Limitele funcțiilor trigonometrice

Un leagăn împins o singură dată se oprește, mai devreme sau mai târziu, iar mișcarea lui are o „valoare de echilibru". Un leagăn împins la fiecare trecere nu se oprește niciodată: urcă, coboară, urcă din nou, la nesfârșit. Modelul matematic al celui de-al doilea este funcția sinus, iar întrebarea „unde ajunge pe termen lung?" nu are, pentru el, niciun răspuns — nu pentru că am calcula prost, ci pentru că nu există un răspuns. Este primul exemplu de funcție uzuală care nu are limită la infinit, iar el merită înțeles exact, pentru că formularea corectă a acestei situații aduce puncte în orice barem.

Lecția încheie inventarul funcțiilor uzuale cerut de programă: după putere, radical, exponențială și logaritmică, rămân cele patru funcții trigonometrice — sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Vei vedea că, în punctele din domeniu, ele se comportă la fel de blând ca toate celelalte, dar că în afara domeniului și la capetele nemărginite apar amândouă situațiile pe care le-ai învățat să deosebești: limite infinite care există și limite care pur și simplu nu există.

Ce vei învăța

• Vei ști domeniile maxime ale celor patru funcții trigonometrice și punctele lor de acumulare, inclusiv $-\infty$ și $+\infty$.
• Vei ști că, în orice punct din domeniu, limita fiecăreia dintre ele este chiar valoarea funcției, și vei ști să citești acest lucru de pe grafic.
• Vei ști să arăți, cu două șiruri, că sinusul și cosinusul nu au limită la $-\infty$ și la $+\infty$.
• Vei ști limitele laterale ale tangentei în punctele de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$ și pe cele ale cotangentei în punctele de forma $k\pi$.
• Vei ști să formulezi corect concluzia în fiecare dintre cele două situații: limită infinită care există, respectiv limită inexistentă.

Hai să descoperim împreună

1. Cele patru domenii și punctele lor de acumulare

Domeniile maxime îți sunt cunoscute din clasa a IX-a, din lecțiile Graficele funcțiilor sinus și cosinus, Funcția tangentă și domeniul ei și Funcția cotangentă. Periodicitate. Le reluăm alături de mulțimile punctelor de acumulare, pentru că de ele depinde totul:

Ultimele două rânduri conțin observația cea mai importantă a lecției: punctele scoase din domeniu rămân puncte de acumulare ale lui. Oricât de mică ai lua o vecinătate a lui $\frac{\pi }{2}$, ea conține o infinitate de numere în care tangenta este definită — sunt scoase doar puncte izolate, nu intervale întregi. Prin urmare, întrebarea „ce limită are tangenta în $\frac{\pi }{2}$?" este perfect legitimă, exact ca întrebarea despre $\frac{1}{x}$ în $0$, din lecția Limitele funcțiilor putere și radical.

O a doua observație, care ne scutește de multă muncă: toate patru funcțiile sunt periodice — sinusul și cosinusul cu perioada $2\pi$, tangenta și cotangenta cu perioada $\pi$. Deci este de ajuns să studiem comportarea în jurul unui singur punct scos din domeniu; în toate celelalte se repetă identic.

2. În punctele din domeniu, limita este valoarea

Ca la toate funcțiile uzuale, pentru un punct $x_0$ din domeniu răspunsul se citește de pe grafic: curba nu are nici sărituri, nici găuri, deci punctul de pe grafic alunecă spre $(x_0,f(x_0))$ atunci când $x$ se apropie de $x_0$. Așadar $$\underset{x\to x_0}{\lim }\sin x=\sin x_0,\underset{x\to x_0}{\lim }\cos x=\cos x_0(x_0\in \mathbb{R}),$$ și analog pentru tangentă și cotangentă, în punctele în care ele sunt definite.

Aceeași concluzie se vede și pe cercul trigonometric, construit în lecția Cercul trigonometric și punctele asociate: dacă unghiul se rotește puțin, punctul de pe cerc se deplasează puțin, deci și ordonata lui (sinusul) și abscisa lui (cosinusul) se schimbă puțin. „Puțin cât vrem" este exact conținutul unei limite.

Consecința practică: limitele de tipul $\underset{x\to \pi /6}{\lim }\sin x=\frac{1}{2}$ sau $\underset{x\to \pi /4}{\lim }\mathrm{tg}x=1$ se rezolvă într-un rând, înlocuind pur și simplu $x$ cu valoarea din enunț și citind rezultatul din tabelul valorilor remarcabile. Toată dificultatea lecției este în celelalte puncte de acumulare.

