care șirurile imaginilor au limite diferite. Este consecința directă a definiției limitei cu șiruri și este metoda cerută în bareme când se pune problema inexistenței limitei.

Este suficientă o verificare numerică pentru a justifica o limită? Nu. Un tabel de valori arată tendința și te ferește de greșeli de semn, dar justificarea se face prin lectură grafică, prin monotonie sau prin criteriul cu șiruri. La examen, tabelul singur nu primește punctele de justificare.