Limitele funcțiilor trigonometrice: pe scurt

În orice punct din domeniu, limita fiecăreia dintre cele patru funcții trigonometrice este chiar valoarea funcției acolo: $\underset{x\to x_0}{\lim }\sin x=\sin x_0$ și analoagele.

La $\pm \infty$ niciuna nu are limită. Pentru sinus se iau $x_n=2n\pi$ (imagini $0$) și $y_n=\frac{\pi }{2}+2n\pi$ (imagini $1$): două șiruri care tind la $+\infty$, cu limite diferite ale imaginilor. Formularea corectă este funcția nu are limită la $+\infty$ — nu „limita oscilează” și nu „limita este infinită”. Mărginirea ($-1\le \sin x\le 1$) exclude limitele infinite, dar nu garantează una finită.

Punctele scoase din domeniu rămân puncte de acumulare, fiind puncte izolate, nu intervale. Pentru $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, în fiecare punct $\frac{\pi }{2}+k\pi$: $l_s=+\infty$, $l_d=-\infty$, deci limita nu există. Pentru $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, în fiecare punct $k\pi$ semnele sunt inversate: $l_s=-\infty$, $l_d=+\infty$, deci nici acolo limita nu există.

Nu memora semnele: reface în trei secunde discuția semnului numitorului. Periodicitatea de perioadă $\pi$ mută concluzia dintr-un punct în toate celelalte.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați $\underset{x\to 2\pi /3}{\lim }\sin x$.

   • a) $\frac{1}{2}$
   • b) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • d) $-\frac{1}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

   Sinusul este definit pe tot $\mathbb{R}$, deci punctul aparține domeniului și limita este valoarea funcției: $\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (unghi din cadranul al doilea, unde sinusul este pozitiv). Varianta b) ar fi valoarea cosinusului cu semn schimbat, nu a sinusului.

2. Limitele laterale ale funcției cotangentă în punctul $\pi$ sunt, în ordinea $l_s(\pi )$, $l_d(\pi )$:

   • a) $+\infty$ și $-\infty$
   • b) $+\infty$ și $+\infty$
   • c) $0$ și $0$
   • d) $-\infty$ și $+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-\infty$ și $+\infty$

   Scriem $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$. La stânga lui $\pi$, $\sin x>0$ și oricât de mic, iar $\cos x$ e aproape de $-1$: raportul coboară spre $-\infty$. La dreapta lui $\pi$, $\sin x<0$, deci raportul urcă spre $+\infty$. Varianta a) este ordinea de la tangentă, care e inversă.

3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\cos x=0$
   • b) $\mathrm{tg}$ nu are limită în $\frac{\pi }{2}$, deoarece $l_s\left(\frac{\pi }{2}\right)=+\infty$ și $l_d\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\infty$
   • c) $\frac{\pi }{2}$ nu este punct de acumulare al domeniului funcției $\mathrm{tg}$
   • d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\mathrm{tg}x=+\infty$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\mathrm{tg}$ nu are limită în $\frac{\pi }{2}$, deoarece $l_s\left(\frac{\pi }{2}\right)=+\infty$ și $l_d\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\infty$

   Cele două limite laterale există, dar sunt diferite, deci criteriul de existență nu e îndeplinit. La a), valorile cosinusului trec prin $0$, dar trec și prin $1$ și prin $-1$ — limita nu există. La c), din domeniu se scot puncte izolate, deci orice vecinătate conține o infinitate de puncte ale lui. La d), tangenta nu are limită la $+\infty$.