3. Sinusul și cosinusul la $-\infty$ și la $+\infty$

Sinusul și cosinusul au domeniul $\mathbb{R}$, deci singurele puncte de acumulare care nu aparțin domeniului sunt $-\infty$ și $+\infty$. Aici apare o situație nouă.

Privește graficul sinusului: el urcă până la $1$, coboară până la $-1$, urcă din nou, și tot așa, la nesfârșit, cu perioada $2\pi$. Oricât de departe ai merge spre dreapta, valorile continuă să baleieze tot intervalul $[-1,1]$; ele nu se apropie de nicio valoare anume și nici nu fug spre infinit. Deci funcția sinus nu are limită la $+\infty$.

Justificarea riguroasă folosește consecința definiției cu șiruri, din lecția Limita unei funcții într-un punct: dacă găsim două șiruri care tind la $+\infty$ și ale căror șiruri de imagini au limite diferite, atunci limita funcției nu există. Luăm $$x_n=2n\pi \to +\infty ,y_n=\frac{\pi }{2}+2n\pi \to +\infty .$$ Atunci $\sin x_n=\sin 0=0$ pentru orice $n$, deci $\sin x_n\to 0$; iar $\sin y_n=\sin \frac{\pi }{2}=1$ pentru orice $n$, deci $\sin y_n\to 1$. Limitele $0$ și $1$ fiind diferite, funcția $\sin$ nu are limită la $+\infty$.

Același tip de raționament arată că sinusul nu are limită nici la $-\infty$: cu $x_n=-2n\pi$ și $y_n=-\frac{\pi }{2}-2n\pi$, ambele cu limita $-\infty$, imaginile au limitele $0$ și, respectiv, $-1$ — tot diferite. Pentru cosinus se procedează identic, cu $x_n=2n\pi$ (unde $\cos x_n=1$) și $y_n=\pi +2n\pi$ (unde $\cos y_n=-1$).

Reține deosebirea de vocabular, fixată încă de la șiruri, în lecția Șiruri cu limită infinită: aici nu spunem „limita este infinită" și nu spunem „limita este oscilantă". Spunem, exact așa: funcția nu are limită la $+\infty$, și adăugăm motivul — două șiruri cu limite diferite ale imaginilor.

Sinusul și cosinusul sunt, de altfel, funcții mărginite: $-1\le \sin x\le 1$ pentru orice $x$. Mărginirea exclude de la bun început limitele infinite; ceea ce ea nu poate garanta este existența unei limite finite — exact ca la șirul $\left((-1{)}^n\right)$, care este mărginit și totuși nu are limită.

4. Tangenta în punctele scoase din domeniu

Fie $f(x)=\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, definită pentru $\cos x\ne 0$, adică pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Studiem comportarea în jurul lui $\frac{\pi }{2}$; periodicitatea de perioadă $\pi$ mută apoi concluzia în toate celelalte puncte scoase.

Pentru $x$ puțin mai mic decât $\frac{\pi }{2}$: sinusul este aproape de $1$, deci pozitiv, iar cosinusul este pozitiv și oricât de mic (unghiul se află în primul cadran, unde ambele funcții sunt pozitive — vezi lecția Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane). Raportul dintre un număr apropiat de $1$ și un număr pozitiv oricât de mic crește nemărginit, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2\\ x<\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=+\infty .$$ Pentru $x$ puțin mai mare decât $\frac{\pi }{2}$: sinusul rămâne aproape de $1$, dar cosinusul devine negativ și oricât de mic în valoare absolută (am trecut în cadranul al doilea). Raportul este acum negativ și oricât de mare în valoare absolută: $$\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2\\ x>\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=-\infty .$$

Cele două limite laterale există, dar sunt diferite, deci tangenta nu are limită în $\frac{\pi }{2}$. Prin periodicitate, aceeași concluzie și aceleași valori laterale se obțin în orice punct $\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.

Verificare numerică: pentru $x=\frac{\pi }{2}-10^{-4}$ obții $\mathrm{tg}x=10^4$, iar pentru $x=\frac{\pi }{2}+10^{-4}$ obții $-10^4$; la $10^{-8}$ distanță, valorile sunt $\pm 10^8$.

La capetele nemărginite comportarea seamănă cu cea a sinusului: pe fiecare interval dintre două puncte scoase, tangenta parcurge tot $\mathbb{R}$, deci nu se așază pe nicio valoare. Cu șirurile $x_n=n\pi$ (unde $\mathrm{tg}{x}_n=0$) și $y_n=\frac{\pi }{4}+n\pi$ (unde $\mathrm{tg}{y}_n=1$), ambele cu limita $+\infty$, obții două limite diferite ale imaginilor: tangenta nu are limită la $+\infty$, și nici la $-\infty$.

5. Cotangenta în punctele scoase din domeniu

Fie $f(x)=\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$, definită pentru $\sin x\ne 0$, adică pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Studiem comportarea în jurul lui $0$ și o mutăm apoi, prin periodicitatea de perioadă $\pi$, în toate punctele $k\pi$.

Pentru $x$ pozitiv și apropiat de $0$: cosinusul este aproape de $1$, iar sinusul este pozitiv și oricât de mic, deci raportul crește nemărginit. Pentru $x$ negativ și apropiat de $0$: cosinusul rămâne aproape de $1$, dar sinusul este negativ, deci raportul coboară nemărginit. Așadar $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\mathrm{ctg}x=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\mathrm{ctg}x=+\infty ,$$ iar cotangenta nu are limită în $0$. Aceleași valori se obțin în orice punct $k\pi$.

Atenție la ordinea semnelor, care este inversă față de tangentă: la tangentă limita la stânga este $+\infty$ și cea la dreapta $-\infty$; la cotangentă, exact pe dos. Este una dintre confuziile obișnuite, iar remediul e simplu: nu memora semnele, ci reface în trei secunde raționamentul cu semnul numitorului.

Verificare numerică: $\mathrm{ctg}\left(10^{-4}\right)=10^4$, iar $\mathrm{ctg}\left(-10^{-4}\right)=-10^4$.

La $\pm \infty$, cotangenta se comportă ca tangenta: nu are limită, ceea ce se arată cu șirurile $x_n=\frac{\pi }{2}+n\pi$ (unde $\mathrm{ctg}{x}_n=0$) și $y_n=\frac{\pi }{4}+n\pi$ (unde $\mathrm{ctg}{y}_n=1$).

6. Tabelul complet

Tabelul acesta este, în tot capitolul, cel cu cele mai multe „nu există" — și tocmai de aceea e cel mai instructiv. Compară-l cu tabelele din lecțiile Limitele funcțiilor putere și radical și Limitele funcțiilor exponențială și logaritmică: acolo, aproape fiecare celulă conținea o valoare, finită sau infinită. Motivul deosebirii este periodicitatea: o funcție care se repetă la nesfârșit nu se poate „așeza" nicăieri la infinit.

Notațiile compacte $l_s$ și $l_d$ din tabel sunt cele introduse în lecția Limite laterale; în rezolvări scrise pe caiet folosește forma completă, cu condiția $x<x_0$ sau $x>x_0$ scrisă sub semnul limitei.

7. Cum scrii răspunsul și ce urmează

Redactarea are aceiași trei pași ca în lecțiile precedente, cu o singură completare, specifică acestei lecții:

1. domeniul maxim și constatarea că punctul cerut este punct de acumulare — inclusiv atunci când el a fost scos din domeniu;
2. cele două limite laterale, calculate separat, cu semnul numitorului discutat explicit;
3. concluzia: limita este $+\infty$ (când cele două laterale coincid), funcția nu are limită (când diferă), sau — la $\pm \infty$ — funcția nu are limită, justificat cu două șiruri.

Un avertisment de scop, ca să nu cauți în lecția aceasta ce nu se află în ea: expresii de tipul „sinus împărțit la $x$" produc cazuri de nedeterminare și se rezolvă cu limite fundamentale, studiate în lecția Limita fundamentală $\frac{\sin x}{x}$. Aici stabilim doar repertoriul de rezultate; prelucrarea vine după. La Bacalaureat M1, cele două se combină aproape mereu — dar în ordinea aceasta, nu invers.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puncte din domeniu

Calculați: a) $\underset{x\to \pi /3}{\lim }\sin x$; b) $\underset{x\to 2\pi /3}{\lim }\cos x$; c) $\underset{x\to \pi /6}{\lim }\mathrm{tg}x$; d) $\underset{x\to 3\pi /4}{\lim }\mathrm{ctg}x$.

Rezolvare. În toate cele patru cazuri punctul aparține domeniului funcției respective, deci limita este valoarea funcției acolo:

a) $\underset{x\to \pi /3}{\lim }\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$; b) $\underset{x\to 2\pi /3}{\lim }\cos x=-\frac{1}{2}$; c) $\underset{x\to \pi /6}{\lim }\mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}$; d) $\underset{x\to 3\pi /4}{\lim }\mathrm{ctg}x=-1$.

Verifică de fiecare dată, înainte de a răspunde, că punctul chiar este în domeniu: la c) trebuie ca $\frac{\pi }{6}$ să nu fie de forma $\frac{\pi }{2}+k\pi$ (nu este), iar la d) ca $\frac{3\pi }{4}$ să nu fie multiplu de $\pi$ (nu este).

Exemplul 2 — Sinusul nu are limită la $+\infty$

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$, nu are limită la $+\infty$.

Rezolvare. Alegem două șiruri de numere reale care tind la $+\infty$: $$x_n=2n\pi ,y_n=\frac{\pi }{2}+2n\pi ,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$ Amândouă tind la $+\infty$, fiind șiruri de numere care cresc nemărginit. Din periodicitatea sinusului, $$f(x_n)=\sin (2n\pi )=0\text{pentru orice }n,f(y_n)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=1\text{pentru orice }n.$$ Deci $f(x_n)\to 0$ și $f(y_n)\to 1$. Cele două șiruri de imagini au limite diferite, deci, prin definiția cu șiruri, funcția nu are limită la $+\infty$.

Observație: nu se scrie „limita este între $-1$ și $1$" și nici „limita oscilează". Limita nu există — atât.

Exemplul 3 — Limitele laterale ale tangentei

Calculați limitele laterale ale funcției tangentă în punctul $\frac{\pi }{2}$ și precizați dacă funcția are limită acolo.

Rezolvare. Punctul $\frac{\pi }{2}$ nu aparține domeniului, dar este punct de acumulare al lui: orice vecinătate a lui conține o infinitate de puncte în care tangenta e definită.

Scriem $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ și discutăm semnul numitorului.

La stânga ($x<\frac{\pi }{2}$, $x$ în primul cadran): $\sin x$ este aproape de $1$ și pozitiv, $\cos x$ este pozitiv și oricât de mic, deci raportul crește nemărginit: $$\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2\\ x<\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=+\infty .$$

La dreapta ($x>\frac{\pi }{2}$, $x$ în cadranul al doilea): $\sin x$ este tot aproape de $1$, dar $\cos x$ este negativ și oricât de mic în valoare absolută, deci $$\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2\\ x>\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=-\infty .$$

Cele două limite laterale există, dar sunt diferite, deci tangenta nu are limită în $\frac{\pi }{2}$.

Verificare: $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-10^{-6}\right)=10^6$ și $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}+10^{-6}\right)=-10^6$.

Exemplul 4 — Limitele laterale ale cotangentei

Calculați $l_s(0)$ și $l_d(0)$ pentru funcția cotangentă și comparați rezultatul cu Exemplul 3.

Rezolvare. Punctul $0$ nu aparține domeniului cotangentei, dar este punct de acumulare al lui.

Scriem $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$. La stânga lui $0$, $\cos x$ este aproape de $1$ și pozitiv, iar $\sin x$ este negativ și oricât de mic în valoare absolută, deci $l_s(0)=-\infty$. La dreapta lui $0$, $\sin x$ este pozitiv și oricât de mic, deci $l_d(0)=+\infty$.

Limitele laterale fiind diferite, cotangenta nu are limită în $0$.

Comparația cu Exemplul 3: și tangenta, și cotangenta au, în punctele scoase din domeniu, limite laterale infinite și diferite — deci în ambele cazuri limita nu există. Ce diferă este ordinea semnelor: la tangentă, $+\infty$ la stânga și $-\infty$ la dreapta; la cotangentă, invers. Explicația stă în care dintre cele două funcții trigonometrice se află la numitor și cum își schimbă ea semnul la trecerea prin punct.

Exemplul 5 — Periodicitatea mută concluzia

Calculați limitele laterale ale funcției tangentă în punctul $-\frac{\pi }{2}$ și ale funcției cotangentă în punctul $\pi$.

Rezolvare. Tangenta are perioada $\pi$, deci comportarea ei în jurul lui $-\frac{\pi }{2}$ este identică celei din jurul lui $\frac{\pi }{2}$, studiată în Exemplul 3: $$l_s\left(-\frac{\pi }{2}\right)=+\infty ,l_d\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\infty ,$$ deci funcția nu are limită acolo. (Verificare directă: la stânga lui $-\frac{\pi }{2}$, $\sin x$ este aproape de $-1$, iar $\cos x$ este negativ și foarte mic — raportul a două numere negative este pozitiv și mare.)

Cotangenta are tot perioada $\pi$, deci în $\pi$ se repetă comportarea din $0$, studiată în Exemplul 4: $l_s(\pi )=-\infty$ și $l_d(\pi )=+\infty$, iar limita nu există.

Reține economia de efort pe care o aduce periodicitatea: studiezi un punct și scrii concluzia pentru o infinitate.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f(x)=\mathrm{tg}x$. a) Determinați domeniul maxim de definiție. b) Arătați că $\frac{\pi }{2}$ este punct de acumulare al domeniului, deși nu îi aparține. c) Calculați limitele laterale ale funcției în $\frac{\pi }{2}$ și precizați dacă funcția are limită în acest punct. d) Arătați că funcția nu are limită la $+\infty$.

Rezolvare.

a) Tangenta este definită acolo unde $\cos x\ne 0$, adică $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Fie $V$ o vecinătate oarecare a lui $\frac{\pi }{2}$; ea conține un interval $\left(\frac{\pi }{2}-\epsilon ,\frac{\pi }{2}+\epsilon \right)$ cu $\epsilon >0$. Acest interval conține o infinitate de numere reale, dintre care cel mult unul singur — chiar $\frac{\pi }{2}$ — a fost scos din domeniu (pentru $\epsilon <\pi$). Deci $V$ conține puncte din $D$ diferite de $\frac{\pi }{2}$, adică $\frac{\pi }{2}$ este punct de acumulare al lui $D$.

c) Cu discuția semnului numitorului, ca în Exemplul 3: $$\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2\\ x<\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=+\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to \pi /2\\ x>\pi /2\end{array}}{\lim }\mathrm{tg}x=-\infty .$$ Limitele laterale există, dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $\frac{\pi }{2}$.

d) Alegem $x_n=n\pi$ și $y_n=\frac{\pi }{4}+n\pi$, ambele cu limita $+\infty$ și ambele formate din puncte ale domeniului. Din periodicitate, $\mathrm{tg}{x}_n=0$ și $\mathrm{tg}{y}_n=1$ pentru orice $n$, deci șirurile imaginilor au limitele $0$ și $1$. Fiind diferite, funcția nu are limită la $+\infty$.

Observație de barem: la punctul c) nu se acordă punctajul pentru un răspuns de forma „limita este $\infty$". Se cer amândouă limitele laterale, cu semnele lor, și concluzia „nu există limită", motivată prin faptul că ele sunt diferite.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. Verifică întâi dacă punctul aparține domeniului; abia apoi calculează.

1. Calculează $\underset{x\to \pi /4}{\lim }\sin x$, $\underset{x\to \pi /3}{\lim }\cos x$ și $\underset{x\to \pi /4}{\lim }\mathrm{tg}x$.

2. Calculează $\underset{x\to \pi }{\lim }\sin x$, $\underset{x\to \pi }{\lim }\cos x$ și $\underset{x\to \pi /2}{\lim }\cos x$.

3. Calculează $\underset{x\to 5\pi /6}{\lim }\sin x$ și $\underset{x\to 2\pi /3}{\lim }\mathrm{ctg}x$.

4. Determină domeniul maxim al funcției cotangentă și scrie mulțimea punctelor de acumulare ale lui.

5. Calculează limitele laterale ale funcției tangentă în $\frac{3\pi }{2}$ și precizează dacă funcția are limită acolo.

6. Calculează limitele laterale ale funcției cotangentă în $-\pi$ și precizează dacă funcția are limită acolo.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția sinus are limita $0$ la $+\infty$, pentru că valorile ei trec prin $0$ oricât de departe ai merge."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul $\frac{\pi }{2}$ nu este punct de acumulare al domeniului tangentei, pentru că a fost scos din domeniu."

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Tangenta și cotangenta au, în punctele scoase din domeniu, aceleași limite laterale."

10. Arată, cu două șiruri potrivite, că funcția cosinus nu are limită la $-\infty$.

11. Explică de ce mărginirea sinusului exclude posibilitatea unei limite infinite la $+\infty$, dar nu garantează existența unei limite finite.

12. Fie $x_n=\frac{\pi }{2}+n\pi$. Calculează $\mathrm{ctg}{x}_n$ și explică ce rol joacă acest șir în demonstrația faptului că funcția cotangentă nu are limită la $+\infty$.

13. (Problemă aplicată.) Înălțimea unui punct de pe roata unui parc de distracții, măsurată față de axul roții, este descrisă de funcția $h(t)=\sin t$, unde $t$ este unghiul parcurs. Are înălțimea o „valoare de echilibru" pe termen lung, adică o limită când $t\to +\infty$? Justifică și interpretează răspunsul.

14. Un coleg scrie: „$\underset{x\to \pi /2}{\lim }\mathrm{tg}x=+\infty$". Corectează-i afirmația și explică ce a calculat el, de fapt.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f(x)=\mathrm{ctg}x$. Determină domeniul maxim, calculează limitele laterale ale funcției în $0$ și precizează dacă funcția are limită în acest punct, justificând răspunsul.

16. Compară, pe același desen imaginar, comportarea funcției $\frac{1}{x}$ în $0$ cu cea a funcției cotangentă în $0$. Ce au în comun și prin ce diferă cele două situații?

17. Scrie toate punctele în care funcția tangentă nu are limită, folosind un singur enunț cu parametru întreg, și explică de ce periodicitatea permite această scriere compactă.

18. (Provocare.) Arată că funcția $f(x)=\sin x$ nu are limită la $+\infty$ folosind două șiruri diferite de cele din Exemplul 2, alese astfel încât limitele imaginilor să fie $-1$ și, respectiv, $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. Toate trei punctele aparțin domeniilor respective, deci limitele sunt valorile: $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{1}{2}$ și $1$.

2. $\underset{x\to \pi }{\lim }\sin x=0$; $\underset{x\to \pi }{\lim }\cos x=-1$; $\underset{x\to \pi /2}{\lim }\cos x=0$. Ultima are răspuns imediat: cosinusul este definit pe tot $\mathbb{R}$, deci $\frac{\pi }{2}$ este punct din domeniu.

3. $\underset{x\to 5\pi /6}{\lim }\sin x=\frac{1}{2}$; $\underset{x\to 2\pi /3}{\lim }\mathrm{ctg}x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

4. $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, iar $D^{\prime }=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$: punctele scoase rămân puncte de acumulare, pentru că sunt izolate, nu intervale.

5. Prin periodicitatea de perioadă $\pi$, comportarea în $\frac{3\pi }{2}$ o repetă pe cea din $\frac{\pi }{2}$: $l_s=+\infty$, $l_d=-\infty$, deci funcția nu are limită acolo.

6. Tot prin periodicitate, comportarea în $-\pi$ o repetă pe cea din $0$: $l_s=-\infty$, $l_d=+\infty$, deci funcția nu are limită acolo.

7. Fals. Faptul că valorile trec prin $0$ nu înseamnă că se apropie de $0$: între două astfel de treceri, ele ajung și la $1$, și la $-1$. Șirurile $x_n=2n\pi$ și $y_n=\frac{\pi }{2}+2n\pi$ dau imagini cu limitele $0$ și $1$, deci limita nu există.

8. Fals. A fi punct de acumulare nu are nicio legătură cu apartenența la mulțime. Orice vecinătate a lui $\frac{\pi }{2}$ conține o infinitate de puncte din domeniu, deci punctul este de acumulare — și tocmai de aceea are sens să întrebăm de limită acolo.

9. Fals. Semnele sunt inversate: la tangentă $l_s=+\infty$ și $l_d=-\infty$; la cotangentă $l_s=-\infty$ și $l_d=+\infty$. Ce este comun e concluzia: în ambele cazuri limita nu există.

10. De exemplu $x_n=-2n\pi \to -\infty$, cu $\cos x_n=1\to 1$, și $y_n=-\pi -2n\pi \to -\infty$, cu $\cos y_n=-1\to -1$. Limitele imaginilor fiind diferite, funcția nu are limită la $-\infty$.

11. Mărginirea dă $-1\le \sin x\le 1$, deci valorile nu pot depăși nicio barieră: o limită $+\infty$ sau $-\infty$ este exclusă. Dar o funcție mărginită poate oscila la nesfârșit în interiorul benzii, fără să se apropie de vreo valoare — exact ca șirul $\left((-1{)}^n\right)$, mărginit și fără limită.

12. $\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi }{2}+n\pi \right)=0$ pentru orice $n$, deci șirul imaginilor este constant $0$ și tinde la $0$. Împreună cu $y_n=\frac{\pi }{4}+n\pi$, pentru care imaginile sunt constant $1$, obținem două limite diferite: cotangenta nu are limită la $+\infty$.

13. Nu. Funcția $h(t)=\sin t$ nu are limită la $+\infty$, ceea ce se arată cu cele două șiruri din Exemplul 2. Interpretare: roata se învârte la nesfârșit, iar punctul urcă și coboară fără să se stabilizeze — modelul nu are stare de echilibru, spre deosebire de modelele exponențiale de amortizare.

14. Afirmația este greșită: în $\frac{\pi }{2}$ tangenta nu are limită, pentru că limitele laterale sunt $+\infty$ (la stânga) și $-\infty$ (la dreapta). Colegul a calculat, de fapt, doar limita la stânga; îi lipsește condiția $x<\frac{\pi }{2}$ scrisă sub semnul limitei.

15. $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$; punctul $0$ nu aparține domeniului, dar este punct de acumulare. Scriind $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ și discutând semnul numitorului: $l_s(0)=-\infty$ și $l_d(0)=+\infty$. Fiind diferite, funcția nu are limită în $0$.

16. Comun: în ambele cazuri punctul $0$ este scos din domeniu, dar rămâne punct de acumulare, iar limitele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci limita nu există. Diferit: funcția $\frac{1}{x}$ are un singur astfel de punct, în timp ce cotangenta are o infinitate, $k\pi$ cu $k\in \mathbb{Z}$, iar comportarea se repetă în fiecare, prin periodicitate.

17. Tangenta nu are limită în punctele $\frac{\pi }{2}+k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$. Scrierea compactă e posibilă pentru că funcția are perioada $\pi$: comportarea într-un punct scos se copiază identic în toate celelalte, obținute din el prin translații cu multipli de $\pi$.

18. De exemplu $x_n=\frac{3\pi }{2}+2n\pi \to +\infty$, cu $\sin x_n=-1$ pentru orice $n$, și $y_n=\frac{\pi }{4}+2n\pi \to +\infty$, cu $\sin y_n=\frac{\sqrt{2}}{2}$ pentru orice $n$. Cele două șiruri de imagini sunt constante, cu limitele $-1$ și $\frac{\sqrt{2}}{2}$; fiind diferite, funcția nu are limită la $+\infty$. Exercițiul arată că alegerea șirurilor nu e unică: orice pereche care dă imagini cu limite diferite funcționează.

De reținut

• În orice punct din domeniu, limita fiecăreia dintre cele patru funcții trigonometrice este chiar valoarea funcției acolo.
• Sinusul și cosinusul nu au limită nici la $-\infty$, nici la $+\infty$; se demonstrează cu două șiruri ale căror imagini au limite diferite.
• Tangenta are, în fiecare punct $\frac{\pi }{2}+k\pi$, limitele laterale $+\infty$ la stânga și $-\infty$ la dreapta, deci nu are limită acolo.
• Cotangenta are, în fiecare punct $k\pi$, limitele laterale $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta, deci nu are limită acolo.
• Punctele scoase din domeniu rămân puncte de acumulare ale lui, iar periodicitatea permite ca studiul unui singur punct să acopere o infinitate.

Greșeli frecvente

• Scrii „limita este $+\infty$" pentru tangentă în $\frac{\pi }{2}$. Acolo limita nu există; $+\infty$ este doar limita la stânga. Condiția $x<\frac{\pi }{2}$ trebuie scrisă sub semnul limitei.
• Spui că sinusul are limita $0$ la infinit. Valorile trec prin $0$, dar trec și prin $1$, și prin $-1$; a trece printr-o valoare nu înseamnă a te apropia de ea.
• Crezi că un punct scos din domeniu nu mai e punct de acumulare. Ba da — se scot puncte izolate, nu intervale, iar orice vecinătate a lor conține o infinitate de puncte ale domeniului.
• Confunzi ordinea semnelor la tangentă și la cotangentă. Nu memora: reface raționamentul cu semnul numitorului, $\cos x$ pentru tangentă, $\sin x$ pentru cotangentă.
• Confunzi „nu are limită" cu „are limită infinită". La sinus și cosinus, la $\pm \infty$, limita nu există; la tangentă, în punctele scoase, limitele laterale sunt infinite, dar limita tot nu există, pentru că ele diferă.

Aplică acasă

1. Tabelul care oscilează. Calculează, cu un instrument digital, valorile lui $\sin x$ pentru $x=10$, $100$, $1000$, $10000$ (în radiani). Notează-le și încearcă să deduci o tendință. Vei vedea că nu există niciuna — este experimentul care arată, în cinci minute, de ce limita la infinit nu există.

2. Graficul tangentei, mărit. Într-o aplicație de grafice, desenează $y=\mathrm{tg}x$ pe intervalul de la $-2\pi$ la $2\pi$, apoi mărește imaginea în jurul lui $\frac{\pi }{2}$, întâi dinspre stânga, apoi dinspre dreapta. Notează cum se schimbă semnul valorilor la trecerea prin punct — este exact discuția din §4, văzută cu ochii.

3. Oscilații în casă. Caută trei mărimi din viața de zi cu zi care oscilează periodic (tensiunea din priză, mareele, orele de lumină din zi de-a lungul anului). Pentru fiecare, întreabă-te dacă are o „valoare de echilibru" pe termen lung și discută răspunsul cu un adult. Vei observa că nici una nu are — și că exact asta le deosebește de procesele de amortizare, descrise de exponențiale.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie inventarul limitelor funcțiilor uzuale, cerut de nota din programa de matematică-informatică, cu cele patru funcții trigonometrice. Rolul ei în economia capitolului este dublu: pe de o parte, completează repertoriul de rezultate; pe de altă parte, oferă singurele exemple naturale de funcții care nu au limită la $\pm \infty$, ceea ce face din ea locul potrivit pentru a consolida distincția dintre „limită infinită" și „limită inexistentă". Metoda folosită — două șiruri cu limite diferite ale imaginilor — este consecința directă a definiției cu șiruri, cerută explicit de programă.

Ce verifică lecția: (1) faptul că punctele scoase din domeniu rămân puncte de acumulare; (2) calculul limitelor laterale prin discuția semnului numitorului; (3) folosirea periodicității pentru a generaliza o concluzie; (4) formularea corectă a inexistenței limitei. Întrebări bune de control: „De ce are sens să întrebi de limita tangentei într-un punct în care ea nu e definită?", „De ce sinusul nu are limită la infinit?", „Care e diferența dintre semnele tangentei și ale cotangentei în punctele scoase?".

La BAC M1, aceste rezultate apar mai ales în studiul funcțiilor definite pe ramuri și în combinație cu limitele fundamentale din lecțiile următoare. Semne că elevul a înțeles: nu scrie niciodată o limită de tangentă fără condiția laterală și justifică inexistența limitei cu două șiruri concrete, nu cu formulări de tipul „oscilează". Continuarea firească este lecția Operații cu limite de funcții, în care rezultatele adunate în ultimele trei lecții încep să fie combinate.

Întrebări frecvente

De ce funcția sinus nu are limită la plus infinit? Pentru că valorile ei continuă să baleieze tot intervalul $[-1,1]$, oricât de departe ai merge. Riguros: șirurile $x_n=2n\pi$ și $y_n=\frac{\pi }{2}+2n\pi$ tind amândouă la $+\infty$, dar imaginile lor au limitele $0$ și $1$ — două valori diferite, deci limita nu există.

Cât este limita tangentei în $\frac{\pi }{2}$? Nu există. Limita la stânga este $+\infty$, iar cea la dreapta este $-\infty$; fiind diferite, criteriul de existență nu este îndeplinit. Răspunsul corect scrie amândouă limitele laterale și abia apoi concluzia.

De ce se poate vorbi de limită într-un punct în care funcția nu e definită? Pentru că limita se definește în punctele de acumulare ale domeniului, nu în punctele domeniului. Din domeniul tangentei se scot puncte izolate, deci în jurul fiecăruia dintre ele rămân o infinitate de puncte în care funcția are valori — suficient pentru ca întrebarea să aibă sens.

Care este diferența dintre tangentă și cotangentă la limitele laterale? Ordinea semnelor. La tangentă, în $\frac{\pi }{2}+k\pi$: $+\infty$ la stânga, $-\infty$ la dreapta. La cotangentă, în $k\pi$: $-\infty$ la stânga, $+\infty$ la dreapta. Motivul este că la numitor stă $\cos x$ în primul caz și $\sin x$ în al doilea, iar cele două își schimbă semnul diferit la trecerea prin punctele respective.

Ce înseamnă, exact, „funcția nu are limită"? Înseamnă că nu există nicio valoare, finită sau infinită, spre care să tindă valorile funcției. Se demonstrează arătând două șiruri care tind la punctul respectiv și ale căror imagini au limite diferite; sau, într-un punct bilateral, arătând că limitele laterale diferă.

Cum folosesc periodicitatea la limite? Studiezi comportarea într-un singur punct scos din domeniu și transferi concluzia în toate celelalte, care se obțin din el prin translații cu perioada. Pentru tangentă și cotangentă perioada este $\pi$, deci un singur calcul acoperă o infinitate de puncte.

Sinusul fiind mărginit, nu ar trebui să aibă limită? Nu. Mărginirea exclude doar limitele infinite; ea nu obligă valorile să se apropie de ceva. Exemplul clasic din capitolul de șiruri este $\left((-1{)}^n\right)$: mărginit, dar fără limită. Sinusul se comportă la fel, doar că oscilează continuu.

Unde se folosesc mai departe aceste rezultate? În calculul limitelor cu funcții trigonometrice, unde ele se combină cu limitele fundamentale, și în studiul funcțiilor definite pe ramuri. Cazurile de nedeterminare care apar acolo se rezolvă cu unelte introduse în lecțiile următoare ale capitolului.